Многопродуктовая динамическая модель экономики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Многопродуктовая динамическая модель экономики



Оглавление

Введение

Глава 1. Формулировка модели

1.1 Используемые предпосылки и система обозначений

1.2 Решение задачи потребителя

1.3 Решение задачи производителя

1.4 Нахождение равновесия

1.5 Общее решение соответствующего однородного уравнения

1.6 Поиск отношения расходов на потребление разного типа товаров

Глава 2. Общий вид функции полезности

2.1 Решение для другой функции полезности

Глава 3. Усложнение задачи

3.1 Получение результатов

Заключение

Список литературы



Введение

В экономической теории есть много предпосылок и высказываний о том, что фирма является рациональным агентом, которая самостоятельно принимает решения о том, сколько и как необходимо производить товаров и услуг. В таких обсуждениях можно подчеркнуть одну особенность - в большинстве случаев выводы и объяснения о деятельности такой фирмы являются "односторонними" и не всегда они подкреплены моделями, которые могут наглядно прояснить цель существования данной фирмы.

В данной выпускной квалификационной работе внимание уделялось, в большей степени, на получение полных решений независимо от начальных условий, иными словами, рассматривается модель взаимодействия двух агентов: собственника-потребителя и фирмы-производителя. Приводится их характеристика поведения в динамических моделях общего равновесия, при этом экономическая динамика рассматривается в непрерывном времени, а также накопленные инвестиции это единственный фактор производства, при этом производственная функция линейно зависит от этого фактора.

Рассматривается задача оптимального планирования, где потребитель планирует свое производство в соответствии со своими интересами, причем для всех ограничений вводятся дополнительные двойственные переменные.

Следует отметить, что при рассмотрении задачи производителя, дополнительные двойственные переменные также присутствуют и производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов. Для того чтобы выполнялось условие равновесия, необходимо чтобы выполнялись соотношения основного макроэкономического баланса, выполнялось условие равенства спроса на кредиты и предложения.

Что касается техники решения в данных моделях, то можно смело предположить, что каждая описываемая модель не выходит за рамки:

1.Выписывания функционала Лангража

2.Интегрирования по частям

3. Выписывания достаточных условий максимума

4. Преобразований условий и получения решений задачи

Во внимание берется еще один фактор, помимо того, что экономика замкнута и в ней выпускается единственный однородный продукт и записывается он следующим образом: Y (t) = C(t) +J (t), рассматривается еще многопродуктовая декомпозиция. Использование такой модели объясняется тем, что в стандартной декомпозиции привязывается один из продуктов к импорту. Из-за привязки к импорту дефлятор импорта всегда должен быть наибольшим или наименьшим. Это не всегда выполняется, поэтому использование декомпозиции один из способов решения данной проблемы.

В настоящей работе, внимание также привлекает еще один момент, который, на мой взгляд, и является ключевым. В процессе нахождения равновесий в моделях, встречалось довольно много, на первый взгляд, нестандартных ситуаций, к примеру, возник вопрос о том, как ввести в модель несколько продуктов, если равновесие найдено на заданных нам начальных условиях? И в таких ситуациях приходилось использовать собственное мнение и опираться на моделирование задач.

Необходимо учесть, что в экономике существует большое количество продуктов(микро). Эти продукты могут собираться в большие группы: агрегаты(макропродукты). Предполагается что цены на эти продукты(макро) разные, причем в каждом компоненте ВВП эти макропродукты входят с разными долями(структура разная), что и обеспечивает различную динамику цен для компонент ВВП. Казалось бы, что это и является ответом на поставленный мною вопрос, но после каждого небольшого объяснения и раскрытия вопроса, вытекает следующий вопрос, а как определить структуру каждого компонента ВВП? Как разбить ее на Аа и Аb? Ответ был найден в использовании иерархической полезности . Что это? Мы говорили что есть микро и есть макро продукты , микропродукты - это то что внутри, и они агрегируются в макропродукты, но при этом появляются некоторые агенты с их функциями полезности (например за С отвечает потребитель , за i отвечает инвестор и т.д.) и должны быть выполнены балансы с их прикрепленными ценами.

Целью данного исследования является поиск и представление модели общего равновесия, где вид производителя является акционерным обществом и целью данной фирмы будет служить максимизация приведенного потока дивидендов. Необходимо понимать, что результаты должны будут показать, что модель с таким видом (акционерным) должно иметь эффективное равновесие.

Учтенная в работе система многопродуктовой декомпозиции избавляет нас от привязки к экспорту и импорту, что в свою очередь приводит к более корректной понимании модели.

Полученные в выпускной работе результаты должны помочь реальному сектору экономики в более точном анализе рынка, а также в использовании данного метода как одного из инструментов в построении экономических моделей.



Глава 1. Формулировка модели

1.1 Используемые предпосылки и система обозначений

Рассматривается замкнутая экономика с выпуском двух однородных продуктов, которые используются на потребление и инвестиции. Таким образом, можно написать

Где

- выпуск-го продукта в экономике,

- потребление -го продукта и являются валовыми потреблениями. Предполагается линейная зависимость производственной функции от объема накопленных инвестиций, а именно

,

Где

- коэффициент приростной фондоемкости. Наконец, предположим, что

,

тогда получим:

(1.1)

(1.2)

Так же считаем заданными начальные условия: и терминальные: . Выполнений этих условий достаточно, чтобы неравенство было верно при всех

В качестве функции полезности агентов используется CRRA функция:

при

при (1.3)

1.2 Решение задачи потребителя

Потребитель максимизирует полезность собственного потребления:

за счет выбора в рамках финансового баланса:

При заданных начальных условиях и терминального ограничения:

(1.4)

при заданных на переменных:

Решения задачи доставляют максимум функционалу Лагранжа

(1.5)

при некотором выборе двойственных переменных и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Интегрируем по частям при максимизации:

(1.9)

Данное выражение достигает максима тогда и только тогда, когда производные по следующим величинам обращаются в ноль:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Уравнения (1.6)-(1.8) и (1.10)-(1.15) образуют полную систему условий для определения решения.

В силу того, что .

Из (1.10)

Из (9) , тогда

Из (3)

Таким образом из (9)

И из (10)

Введем переменную

это доходность активов, которыми располагает агент. Тогда из (7)

Рассматриваем только S(t) >0, поэтому из (2) и (8) следует ц(t)=0,

Поскольку первое слагаемое (1.10) и (1.11) кусочно-дифференцируемо, функции тоже кусочно-дифференцируемы. Взяв от обеих частей (1.10) и (1.11) логарифмическую производную, получим:

Или

, где i = 1,2.

1.3 Решение задачи производителя

Производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов

за счет выбора траекторий дивидендов , произведенных продуктов , объема взятых кредитов в рамках финансового баланса

при заданных начальных условиях

LP(t0) , YP(t0) > 0

и терминального ограничения

при известных на всем временном отрезке информационных переменных: процентная ставка по депозиту r (t) , цены продуктов , запас акций у собственника и курс акций a (t) .

Для оптимальности достаточно, чтобы они максимизировали функционал Лагранжа

(1)

при некотором наборе двойственных переменных, и при

этом выполнялись условия дополняющей нежесткости

(2)

(3)

(4)

(5)

Интегрируем функционал Лагранжа по частям:

Это выражение достигает максимума по y1(.), y2(.), Lp(.), Div1(.), Div2(.)тогда и только тогда, когда на [t0,T]обращаются в 0 производные по ним:

(6) y1:

(7) y2:

(8) Lp:

(9) Div1:

(10) Div2:

(11) y1(T):

(12) y2(T):

(13) Lp(T):

Соотношения (2)-(5) и (6)-(13) образуют полную систему условий.

Из (8) и (13) и условий Ц ? 0, ц (t) ? 0?ц (t) ? 0 при всех t? [t0,T]

Из (9) т.к. Div1(t) кусочно-непрер., то она огранич. на [t0,T]?Div1(t)> 0, левая часть ур-ия отделена от нуля на [t0,T]?ц (t) > 0, а по (13) Ц > 0

А тогда (из (2))

Из (11)-(13) и Ц > 0?

Введем новую переменную

,

которую можно интерпретировать как

доходность активов, которыми располагает агент. Тогда

Из (8) ?

Из (3) и (6) ?,

?(14)

Из (7) и (4) ?, ?

Возьмем логарифмическую производную от (9) (аналогично (10))

С учетом

Следует

(5) (dC1):

?

При логарифмировании получим

Дифференцируем данное выражение по переменной времени

Аналогично из (6):

1.4 Нахождение равновесия

С учетом найденных зависимостей, а именно

Получим

Тогда выпуск найдем из дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами вида:

1.5 Общее решение соответствующего однородного уравнения

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения:

подставим в уравнение и найдем коэффициент A.

Тогда

В терминах задачи это решение будет иметь вид:

1.6 Поиск отношения расходов на потребление разного типа товаров

Найдем отношение

Все не зависящие от t множители записываем в виде константы Const:

С учетом

Следовательно Зависит от t , не является постоянной величиной.



Глава 2. Общий вид функции полезности

Потребитель максимизирует полезность собственного потребления:

за счет выбора в рамках финансового баланса:

При заданных начальных условиях и терминального ограничения:

(1.4)

при заданных на переменных:

Решения задачи доставляют максимум функционалу Лагранжа

(1.5)

при некотором выборе двойственных переменных

и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Интегрируем по частям при максимизации:

(1.9)

Данное выражение достигает максима тогда и только тогда, когда производные по следующим величинам обращаются в ноль:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Уравнения (1.6)-(1.8) и (1.10)-(1.15) образуют полную систему условий для определения решения.

В силу того, что .

Из (1.10)

Из (9) , тогда

Из (3)

Таким образом из (9)

И из (10)

Введем переменную

это доходность активов, которыми располагает агент. Тогда из (7)

Рассматриваем только S(t) >0, поэтому из (2) и (8) следует ц(t)=0,

Поскольку первое слагаемое (1.10) и (1.11) кусочно-дифференцируемо, функции тоже кусочно-дифференцируемы. Взяв от обеих частей (1.10) и (1.11) логарифмическую производную, получим:

Или , где i = 1,2.

Производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов

за счет выбора траекторий дивидендов , произведенных продуктов , объема взятых кредитов в рамках финансового баланса

при заданных начальных условиях LP(t0) , YP(t0) > 0 и терминального ограничения

при известных на всем временном отрезке информационных переменных: процентная ставка по депозиту r (t) , цены продуктов , запас акций у собственника и курс акций a (t) .

Для оптимальности достаточно, чтобы они максимизировали функционал Лагранжа

(2)

при некотором наборе двойственных переменных, и при

этом выполнялись условия дополняющей нежесткости

(2)

(3)

(4)

(5)

Интегрируем функционал Лагранжа по частям:

Это выражение достигает максимума по

y1(.), y2(.), Lp(.), Div1(.), Div2(.)

тогда и только тогда, когда на

[t0,T]обращаются в 0 производные по ним:

(6) y1:

(7) y2:

(8) Lp:

(9) Div1:

(10) Div2:

(11) y1(T):

(12) y2(T):

(13) Lp(T):

Соотношения (2)-(5) и (6)-(13) образуют полную систему условий.

Из (8) и (13) и условий Ц ? 0, ц (t) ? 0?ц (t) ? 0 при всех t? [t0,T]

Из (9) т.к. Div1(t) кусочно-непрер., то она огранич. на [t0,T]?Div1(t)> 0, левая часть ур-ия отделена от нуля на [t0,T]?ц (t) > 0, а по (13) Ц > 0

А тогда

(из (2))

Из (11)-(13) и Ц > 0?

Введем новую переменную

,

которую можно интерпретировать как

доходность активов, которыми располагает агент. Тогда

Из (8) ?

Из (3) и (6) ?,

?(14)

Из (7) и (4) ?,

?

Возьмем логарифмическую производную от (9) (аналогично (10))

С учетом

Следует

(5) (dC1):

?

При логарифмировании получим

Дифференцируем данное выражение по переменной времени

Аналогично из (6):

Нахождение равновесия.

С учетом найденных зависимостей, а именно

Получим

Тогда выпуск найдем из дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами вида:

2.1 Решение для другой функции полезности

Предположим теперь, что вид функции полезности

Тогда

Иначе можно записать через U(C1C2):

Тогда

Аналогично

Где

Это система дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями C1(t) и C2(t). Найти в явном виде функции невозможно, найдем отношение:

С ростом темпа инфляции l1 растет величина

? уменьш. за счет знака минус.

При уменьш. либо C2 снижается (Из-за роста цены на товар приходится жертвовать потребл. товара 2)

либо C1 увеличивается.



Глава 3. Усложнение задачи

Потребитель максимизирует полезность собственного потребления:

за счет выбора в рамках финансового баланса:

При заданных начальных условиях и терминального ограничения:

(1.4)

при заданных на переменных:

Решения задачи доставляют максимум функционалу Лагранжа

(1.5)

при некотором выборе двойственных переменных и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Интегрируем по частям при максимизации:

(1.9)

Данное выражение достигает максима тогда и только тогда, когда производные по следующим величинам обращаются в ноль:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Уравнения (1.6)-(1.8) и (1.10)-(1.15) образуют полную систему условий для определения решения.

В силу того, что

.

Из (1.10)

Из (9) , тогда

Из (3)

Таким образом из (9)

И из (10)

Введем переменную

это доходность активов, которыми располагает агент. Тогда из (7) Рассматриваем только S(t) >0, поэтому из (2) и (8) следует ц(t)=0,

Поскольку первое слагаемое (1.10) и (1.11) кусочно-дифференцируемо, функции тоже кусочно-дифференцируемы. Взяв от обеих частей (1.10) и (1.11) логарифмическую производную, получим:

Или , где i = 1,2.

Производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов

за счет выбора траекторий дивидендов , произведенных продуктов , объема взятых кредитов в рамках финансового баланса

при заданных начальных условиях LP(t0) , YP(t0) > 0 и терминального ограничения

при известных на всем временном отрезке информационных переменных: процентная ставка по депозиту r (t) , цены продуктов , запас акций у собственника и курс акций a (t) .

Для оптимальности достаточно, чтобы они максимизировали функционал Лагранжа

(3)

при некотором наборе двойственных переменных, и при

этом выполнялись условия дополняющей нежесткости

(2)

(3)

(4)



(5)

Интегрируем функционал Лагранжа по частям:

Это выражение достигает максимума по y1(.), y2(.), Lp(.), Div1(.), Div2(.)тогда и только тогда, когда на [t0,T]обращаются в 0 производные по ним:

(6) y1:

(7) y2:

(8) Lp:

(9) Div1:

(10) Div2:

(11) y1(T):

(12) y2(T):

(13) Lp(T):

Соотношения (2)-(5) и (6)-(13) образуют полную систему условий.

Из (8) и (13) и условий Ц ? 0, ц (t) ? 0?ц (t) ? 0 при всех t? [t0,T]

Из (9) т.к. Div1(t) кусочно-непрер., то она огранич. на [t0,T]?Div1(t)> 0, левая часть ур-ия отделена от нуля на [t0,T]?ц (t) > 0, а по (13) Ц > 0

А тогда

(из (2))

Из (11)-(13) и Ц > 0?

Введем новую переменную

,

которую можно интерпретировать как

доходность активов, которыми располагает агент. Тогда

Из (8) ?

Из (3) и (6) ?,

?(14)

Из (7) и (4) ?, ?

Возьмем логарифмическую производную от (9) (аналогично (10))



С учетом

Следует

(5) (dC1):

?

При логарифмировании получим

Дифференцируем данное выражение по переменной времени



Аналогично из (6):

Нахождение равновесия.

С учетом найденных зависимостей, а именно

Получим

Тогда выпуск найдем из дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами вида:

Усложним задачу, предположим, что оба товара используются в производстве

При максимизации функционала Лагранжа получим следующие уравнения:

:

Найдем отношение цен:

Откуда следует, что

Подставим полученные зависимости в

=

=

Из получим . Откуда

Обозначим отношение цен за

Откуда планирование производство ланграж интегрирование

3.1 Получение результатов

Следовательно

Найдем выпуски из уравнений:



Заключение

В заключении, хотелось бы сказать, что данное исследования представило модель общего равновесия, где правовой формой производителя является акционерное общество, а целью данной фирмы будет служить максимизация приведенного потока дивидендов. Результаты работы показывают, что модель с таким видом имеет эффективное равновесие.

Учтенная в работе система многопродуктовой декомпозиции избавляет нас от привязки к экспорту и импорту, что в свою очередь приводит к более корректной понимании модели.

Надеюсь, что полученные в выпускной работе результаты должны помочь реальному сектору экономики в более точном анализе рынка, а также в использовании данного метода как одного из инструментов в построении экономических моделей.



Список литературы

1. K. Sourirajan, L. Ozsen, R. Uzsoy, A genetic algorithm for a single product network design model with lead time and safety stock considerations (European Journal of Operational Research, 197 (2009), pp. 599-608)

2. M. Pazoki, S.M.T. Fatemi Ghomi, A multiproduct dynamic model to design a converge-diverge supply network with supplier partnership considerations (2012)

3. Edward P. C. Kao, A Multi-Product Dynamic Lot-Size Model with Individual and Joint Set-up Costs(University of Houston, 1979)

4. Turnovsky S.J. Monetary Growth, Inflation and Economic Activity in a Dynamic Macro Model // NBER Working Paper. January 1987.

5. Keller W.J. A nested CES-type utility function and its demand and price-index functions (European Economic Review. -- 1976.)

Размещено на Allbest.ru

...