Одношаговая задача оптимального инвестирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• Глава 1. Одношаговая задача оптимального инвестирования
• 1.1 Постановка задачи
• 1.2 Описание и решение одношаговой задачи
• 1.3 Пример расчета оптимального инвестиционного портфеля
• Глава 2. Многошаговая задача оптимального инвестирования
• 2.1 Постановка задачи
• 2.2 Описание и решение многошаговой задачи
• Заключение
• Приложение 1
• Приложение 2
• Список использованных источников


Введение

Проблема оптимального инвестирования всегда была и будет актуальна, поскольку задачи распределения инвестиций во времени с целью максимизировать накопленный эффект - задачи, встречающиеся в подавляющем большинстве сфер бизнеса, экономики и математики. Потребность сохранения и преумножения средств и ресурсов возникает фактически повсеместно - будь то домашнее хозяйство или банк. Вполне очевидно, что наличие методов эффективного инвестирования дает весомое преимущество предприятию в случае корректного применения последних и приводит к экономическому росту. В виду того, что мы живем в информационный век, у одного предприятия необходимость решать задачу оптимального инвестирования снова и снова может возникать ежечасно, в зависимости от текущей ситуации на рынке и прочих условий. А, скажем, при наличии нескольких направлений развития бизнеса, возникает постоянная необходимость оптимального распределения средств и ресурсов между проектами для получения наибольшей выгоды. Поэтому очень удобно иметь под рукой математическую модель для решения обозначенных выше и многих других задач.

Однако можно сделать вывод, что с распространением методов оптимального инвестирования в различных сферах деятельности, их эффективность начинает снижаться в связи с усложнением оценки случайных факторов. В любой модели оптимального управления инвестиционными портфелями существуют некоторые начальные предположения и ограничения, за рамками которых модель не будет эффективной. Существует великое многообразие различных подходов к решению задачи оптимального инвестирования, одни авторы уделяют большее внимание анализу потенциальных доходностей, преимущественно закрывая глаза на случайные составляющие и их влиянию на оценки, другие - наоборот, изучают, как динамика случайных событий будет влиять на изменение ситуации на рынке. Поэтому на данный момент не существует модели оптимального управления инвестиционным портфелем, которая бы при минимальном количестве ограничений и предположений давала бы точный прогноз, учитывая случайные обстоятельства, и именно по этой причине тема является такой интересной и актуальной.

В данной работе целью исследования является изучение одношаговой задачи оптимального инвестирования с «короткими продажами» при ряде начальных ограничений на процентный уровень и с использованием информации о математических ожиданиях доходностей акций и матрицы ковариаций этих доходностей, а также обоснование оптимальности выбора. Помимо этого, в работе также изучена многошаговая задача оптимального управления инвестиционным портфелем с дискретным временем при тех же начальных предположениях и ограничениях.

Для достижения описанной цели, в данной работе были выполнены следующие задачи:

1. Общая и формальная постановки одношаговой задачи оптимального инвестирования в случае, когда разрешены «короткие продажи». Определение значений процентного уровня, при которых заведомо можно воспользоваться методами поиска оптимального инвестиционного портфеля с использованием множителей Лагранжа. Поиск зависимости этих значений от прогнозируемых случайных величин, а именно - от математических ожиданий доходностей ценных бумаг. Поиск оптимального решения одношаговой задачи как задачи выпуклого программирования.

2. Решение одношаговой задачи оптимизации портфеля на примере портфеля, состоящего из двух акций при условии, что заданы математические ожидания доходностей и матрица их ковариаций, которая к тому же положительно определена.

3. Формальная постановка и решение многошаговой задачи оптимизации инвестиционного портфеля с дискретным временем как задачи динамического программирования с помощью функций Беллмана. Изучение многошаговой задачи как задачи оптимального управления Марковской цепью.

При выполнении данной бакалаврской работы были использованы методы для решения поставленных задач из различных областей математики, таких как методы оптимизации, теория оптимального управления, теория вероятностей и линейная алгебра.



Глава 1. Одношаговая задача оптимального инвестирования.

1.1 Постановка задачи

Предметом изучения в данной работе является инвестиционный портфель акций на рынке.

Суть его заключается в следующем: на рынке можно приобрести ценные бумаги различных видов на определенную сумму - капитал инвестора. Набор долей этого капитала, которые инвестор желает потратить на каждый отдельный вид этих ценных бумаг, и называется инвестиционным портфелем. Помимо этого, условия постановки задачи в данной работе позволяют инвестору распоряжаться не только собственным капиталом, но еще и дают возможность взять некоторый капитал «взаймы», при условии выплаты определенной суммы кредиторам по истечении определенного промежутка времени. Перейдем к более формальной постановке задачи.

Итак, на рынке имеется видов ценных бумаг (акций). Игрок (инвестор) на рынке ценных бумаг желает приобрести бумаги на некоторую сумму. Его начальный капитал обозначим через и будем рассматривать задачу только при положительных значениях . Обозначим через долю начального капитала игрока, которая идет на приобретение бумаг i-го типа:

Вектор - портфель ценных бумаг. Предполагаем, что доход, который бумаги приносят за определенный промежуток времени - случайная величина, доходность -ой бумаги за этот промежуток времени обозначим через .

В данной работе допустимы так называемые «короткие продажи» - наличие у инвестора возможности взять деньги у кредитора для закупки большего количества ценных бумаг, при условии, что деньги будут возвращены. А именно, если , это означает, что инвестор занимает сумму у кредитора, которую может тратить на акции другого вида (кроме r), но после получения доходов (убытков) от вложений, обязан выплатить кредитору сумму , иначе говоря - сумму, которую кредитор получил бы, вложи он одолженные деньги в акции -го типа.

Тогда доходность всего портфеля за один промежуток времени - случайная величина :

Предполагаем, что известны математические ожидания доходностей и матрица ковариаций

Матрица ковариаций всегда есть симметрическая и неотрицательно определенная матрица, но далее для удобства будем считать, что - положительно определенная. Также вычислим математическое ожидание и дисперсию доходности портфеля a:

Считаем, что

(пусть, например, (

Таким образом, задача игрока состоит в том, чтобы максимизировать средний доход, при этом выполнив некоторые условия:

Здесь мы рассматриваем так называемую одношаговую задачу оптимального инвестирования, когда рассматриваются только два момента времени - начальный и конечный, а также сумма, которой располагает инвестор в эти моменты времени. О том, как результаты, полученные для одношаговой задачи, помогут в решении многошаговой задачи, будет сказано ниже.

Стоит сказать несколько слов об условиях, указанных в системе (1.1). Начнем с условия Вполне очевидно, что для любого возможного инвестиционного портфеля , ведь по условию подразумевается, что инвестор желает потратить на ценные бумаги весь имеющийся у него капитал. Теперь разберемся, какой же смысл имеет неравенство . Поскольку доходность акций - величина случайная, необходимо условие для оценки «успешности» вложений. Рассматриваемое событие означает, что сумма, возвращенная инвестору после вложения капитала , превосходит некоторую величину . На практике, конечно, как правило, , поскольку инвестор хочет получить выгоду от вложений. Ну а величина она же - уровень доверия, характеризует, с какой вероятностью произойдет это рассматриваемое событие. В свою очередь, значение уровня доверия на практике должно быть близким к 1, чтобы риск инвестирования не был высоким. Таким образом, уровень доверия характеризует надежность инвестиционного портфеля.



1.2 Описание и решение одношаговой задачи

Итак, перейдем к решению. После постановки одношаговой задачи мы имеем систему:

Рассмотрим второе неравенство из этой системы:

где .

Тогда систему можно заменить эквивалентной:

где - квантиль стандартного нормального распределения порядка (см. Приложение 2). Но , поэтому система эквивалентна системе :

Покажем, что задача вогнутого программирования (см. Приложение 1). Для этого нужно показать, что и вогнутые на функции, а функция, соответствующая условию - линейная на . Вполне очевидно, что функции и линейные (то есть является и вогнутой). Поэтому остается только доказать, что функция является вогнутой. Поскольку это - сумма линейной функции и функции , достаточно показать, что последняя - вогнутая на , а для этого покажем, что - выпуклая функция.

Утверждение 1.1.

Функция является выпуклой на функцией по .

Доказательство:

Поскольку положительно определенная симметрическая матрица, то ее можно представить в виде где тоже положительно определенная и симметрическая. Тогда

Заметим, что это норма или евклидова норма вектора (). Так как наша функция является нормой, то

выполняется неравенство треугольника. Не будем забывать, что -симметрическая матрица, значит

То есть откуда уже очевидно следует выполнение неравенства Йенсена:

Это означает, что функция действительно является выпуклой. Утверждение 1 доказано.

Значит, функции и вогнутые функции. Значит, задача вогнутого программирования. Ее можно переписать и в другом виде:

где - допустимое множество в поставленной задаче:

Введем

матрицы ковариаций и сформулируем следующие утверждения:

Утверждение 1.2.

Если то допустимое множество в поставленной задаче не пусто.

Утверждение 1.3.

Если то в поставленной задаче выполнено условие Слейтера (см. Приложение 1).

Доказательство (утверждений 1.2 и 1.3):

Обозначим ограничение из как (1.4):

Заметим, что правая часть в последнем неравенстве преобразуется к виду для портфелей вида где на -ом месте стоит единица (особый вид портфеля, когда инвестор тратит весь начальный капитал на приобретение акций одного вида), а диагональный элемент матрицы . Таким образом, если то существует такое , что (очевидно, что портфель вида удовлетворяет неравенству (1.4) и значит, принадлежит и допустимому множеству).

Значит, в множестве содержится хотя бы один элемент, а значит Утверждение 1.2 доказано. Теперь, положим Мы уже знаем, что существует такое , что Тогда, очевидно, можно подобрать достаточно малое такое, что и для портфеля

,

где , неравенство

будет строгим. Но тогда выполнено условие Слейтера, значит, утверждение 1.3 доказано.

Утверждение 1.4.

Если то - решение поставленной задачи тогда и только тогда, когда существует такой набор множителей Лагранжа что выполняются следующие условия:

1. Условие максимума

2. Условие дополняющей нежесткости

3. Условие неотрицательности

Где

- функция Лагранжа для поставленной задачи.

Доказательство:

Необходимость следует напрямую из теоремы Куна-Таккера о необходимых условиях (см. Приложение 1) и из утверждения 1.3, так как при указанном ограничении на будет гарантировано выполнение условия Слейтера. Достаточность, в свою очередь, следует из теоремы Куна-Таккера о достаточных условиях (см. Приложение 1), так как, опять же, условие выполнено в силу ограничения

Утверждение 1.4 позволяет составить систему уравнений, решив которую, мы можем получить оптимальный инвестиционный портфель при заданных условиях на процентный уровень Итак, воспользуемся методом множителей Лагранжа для решения экстремальной задачи Для этого приравняем к нулю частные производные функции Лагранжа по :

Первые уравнений - условия стационарности функции Лагранжа. Еще одно уравнение - условие дополняющей нежесткости, которое выполнено в силу утверждения 1.4. И последнее уравнение - условие принадлежности портфеля множеству

Итак, получена система из уравнений с неизвестными: , и . Если полученная система уравнений имеет решение относительно перечисленных выше параметров, оно и является решением исходной задачи, если .

Таким образом, остается только проверить, выполнено ли для неравенство



1.3 Пример расчета оптимального инвестиционного портфеля

Рассмотрим алгоритм поиска оптимального инвестиционного портфеля на простом примере. Пусть на рынке имеется всего 2 вида акций. По условию постановки задачи мы располагаем следующими данными:

1. Известны математические ожидания доходностей первой и второй акций

2. Известна симметрическая, положительно определенная матрица ковариаций доходностей

При этих начальных условиях, можно составить задачу максимизации ожидаемой доходности портфеля ). Сразу приведем ее к виду системы (1.3): оптимальный инвестирование портфель акция

Как было доказано в главе 1 , получена задача вогнутого программирования. Будем действовать последовательно. Для начала, необходимо определить условие на Для этого построим

Без ограничения общности, положим, . Тогда для можно применить условия оптимальности для задач с ограничениями-равенствами и неравенствами. Выполнено условие регулярности Слейтера, значит Теперь остается выписать условия стационарности для функции Лагранжа

Получим систему

Или

Как и описывалось в решении одношаговой задачи, решение этой системы даст нам оптимальный инвестиционный портфель, если будут выполнены поставленные ранее условия.



Глава 2. Многошаговая задача оптимального инвестирования

2.1 Постановка задачи

Многошаговая задача оптимального инвестирования имеет некоторые особенности, по сравнению с одношаговой. На рынке по-прежнему имеются ценных бумаг, которые инвестор может приобрести, если имеет некоторый капитал . Через определенный промежуток времени, акции меняются в цене, в связи с чем, инвестор может получить доход или понести убытки, продав эти акции. При этом условия задачи ставятся таким образом, что после каждого изменения цен на акции, инвестор продает все имеющиеся у него ценные бумаги по обновленным ценам. Таким образом, в поставленной задаче, капитал инвестора имеет смысл рассматривать как дискретную величину где , а промежуток времени, через который ценные бумаги меняются в цене - 1. По аналогии с одношаговой задачей вводятся независимые одинаково распределенные случайные вектора для а - доходность -ой бумаги за промежуток времени от до . Как и в одношаговой задаче, предполагаем, что известны математические ожидания доходностей на каждом шаге и матрица ковариаций Опять же для удобства будем считать, что - положительно определенная.

Так же по аналогии с одношаговой задачей будем иметь набор векторов

Выплаты кредиторам (если таковые имеются) производятся после каждого единичного промежутка времени, то есть непосредственно после изменения цен на акции. Поэтому в целом доходность портфеля a(t) на каждом шаге выражается так же, как и в одношаговой задаче, за небольшим отличием:

где

В одношаговой задаче было оговорено, что рассматривается она только при условии, что поэтому, если вдруг инвестор на какой-то момент времени t обанкротится, то с этого момента .

Как и ранее, на каждом шаге, помимо максимизации потенциального дохода, будем требовать необходимость выполнения условия «успешного» вложения. То есть для любого момента времени необходимо выполнение следующего неравенства:

смысл которого был описан ранее в .

Сама же задача заключается в максимизации ожидаемого дохода на момент времени

Итак, многошаговая задача оптимизации инвестиционного портфеля в случае, когда разрешены короткие продажи:

2.2 Описание и решение многошаговой задачи

Итак, перейдем к решению. После постановки многошаговой задачи мы имеем систему:

Многошаговая задача есть задача оптимального управления Марковской цепью , где поглощающее состояние. Действительно, в каждый момент времени t, выбор оптимального инвестиционного портфеля (оптимального управления) не зависит от прошлых состояний, а зависит только от текущего состояния и цели.

При условии же , неравенство из системы (2.1), по аналогии с одношаговой задачей, может быть переписано в виде:

Стоит отметить, что в этом случае в условии отсутствует зависимость от текущего капитала Соответственно, множество допустимых решений на каждом шаге, как и в одношаговой задаче, есть

Поставленную задачу будем решать как задачу динамического программирования. Для этого построим функции Беллмана, которые будут соответствовать обратному ходу вычислений, при движении от момента времени T до нулевого. Пусть на момент времени T имеем

где так как математическое ожидание усеченного нормального распределения в данном случае есть

Пусть решение задачи Тогда

Под подразумевается произведение . Отметим, что отсутствует зависимость как от текущего капитала, так и от номера шага, а оптимальная стратегия выбора инвестиционного портфеля -

Остается убедиться, что на каждом шаге, и что процесс не окажется в поглощающем состоянии.

Утверждение 2.1.

Пусть где диагональный элемент матрицы . Тогда где

Доказательство.

Пусть для (очевидно, такое найдется). Тогда (согласно утверждению 1.2). И, согласно доказательству утверждения 1.3 (так как , можно подобрать достаточно малое такое, что и портфель , где , принадлежит допустимому множеству в поставленной задаче.

Тогда . Первое неравенство выполнено, поскольку случайная величина принимает и отрицательные значения, а второе - поскольку и . Значит утверждение доказано.

Исходная задача (2.1) может быть переписана в виде

для каждого момента времени.

Утверждение 2.2.

Пусть а решение задачи Тогда найдется такой набор множителей Лагранжа что выполняются следующие условия:

1. Необходимое условие оптимальности

2. Условие дополняющей нежесткости

3. Условие неотрицательности

Где

- функция Лагранжа для поставленной задачи.

Доказательство:

Поскольку выполнено условие регулярности Слейтера (см. утверждение 1.3), поэтому Поскольку согласно утверждению 2.2, то функция - дифференцируема в точке Более того, как было доказано в главе 1 (§ 1.2), функции и вогнутые. Это означает, что мы находимся в условиях теоремы о необходимых условиях Куна-Таккера (С. 151-162 [3]). Значит, действительно, все перечисленные условия выполнены. Утверждение 2.2 доказано.

Таким образом, при выполнении условия , можно получить систему уравнений, которым обязано удовлетворять решение исходной задачи на каждом шаге:



Заключение

В данной работе были поставлены и решены одношаговая и многошаговая задачи оптимального управления инвестиционным портфелем при ряде предположений о значениях случайных переменных, на которые инвестор не может оказать влияние своими действиями. Одношаговая задача была рассмотрена как задача выпуклого программирования, для которой заведомо можно найти решение при выполнении определенных условий на установленные в задаче ограничения. В работе приведен пример решения одношаговой задачи с заданием тех же начальных данных и набором тех же предположений, что присутствуют и в общем решении задачи. Помимо одношаговой задачи, была исследована также многошаговая задача с дискретным временем, как обобщение одношаговой. Многошаговая задача была рассмотрена как задача оптимального управления марковской цепью с поглощающим состоянием. Для многошаговой задачи была аналитически выведена система уравнений, которым должно удовлетворять оптимальное решение. Полученные результаты могут оказаться полезными для решения многих оптимизационных задач. Для расширения области применения описанных в работе методов стоит попытаться уменьшить количество вводимых ограничений.



Список использованных источников

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

2. Манита Л.А. Условия оптимальности в конечномерных нелинейных задачах оптимизации. М, 2010.

3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1982.

4. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

5. Greene W.H. Econometric Analysis. Prentice Hall, 2012.

6. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. Пер. с англ. - М.: Наука, 1969.

7. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

8. Галеев Э. М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи. М.: Либроком, 2010.

9. URL: http://studopedia.ru/3_22140_usechennoe-normalnoe-raspredelenie.html (дата обращения 10.05.2016).

10. URL: http://mash-xxl.info/info/305710/ (дата обращения 10.05.2016).



Приложение 1

Теоретические материалы.

Задача

называется задачей выпуклого программирования, если выпуклое множество, при выпуклые на функции, а при линейные на функции.

Условие Слейтера.

Пусть в задаче выпуклого программирования выполнены дополнительные условия:

1. ограничения равенства отсутствуют

2. .

Тогда если - решение задачи выпуклого программирования, то существует такой набор множителей Лагранжа, где , который удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в теореме Куна-Таккера.

Теорема Куна-Таккера.

I. (Необходимые условия оптимальности)

Пусть решение задачи выпуклого программирования. Тогда существует набор множителей Лагранжа где хотя бы один из множителей не равен нулю, что выполняются следующие условия:

1. условие минимума

2. условие дополняющей нежесткости

3. условие неотрицательности

II. (Достаточные условия оптимальности)

Пусть в точке удовлетворяющей всем ограничениям исходной задачи, выполнены условия 1, 2 и 3, и при этом Тогда решение исходной задачи.

Источник [2].



Приложение 2

Таблица значений квантилей стандартного нормального распределения.

Таблица 1

-0,50	0,000000	-0,70	-0,524401	-0,90	-1,281552	-0,983	-2,120072
-0,51	-0,025069	-0,71	-0,553385	-0,91	-1,340755	-0,984	-2,144411
-0,52	-0,050154	-0,72	-0,582842	-0,92	-1,405072	-0,985	-2,170090
-0,53	-0,075270	-0,73	-0,612813	-0,93	-1,475791	-0,986	-2,197286
-0,54	-0,100434	-0,74	-0,643345	-0,94	-1,554774	-0,987	-2,226212
-0,55	-0,125661	-0,75	-0,674490	-0,95	-1,644854	-0,988	-2,257129
-0,56	-0,150969	-0,76	-0,706303	-0,96	-1,750686	-0,989	-2,290368
-0,57	-0,176374	-0,77	-0,738847	-0,97	-1,880794	-0,990	-2,326348
-0,58	-0,201893	-0,78	-0,772193	-0,971	-1,895698	-0,991	-2,365618
-0,59	-0,227545	-0,79	-0,806421	-0,972	-1,911036	-0,992	-2,408916
-0,60	-0,253347	-0,80	-0,841621	-0,973	-1,926837	-0,993	-2,457263
-0,61	-0,279319	-0,81	-0,877896	-0,974	-1,943134	-0,994	-2,512144
-0,62	-0,305481	-0,82	-0,915365	-0,975	-1,959964	-0,995	-2,575829
-0,63	-0,331853	-0,83	-0,954165	-0,976	-1,977368	-0,996	-2,652070
-0,64	-0,358459	-0,84	-0,994458	-0,977	-1,995393	-0,997	-2,747781
-0,65	-0,385320	-0,85	-1,036433	-0,978	-2,014091	-0,998	-2,878162
-0,66	-0,412463	-0,86	-1,080319	-0,979	-2,033520	-0,999	-3,090232
-0,67	-0,439913	-0,87	-1,126391	-0,980	-2,053749
-0,68	-0,467699	-0,88	-1,174987	-0,981	-2,074855
-0,69	-0,495850	-0,89	-1,226528	-0,982	-2,096927

Источник [1].

Размещено на Allbest.ru

...