Методология формирования инвестиционных портфелей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Обзор литературы

2. Методология формирования инвестиционных портфелей

3. Результаты формирования портфелей с помощью алгоритма Элтона-Грубера-Падберга

Заключение

Список литературы

Приложения



Введение

С развитием экономики и фондового рынка в частности у инвесторов появлялось все больше способов распределения собственных доходов в финансовые активы с целью получения прибыли. Уже давно одним из самых распространенных методов из них является формирование инвестиционного портфеля. Данный портфель представляет собой набор различных ценных бумаг, каждая из которых обладает в портфеле определенным весом. Все инвесторы при составлении такого портфеля руководствуются собственной моделью поведения и стратегией. Некоторые из них предпочитают формировать портфель из ценных бумаг компаний со стабильными показателями дохода и выплачиваемых дивидендов (голубые фишки). Другие предпочитают формировать портфель из недооцененных бумаг с уверенностью в их дальнейшем росте.

Основной целью инвестора является получение прибыли с помощью осуществления инвестиций в ценные бумаги, входящих в портфель, и обеспечение минимального риска финансовых операций. Для достижения данной цели экономистами было разработано множество различных методов. Достаточно распространённым среди них является формирование оптимального инвестиционного портфеля из ценных бумаг, исходя из соотношения риск/доходность каждой входящей в портфель акции.

Г. Марковиц в 1952 г. разработал теорию оптимального инвестиционного портфеля, послужившую основой для современной портфельной теории. Данная модель применяется на практике и по сей день, однако при значительном количестве рассматриваемых акций требуемые математические расчеты в модели Марковица оказываются слишком громоздкими. В 1976 году Elton, Gruber и Padberg разработали собственный алгоритм EGP, позволяющий не только определить веса ценных бумаг в оптимальном портфеле, но и определить, какие именно активы должны войти него войти. Кроме того, данный алгоритм учитывает возможность открытия коротких позиций и не требует трудоемких вычислений.

Определить, является ли данный алгоритм эффективным в отношении построения инвестиционного портфеля на российском фондовом рынке, является целью данной работы.

Таким образом, объектом данного исследования является построение инвестиционного портфеля. Предмет работы представляет из себя формирование портфеля при помощи алгоритма Элтона-Грубера-Падберга.

Для достижения вышеописанной цели в рамках работы будут выполнены следующие задачи:

1) Формирование инвестиционного портфеля на основе алгоритма EGP.

2) Формирование инвестиционного портфеля с участием коротких продаж на основе алгоритма EGP.

3) Применение активной и пассивной стратегий управления портфелем.

4) Сравнение доходностей построенных портфелей и рыночного портфеля.

Формирование оптимального инвестиционного портфеля, определение его состава и структуры является задачей, с которой регулярно сталкиваются участники рынка. Таким образом, тема построения портфеля является актуальной и требует детального рассмотрения и тщательного анализа.

В ходе текущего исследования выдвигаются следующие гипотезы:

Первая гипотеза состоит в том, что доходности портфелей, построенных на основе алгоритма EGP без коротких продаж и управляемые с помощью активной и пассивной стратегии, превысят доходность рыночного портфеля.

Вторая гипотеза предполагает, что доходность, полученная при управлении портфелем с помощью активной стратегии, превысит доходность портфеля, управляемого с помощью пассивной стратегии.

Третья гипотеза - портфель, включающий короткие позиции, принесет большую доходность, чем портфель, не включающий их.

Структура данной работы будет построена следующим образом:

в первой главе основной части исследования представлен обзор литературы по тематике формирования портфеля ценных бумаг. Во второй главе описана методология, применяемая для построения и управления инвестиционным портфелем на российском фондовом рынке. В третьей главе представлены и прокомментированы полученные результаты исследования, после чего делаются выводы и заключение о проделанной работе.



1. Обзор литературы

В экономической теории существует множество способов построения инвестиционного портфеля, которыми может воспользоваться инвестор.

В следствие того, что от выбора метода формирования портфеля напрямую зависит величина капитала инвестора, данная проблема требует особого внимания.

Один из самых распространённых методов формирования портфеля предложил Markowitz (1952) [23] в своей работе «Portfolio selection».

В данном исследовании ожидаемая доходность инвестиционного портфеля определяется как сумма взвешенных ожидаемых доходностей ценных бумаг, входящих в него. Риск портфеля представляет собой стандартное отклонение, рассчитанное с помощью попарных ковариаций между активами. В своей работе Марковиц утверждает, что среди множества допустимых портфелей инвестор будет выбирать тот, который приносит наибольшую доходность при заданном уровне риска, или портфель, обладающий наименьшим уровнем риска при заданной величине доходности. Портфели, удовлетворяющие данным условиям, составляют границу эффективных портфелей. Марковиц утверждает, что инвестор должен всегда стремиться максимизировать ожидаемую доходность портфеля и минимизировать его риск. По этой причине, все портфели, лежащие ниже границы эффективности будут рискованнее и при этом не будут приносить большую доходность инвестору, вследствие чего не представляют для него интереса.

Данная модель предусматривает построение портфеля в зависимости от отношения вкладчика к риску. Инвестору необходимо определить допускаемый уровень риска, после чего подобрать портфель, приносящий наибольшую доходность, или наоборот. Искомый портфель называется оптимальным и будет лежать в точке касания кривой эффективного множества и кривой безразличия инвестора. Таким образом, основной задачей данной модели является определение весов ценных бумаг, позволяющих сформировать оптимальный портфель.

Построение портфеля с помощью модели Марковица широко распространено на практике. Abdollahpour & Bagheri (2015) [8] в целях его формирования на Тегеранской фондовой бирже использовали модель Марковица. Авторы подчеркивают необходимость тщательного отбора активов для построения портфеля, так как сама модель является лишь инструментом и не гарантирует получения прибыли. Для исследования были отобраны 12 индустриальных компаний из различных отраслей и доходности их акций в период с 2007 по 2013. Авторы формируют 6 портфелей с заданными уровнями доходности, после чего с помощью метода множителей Лагранжа находят доли акций в портфеле при условии минимального уровня риска. В заключении Abdollahpour & Bagheri подчеркивают прямую зависимость между величиной доходности оптимального портфеля и уровнем его риска.

Применение данной модели на практике при построении оптимального портфеля также продемонстрировали Corduneanu & Milos (2010) [12]. На фондовой бирже Бухареста были отобраны акции для формирования портфеля, после чего с помощью модели Марковица и метода Лагранжа были определены веса ценных бумаг при условии минимального риска. Доходность портфеля в период за 2009 год составила примерно 3%, вследствие чего авторы отмечают невысокую эффективность применяемой модели.

Sirucek & Kren (2015) [32] использовали портфельную теорию Марковица и модель CAPM для построения оптимального портфеля из акций, входящих в индекс Доу Джонса, на фондовом рынке США.

Для определения весов ценных бумаг в портфеле авторы, вместо применения метода множителей Лагранжа, используют алгоритм EGP, разработанный в исследовании Edwin, Gruber и Padberg (1976) [15] и позволяющий определить состав акций для оптимального портфеля и их веса в нем. С помощью данного алгоритма был сформирован оптимальный портфель и 2 портфеля, в состав которых входили акции с высокими и низкими бета-коэффициентами соответственно. Помимо этого, были сформированы два портфеля, состав которых был определен случайным образом. При расчете доходности всех портфелей оказалось, что наибольшую из них принес портфель, составленный из акций с наименьшими бета-коэффициентами. Вторую по величине доходность принес оптимальный портфель. Портфель, в котором акции обладали наибольшим бета-коэффициентом, принес самую низкую прибыль, из чего авторы делают вывод об опровержении теории о прямой взаимосвязи риска и доходности.

Алгоритм EGP [15], названный в честь его составителей, позволяет определить состав оптимального портфеля, основываясь на однофакторной модели Шарпа. На практике данный метод формирования портфеля часто сравнивается с моделью Марковица. Например, Burgess & Bey (1988) [11] в своей работе сопоставляют эффективность данных методов при построении инвестиционного портфеля. Авторы рассчитывали доходность и стандартное отклонение портфелей, построенных с помощью данных методов и управляемых с помощью стратегии buy&hold, на нескольких выборках. После полученных результатов, Burgess & Bey делают вывод об эффективности последовательного использования данных методов: алгоритм EGP, по их мнению, является действенным в отношении определения состава портфеля ценных бумаг, а модель Марковица эффективнее рассчитывает их долю в портфеле.

Paudel & Koirala (2006) [26] тестируют модель Марковица и алгоритм EGP на Непальской фондовой бирже на основе данных об акциях 30 компаний с 1998 по 2006 год. Авторы формируют 50 портфелей на основе теории Марковица, в состав каждого из которых входят 2 акции с наименьшей корреляцией в целях максимальной диверсификации портфеля. После построения эффективной границы Paudel & Koirala выделяют только 4 портфеля, являющихся эффективными. В состав оптимального портфеля, построенного на основе алгоритма, вошло 5 акций из 30. Коэффициент вариации (CV) данного портфеля оказался существенно ниже коэффициентов CV отдельных акций, что свидетельствует о меньшей доле риска на единицу доходности. Paudel & Koirala делают вывод о том, что инвестор обладает возможностью снизить риск инвестиций с помощью применения модели Марковица и алгоритма EGP. Кроме того, авторы подчеркивают тот факт, что алгоритм EGP значительно упрощает задачу построения портфеля, так как он позволяет определить какие именно акции из заданного множества ценных бумаг следует включить в состав оптимального портфеля.

К похожим результатам пришел Nepp (2013) [25]. В своей работе автор применяет алгоритм Элтона-Грубера-Падберга для формирования инвестиционного портфеля на российском фондовом рынке. Основной целью работы является сравнение банковского портфеля и оптимальных портфелей, построенного на основе алгоритма EGP (портфель Элтона) и модели Марковица. Доходность и бета-коэффициент банковского портфеля, состоящего из 10 акций, составили 76,06% и 0,9 соответственно. В построенный портфель на основе алгоритма EGP вошли лишь 5 акций из 10, однако ожидаемая доходность портфеля и бета составили 167,7% и 0,76. Ожидаемая доходность оптимального портфеля Марковица достигла значения 143,5%, а бета - 0,79. После полученных результатов автор делает вывод об эффективности как портфеля Марковица, так и портфеля Элтона.

Сравнительный анализ построения инвестиционных портфелей с помощью модели Марковица и алгоритма Элтона-Грубера-Падберга также проводят Weston и Ford (2011) [35]. В данном исследовании портфели формируются из акций различных банков из 26 стран в периоды с 1992 по 1996 и с 1997 по 2001. Авторы сравнивают параметры построенных портфелей, такие как годовая и месячная доходности, стандартное отклонение доходность, коэффициенты беты, коэффициенты асимметрии и эксцесса, после чего приходят к выводу о том, что портфель, построенный с помощью алгоритма EGP, является более эффективным и приносит большую доходность по сравнению с портфелем Марковица, не компенсирующим данную разницу размером риска.

Sarker (2013) [29] в своей работе формирует оптимальный портфель на Даккийской фондовой бирже с помощью алгоритма EGP. Портфель формируется на основе месячных цен закрытия акций 164 компаний и значения индекса DSE All Share Price Index в период с 2007 по 2012 гг. В состав оптимального портфеля без коротких позиций вошли акции лишь 33 компаний. Ожидаемая доходность портфеля составила 6,17%, риск - 8,76%. Sarker отмечает, что построение портфеля с помощью модели Марковица требует значительных временных затрат и является более сложным методом вследствие существенного количества оценок необходимых параметров.

Формирование инвестиционного портфеля из акций на российском фондовом рынке реализовал Панарин (2006) [5]. В своей работе для построения портфеля автор рассматривает 10 наиболее ликвидных активов, необходимые параметры которых рассчитываются на основе дневных доходностей за 6 месяцев в период с 2005 по 2006 гг. Состав портфеля формируется на основе алгоритма EGP, в соответствии с которым 9 акций из 10 входят в оптимальный портфель. Доходность данного портфеля рассчитывается в период с 01.04 по 30.05.06 гг. 8 акций из 9 отобранных продемонстрировали рост стоимости в данный период, вследствие чего общая доходность портфеля составила 14,7%. Автор отмечает, что применение математических моделей не гарантирует положительных результатов, однако при растущем рынке алгоритм EGP позволяет сохранить инвестируемый капитал и достичь удовлетворительного уровня доходности.

Kox (2007) [3] отмечает, что применимость алгоритма EGP на российском фондовом рынке подвергается сомнению, так как поведение рынка является не единственным фактором, оказывающим влияние на доходность акций.

По мнению Криничанского и Безрукова (2012) [4], недостатками данного алгоритма являются требуемые анализ рыночной модели и расчет бета-коэффициентов и параметров несистематического риска активов для его применения. Авторы подчеркивают нестабильность данных параметров и необходимость значительного количества расчетов для их определения.

Таким образом, мнения об эффективности применения алгоритма Элтона-Грубера-Падберга не являются однозначными. По этой причине тестирование данного алгоритма на российском фондовом рынке представляет практический интерес.

Помимо способа формирования портфеля, выбор стратегии управления им является необходимым шагом. На практике распространены две основные стратегии управления: активная и пассивная.

По определению Скрипниченко (2014) [6], инвестор, использующий активную стратегию, стремится опередить рынок и получить дополнительную доходность за счет временной недооцененности активов. Такая стратегия требует постоянного контроля состояния и движения рынка, регулярный поиск и приобретение ценных бумаг, соответствующих инвестиционным целям инвестора, и немедленная продажа неэффективных активов. Данный тип стратегии управления предполагает систематическое изменение структуры портфеля.

Пассивная стратегия предполагает формирование портфеля на продолжительный срок. Структура портфеля в данном случае остается неизменной в течение длительного промежутка времени. Данный подход уместно использовать, когда инвестор уверен в стабильном поведении рынка.

На практике стратегия пассивного управления часто применяется индексными фондами, формирующими портфель на основе расчетной базы определенного рыночного индекса. Управляющие данным портфелем пересматривают его структуру только в случае произошедших изменений в расчетной базе индекса.

Каждая из стратегий обладает своими преимуществами и недостатками, вследствие чего мнения о превалировании одной стратегии над другой сильно дифференцируются. Zhang (2008) [36] в своей работе анализирует функционирование активных взаимных фондов и индексных фондов. С одной стороны, автор указывает на то, что менеджерам, использующим активную стратегию, редко удается переиграть рынок. На рисунке представлена информация о количестве взаимных фондов, использующих активную стратегию, которым удалось обойти рыночный индекс S&P 500 в период с 2003 по 2012 гг.

Рисунок 1. Процент активно управляющихся взаимных фондов, которым удалось обойти рынок.

Несмотря на то, что доля фондов, пользующихся активной стратегией и сумевших переиграть рынок, обычно меньше половины, Zhang, с другой стороны, отмечает, что в периоды рецессии менеджеры, использующие активную стратегию, обеспечивают большую доходность, чем индекс.

Противоположного мнения придерживается Sarah (2015) [29]. В своей статье автор подчеркивает, что в 2014 году только 38% пассивных фондов Vanguard опередили свои бенчмарки, в то время как доля активных фондов, совершивших это, составила 61%.

Задача индексного фонда, по мнению Zhang, состоит в том, чтобы максимально точно следовать рыночному индексу. В такие фонды обращаются инвесторы, которые придерживаются гипотезы эффективного рынка и не считают, что рынок можно переиграть в долгосрочном периоде. Основным преимуществом пассивного управления является меньший размер операционных издержек издержек и сборов. Активная стратегия предполагает высокую частоту совершения операций, что ведет к увеличению прироста капитала, облагаемого налогом, что существенно влияет на доход инвесторов Frino & Gallagher (2000) [19]. В работе Malkiel (2003) [21] утверждается, что в период с 1991-2001 гг. 71% фондов, пользующихся активной стратегией, заработали меньшую доходность, включая дивиденды, чем индексные фонды, после вычета издержек.

К противоположным результатам пришли Fortin & Michelson (2002) [18]. Авторы работы проверяют гипотезу о том, что активно управляемым взаимным фондам удается обойти индексные фонды в период с 1976 по 2000 гг. Исследование проводится на основе 12 000 фондов, разделенных на несколько категорий в зависимости от типа активов, используемых фондом. После анализа доходностей фондов до и после налогообложения, авторы приходят к выводу о том, что в среднем активно управляемые фонды обходят индексные в период входа и выхода экономики из рецессии. Иными словами, активно управляемые фонды лучше управляют портфелем в нестабильном состоянии экономики.

К похожим результатам пришел Rompotis (2009) [28]. Автор рассматривает доходности и риски 3 пассивно управляемых фондов и 50 активно управляемых фондов в Греции в период с 2008 по 2009 гг. Rompotis отмечает, что за исследуемый период активным фондам удается обойти пассивные, подчеркивая высокую волатильность последних. Кроме того, автор утверждает, что доходности активного и пассивного фонда превысили доходность рыночного индекса. Однако, в ходе исследования было обнаружено, что активный фонд обладает меньшим уровнем риска, измеряемым в данной работе с помощью коэффициента Трейнора, чем рыночный индекс, в то время как результаты для пассивного фонда не являются однозначными.

Кашина (2011) [2] в своей работе проводит сравнительный анализ инвестиционных стратегий на российском фондовом рынке.
При осуществлении инвестиций размером в $1 в акции, входящие в индекс РТС, в период с 2007 по 2009 гг. пассивная стратегия принесла бы примерно $20, в то время как активная примерно $1150. Кашина отмечает, что применение пассивной стратегии эффективно лишь в условиях растущего рынка, когда акции демонстрируют рост стоимости в течение длительного промежутка времени.

2. Методология формирования инвестиционных портфелей

Практическая часть данной работы предполагает формирование нескольких инвестиционных портфелей ценных бумаг. Ниже представлена методология формирования каждого из них.

Инвестиционный портфель без коротких позиций с применением пассивной стратегии.

В данной работе портфели ценных бумаг формируются из акций, входящих в состав индекса ММВБ (MICEX). Данный индекс рассчитывается как отношение рыночной капитализации акций, входящих в индекс, к величине индекса на начало периода, умноженное на рыночную капитализацию данных акций на начало периода. До конца 2012 года индекс ММВБ включал в себя 30 компаний, обладающих наибольшей капитализацией на рынке, однако 18.12.2012 г. структура индекса была изменена - с данного момента в индекс начали входить 50 компаний.

По этой причине портфель будет формироваться на основе дневных котировок акций в течение 2013 года. Его состав и структура определяются на момент 30.12.2013 г., когда в состав индекса входили акции компаний, список которых представлен в Приложении 1. Исследуемый период динамики котировок должен совпадать для всех эмитентов в целях более точного отражения взаимосвязей между изменением цен акций и значением рыночного индекса. Вследствие этого 20.06.2013 г. берется за начало исследуемого периода, так как только в данный момент на рынке начали торговаться акции компании Полиметалл Интернэшнл Плс, вошедшие в состав индекса.

Данный портфель подразумевает открытие только длинных позиций, в случае которых доходность от акции формируется на основе роста ее стоимости после приобретения. Кроме того, к данному портфелю будет применена пассивная стратегия buy & hold, то есть покупка и продажа ценных бумаг будет осуществляться в начале и в конце тестируемого периода, а именно 06.01.2014 и 06.04.2016 гг.

Инвестиционный портфель с короткими продажами с применением пассивной стратегии.

В портфеле данного типа осуществляется вход в короткие позиции с целью получения доходности от акции на основе падения ее стоимости в будущем. Если инвестор уверен в данном снижении, он обладает возможностью занять у брокера ценные бумаги в кредит, продать их по текущей цене и выкупить в тот момент, когда цена опустится ниже цены продажи.

По отношению к данному портфелю так же используется стратегия buy & hold, открытие и закрытие длинных позиций осуществляется 06.01.14 и 06.04.16 соответственно. При коротких позициях продажа акций осуществляется 06.01.14, выкуп - 06.04.16 г.

Формирование портфелей каждый квартал в течение тестируемого периода (активная стратегия).

Структура индекса ММВБ пересчитывается ежеквартально в целях более точного отражения текущей конъюнктуры рынка, вследствие чего состав акций, входящих в индекс, может меняться. Изменения в составе индекса в течение 2014 - 2016 гг. Представлены в Таблице 1. Возникновение данных изменений следует учесть при формировании инвестиционного портфеля. Так как высокая капитализация компании предполагает ее способность генерировать высокую прибыль и рационально использовать ресурсы, то включение новых эмитентов в состав индекса свидетельствует об их превосходстве над компаниями, исключенными из индекса. Помимо этого, алгоритм, с помощью которого будут определяться доли ценных бумаг в портфеле, использует историческую информацию о котировках ценных бумаг. По этой причине, данные за 2013 год могут неточно отражать состояние рынка в более поздний период, ввиду чего инвестору следует учитывать в расчетах более актуальные данные.

Стратегия, позволяющая учесть данные тонкости, определяется следующим образом. В день публикации обновленного состава индекса ММВБ осуществляются расчеты для определения весов долей акций в портфеле на основе данных за предыдущий квартал. На следующий день выполняется покупка акций, необходимых для формирования оптимального портфеля без коротких позиций, и продажа бумаг, не соответствующих его составу. В случае портфеля с участием коротких позиций покупка и продажа осуществляются в обратном порядке. Данная процедура выполняется ежеквартально в момент обновления рыночного индекса. Таким образом, период с 2014 по 2016 гг. делится на 10 кварталов, в течение которых строится 10 портфелей, включающих только длинные позиции, и 10 портфелей с участием коротких продаж.

Таблица 1. Изменения в составе индекса ММВБ по кварталам.



На 31.12.13 г. веса акций в портфелях для первого квартала совпадают с весами портфелей, построенных на основе данных за 2013 год. Ниже представлена Таблица 1, демонстрирующая изменения в составе индекса и периоды базы его расчета.

Определение весов ценных бумаг в инвестиционном портфеле.

Доходность построенного инвестиционного портфеля определяется следующей формулой:

,

где N - количество ценных бумаг в портфеле;

- доходность i-ой акции;

- вес акции в портфеле.

Доходность ценной бумаги определяется по формуле:

,

где - цена акции на начало периода;

- цена акции на конец периода.

Основной проблемой в построении оптимального портфеля является определение весов ценных бумаг, входящих в его состав. Для решения данной задачи в текущей работе используется алгоритм EGP, позволяющий определить структуру оптимального портфеля и доли ценных бумаг в нем.

На графике эффективного множества портфелей наклон прямой, проходящей через безрисковую ставку до каждого портфеля (), равен:

,

где - ожидаемая доходность портфеля;

- доходность по безрисковому активу;

- стандартное отклонение портфеля.

Основная идея данного алгоритма заключается в том, что касательная прямая, проведенная из безрисковой ставки к оптимальному портфелю, лежащему на границе эффективного множества, должна обладать наибольшим наклоном. Следовательно, необходимо определить структуру портфеля, удовлетворяющего данному условию.

,

Для того, чтобы определить, какие акции войдут в состав оптимального портфеля, сначала необходимо рассчитать бета - коэффициент каждой акции. Авторы алгоритма в своей работе делают предположение о том, что однофакторная индексная модель является достаточно точным отражением действительности. Учитывая данное предположение, коэффициент для каждого актива определяется с помощью модели, представленной ниже:

.

где - часть доходности ценной бумаги, независимая от изменений доходности рынка;

- бета - коэффициент i-ой ценной бумаги;

- доходность рыночного индекса;

- случайная ошибка.

Таким образом, бета - коэффициенты для каждой бумаги определяются с помощью построения линейной регрессии, где в качестве объясняющей переменной стоит доходность рыночного индекса ММВБ. Для акций, входящих в портфели, управляемые с помощью пассивной стратегии, бета - коэффициенты рассчитываются на основе данных за 2013 год. При применении активной стратегии управления бета-коэффициенты для акций рассчитываются на основе данных за прошедший квартал.

,

где - ожидаемая доходность i-ой ценной бумаги;

- стандартное отклонение рыночной доходности;

- стандартное отклонение остатков в однофакторной регрессии.

В целях нахождения весов ценных бумаг, максимизирующих величину угла наклона, необходимо взять производную .

,

Авторы алгоритма вводят параметр , при подстановке которого в вышеуказанное равенство получается:

,

После домножения обеих сторон на коэффициент и суммирования N уравнений для каждой акции, представленная выше формула преобразуется в следующее:

,

Авторы метода заменяют выражение в квадратных скобках на переменную , подчеркивая, что данное значение может быть рассчитано до начала формирования оптимального портфеля.

,

При наличии короткой позиции по ценной бумаге, ее вес в портфеле представляет из себя отрицательную величину. Сумма выделяемых для каждой акции долей инвестиционного капитала равняется 100%. По этой причине, сумма модулей весов ценных бумаг в портфеле должна равняться 1. Для выполнения данного условия необходимо просуммировать модули величин и затем разделить каждой акции на полученную сумму. Таким образом, доля ценной бумаги в портфеле определяется по формуле:

,

Далее рассматривается случай, когда инвестор открывает только длинные позиции. Данное условие, означающее, что веса акций в портфеле должны быть неотрицательными, накладывает ограничение на задачу максимизации. Поиск ее оптимального решения предполагает применение метода Лагранжа и условия Куна-Такера, после которого общее условие задачи принимает следующий вид:

,

Для того, чтобы теперь найти веса ценных бумаг, максимизирующих величину угла наклона, необходимо взять производные .

,

,

В производной Лагранжиана по переменной заменим для удобства сумму двух первых слагаемых параметром Тогда условие Куна-Такера для выглядит следующим образом:

,

,

,

Условие Куна-Такера для :

,

,

,

Для того, чтобы акция попала в состав портфеля, ее вес должен быть положительным. При данном ограничении, условие Куна-Такера для множителя Лагранжа может быть выполнено только при .

Таким образом, при решении задачи максимизации данный параметр не учитывается, а из 1 условия Куна-Такера следует, что =0.

,

Далее шаги алгоритма совпадают с шагами, описанными выше, однако в оптимальный портфель попадают только те акции, параметр которых является положительным.

Каждая ценная бумага в портфеле инвестора обладает своим бета - коэффициентом. Используемый алгоритм EGP предполагает несколько способов формирования оптимального портфеля, в зависимости от значения .

При условии, что все используемые акции обладают положительным бета - коэффициентом, необходимо перед началом осуществления алгоритма проранжировать их по параметру RVOL (reward-to-volatility ratio):

,

RVOL отражает количество единиц избыточной доходности на единицу систематического риска. Ценные бумаги, обладающие большим значением данного коэффициента, являются более предпочтительными для инвестирования. Безрисковой ставкой в данном случае служит дневная доходность по облигациям федерального займа (ОФЗ) на момент формирования портфеля.

После ранжирования акций следует предположить, что оптимальный портфель состоит только из одной акции (i=1), стоящей первой в сформированном списке. Для данной бумаги считается показатель . Затем делается предположение о том, что в состав оптимального портфеля входят две первые акции (i=2), и так далее (i=3,4...), пока параметр не станет отрицательным. У акции, обладающей последним положительным значением , показатель . С его помощью рассчитываются значения для всех акций и их веса соответственно.

При условии, что все акции обладают отрицательными бета - коэффициентами, то вышеописанная процедура также применима, однако акции должны быть проранжированы в порядке убывания значения RVOL.

В случае, когда рассматриваются акции, обладающие и отрицательными, и положительными , необходимо разделить их по данному признаку. Акции, у которых , проходят вышеописанную процедуру и формируют оптимальный портфель. Акции с ранжируются в порядке убывания RVOL, после чего необходимо определить, какие из них обладают положительным значением . Акции, удовлетворяющие данному условию, добавляются к оптимальному портфелю акций с положительными , что приводит к уменьшению параметра . По данной причине акция, обладающая наибольшим параметром RVOL, однако раннее исключенная, должна быть протестирована еще раз на включение в оптимальный портфель. В случае, когда портфель не учитывает короткие позиции, данный шаг должен повторяться, пока не останется акций с положительным бета - коэффициентом, удовлетворяющих условию > 0. Для портфеля с короткими позициями, данный шаг повторяется, пока не останется подходящих акций с любым значением бета - коэффициента.

Таким образом на 30.12.2013 г. будет построено 4 портфеля, к двум из которых будет применена стратегия buy & hold, а к оставшимся будет применена активная стратегия, в соответствии с которой портфели будут переформировываться каждый квартал на основе вышеописанного алгоритма. Операции с активами в соответствии с их полученными весами будут осуществляться с помощью условно введенного инвестиционного капитала в размере 500 000 руб. Используемый алгоритм позволяет определить долю требуемых инвестиций для каждой акции. В связи с этим количество акций, покупку которых возможно осуществить на данную долю, будет определяться с помощью округления в меньшую сторону отношения доли инвестиционного капитала к цене актива в целях непревышения общей суммы капитала.

В процессе определения доходности всех портфелей будет рассчитываться 2 типа доходности. Первая доходность (практическая) основана на количестве приобретенных акций на сумму инвестиционного капитала. Вторая доходность (теоретическая) рассчитывается на основе полученных долей ценных бумаг в портфеле. Данные вычисления осуществляются с целью сравнения отклонения практической доходности от теоретической.

Заключительной стадией работы является сравнение полученных доходностей сформированных портфелей в соответствии с применяемой стратегией управления. Кроме того, теоретические доходности портфелей будут сравниваться с доходностью рыночного индекса, являющимся бенчмарком и определяющим эффективность инвестиционного портфеля.

3. Результаты формирования портфелей с помощью алгоритма Элтона-Грубера-Падберга

Полученные результаты для портфелей, управляемых с помощью пассивной стратегии.

На основе данных за 2013 год с помощью алгоритма EGP был сформирован оптимальный портфель из 12 акций, открытие коротких позиций в котором не совершается. Данные для расчета весов ценных бумаг для всех портфелей представлены в Приложениях 15 - 24.

Таблица 2. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 06.01.14-06.04.16 гг Источник: расчеты автора..



В первом столбце Таблицы 2 указан состав акций, вошедших
в оптимальный портфель. Следует отметить, что в него вошли лишь 12 акций из 50 рассматриваемых. В следующем столбце указаны полученные веса ценных бумаг в портфеле. Основную долю в нем составляют акции компаний АФК Система, Аэрофлот и привилегированные акции Татнефти и Сургутнефтегаза. В столбце «величина инвестиций» указана часть инвестиционного капитала для каждой акции в соответствии с полученным весом в рублевом эквиваленте. Количество акций каждого эмитента определяется отношением величины инвестиций в данную акцию к ее цене на начало периода 06.01.14, представленной в 3 столбце. В пересечении столбца «P1*N» и строки «Сумма» указан размер капитала, потраченный на формирование данного портфеля. Полученный доход от каждого актива на конец периода 06.04.16 определяется произведением количества приобретенных акций на разницу в цене на конец и на начало периода, после чего рассчитывается общий доход или убыток сформированного портфеля. В последней ячейке столбца «Доход (убыток)» рассчитана практическая доходность всего портфеля. Последний столбец демонстрирует теоретическую доходность каждой акции, в последней ячейке которого отражена теоретическая доходность всего портфеля.

Таким образом, практическая доходность портфеля составила 10,33%, теоретическая - 12,24%. Разница в полученных доходностях обуславливается тем фактом, что на выделенную долю инвестиционного капитала в соответствии с долей ценной бумаги в портфеле не всегда возможно купить необходимое количество акций. Например, если при расчете количества акций определённого эмитента необходимо купить 120, 3 штук, то только 120 акций будут куплены. Данная разница может привести как к увеличению доходности портфеля, так и к ее уменьшению.

Существенную доходность за период владения портфелем принесли привилегированные акции компаний Татнефть, Сургутнефтегаз и акции компании ВСМПО-АВИСМА. Однако, величина доходности портфеля значительно снижена за счет падения котировок акций компании АФК Система. Вследствие данного падения, общая доходность портфеля снизилась примерно на 15%. Резкий обвал акций данной компании, произошедший в середине 2014 года, скорее всего обусловлен арестом председателя совета директоров и основного совладельца компании.

Структура портфеля, учитывающего открытие коротких позиций представлена в Таблице 3, интерпретация состава которой остается прежней. Наибольшую долю среди них занимают акции компаний Газпром, Лукойл, Сбербанк и ММК.

Таблица 3. Структура оптимального портфеля с короткими позициями и его доходность за период 06.01.14-06.04.16 гг Источник: расчеты автора..



Открытие коротких позиций является достаточно рискованной операцией, которая может привести как к молниеносному росту прибыли, так и к фатальным потерям для инвестора. В любой стратегии управления портфелем следует учитывать множество факторов, обладающих возможностью повлиять на динамику стоимости актива. Например, осуществление компанией обратного сплита акций обычно приводит к росту их стоимости. При условии, что инвестор вошел в короткую позицию по данным акциям, такое событие может приведет к существенным убыткам.

В течение рассматриваемого периода компания Интер РАО в 2014 году объявила о консолидации акций. По это причине осуществляется выход из короткой позиции по данной акции в последний день торгов, после чего осуществляется вход по этой же позиции, однако по обновленной цене.

Практическая доходность сформированного портфеля с короткими продажами составила -41,45%, теоретическая - -39,88%. Данный результат связан с отрицательной доходностью почти по всем коротким позициям. Наибольший убыток принесли акции компании ММК, по которым осуществлялись короткие продажи. В ноябре 2014 года резкий рост стоимости акции обусловлен опубликованием финансовой отчетности ММК, в которой была отражена информация о росте чистой прибыли за 9 месяцев 2014 года в 11 раз по сравнению с аналогичным периодом прошлого года.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что портфель №1, не учитывающий короткие позиции, принес большую доходность за период с 2014 по 2016 гг. Доход от длинных позиций в портфеле №2 не смог компенсировать убыток от коротких позиций.

Полученные результаты для портфелей, управляемых с помощью активной стратегии.

Далее рассматриваются структуры и доходности портфелей с короткими позициями и без них, формируемых ежеквартально на момент публикаций обновленного индекса MICEX. Сводная таблица по структурам всех портфелей без коротких позиций представлена в Приложении 2.

На период 06.01-19.03.14 гг. структура портфеля без коротких позиций описана в Таблице 4, с короткими позициями - в Приложении 3.

Таблица 4. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 06.01-19.03.14 гг.

Практическая доходность портфеля составила -15,06%, в то время как данный показатель у портфеля с короткими позициями составил 10,48%. Стоит отменить, что все ценные бумаги в представленном выше портфеле за данный период принесли убыточную доходность. Основную ее часть часть сформировали акции АФК Системы и Аэрофлота. Падение стоимости акций большинства компаний в данный период обусловлено политическими событиями в Украине. Скорее всего, именно по этой причине портфель с короткими позициями принес положительную доходность.

Структура портфеля без коротких позиций следующем квартале представлена ниже, с короткими продажами представлена в Приложении 4. В данный период из индекса вышли акции компаний Камаз и Мечел, замену которым составили «Группа Черкизово» и «Фармстандарт».

Следует отметить, что в данный портфель вошли только те акции, стоимость которых в предыдущий период увеличилась. Практическая доходность в нем составила 5,71%, в то время как портфель с короткими позициями принес доходность в размере -18,65%. Так как расчет весов ценных бумаг в портфеле осуществляется на основе исторических значений котировок за прошедший квартал, информация о снижение стоимости большинства акций была учтена в расчете.

Таблица 5. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 19.03-18.06.14 гг.

По этой причине основная часть ценных бумаг оказалась в составе коротких позиций. Однако в текущий период большинство акций в портфеле продемонстрировало рост стоимости, следствием чего стала отрицательная доходность. Кроме того, текущий период характеризуется ослаблением российской валюты. Так как многие компании, входящие в состав индекса ММВБ являются экспортерами, их расходы рассчитываются в рублях, а прибыль - в долларах. Таким образом, выручка, полученная за реализацию прежнего объема продукции, значительно возросла.

Структура портфеля без коротких продаж, включающая в себя 12 акций, на следующий период с 18.06 по 17.09.14 представлена в Таблице 6. Практическая доходность данного портфеля составила -15,31%.

Основной убыток в данном периоде принесли обыкновенные и привилегированные акции компании Башнефть. Обвал котировок акций данной компании произошел из -за судебного разбирательства в отношении основного владельца АФК Ситемы, так как Башнефть является ее дочерней компанией. Кроме того, акции компании Мечел потеряли треть своей стоимости вследствие высокой долговой нагрузки.



Таблица 6. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 18.06-17.09.14 гг.

Портфель с короткими позициями, структура которого приведена в Приложении 5, так же не принес прибыли за данный период. Следует отметить что практически все активы принесли нулевую доходность, в следствие чего практическая доходность всего портфеля составила -1,76%.

В период с 17.09. по 17.12.14 портфель без коротких продаж принес значительную доходность в размере 44,78%. Половина доходности была получена за счет роста стоимости российских депозитарных расписок Компании РУСАЛ. Данной компании удалось улучшить свои финансовые показатели на фоне ослабления курса российской валюты, так как расходы компания несет в рублях, а полученная выручка формируется в долларах.

Стоимость акций Группы Компаний ПИК продемонстрировала стремительное увеличение в течение текущего периода. Скорее всего, начало данного роста обусловлено объявлением о выплате дивидендов в размере 4,16 руб. на акцию. инвестиционный портфель стратегия актив



Таблица 7. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 17.09-17.12.14 гг.

Также значительную доходность принесли акции компании Северсталь. Данный рост обусловлен ожиданием высоких дивидендов вследствие продажи активов на территории США.

Портфель, учитывающий короткие продажи, принес положительную практическую доходность в размере 16,20%. Большая часть акций в портфеле за данный период продемонстрировала ценовой спад. Именно в текущий период происходило стремительное снижение стоимости нефти, оказывающее негативное влияние на экономику в целом, и на фондовый рынок в частности.

С 17.12.14 по 18.03.15 структура портфеля без коротких позиций представлена в Таблице 8. Следует отметь, что треть веса в нем занимают акции компании Акрон, вошедшие в индекс ММВБ в предыдущем периоде и обеспечившие в данном квартале половину общей доходности портфеля.

Кроме того, существенный рост стоимости наблюдается у акций компании АЛРОСА. Крупнейший производитель алмазов увеличил свою выручку в 1 квартале 2015 года за счет увеличения спроса на продукцию и девальвации российской валюты.

Таким образом, общая доходность портфеля за периода составила 16,76%.



Таблица 8. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 17.12.14-18.03.15 гг.

Структура портфеля, учитывающего короткие продажи представлена в Приложении 7. Его доходность за текущий период составила -21,75%. Ценные бумаги только 3 компаний из 40, находящиеся в короткой позиции, продемонстрировали снижение стоимости. Стоит отметить, что на фоне падения цены на нефть котировки компаний, связанных с нефтяной отраслью, такие как Татнефть и Башнефть, растут на основе падения курса национальной валюты. Кроме того, возможной причиной роста стоимости акций компании Сургутнефтегаз стала новость о высоких ожидаемых дивидендах.

Структура портфеля на период с 18.03-17.06.15, состоящая из 18 акций, представлена в Таблице 9. Общая доходность составила всего лишь 0,53%. Только половина акций за данный период продемонстрировала рост стоимости. Основную доходность в портфеле принесли акции компании МОСТОТРЕСТ, стоимость которых выросла на треть за текущий период. Самый значительный убыток принесли акции компании АК АЛРОСА, цена которых снизилась на треть.



Таблица 9. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 18.03-17.06.15 гг.

Портфель с короткими позициями принес убыточную доходность в размере 3,06%. В текущем периоде теоретическая доходность каждого эмитента по модулю не превысила и 1%.

На период 17.06 - 17.09.15 гг. структура портфеля без коротких позиций описана ниже, с короткими позициями - в Приложении 5. Общая доходность портфеля за период составила 9,36%, наибольшую часть которой составила полученная доходность от акций компании Полюс Голд, вошедших в состав индекса лишь в предыдущий период. Стоимость данных акций возросла за текущий период практически на половину, что обусловлено повышением спроса на драгоценный металл.

Наибольшую убыточную доходность принесли акции Банка ВТБ. Несмотря на небольшой спад их стоимости, существенное количество данных активов в портфеле принесло заметный убыток.

Портфель, включающий короткие продажи, принес убыточную доходность в размере 3,57%. Положительная доходность от длинных позиций не смогла покрыть убытки от роста акций компаний, по которым были открыты короткие позиции.

Портфель, сформированный на период с 17.09 по 17.12.15 включает в себя акции 11 эмитентов, наибольшую доходность из которых принесли акции Северстали и Корпорации ВСМПО - АВИСМА, продемонстрировавшие значительный рост стоимости в предыдущем периоде. Общая практическая доходность данного портфеля составила 5,46%, в то время как портфель с короткими позициями (см. Приложение 6) принес убыток. Практическая доходность оказалась равной -6,65%, теоретическая - -5,59%.

Таблица 10. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 17.06-17.09.15 гг.

Таблица 11. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 17.09-17.12.15 гг.

Большая часть разницы между полученными значениями обусловлена ростом акций компании ВСМПО - АВИСМА, не вошедшая в практический портфель вследствие превышения цены акции над величиной выделенных инвестиций.

Доходность портфеля за период 17.12.15-17.03.16 гг. составила 6,37%. Стоит отметить значительный рост стоимости акций компаний Аэрофлот и Башнефть. Рост акций авиакомпании обусловлен положительными результатами деятельности за 2015 год, отраженные в финансовой отчетности. Стоимость акций Башнефти возросла за счет ожиданий о приватизации контрольного пакета акций. Депозитарные расписки РОС АГРО ПЛС, вошедшие в состав рыночного индекса лишь в предыдущем периоде, продемонстрировали рост стоимости за период, что свидетельствует об эффективности решения формирования портфеля в соответствии с обновлением индекса. Увеличение цены актива обусловлено увеличившимся спросом на продукцию вследствие введенного эмбарго на импорт в России и ожиданиях выплаты высоких дивидендов.

Таблица 12. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 17.12.15-17.03.16 гг.

Основной убыток принесли акции «Группы Черкизово», стоимость которых за период упала примерно на 11%. Аналогичное снижение, произошедшее со стоимостью акций компании Мегафон, также привело к убытку, размер которого составил более низкую величину вследствие меньшего количества бумаг данного эмитента в портфеле.

Портфель с короткими продажами (см. Приложение 9), наибольшую долю которых составили акции Газпрома, за текущий период снова принес отрицательную доходность в размере 8,26%. Цена акций нефтегазовой компании увеличились всего лишь на 10 рублей, однако именно они принесли наибольший убыток. У большинство акций в коротких позициях произошел рост стоимости, что и стало причиной отрицательной доходности портфеля.

Таблица 13. Структура оптимального портфеля без коротких позиций и его доходность за период 17.03-06.04.16 гг.

В период с 17.03 по 06.04.16 гг. сформированный портфель принес доходность в размере 4,75%. Стоит подчеркнуть, что размер текущего периода существенно меньше рассматриваемых ранее. Основная часть доходности сформировалась за счет ценового роста на 13% акций НЛМК. Большим весом в портфеле обладают депозитарные расписки РОС АГРО ПЛС, принесшие в предыдущем квартале наибольшую доходность. Однако в текущем периоде рост стоимости не составил и 1%, следствием чего и стала низкая общая доходность.

Портфель с короткими продажами, структура которого представлена в Приложении 10, принес доходность в размере 1,56%.

Сравнение полученных результатов с динамикой рынка

Ниже представлена сводная таблица полученных теоретических доходностей для всех портфелей за периоды с 06.01.14 по 06.06.16 гг. В последней строке приведена доходность за данный период, полученная при переформировании портфелей в соответствии с обновлениями состава рыночного индекса ММВБ. В правом столбце представлена его доходность за соответствующие периоды. Для наглядности в Приложениях 13 и 14 представлена динамика рыночного индекса в 2014 и 2015 гг. соответственно.

Таблица 14. Сводная таблица результатов для всех портфелей за тестируемые периоды.

При управлении портфелем, включающим короткие позиции, с помощью пассивной стратегии была получена наибольшая отрицательная доходность в размере -39,88%. При данной стратегии портфель без коротких позиций принес положительную доходность в размере 12,24%. Однако наибольшую прибыль за данный период могли бы принести вложения в рыночный индекс, доходность которого превысила доходность портфеля без коротких позиций в 2 раза. Таким образом, за текущий период короткие продажи не принесли положительной доходности, а оптимальному портфелю, включающему только длинные позиции, не удалось обойти рынок.

Первый квартал 2014 демонстрирует противоположные результаты. Портфель с короткими позициями принес доходность в размере 10,43%, в то время как портфель без них принес убыточную доходность, величина которой составила -16,02%. Рынок также продемонстрировал спад за данный период, его доходность упала на 9,89%. Полученные результаты можно объяснить с помощью напряженной геополитической ситуации между Россией и Украиной. В начале марта информация о том, что президенту России было разрешено ввести войска на территорию Украины, резко обрушила рынок на 11%. Котировки акций большинства компаний, входящих в индекс, негативно отреагировали на данную новость, что и обусловило положительную доходность портфеля с короткими позициями.

...