Корреляционно-регрессионный анализ данных из экономики Кыргызстана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Бишкек 2016

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Кыргызско-Российский Славянский университет

Факультет международных отношений

Тема: «Корреляционно-регрессионный анализ данных из экономики Кыргызстана»

Выполнил:

Махмудов Руслан

Руководитель:

Байзаков А.Б.

1. Сущность корреляционно-регрессионного анализа

Корреляционно-регрессионный анализ используется для исследования форм связи, устанавливающих количественные соотношения между случайными величинами изучаемого процесса. В социально-экономическом прогнозировании этот метод применяют для построения условных прогнозов и прогнозов, основанных на оценке устойчивых причинно-следственных связей. При этом значение независимой переменной (х) нам известно по предположению. В процессе прогнозирования оно может быть использовано нами для оценки зависимой переменной (у). Фуикция регрессии у = (х1 х2 х3, х4, ... хn) показывает, каким будет в среднем значение переменной г/, если переменные х примут конкретное значение.

Переменная у характеризующая результат, формируется под воздействием других переменных и факторов. Поэтому она всегда сто- хастична (случайна) по природе. Переменные х (объясняющие переменные) характеризуют причину. Они поддаются регистрации, а часть из них -- планированию и регулированию. Значения ряда переменных х могут характеризовать внутренние элементы системы или задаваться «извне» прогнозируемой системы.

По своей природе объясняющие переменные могут быть случайными и неслучайными. Регрессионные остатки є -- это латентные (скрытые) случайные компоненты, влияющие на г/, а также случайные ошибки в измерении анализируемых результирующих переменных.

В зависимости от количества исследуемых переменных различают парную и множественную корреляцию. Парная корреляция -- корреляционные связи между двумя переменными. Примерами парной корреляции могут служить зависимости между уровнем образования и производительностью труда, между ценой товара и спросом на него, между качественными параметрами товара и ценой. Экономико-математические модели, построенные с учетом такого рода взаимосвязей, называют однофакторными моделями. Следует отметить, что в практике прогнозирования экономических явлений однофакторные модели занимают значительное место, что определяется простотой вычислительного процесса и ясностью экономической интерпретации результатов.

Множественная корреляция -- корреляционные взаимосвязи между несколькими переменными. В качестве ее примеров можно привести зависимость спроса на товар от цены, уровня доходов населения, расходов на рекламу; зависимость объема выпускаемой продукции от размера инвестиций, технического уровня оборудования, численности занятых в процессе производства.

Примером использования корреляционной зависимости для прогнозирования и принятия управленческих решений могут служить кривые спроса и предложения, на основе которых строятся модели, описывающие последствия изменения цен.

В конце XIX в. немецкий статистик Э. Энгель сформулировал законы и построил кривые, согласно которым с ростом дохода доля расходов на питание сокращается, на одежду и жилище остается неизменной, а на образование и лечение -- увеличивается. Эти кривые послужили исходным пунктом построения различных моделей, описывающих поведение покупателей при изменении их доходов и соответственно используемых при прогнозировании спроса на товары и услуги.

Немецкий исследователь Г. Госсен сформулировал утверждение о зависимости потребительской оценки полезности от количества благ и дал им математическую интерпретацию.

Примерами множественной корреляции могут служить различные модели экономического роста (модель Е. Домара, модель Р.Ф. Харрода, модель Р. Солоу), описывающие зависимость реального дохода в экономике от наиболее значимых факторов.

В конце 1960-х гг. эмпирическим путем была установлена закономерность снижения переменных издержек на производство единицы продукции на 10--30% при каждом удвоении объема производства. Эта зависимость получила название кривой опыта, она лежит в основе многих концепций деловой стратегии.

При анализе временных рядов часто встречается ложная корреляция, когда параллельно повышаются или снижаются показатели, на самом деле совершенно не зависящие друг от друга. Ложная корреляция -- это отсутствие причинной связи между явлениями, связанными корреляционной связью.

Регрессионный анализ -- часть теории корреляции. В процессе регрессионного анализа решаются задачи выбора независимых переменных, существенно влияющих на зависимую величину, определение формы уравнения регрессии, оценивание параметров.

Я рассмотрю модель линейной регрессии как наиболее доступную для понимания и довольно часто используемую на практике. Множественные модели также находят практическое применение, но обычно для их построения используются пакеты прикладных программ. Проблема, с которой сталкивается прогнозист при использовании пакетов прикладных программ, заключается в оценке адекватности отображения действительности и будущих взаимосвязей в регрессионных моделях и корректное их использование для прогнозирования будущего.

2. Методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений с помощью корреляционно-регрессивного анализа

Существующие между явлениями формы и виды связей весьма разнообразны по своей классификации. Предметом статистики являются только такие из них, которые имеют количественный характер и изучаются с помощью количественных методов. Рассмотрим метод корреляционно-регрессионного анализа, который является основным в изучении взаимосвязей явлений.

Данный метод содержит две свои составляющие части -- корреляционный анализ и регрессионный анализ. Корреляционный анализ -- это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами. Регрессионный анализ -- это количественный метод определения вида математической функции в причинно-следственной зависимости между переменными величинами.

Для оценки силы связи в теории корреляции применяется шкала английского статистика Чеддока: слабая -- от 0,1 до 0,3; умеренная -- от 0,3 до 0,5; заметная -- от 0,5 до 0,7; высокая -- от 0,7 до 0,9; весьма высокая (сильная) -- от 0,9 до 1,0. Она используется далее в примерах по теме.

Данная корреляция характеризует линейную взаимосвязь в вариациях переменных. Она может быть парной (две коррелирующие переменные) или множественной (более двух переменных), прямой или обратной -- положительной или отрицательной, когда переменные варьируют соответственно в одинаковых или разных направлениях.

Если переменные -- количественные и равноценные в своих независимых наблюдениях при их общем количестве , то важнейшими эмпирическими мерами тесноты их линейной взаимосвязи являются коэффициент прямой корреляции знаков австрийского психолога Г.Т.Фехнера (1801-1887) и коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) корреляции английского статистика-биометрика К.Пирсона (1857-1936).

Коэффициент парной корреляции знаков Фехнера определяет согласованность направлений в индивидуальных отклонениях переменных и от своих средних и . Он равен отношению разности сумм совпадающих () и несовпадающих () пар знаков в отклонениях и к сумме этих сумм:

Величина Кф изменяется от -1 до +1. Суммирование в (1) производится по наблюдениям, которые не указаны в суммах ради упрощения. Если какое-то одно отклонение или , то оно не входит в расчет. Если же сразу оба отклонения нулевые: , то такой случай считается совпадающим по знакам и входит в состав . В таблице 1 показана подготовка данных для расчета (1).

Таблица 1 Данные для расчета коэффициента Фехнера.

По (1) имеем Кф = (3 -- 2)/(3 + 2) = 0,20. Направление взаимосвязи в вариациях и объема товарооборота -- положительное (прямолинейное): знаки в отклонениях и и в своем большинстве (в 3 случаях из 5) совпадают между собой. Теснота взаимосвязи переменных по шкале Чеддока -- слабая.

Коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона, в отличие от коэффициента Фехнера, учитывают не только знаки, но и величины отклонений переменных. Для их расчета используют разные методы. Так, согласно методу прямого счета по несгруппированным данным, коэффициент парной корреляции Пирсона имеет вид:

Этот коэффициент также изменяется от -1 до +1. При наличии нескольких переменных рассчитывается коэффициент множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона. Для трех переменных x, y, z он имеет вид

Этот коэффициент изменяется от 0 до 1. Если элиминировать (совсем исключить или зафиксировать на постоянном уровне) влияние на и , то их "общая" связь превратится в "чистую", образуя чистый (частный) коэффициент линейной корреляции Пирсона:

Этот коэффициент изменяется от -1 до +1. Квадраты коэффициентов корреляции (2)-(4) называются коэффициентами (индексами) детерминации -- соответственно парной, чистой (частной), множественной (совокупной):

Каждый из коэффициентов детерминации изменяется от 0 до 1 и оценивает степень вариационной определенности в линейной взаимосвязи переменных, показывая долю вариации одной переменной (y), обусловленную вариацией другой (других) -- x и y. Многомерный случай наличия более трех переменных здесь не рассматривается.

Согласно разработкам английского статистика Р.Э. Фишера (1890-1962), статистическая значимость парного и чистого (частного) коэффициентов корреляции Пирсона проверяется в случае нормальности их распределения, на основании -распределения английского статистика В.С. Госсета (псевдоним "Стьюдент"; 1876-1937) с заданным уровнем вероятностной значимости и имеющейся степени свободы , где -- число связей (факторных переменных). Для парного коэффициента имеем его среднеквадратическую ошибку и фактическое значение -критерия Стьюдента:

Для чистого коэффициента корреляции при расчете его вместо (n-2) надо брать , т.к. в этом случае имеется m=2 (две факторные переменные x и z). При большом числе n>100 вместо (n-2) или (n-3) в (6) можно брать n, пренебрегая точностью расчета.

Если tr > tтабл. , то коэффициент парной корреляции -- общий или чистый является статистически значимым, а при tr ? tтабл. -- незначимым.

Значимость коэффициента множественной корреляции R проверяется по F -- критерию Фишера путем расчета его фактического значения

При FR > Fтабл. коэффициент R считается значимым с заданным уровнем значимости a и имеющихся степенях свободы и , а при Fr? Fтабл -- незначимым.

В совокупностях большого объема n > 100 для оценки значимости всех коэффициентов Пирсона вместо критериев t и F применяется непосредственно нормальный закон распределения (табулированная функция Лапласа-Шеппарда).

Наконец, если коэффициенты Пирсона не подчиняются нормальному закону, то в качестве критерия их значимости используется Z -- критерий Фишера, который здесь не рассматривается.

Анализ данных Кыргызстана

1. Изучение зависимости ВВП на душу населения и импорта товаров и услуг. Данные в таблице 2.

Таблица 2

Имея такие данные можно посчитать коэффициент корреляции r. r = 0,901652055, что говорит о тесной связи. Иначе говоря, при повышении ВВП на душу населения растет и импорт товаров и услуг. Что в принципе логично, ведь имея больше денег, люди будут стремиться покупать импортные товары.

Чтобы рассмотреть тенденцию изменения данных величин, лучше начертить график. корреляционный регрессия валовый импорт

График 1

На графике хорошо видно, что точки находятся близко к линии, построенной по уравнению регрессии: y = 4815,5x - 11635. При увеличении ВВП растет и объем импорта.

Пример 2. Изучение зависимости ВВП и выпуска продукции. Данные в таблице 3.

Данные с 2010 по 2015 год. Выпуск продукции основа ВВП, поэтому зависимость должна быть очень тесной, то есть коэффициент корреляции должен быть близок к 1.

Таблица 3

Уравнение регрессии y = 0,5309x - 29676. Положительный коэффициент говорит о прямой связи. Мои ожидания оправдались.

Пример 3. Я решил попробовать проверить более отдаленные друг от друга понятия. Например, ВВП на душу населения и уровень преступности. Причем для расчета я решил использовать коэффициент, полученный в результате отношения количества преступлений в год к общему числу населения, чтобы получить объективные данные. Они занесены в таблицу 4.

Таблица 4

Для расчетов мне нужны только второй и третий столбцы. Сначала, я нашел коэффициент корреляции: r=-0,722791556. Так как он отрицателен, значит зависимость обратная. То есть, с ростом ВВП падает уровень преступности. Это хорошо видно на графике 3.

График 3

Уравнение регрессии равно y = -0,0249x + 6,6658

Можно сделать вывод, что тенденция к уменьшению уровня преступности наблюдается при улучшении уровня жизни, или увеличения ВВП на душу населения.

В программе EXCELL можно сделать регрессионный анализ по данной таблице.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат - коэффициент детерминации. В нашем примере - 0,522, или 52,2%. Это означает, что расчетные параметры модели на 52,2% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо - выше 0,8. Плохо - меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере - «неплохо».

Дисперсионный анализ:

Коэффициент 6,66582607 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,024933159 показывает весомость переменной Х на Y. То есть уровень преступности в пределах данной модели влияет на количество ВВП на душу населения с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше уровень преступности, тем меньше уровень жизни. Что справедливо.

Размещено на Allbest.ru