Экономическое приложение интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Звенигородский финансово-экономический колледж-филиал федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего образования «Финансово экономический университет при Правительстве Российской Федерации»

Реферат на тему:

«Экономическое приложение интеграла»

Выполнила: студентка 23 группы

Садовец Мария Владимировна

Проверила: Сокирко М.А

Звенигород 2016

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Зачастую об экономических приложениях интеграла не идет речи и в классах экономического направления. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Приложение интегрального исчисления

Пусть требуется найти значение какой - либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала)

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

Точками x = a, x, … ,x = b разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”Д A(I = 1, … , n): A = ДA + ДA+ … + ДA. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:Д A? f(c) ДX.

При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д. интегральное исчисление экономика денежный

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A? f(c) ДX+ … + F(c)ДX = f(c) ДX

Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

A = f(c) ДX = f(x)dx.

Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков”: на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А -- А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е. [а, b] - один из параметров величины А; находим главную часть приращения ДA при изменении x на малую величину Дx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А(x):dA - f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция переменной x (здесь также возможны различные упрощения); считая, что dА ? ДA при Дx 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b: A(b) = A = f(x)dx.

Интегральное исчисление в экономике

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике. Начнем с широко используемого в рыночной экономике понятия потребительского излишка (CS-consumer's surplus)[1]. Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.

Спрос на данный товар (D-demand)[2] - сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории - предложение (S-supply) товара[3]: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс.

И, наконец, введем еще одно понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов - рыночное равновесие (equilibrium)[4]. Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения E*(p*; q*) - точка равновесия.

В дальнейшем для удобства анализа мы будем рассматривать не зависимость Q = f(P), а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость P = f(Q), тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка. Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*).

Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*.

Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями њ Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка. Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q1 = D Q, который продается по цене P1 = f(Q1). Так как по предположению величина њ Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P1, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P1D Q.

Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P2 = f(Q2), где Q2 = Q1 + D Q - общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P2D Q.

Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина D Q для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:

В результате получим, что цена n-й партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят PnD Q.

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны.

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара - превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение.

Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS-producer surplus). Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия.

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут задаваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3,... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

R(1)(1 + p), R(2)(1 + p), R(3)(1 + p), … .

Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ? t ? Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денежного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от tдо t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения величины П изменим формулу, а именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики.

Экономический смысл определенного интеграла состоит в выражении объема произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Таким образом, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Приложение определенного интеграла находит широкое применение при решении задач экономической теории.

Список литературы

1.Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. - М., ЮНИТИ, 1997.

2.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. - М., Инфра-М, 1998.

3.Красс М.C Основы математики и ее приложения в экономическом образовании

4.Солодовников А.С., Бабайцев В.А Математика в экономики - M.: Финансы и статистика, 2005. - 560c.

Размещено на Allbest.ru