Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Вступление

1. Теоретические основы исследования

1.1 Рациональность на рынке

1.2 Байесовская теория принятия решений

1.3 Критика классической теории рациональности

1.4 Премия за риск

1.5 Ряд Грама-Шарлье как функция плотности

2. Поиск премии за риск

2.1 Описание Данных

2.2 Вычисление премии за риск

3. Рациональные ожидание рыночного субъекта

3.1 Грам-Шарлье распределение рыночных доходностей

3.2 Применение Байеса на практике

4. Рыночные торговые правила

4.1 Построение торговых правил

4.2 Выводы из результат торговых правил

4.3 Тест Грэнджера на причинность

5. Страновая премия за риск

Заключение

Список использованной литературы



Вступление

В современной экономической и финансовой теории вечно происходят научные споры о степени рациональности на финансовых рынках. Классическая экономическая теория утверждает что рыночные субъекты вполне рациональные. Поведенческие экономисты утверждают, что субъекты часто не рациональны из-за различных ограничений в доступе и в обработке информации.

Тема исследования: Байесовская оценка страновой премии за риск на фондовых рынках. Объектом исследования являются - методы и объекты выбора экономического индивида в процессе столкновения с неопределенностью на фондовом рынке, с помощью премии за риск и построение функции ожидаемой полезность для ранжирования комбинаций рискованных альтернатив. Предмет исследования -байесовский формализм как метод для моделирование рационального поведения и субъективных рыночных вероятностей. Цель исследования-применить байесовский формализм с субъективными априорными данными, (взяты с помощью премии за риск по Марковицу) чтобы через построенные торговые правила проверить гипотезу, что ожидания рыночного субъекта рациональные.

В первой главе мы объясняем различные теории (и критику) о рациональном поведение и выборе на рынке. Потом, мы рассказываем о теории Байеса и почему именно этот метод был выбран для данных задач исследования. После, мы рассказываем о концепции премии за риск, в частности о премии за риск по Марковицу. В завершении теоретической части научной работы, мы расказываем о разложение в ряд Грама-Шарлье, так как из него мы получаем функцию плотности которую мы используем в дайльнейщих шагах.

Во второй главе мы используем наши данные чтобы посчитать премии за риск по Марковицу, с помощью функции полезности. Посчитанные значения премии за риск в дальнейшем будут применены в третьей и в пятой части работы. В третьей главе, мы строим ряд Грама-Шарлье и Байесовский формализм. В этой главе мы представляем неизвестное наблюдаемое распределение в виде смеси двух локальных распределений, входящих в смесь с определенными весами. Каждое из локальных распределений имеет запись функции плотности по Граму-Шарлье. Каждый вес локального распределения - априорная статистическая гипотеза о преобладании этого локального в текущий момент. Именно эти априорные гипотезы и подвергаются калибровке в байесовской процедуре. Дальше, в четвертой главе для проверки гипотезы о рациональности мы строим торговые правила, анализируем результаты и делаем выводы. Также мы статистически оцениваем результаты торговых правил через тест Грэнджера на причинность. Наконец, мы сравниваем (через статистику Колмогорова-Смирнова) распределения премии за риск по рублевым и долларовым ценным бумагам для одной и той же компании, чтобы сделать выводы о страновой премии за риск.

Для корректной оценки задачи мы берём такие компании, чьи бумаги котируются одновременно в национальной валюте (в рублях РФ) и долларах США. Для обработки данных и построение торговых правил были использованы математический пакет Mathcad 15 и программа для работы с таблицами Microsoft Excel. В приложениях содержатся все файлы исследования. Ценовые ряды были взяты c веб-страниц.



1. Теоретические основы исследования

1.1 Рациональность на рынке

Так как понятие рациональности достаточно обширное, стоит немного объяснить как рациональность определяется в экономической теории. Сама идея, что субъект рационален - предпосылка для почти всех экономических моделей. Этот субъект имеет определенные характеристики поведения,

которые внешне определяется экономистами. Для разработки теории рационального принятия решений в условиях неопределенности необходимо сделать некоторые точные предположения о поведении индивида, известны как аксиомы кардинальной полезности. Аксиомы заключаются в следующем:1- сравнимости (полноты), 2- транзитивности (состоятельности), 3-независимости, 4-измеримости, 5- ранжирования. Данные аксиомы обеспечивают минимальные условия для рационального и последовательного поведения. Также, экономисты установили способ преобразовать аксиомы предпочтения в функции полезности. Традиционая концепция полезности связана с тем, что все желания человека вместе с товарами или предметами, которые способны удовлетворить эти желания сравнимы между собой.

Следовательно, они являются потенциально взаимозаменяемы и сводятся к одной общей шкале ценностей: их способности обеспечивать полезность Fernбndez-Huerga, Eduardo. "The Economic Behavior of Human Beings: The Institutional/Pos Keynesian Model." Journal of Economic Issues (2016): n. pag. Web..

Принимая во внимание пять аксиом поведения рационального инвестора и дополнительное предположение, что все инвесторы всегда предпочитают больше богатства чем меньше (положительная предельная полезность богатства), мы можем сказать, что инвесторы всегда стремятся

максимизировать свою полезность богатства. На вопрос, что субъект на рынке может вести себя не рационально и против своих интересов, классические экономисты отвечают, что они не отрицают того, что некоторые участники рынка являются иррациональными и невротическими. Но нет оснований полагать, что эти иррациональности вызывают систематические и предсказуемые отклонения от рационального поведения. SARGENT, Thomas, and Neil Wallace. "RATIONAL EXPECTATIONS AND THE THEORY OF ECONOMIC POLICY." Journal of Monetary Economics (1976): 169-83

Дальше, в понятии рациональности лежит идея что экономический субъект имеет достаточные познавательные способности, чтобы справиться со степенью сложности реального мира. Как пишет лауреат Нобелевской премии по экономике Томас Сарджент: «если ожидание рациональные и должным образом учитывают как экзогенные переменные эволюционировают, коэффициенты в некоторых представлениях модели будут меняться каждый раз, когда процессы, регулирующие эти экзогенные переменные, меняются» SARGENT, Thomas, and Neil Wallace. То есть рациональный субъект эффективно

обрабатывает и вычисляет новую информацию, которую он получает, а также, потом может обнаружить среди всех альтернатив вариант, который будет максимизировать доходность. Кроме того, принято считать, что все

действия регулируются рациональным расчетам. Тогда стоит понять какой тип знания окружающей среды доступен субъекту. Будущие состояния мира (в нашей модели: рыночного мира) неизвестны, но набор доступных вариантов известен или узнаваем, как и потенциальные результаты вместе с вероятностью возникновения каждого из них. Fernбndez-Huerga, Eduardo Стоит отметить, что в рамках финансовой теории, есть сторонники идеи, что с помощью субъективной вероятности можно присвоить числовые вероятности к любому событию Machina, Mark, and Kip Viscuci. Handbook of the Economics of Risk and Uncertainty. Vol. 1. North Holland: Oxford, 2014. и использовать их в качестве основы для поведения. Так как принято считать, что рациональный субъект обрабатывает информацию в соответствии с процедурами байесовской статистики, мы перейдем к обсуждению теоремы Байеса.

1.2 Байесовская теория принятия решений

В стандартной практике в области экономики при моделировании ситуаций неопределенности используется байесовский подход с предположением, что люди имеют вероятностные убеждения в отношении юбого источника неопределенности, что они обновляют эти представления в соответствие с правилом Байеса, и что они используют эти вероятностные убеждения в принятии решений. Основные принципы байесовской теории принятия решений являются: (1) новая информация влияет на предпочтения и поведение субъекта через воздействие на его убеждения. (2)

Апостериорные вероятности (представляя новые убеждения субъекта) получены путем обновления вероятностей представляющие априорные убеждения инвестора. Наиболее важным аспектом байесовской теории принятия решений является существование и уникальность субъективных вероятностей. Субъективную вероятность можно описать как «оценка самим человеком вероятности некоторого суждения р служит измерением его степени веры в это суждение» Макеева, Л.Б. "СУБЪЕКТИВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ, ТЕОРИЯ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ И РАЦИОНАЛЬНОСТЬ." (2015):.Теорема Байеса, в саммом простом виде записана как:

,

Где P(A) априорная вероятность А, и P(A|B) апостериорная вероятность А для даного В. Теорема Байеса и Байесовские выводы являются наиболее общими вариантами стандартной теории поведения и даже для тех, кто отвергает её как теорию реального поведения и предпочитает версию ограниченной рациональности, по-прежнему признают важность теоремы Байеса как базовый случай рациональности.

1.3 Критика классической теории рациональности

Основная критика того, что экономические агенты полностью рациональные и принимают решение с единственной пользой в максимизации доходов, это работа Герберта Саймона и его идея о ограниченной рациональности . Саймон утверждает, что экономическая теория в значительной степени основана на нереалистичной картине человеческого принятия решения и, что экономический агент часто не может являться рациональным Bayesian maximizer полезности Selten, Reinhard, and Bertrand Munier. Bounded Rationality Modeling. The Netherlands: Kluwer Academic, 1999. Web.. По идеям Саймона субъект не обладает когнитивными способностями для рассуждений и обработки всей ему доступной информации. Саймон описал процесс принятия решений как процесс поиска пороговой удовлетворенности, а не как максимизация функции полезности, и ввел термин satisficer. В стастье 1978 года Саймон дал дополнительную интерпретацию своей идеи написав, что поведение экономических агентов регулируется «процедурной рациональностью».

То есть, экономические агенты следуют некоторой разумной процедуре или последовательности шагов, чтобы прийти к удовлетворительному решению. Также Саймон утверждает, что субъекты предпочитают разумные процедуры (так называемая «эвристика»), а не сложные вычисления, выходящие за рамки их когнитивных способностей. Не смотря на современную популярность ограниченной рациональности сама идея Саймона часто считается не как альтернатива к теории рациональности, а как процесс объяснения тех случаев, когда инсевторы на рынке не ведут себя рационально. В этом смысле ограниченная рациональность является лишь продолжением теории рациональность. 

1.4 Премия за риск

Одна из более важных идей из финансовой теории это премия за риск. Понятие что рискованные инвестиции должны иметь более высокую ожидаемую доходность, чем более безопасные инвестиции, для того, чтобы быть хорошей инвестицией, является интуитивным. Таким образом, ожидаемая доходность любых инвестиций может быть записана как сумма безрисковой ставки и дополнительной доходности, которая компенсирует

риск. Разногласия с теоретической и практической точки зрения остаются в том, как наилучшим образом измерить этот риск и как правильно посчитать компенсацию за инвестирование в рискованный финансовый инструмент Damodaran, A. "Estimating Equity Risk Premiums." Stern School of Business (2003): n. pag. Web.

Чтобы посчитать премии за риск надо сначала задать вопрос: как субъекты ранжируют различные комбинации рискованных альтернатив.

Финансовая теория утверждает, что правильная функция для ранжирования рискованных альтернатив это фунция ожидаемой полезности (Копланд). В общем виде функцию ожидаемой полезности (где «W» богатство) можно написать следующим образом:

,

Где U(W) функция полезности и «р» вероятность. Экономический субъект будет рассчитывать ожидаемую полезность богатства для всех возможных вариантов, а затем выберет ту альтернативу, которая максимизирует его ожидаемую полезность богатства. Для того, чтобы правильно рассчитать премию за риск мы должны понять, как субъект предпочитает себя вести в теоретической спекулятивной игре. Будет ли он предпочитать актуарную стоимость игры (ожидаемый результат) с уверенностью или играть в саму игру (gamble). Экономический субъект который предпочитает азартную игру является любителем риска, тот, кто безразличен - нейтрален к риску, и тот, кто предпочитает актуарную стоимость с уверенностью является субъект с неприятием к риску (risk averse). Если полезность ожидаемого богатства больше ожидаемой полезности богатства, то субъект не склонен к риску. Так мы получаем уравнение:

Р=U(E(W))-E(U(W))

где П премия за риск по Марковицу ( максимальное количество богатства от которого субъект будет готов отказаться чтобы избежать участие в игре). Copeland, Thomas E., and J. Fred Weston. Financial Theory and Corporate Policy. Reading, MA: Addison-Wesley, 1988. Print.

Так как мы используем функции полезности с неприятием к риску, мы получаем положительные значение «П» . В нашем исследовании мы будем использовать именно уравнение премии за риск по Марковицу.

Понятие премии за риск может быть расширено от отдельных ценных бумаг к более широкой мере на страновом уровне. В самом простом понимании странновая премия за риск является дополнительным риском, который инвестор принимает, когда он инвестирует в зарубежные компании. Макроэкономические факторы как нестабильный курс обмена валюты, экономические кризисы и политическая нестабильность, следовательно, приводят к дополнительной премии при инвестировании за рубежом (особенно на развивающихся рынках).

1.5 Ряд Грама-Шарлье как функция плотности

Учитывая, что распределения доходностей на рынке не симметричны мы не в праве описывать рынок с Гауссовской функцией распределения.

Поэтому, мы берем ряд Грама-Шарлье (достаточно известный метод в финансовой теории и в других науках). Грам

Шарлье - параметрический метод оценки распределения наблюдаемого ряда, не имеющий каких-либо внешних предпосылок или ограничений к характеру этого распределения. Иными словами - весьма гибкий инструмент, удовлетворяющий требованию нашего исследования. В этом подходе асимметричность и эксцесс присутствуют в качестве параметров функций, что позволяет нам точнее оценить распределение рыночных доходностей. Однако, будучи полиномиальным приближением, ряд Грам-Шарлье имеет недостаток, что иногда определяется в отрицательной области. Но как только мы добавляем ограничения положительности, мы в праве обсуждать о функции плотности Грама-Шарлье. Итак, смотрим как мы получаем ряд Грам-Шарлье тип-А.

Через функцию:

где Ф(x) нормальная Гауссовская функция, а P(x) равен:

,

где He(x) это многочлены Эрмита. Дальше мы упрощаем вид G(x):

,

Если мы хотим выразить кумулянты «к» в терминах моментов, тогда:

Где «s» коэффициент асимметрии, а «к» эксцесс. Так мы получаем 

,

Что и есть ряд Грамм-Шарлье тип А. Дальше мы добавляем ограничения (взятые из работы Жондоу и Рокингера,1999):

чтобы обеспечить положительность вероятности (positivity constraints), и таким способом получаем плотность вероятности.



2. Поиск премии за риск

2.1 Описание Данных

В нашем исследовании мы отдельно оценивали премии за риск в локальной валюте и долларах. Чтобы получить качественные результаты мы

брали дневные данные от трех масштабных, наиболее активно торгуемых с достаточным free float и ликвидностью и хорошо известных Российских компаниях: Газпром, Лукойл и Сбербанк. Для каждой компаний, в национальной валюте (рубли РФ) мы брали акции которые котируются на Московской бирже (moex.com): GAZP, LKOH и SBER. Для бумаг которые котируются в долларах США мы брали депозитарные расписки (depositary receipt), OGZD (Газпром), LKOD (Лукойл) и SBER (Сбербанк). В краткости депозитарная расписка - это «документ, удостоверяющий, что ценные бумаги помещены на хранение в банке-кастодиане в стране эмитента акции на имя банка-депозитария, который находиться на территории другой страны». Финансовые Рынки. Депозитарные расписки. 3. Perf. Николай Берзон. Данные для бумаг Газпрома взяты с 8/10/2010 до 13/10/2015. Для Лукойла с 08/10/2010 до 28/10/2015. Для Сбербанка с 1/7/2011 до 28/10/2015. Мы работаем с этими данными во второй, третей, четвертой и пятой части нашего исследования "Yahoo Finance - Business Finance, Stock Market, Quotes, News." Yahoo Finance.

2.2 Вычисление премии за риск

Данная часть нашей работы состоит в нахождении значений премии за риск. Используя значения дневных цен на рынке, мы вычисляем логарифмические доходности.



Где «t» данный период, «S» цены и «r» доходности. Дальше мы берем экспоненты (exp(r)) от доходностей «r» и таким способом нормируем доходности и превращяем их значение в богатства «W», также известна как ликвидационная стоимость портфеля. В классической теории микроэкономики значение «W» играет роль как входные данные в функцию полезности. Данные «W» берутся в скользящем окне до предыдущей точки по времени (t-1).

Следующий шаг: подобрать функцию плотности для дальнейших расчетов ожидаемых значении (E(U(W)) и (E(W)). Так как мы не знаем какой вид имеет функция, мы прибегаем к вариационной задаче Evstigneev, Vladimir. "Support and Resistance Levels as Parameters of a Flexible Boundaries Problem in the Calculus of Variations." (2014): n. pag. Web., и в результате получаем запись функции плотности распределения P(x). Данная функция плотности параметрически включает в себя функцию полезности Эпштайна и удовлетворяет условию Стиглица (о рыночной информационной эффективности). Stiglitz, Joseph. "A SIMPLE PROOF THAT FUTURES MARKETS ARE ALMOST ALWAYS INFORMATIONALLY INEFFICIENT." NATIONAL BUREAU OF ECONOMIC RESEARCH. N.p., 1989. Web.

Функция U(x) Эпштайна выглядит:

,

Учитывая, что в финансовой теории часто берутся risk averse функции при моделировании рыночных прочёсов, стоит отметить, что Функция полезности Эпштайна тоже не склонна к риску (risk averse), так как вторая производная функции U(x) имеет отрицательное значение. Функция плотности p(x) имеет следующий вид:

Где ро безрисковая ставка, тета доля в безрисковом активе (0 < и <1), и альфа, бета. Эта и N неизвестные параметры функции. Дальше, чтобы правильно оценить параметры нашей функции плотности, мы добавляем ограничения. Первое интегральное ограничение обеспечивает площадь равную к единице под кривой.

Второе ограничение, это условие равновесия стоимости портфеля с учетом стохастического ядра ценообразования. Так как у нас уравновешенный портфель, интеграл берется на интервале [0,2].

,

Так же у нас присутствует граничное условие, что крайние значения вероятности P(х) неотличимые от нуля. То есть, края прилегают к горизонтальной оси

,

Наложив необходимые ограничения, мы применяем метод максимального правдоподобия и, тем самым, находим параметры функции. После того как мы оценили параметры функции плотности, мы переходим к расчетам премии за риск по Марковицу (MRP).



Как мы видим MRP это и есть уравнение Р=U(E(W))-E(U(W)), которое было представлено в первой части. При использование функции полезности Эпштайна исходные числа MRP имеют форму так называемых Utils, которых надо превратить в единицы сопоставимые к доходностям, в процессе чего возникает огромное количество ошибочных значении. Мы упрощаем даную задачу и вместо используем функцию полезности Фехнера. Данная функция так же называется логарифмическая функция полезности и очень часто используется в финансовой теории. Copeland, Thomas E., and J. Fred Weston. Financial Theory and Corporate Policy. Reading, MA: Addison-Wesley, 1988. Print. Функция Фехнера тоже имеет несклонность к риску и выглядит:

U(w)=ln(w)

Так как натуральный логарифм - обратная функция к экспоненте (е в степени

х), используем функцию Фехнера, мы превращаем полученые значения MRP обратно в термины приростов, т.е. в такие же единицы как наши доходности «r». В результате мы в дальнейшем сможем сравнивать полученные премии за риск с доходностями.

Процесс, который описан выше повторяется на разных скользящих окнах, начиная со скользящего окна 10 торговых дней до 25 торговых дней. Мы учитываем, что периоды с 10 до 25 дней достаточно короткие, (в эконометрической теории часто берется в 5-6 раз больше, чем неизвестных параметров) но учитывая, что мы исследуем рыночные процессы (которые

могут меняться ежедневно), мы предполагаем что выборка больше чем 25 дней - слишком длиная для наших задач. Более короткую выборку нам позволяет брать работа Френка Рамсея о субъективной вере (Ramsey).



3. Рациональные ожидание рыночного субъекта

3.1 Грам-Шарлье распределение рыночных доходностей

В построении распределении рыночных доходностей мы делаем

Предположение, что на рынке действуют два поведенческих режима. Чтобы моделировать это предположение мы используем функцию смеси вероятностных распределении из двух плотностей:

Где «w» (weights) веса (сумма которых равна к единице) соответствующей плотности p(x). Каждая плотность p(x) является распределением конкретново состоянии рынка, а вес «w» - вероятность наступления соответствующего состоянии рынка. В нашей модели p(x) имеет вид плотности Грама-Шарлье тип -А (из части I.5). Таким образом, мы получаем смесь из двух локальных Грамов-Шарье с весами. Напомним, что в плотности Грам-Шарлье присутствуют первые четыре момента :м (мю, среднее значение), у(сигма,стандартное отклонение), s(коэффициент асимметрии) и k (эксцесс).

Для измерения меры центральной тенденции, кроме среднего значение, мы еще используем значение моды (значение, которое появляется чаще всего в наборе данных). байесовский рациональность премия риск

В построении распределение рыночных доходностей, мы используем логарифмические доходности, как делали когда считали премии за риск. Также мы используем скользящее окно доходностей, с 10 торговых дней до 25 торговых дней, где данные берутся до предыдущей точки по времени (t-1).

Из результата видно, будучи смесью функции, кривая часто имеет двух модальный вид. 

Этот факт обозначает, что стоит в дальнейшем использовать измеренные моды (не среднее число) в анализе распределении, из-за того, что выбросы и асимметрия искажают среднее значение.

3.2 Применение Байеса на практике

В построении функции Байеса для моделирование рационального

выбора, мы используем данный вид функции Байеса:

Где:

Понятно, что P(x) - плотность в виде Грам-Шарлье, а W, веса для каждой плотности до применения формализма Байеса. Используя априорные представления о состоянии рынка, экономический агент получает апостериорные (новые или улучшенные) субъективные представление о рынке, в виде B1 и B2, что позволяет ему корректировать свою картину мира.

Чтобы эффективно использовать формализм Байеса, надо определиться в правильном выборе априорных (входных) данных. Так как процедура Байеса передаёт меру субъективной оценки вероятности, входные данные , по нашему убеждению, должны быть не чисто объективными, а с поправкой на субъективную составляющую. Если объективными данными являются рыночные доходности, то надо найти меру, которая аппроксимирует субъективные представление доходности. Данную поправку можно принять как премию за риск по Марковицу. Вычитая премии за риск от доходностей, субъект воспринимает рыночные доходности через его собственное представления о рынке (с помощью функции полезности), и положительно ценит рыночные доходности только если они превышают его премию за риск на тот период времени (иначе ему нет смысла вступать рынок, и он просто будет инвестировать в менее рискованные активы).

В следующей главе через построение торговых правил мы проверяем и тестируем эффект субъективных и объективных априорных значениях на выводы из формализма Байеса о рыночных процессах.



4. Рыночные торговые правила

4.1 Построение торговых правил

В построении прибыльных торговых правил при использовании формализма Байеса, мы не только надеемся подтвердить, что ожидания рыночного субъекта рациональные при правильных априорных входных данных, но и также мы проверяем корректность наших оценок риск премии и их способность служить как поправки к объективным рыночным доходностям.

В составление и в тестирование торговых правил, мы используем входные данные в Байес с поправкой (Bayes1 и Bayes2) и без поправки (BnRP1 и BnRP2) на премию за риск, чтобы сравнить результаты торговых стратегий. Стоит еще напомнить, что числа средних значений (Mean1,

Mean2), мод (Mode1, Mode2) и сигмы (у1, у2) посчитаны используя Грам-Шарлье на скользящем окне до предыдущей точки по времени (t-1). Входные данные (Bayes1, Bayes2, BnRP1 и BnRP2) для Байеса также берутся по предыдущей точке по времени. Это значит, что построенные торговые правила «не заглядывают в будущее» (явление, которое привело бы к неправильным расчетам). Во всех правилах ниже, красная кривая обозначает данное торговое правило, а синяя наивную стратегию «купи и держи». Примеры ниже построены по бумагам Лукойла в долларах США.

Новый вес Байеса (Bayes1 или Bayes2) который больше и есть то состояние мира, которое субъект считает произойдет с более высокой вероятностью на момент t. В наших торговых правилах субъект всегда смотрит на статистическую информацию (моду, сигму и.т. д) из той функции распределение в смеси, которая соответствует более высокому весу Байеса (апостериорному весу Bayes1 или Bayes2). В каждый момент t субъект принимает решение вступить в длинную позицию (купить) или в короткую позицию (продать) ценную бумагу.

Самая простая стратегия использует среднее значение рыночных доходностей (Average_rule). Если значение (вес) Байеса первой плотности (Bayes1) больше значения (веса) второго Байеса (Bayes2) и среднее значение первого распределение положительное (среднее наблюдаемых доходностей больше нуля), то мы вступаем в длинную позицию. Также, если значение Bayes2 больше значения Bayes1 и при этом среднее значение второго распределение положительное, то мы тоже вступаем в длинную позицию. Иначе если среднее значение доминирующего Байеса отрицательное, тогда мы вступаем в которую позицию.

Из за того что распределение рыночных доходностей асиммитричное, торговое правило с средней доходностью выдает низкий результат дохода:

В результате нам приходится усложнять торговые правила, чтобы достичь выше доход. Дальше, мы берем простое правило, учитывая не средние значение, а моды от распределении в смеси (Mode_Rule). В данном торговом правиле если значение Байеса первого распределения (Bayes1) больше значение второго Байеса (Bayes2), и мода на первое распределение (Mode1) в момент t больше чем мода на то же распределение в момент t-1, то мы вступаем в длиную позичию на рынке. Если значение байеса второго распределения (Bayes2) больше значение первого Байеса (Bayes1), и мода на второе распределение (Mode2) в момент t больше чем мода на то же распределение в момент t-1, то мы вступаем в длинную позицию на рынке.

Иначе, мы вступаем в короткую позицию.

Как видно простое правило с модой (Mode_Rule ) приносит рузультат примерно с такой же доходность как правило со средней (Average_rule).

Итак, мы усложняем правила с модой (Mode_Rule_Two) следующим способом: если значение байеса (Bayes1) больше значения второго байеса (Bayes2), тогда мода (Mode1) в период t должна быть больше той моды в период (t-1) которая соответствует к доминирующему Байесу в период в (t-1). Например: Если в период t доминирует Байес 1 (Bayes1), но в период t-1 доминировал байес 2 (Bayes2), то Mode1 в период t должна превышать

Mode2 в период t-1, чтобы заставить нас вступить в длинную позицию. Если Mode1 в период t не превысила ту моду в t-1, которая соответствует к доминирующему Байесу в t-1, то мы вступаем в короткую позицию на рынке.

В торговом правиле Mode_Rule_Two, мы действительно видим улучшение результата (на данном примере накопленная доходность увеличилась от 2.7 к 12.4). Также видно что торговое правило с субъективными входными данными (доходности с поправкой на премию за риск) в формализм Байеса дает луче результат (красная кривая) чем с объективными входными данными (без поправки на премию за риск) (зеленая кривая). Уже есть улучшенные в работоспособности формализма Байеса при субъективных входных данных.

Дальше мы строим усложнение торговое правила (Sigma_Rule) с присутствием параметра «у», что в понятие финансов имеет значение волатильность (степень изменении доходностей на рынке с течением времени). Учитывая, что в дальнейшим торговое правило Sigma_Rule выдает наилучший финансовый результат, его стоит в подробности описать. Как в предыдущим торговом правиле, в Sigma_Rule присутствует мода, где выбор моды в каждый период соответствует к байесу с более высоким весом на тот период времени. Определив какие байесы доминируют в момент времени t и t-1 и, обнаружив соотвественные моды, мы берем разницу моды в t-1 от моды в t. Разница мод дает нам значение равное сдвигу значений мод с t-1 к t. Мы предпочитаем работать с модой, так как для нашей задачи важна оценка именно смены субъективного представления о наблюдаемой картине рынка, и это оценка передается через разницу мод. Надо подчеркнуть, что нас интересует только сдвиг моду в положительное направление (если сдвиг отрицательный, то ожидаемая доходность снизилась и мы не будем покупать ценную бумагу)

Mode(t)-Mode(t-1)>0

При камках нашего торгового правила, мы только учитываем значительные сдвиги мод, при которых субъект меняет представление о наблюдаемом рыночном процессе. В результате нам нужен способ, чтобы игнорировать слишком незначительные сдвиги мод, при которых у инвестора не меняется представление о текущем рыночном процессе. Такие незначительные сдвиги мод мы называем «шумом». Чтобы отсеять «шум» мы применяем сигму (волатильность), как показатель, который описывает изменчивость рыночных доходностей.

Также, как и с модой для каждого период t мы берем ту сигму, которая соответствует Байесу с более высоким весом в период t. Мы предполагаем, что эта сигма (волатильность) будет выдавать более актуальную информацию о рынке, чем другая сигма в смеси.

В построении правила важно выбрать ту часть волотильности которую мы считаем соответствует к «шуму» иначе, если выбирать слишком большую долю сигмы, то торговое правило начинает плохо работать потому, что сдвиги моды редко превышают долю моды. При иследовании и построении торговых правил было обнаружено что эфективное представление доли волотильности рассчитывается как сигма, деленная на корень из количества торговых дней N в скользящем окне. Таким смыслом мы получаем.

В ситуации сверху, мы встаем длинную позицию.

Если:

,

То мы встаем в короткую позицию.

Графический видно, что торговое правило с присутствием моды и сигмой на два периода времени работает лучьше, чем правило только с модой на два периода. Разумеется, что добавление волатильности, как финансового показателя улучшает уровень рыночной доходности.



Также, мы видим что торговое правило с входными субъективные данными в формализм Байеса (красная кривая) гораздо луче работает, чем правило с входными объективные данными в формализм Байеса (зеленная кривая).

Код данных правил

4.2 Выводы из результат торговых правил

Торговые правила описаны выше, также считаться для остальных акции и расписок, Газпрома, Лукойла и Сбербанка. Считая премии за риск и плотности Грам-Шарлье с периода 10 торговых дней до 25 торговых дней мы после чего берем самые лучшие результаты для каждого торгового правила и компании. Сначала анализируем графики:

Как видно из графиков торговые правила работают хорошо. Во всех случаях присутствует тенденция роста, не смотря на некоторые спады. На графиках видно, что ценные бумаги в долларах имеют относительно лучше результаты, чем торговые правила в локальной валюте (в рублях).

Стоит еще прокомментировать, что торговое правило без поправки на премию за риск работает хуже, но в некоторых примерах, разница достаточная огромная (Lukoil Usd) а в других случаях, торговое правило без поправки на премию за риск (Sigma_Without_RP) приносит результат достаточно близкий к правилу Sigma_Rule.

Дальше мы статистический описываем рост торговых правил (Sigma_Rule), (Sigma_Without_RP) и сравниваем их друг против друга и с движением рынка за весь временной период торгового правила.

,

	Sigma_Rule	Sigma_Withou_RP	Market
Gazprom Usd	154.8%	150.7%	-95.93%
Gazprom Rub	88.08%	58.79%	-37.96%
Lukoil Usd	136.41%	116.72%	-21.58%
Lukoil Rub	42.61%	35.19%	14.09%
Sberbank Usd	212.79%	150.25%	-75.90%
Sberbank Rub	62.01%	34.70%	-14.22%

Смотря на статистики, мы видим, что во всех случаях Sigma_Rule действительно имеет больше доходность. Самая высокая доходность за данный временной период у Sberbank Usd (212.79%). Самая низкая доходность у Lukoil Rub (42.61%). Единственный рыночные временной ряд который в конце периода имел положительную доходность - это значение Market в Lukoil Rub (14.09%).

Скользящее окно (в Грам-Шарлье) с 16 до 20 торговых дней приводит к самым высоким результатам и говорит нам, что измерение параметров рыночных доходностей оптимально на периоде времени чуть меньше чем один торговый месяц. Оптимальное окно для расчета премии за риск (с 13 до 17 дней) немного короче. Во всех случаях, торговое правило Sigma_Rule привело к наилучшим результатам. Что еще более показательно правило Sigma_Rule, которое приводит к максимальным доходностям через формализм Байеса с субъективными входными данными.

Графические результаты правила Sigma_Rule представлены ниже:

4.3 Тест Грэнджера на причинность

Кроме того, что наши торговые правила показывают хороший результат, мы хотим убедиться, что временной ряд торгового правила (Sigma_Rule) и временной ряд рынка (Market) имеет статистическую связь между собой. Причинность по Грэнджеру, это статистический критерий проверки гипотезы, что наше торговое правило содержит дополнительную информацию о рынке. Чтобы посчитать статистику Грэнджера, мы сначала строим авторегрессию через метод наименьших квадратов для рыночных значении МА с двумя предыдущими значениями (так как данные нестационарные мы берем первые разницы их) этого же ряда и оцениваем параметры.

,

Дальше строим авторегрессию, но добавляем два предыдущих значения из временного ряда торгового правила (PO).

Потом получаем F статистику по формуле:

Где, n размер выборки, q ограничения , k количество регрессоров и SSR обозначает сумму квадратных ошибок для первой посчитанной (restricted) и для второй посчитанной (unrestricted ) авторегрессии. F статистика, которая выше определенного предела (зависимо от количество предыдущих значении в авторегрессии и от уровня значимости), отвергает нулевую гипотезу об отсутствии информационной связи между переменными. Результаты расчетов причинности по Грейнджеру ниже. Как видно по результатам в таблице: мы подтверждаем (уровня значимости 10 % и 5%), что есть информационная связь между торговым правилом и рынком.

Результаты Теста Грэнджера на причинность:

	F Статистика	5%	10%
Gazprom Usd	2.782	Отвергаем нулевую гипотезу	Отвергаем нулевую гипотезу
Gazprom Rub	4.367	Отвергаем	Отвергаем
Lukoil Usd	4.463	Отвергаем	Отвергаем
Lukoil Rub	2.068	Не Отвергаем нулевую гипотезу	Отвергаем
Sberbank Usd	3.575	Отвергаем	Отвергаем
Sberbank Rub	2.061	Не Отвергаем нулевую гипотезу	Отвергаем



5. Страновая премия за риск

После того как мы корректно нашли премии за риск в разных валютах и успешно включили данные значения (как поправки для объективных рыночных доходностей) в торговые правила, наша задача подтверждает, что различия между премиями за риск в локальной валюте (в рублях) и долларах составляет страновую премию. Мы делаем предположение, что при неизменном подлежащем активе (компания и ее деятельность) бумаги торгуются по разному в разных валютах и это обуславливает страновую премию за риск (за локальную валюту).

Критерий Колмогорова-Смирнова один из наиболее полезных и общих непараметрические методы для сравнения двух выборок. Через этот метод мы сможем определить, если ряд данных для премии за риск в долларах и ряд данных для премии за риск в рублях относятся к одному или к разным законам распределений. Сначала мы графический строим и смотрим на гистограммы.

В данных графиках, красные кривые относятся к премии за риск в долларах, а синие к премиям за риск в рублях. Как мы видим распределение существенно отличаются для все трех компаний. Далее мы хотим статистически доказать, что эти эмпирические распределения, на самом деле различны. Статистика Колмогорова-Смирнова, которая сравнивает два лежащих в основе распределения одномерные вероятности, записывается следующим образом:

Где F1(x) и F2(x) функции распределения для посчитанных премий за риск и D, максимальное вертикальное отклонение между двумя кривыми.

Если посчитанная статистика D превышает критическое значение, то мы отвергаем нулевой гипотезу, что выборки значений премии за риск взяты из того же распределения. Как видно ниже (из результата, посчитанным в Microsoft Excel), нулевая гипотеза отвергается.

	D Critical	D	Нулевой гипотез
Газпром	0.0433	0.0577	отвергаем
Лукойл	0.0433	0.0657	отвергаем
Сбербанк	0.0433	0.0748	отвергаем

По нашему мнению, справедливо продолжить, что найденная разница распределений премий за риск определяет страновую премию, хотя стоит упомянуть, что эта страновая премия включает и премию за локальную валюту, то есть валютную составляющую странового риска. Таким образом, через расчеты индивидуальных крупных компаний мы смогли продемонстрировать наличие существенной страновой премии за риск на локальном рынке.



Заключение

В данном исследовании мы применили формализм Байеса, с субъективными априорными данными (построены с помощью расчетов премии за риск по Марковицу), чтобы оценить ожидание рыночного субъекта на фондовых рынках. Первая часть задачи заключалась в построении премии за риск, где мы предполагали, что инвесторы на рынке не склоны к риску.

Затем мы оценили параметры рыночных доходностей для каждой компании используя смесь из двух плотностей Грам-Шарлье. Потом, мы посчитали байесовские субъективные вероятности для каждого периода времени. Как входные данные мы брали доходности (объективные значение) и доходности с поправкой на премию за риск (субъективные значение).

Дальше мы сравнивали премии за риск графически и через критерий Колмогорова-Смирнова, где оба метода доказали, что премии за риск действительно отличаются для одной компании, зависимо в какой валюте выпускается финансовый инструмент.

Торговые правила достигли самых высоких доходностей при использовании субъективных входных данных в формализм Байеса. Мы доказываем гипотезу, согласно которой, по своей природе ожидания рыночного субъекта рациональные (с достаточной статистической достоверностью), но только при правильных априорных данных. Как доказали, посчитанные премии за риск по Марковицу, использованные как поправки на объективные рыночные доходности, привели к улучшенному результату в торговых правилах. Подразумевается, что такой подход к корректировке априорных данных может повлиять на будущее предположение об эффективно работающем формализме Байеса.

В построении прибыльных правил в локальной и долларовой валюте мы также подтвердили корректность наших оценок касательно премий за риск. По нашему мнению, справедливо прийти к выводу, что найденная разница в распределениях премии за риск определяет страновую премию, хотя необходимо учитывать, что страновая премия включает премию за локальную валюту.

Для дальнейших исследований стоит посмотреть почему оптимальное (в получение высоких доходностей) скользящее окно для всех компаний при расчете параметров через плотность Грам-Шарлье примерно один торговый месяц, но при расчете премии за риск оптимальное скользящее окно находится на более коротком сроке торговых дней.



Список использованной литературы

1. Макеева, Л.Б. "СУБЪЕКТИВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ, ТЕОРИЯ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ И РАЦИОНАЛЬНОСТЬ." (2015): n. pag.

2. Albert, Max. "Bayesian Rationality and Decision Making: A Critical Review." Analyse & Kritik (2003): n. pag. Web.

3. Blinnikov, S., and R. Moessner. "Expansions for Nearly Gaussian Distributions." ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS (1997): n. pag. Web.

4. Copeland, Thomas E., and J. Fred Weston. Financial Theory and Corporate Policy. Reading, MA: Addison-Wesley, 1988. Print.

5. Damodaran, A. "Estimating Equity Risk Premiums." Stern School of Business (2003): n. pag. Web.

6. Evstigneev, Vladimir. "Support and Resistance Levels as Parameters of a Flexible Boundaries Problem in the Calculus of Variations." (2014): n. pag. Web.

7. Fernбndez-Huerga, Eduardo. "The Economic Behavior of Human Beings: The Institutional/Pos Keynesian Model." Journal of Economic Issues (2016): n. pag. Web.

8. Foley, Duncan. "Rationality and Ideology in Economics." New School University Department of Economics (2003): n. pag. Web.

9. Gilboa, Itzhak, and Andrew Postlewaite. "Probability and Uncertainty in Economic Modeling." Journal of Economic Perspectives 22 (2008): n. pag. Web.

10. Hampton, J., and P. Thomas. "Subjective Probability and Its Measurement." Journal of Royal Statistical Society (1973): n. pag. Web.

11. Jondeau, E., and M. Rockinger. "Gram Charlier Densities." Journal of Economic Dynamics and Control (1999): n. pag. Web.

12. Machina, Mark, and Kip Viscuci. Handbook of the Economics of Risk and Uncertainty. Vol. 1. North Holland: Oxford, 2014. Web.

13. NAUMOSKI, A. "Estimating the Country Risk Premium in Emerging Markets." University Skopje, Faculty of Economics (2011): n. pag. Web. N.p., n.d. Web.

14. Ramsey, F. Essays in Philosophy Mathematics and Economics. N.p.: U of Cambridge, 1931. Print.

15. Santos, Mario. "Expressing a Probability Density Function in Terms of Another PDF: A Generalized Gram-Charlier Expansion." Journal of Mathematical Chemistry, (2006): n. pag. Web.

16. SARGENT, Thomas, and Neil Wallace. "RATIONAL EXPECTATIONS AND THE THEORY OF ECONOMIC POLICY." Journal of Monetary Economics (1976): 169-83. Web.

17. Selten, Reinhard, and Bertrand Munier. Bounded Rationality Modeling. The Netherlands: Kluwer Academic, 1999. Web.

18. Shafer, G. "The Bayesian and Critique Function." Auditing Journal of Practice and Theory (1990): n. pag. Web.

19. Thirlby, G. "Subjective Theory of Value and Accounting "Cost"" Economica (1946): n. pag. Web.

20. "Yahoo Finance - Business Finance, Stock Market, Quotes, News." Yahoo Finance. N.p., n.d. Web. 16 May 2016.

21. Stiglitz, Joseph. "A SIMPLE PROOF THAT FUTURES MARKETS ARE ALMOST ALWAYS INFORMATIONALLY INEFFICIENT." NATIONAL BUREAU OF ECONOMIC RESEARCH. N.p., 1989. Web.

Размещено на Allbest.ru

...