Статистические оценки параметров одномерных и двумерных совокупностей
Определение концентрации вредных веществ в объектах окружающей среды. Статистические оценки параметров одномерных совокупностей. Построение графиков линейной регрессии, доверительного интервала. Статистические оценки параметров двумерных совокупностей.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.11.2016 |
| Размер файла | 85,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http: //www. allbest. ru/
1. Статистические оценки параметров одномерных совокупностей
ЗАДАНИЕ 1
Провести обработку экспериментальных данных, представляющих собой концентрации вредных веществ в объектах окружающей среды. Предполагается, что концентрации имеют нормальное распределение. Полученные экспериментальные данные представлены в виде некоторой выборки объёма . Требуется:
1. составить статистический ряд, построить полигон частот;
2. найти оценку математического ожидания;
3. найти несмещённую оценку дисперсии и оценку среднеквадратического отклонения ;
4. найти коэффициент вариации и определить степень относительной изменчивости признака;
5. найти моду и медиану вариационного ряда, составленного из выборки;
6. найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятность , считая дисперсиюизвестной и равной
7. найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятность , считая дисперсию неизвестной и используя оценку для неё;
8. с помощью построенного в пункте 7 доверительного интервала оценить различия между результатами измерений и фиксированной величиной (ПДК) и ответить на вопрос: есть ли в среднем превышение.
Выполнить пункты 1-8 Задания 1 для концентраций хлороформа, измеренных в питьевой воде в течение месяца и представленных в таблице (мкг/л)
|
45 |
70 |
50 |
50 |
65 |
75 |
50 |
55 |
60 |
45 |
|
|
55 |
50 |
60 |
40 |
50 |
40 |
75 |
50 |
40 |
55 |
|
|
50 |
65 |
45 |
55 |
70 |
60 |
45 |
75 |
55 |
55 |
, ПДК=60 мкг/л
Решение: 1. Статистический ряд имеет вид
|
xi |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
|
|
mi |
3 |
4 |
7 |
6 |
3 |
2 |
2 |
3 |
По данным статистического ряда строим полигон частот:
Размещено на http: //www. allbest. ru/
Рис.1
Для вычисления числовых характеристик составляется таблица.
|
xi |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
суммы |
|
|
mi |
3 |
4 |
7 |
6 |
3 |
2 |
2 |
3 |
30 |
|
|
mixi |
120 |
180 |
350 |
330 |
180 |
130 |
140 |
225 |
1655 |
|
|
mi xi2 |
4800 |
8100 |
17500 |
18150 |
10800 |
8450 |
9800 |
16875 |
94475 |
2. Вычисляется выборочное среднее по формуле:
3. Несмещенная оценка дисперсии рассчитывается по формуле:
Откуда среднеквадратичное отклонение:
.
4. Коэффициент вариации
т.е. дневное варьирование концентрации хлороформа является средним.
5. Так как объем выборки - число четное: то медиана равна средней арифметической из двух серединных значений вариантов
и
По статистическому ряду найдем .
6. Так как (, случай больших выборок с неизвестной дисперсией, когда в качестве используется вычисленная по выборке несмещенная оценка ), то дисперсию можно считать известной и равной несмещенной оценке: . По таблице Приложения 1 из уравнения
находим и точность оценки
,
откуда получим границы доверительного интервала:
,
.
и доверительный интервал:
7. Так как ( - случай малых выборок), то можно применить способ, когда для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией доверительный интервал строится с помощью случайной величины
, где t имеет распределение Стьюдента.
Если рассматривать вычисленное выборочное стандартное отклонение как оценку стандартного отклонения , то по таблице Приложения 2 определим
,
откуда получаем
Границами доверительного интервала будут:
и доверительный интервал - .
8. Так как < ПДК= 60, то ПДК не превышена.
2. Статистические оценки параметров двумерных совокупностей. Линейная регрессия
ЗАДАНИЕ 2.
Провести обработку экспериментальных данных, заданных двумя величинами X и Y по результатам представленных в виде таблицы наблюдений.
Требуется:
1. найти несмещенные оценки математических ожиданий и ;
2. найти несмещенные оценки дисперсий и ;
3. найти эмпирический корреляционный момент;
4. найти оценку коэффициента корреляции;
5. проверить значимость коэффициента корреляции;
6. найти линейное уравнение регрессии Y на X:
;
7. в предположении, что приведенные данные представляют собой измерения зависимой величины y при различных значениях независимой величины x, найти доверительный интервал для линейной регрессии с доверительной вероятностью ;
8. построить графики линейной регрессии, доверительного интервала и отметить точки наблюдений.
Вариант №26
Выполнить пункты 1-8 Задания 2 для таблицы наблюдений
|
номер наблюдения |
x |
y |
|
|
1 |
-1,8 |
8,7 |
|
|
2 |
-1,2 |
7,3 |
|
|
3 |
-0,6 |
7,9 |
|
|
4 |
0 |
6,1 |
|
|
5 |
0,6 |
6,2 |
|
|
6 |
1,2 |
5,9 |
с доверительной вероятностью
Решение:
Из данных таблицы наблюдения для вычисления оценок числовых характеристик составим таблицу 1 и выполним вычисления:
|
номер наблюдения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
суммы |
|
|
xi |
-1,8 |
-1,2 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
1,2 |
-1,8 |
|
|
yi |
8,7 |
7,3 |
7,9 |
6,1 |
6,2 |
5,9 |
42,1 |
|
|
xi2 |
3,24 |
1,44 |
0,36 |
0 |
0,36 |
1,44 |
6,84 |
|
|
yi2 |
75,69 |
53,29 |
62,41 |
37,21 |
38,44 |
34,81 |
301,85 |
|
|
xi yi |
-15,66 |
-8,76 |
-4,74 |
0 |
3,72 |
7,08 |
-18,36 |
По суммам в последнем столбце рассчитаем числовые характеристики:
1. Несмещенные оценки математических ожиданий и ;
2. Несмещенные оценки дисперсий и ;
3. Эмпирический корреляционный момент;
4. Оценка коэффициента корреляции;
5. Проверяя значимость коэффициента корреляции, получим
что больше , следовательно
6. Коэффициенты выборочного уравнения линейной регрессии
, где
и
7. Дополним табл.1
|
номер наблюдения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
суммы |
|
|
xi |
-1,8 |
-1,2 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
1,2 |
-1,8 |
|
|
yi |
8,7 |
7,3 |
7,9 |
6,1 |
6,2 |
5,9 |
42,1 |
|
|
xi2 |
3,24 |
1,44 |
0,36 |
0 |
0,36 |
1,44 |
6,84 |
|
|
yi2 |
75,69 |
53,29 |
62,41 |
37,21 |
38,44 |
34,81 |
301,85 |
|
|
xi yi |
-15,66 |
-8,76 |
-4,74 |
0 |
3,72 |
7,08 |
-18,36 |
|
|
8,39 |
7,84 |
7,30 |
6,75 |
6,20 |
5,66 |
|||
|
0,097 |
0,294 |
0,365 |
0,423 |
0,000 |
0,059 |
1,237 |
||
|
0,127 |
0,097 |
0,067 |
0,067 |
0,097 |
0,127 |
|||
|
8,04 |
7,57 |
7,11 |
6,56 |
5,94 |
5,31 |
|||
|
8,74 |
8,11 |
7,48 |
6,94 |
6,47 |
6,01 |
Заполним остальные строки таблицы 1. Остаточная дисперсия
нижняя и верхняя границы доверительного интервала при значениях :
где =
8. По данным таблицы 1 (см.рис.2) построены график линейной регрессии и графики доверительного интервала линейной регрессии.
Размещено на http: //www. allbest. ru/
Рис.2
3. Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными
ЗАДАНИЕ 3
Вариант 26
Графическим методом решить задачу:
L=3x1+2x2 max
0,1x1+0,4x2 ? 4 (l1)
3x1+5x2 ? 15 (l2)
x1+x2 ? 1 (l3)
x2 ? 0,6 (l4)
при x1 ? 0, x2 ? 0
Решение.
1. а) Занумеруем границы неравенств системы ограничений
l1; l2; l3; l4.
б) Cтроим полуплоскость, определяемую первым неравенством системы:
0,1x1+0,4x2 ? 4
Строим прямую линию 0,1x1+0,4x2 = 4
при x1 = 0 x2 = 10; при x2 = 0 x1 = 40.
Подставим координаты точки в уравнение 0,1*0+0,4*0 ? 4,
получаем строгое неравенство 0 ? 4. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений этого неравенства, Отмечаем эту полуплоскость с помощью стрелок на концах прямой l1 (см. Рис.3), направленных в сторону начала координат. ( Прямая линия l1 изображена условно в масштабах рис.3).
в) По двум точкам (5; 0), (0; 3) строим прямую 3x1+5x2 ? 15 (l2). Для определения полуплоскости неравенства 3x1+5x2 ? 15, проверим координаты точки О на выполнение этого неравенства. Получим строгое неравенство 3*0+5*0 ? 15. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений неравенства. Отметим полуплоскость с помощью стрелок на концах прямой (l2), направленных к началу координат ( см. Рис.3).
г) По двум точкам (1; 0), (0; 1) строим прямую x1+x2 ? 1 (l3). Для определения полуплоскости неравенства x1+x2 ? 1, проверим координаты точки О на выполнение этого неравенства. Получим неверное неравенство 0+0 ? 1
Следовательно, точка О не лежит в полуплоскости решений неравенства. Отметим полуплоскость с помощью стрелок на концах прямой (l3), направленных от начала координат (см. Рис.3).
д) Полуплоскость x2 ? 0,6 будет ограничена прямой x2 = 0,6 и стрелки на концах прямой (l4) будут направлены от начала координат (см. Рис.3).
Размещено на http: //www. allbest. ru/
Рис. 3
2. Находим общую часть всех полуплоскостей решений. Получим, что область допустимых решений представляет собой четырехугольник АВСD
3. Построим вектор-градиент .
4. Построим линию уровня L0 : 3x1+2x2 = 0, проходящую через начало координат перпендикулярно вектору .
5 Перемещаем полученную прямую линию параллельно L0 и пересечем ОДР в точке А = l3 ? ось Х2, которая соответствует минимуму целевой функции. Координаты т. А определим из системы уравнений:
x1+ x2 = 1 откуда x2 = 1 Следовательно: т. (0; 1)
x1 = 0 Lmin = 3*0 + 2*1 = 2
Аналогично, в точке D = l3 ? l4 находим координаты т. D из системы уравнений: x1+x2 = 1 откуда x1 = 0,4 Следовательно: т.С (0,4; 0,6)
x2 = 0,6 LD = 3*0.4 + 2*0.6 = 2,4
В точке В = l2 ? ось Х2 находим координаты т. В из системы уравнений:
3x1+5x2 = 15 откуда x2 = 3 Следовательно: т.В (0; 3)
x 1 = 0 LВ = 3*0 + 2*3 = 6
в точке C = l2 ? l4, которая соответствует максимуму целевой функции.
Координаты т. С определим из системы уравнений:
3x1+5x2 = 15 откуда x1 = 4 Следовательно: т.С (4; 0,6)
x2 = 0,6 Lmax = 3*4 + 2*0,6 = 13,2
статистический одномерный регрессия интервал
Подставляем найденное решение в уравнения системы ограничений и проверяем выполнение заданных условий:
0,1x1+0,4x2 ? 4 0,1*4 + 0,4*0,6 = 0,64 ? 4
3x1+5x2 ? 15 3*4 + 5*0,6 = 15
x1+x2 ? 1 4 + 0,6 = 4,6 ? 1
x2 ? 0,6 и x1 ? 0, x2 ? 0
Ответ: Lmax = 13,2 при хmax = (4; 0,6)
Размещено на Аllbest.ru
...Подобные документы
Оценка статистической значимости параметров регрессии. Построение экономического прогноза прибыли при прогнозном значении произведенной валовой продукции. Статистическая оценка параметров уравнения регрессии. Построение мультипликативной модели тренда.
контрольная работа [132,1 K], добавлен 10.03.2013Статистическая гипотеза как любое предположение о свойствах и характеристиках исследуемых генеральных совокупностей. Общая характеристика наиболее важных статистических гипотез: однородности, согласия, независимости. Знакомство со значениями статистики.
презентация [70,0 K], добавлен 16.03.2014Абсолютные и относительные статистические показатели, методы прогнозирования. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Оценки параметров генеральной совокупности. Статистическое исследование социально-экономического потенциала.
шпаргалка [1,8 M], добавлен 16.05.2012Расчет выборочных параметров ряда. Построение диаграммы накопленных частот и гистограммы выборки. Линейная диаграмма исходного временного ряда. Его аналитическое выравнивание с помощью линейной функции, статистические показатели и прогнозирование.
курсовая работа [1006,5 K], добавлен 22.01.2015Абсолютные и относительные величины. Статистические распределения и их основные характеристики. Нижняя граница медианного интервала. Определение среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратичного отклонения. Уровни динамического ряда.
контрольная работа [226,6 K], добавлен 04.09.2014Экономический анализ степени риска в бизнесе. Понятие и сущность неопределенности, ее источники и виды. Рассмотрение оценки параметров хиквадрат-теста. Статистические гипотезы. Статистика Колмогорова-Смирнова. Тест Колмогорова-Смирнова для двух выборок.
реферат [204,3 K], добавлен 30.11.2013Экономические показатели условий и результатов деятельности предприятий. Обоснование объема и оценка параметров совокупностей статистики. Анализ взаимосвязей между признаками изучаемого явления. Резервы роста эффективности использования факторов.
курсовая работа [391,8 K], добавлен 11.09.2014Направление развития ООО "Велена" и его производственная характеристика. Анализ издержек по экономическим элементам и статьям расхода. Статистические методы оценки структуры затрат на производство и себестоимость продукции по калькуляционным статьям.
курсовая работа [49,0 K], добавлен 10.11.2011Статистические методы изучения уровня и качества жизни населения на примере "Домашних хозяйств населения района". Анализ валового дохода на продукты питания на одного члена домохозяйства в год. Выявление закономерностей изменения благосостояния населения.
курсовая работа [175,7 K], добавлен 19.03.2011Виды и формы связей между явлениями. Методы изучения взаимосвязи экономических явлений. Статистические методы изучения взаимосвязи. Метод аналитических группировок. Дисперсионный и корреляционно-регрессионный анализ. Непараметрические методы оценки связи.
курсовая работа [235,9 K], добавлен 10.12.2008Объективные и эвристические методы определения показателей качества. Статистические и комплексные методы контроля и оценки уровня качества продукции. Применение определенных средств испытаний. Повышение конкурентоспособности национального товара.
реферат [28,1 K], добавлен 21.12.2015Процесс оценки машин и оборудования, принципы оценки. Экономико-статистические и экспериментально-аналитические методы определения величины физического износа. Принципы, основанные на представлениях владельца имущества, связанные с рыночной средой.
контрольная работа [149,8 K], добавлен 25.07.2014Динамические показатели оценки инвестиционного проекта: чистая текущая стоимость; индекс доходности; внутренняя норма окупаемости. Статистические показатели его оценки: период окупаемости, динамический и статистический срок. Рентабельность инвестиций.
контрольная работа [87,4 K], добавлен 06.12.2010Общая характеристика статистического метода оценки риска. Описание основных инструментов его экономического анализа. Алгоритм определения среднего ожидаемого значения прибыли. Обзор актуальных экономико-статистических методов расчета вероятности риска.
реферат [51,8 K], добавлен 12.05.2014Статистика розничного и оптового товарооборота: показательная регрессия, построение регрессии. Дисперсионный анализ для линейной регрессии, изучение ее качества. Доверительные интервалы для оцененных параметров и критерий Фишера значимости регрессии.
контрольная работа [300,4 K], добавлен 21.08.2008Фискальная политика государства: понятие, виды, значение. Постановка проблемы и методология исследования. Эконометрические (статистические) методы оценки эффективности фискальной политики. Аналитические (алгебраические) методы оценки эффективности.
курсовая работа [30,1 K], добавлен 03.12.2002Первичный анализ экспериментальных данных. Построение эмпирической плотности распределения случайной анализируемой величины и расчет ее характеристик. Определение вида закона распределения величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 23.05.2009Сущность, значение и задачи оценки кредитоспособности организации. Показатели и методика оценки кредитоспособности. Определение риска кредитоспособности на примере ОАО "Пинский мясокомбинат". Табличный и графический экономико-статистические методы.
курсовая работа [403,1 K], добавлен 26.11.2014Основы статистического контроля качества продукции. Типовые расчеты по курсу теории вероятностей: построение закона распределения и расчет основных характеристик непрерывной случайной величины. Интервальное оценивание параметров генеральной совокупности.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 21.01.2016Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация регрессии. Определение остаточной суммы квадратов. Выполнение предпосылок МНК. Расчет коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
контрольная работа [317,0 K], добавлен 11.05.2009
