Проблемы измерения и выявления потенциально значимых факторов здоровья

Размещено на http://allbest.ru

Введение

Актуальность темы. При изучении рынка труда исследователи часто анализируют только статические переменные, такие как уровень занятости и безработицы. Однако также важно исследовать движение рабочей силы, к примеру, с целью определить, как быстро безработный человек смог найти работу. Имея данные по продолжительности безработицы, исследователь может более глубоко понять потоки между занятостью, безработицей и рабочей силой. К примеру, годовой уровень безработицы в 10 процентов может наблюдаться в двух случаях: когда каждый месяц 10 процентов населения теряют работу и быстро находят ее к следующему месяцу и когда 10 процентов населения остаются безработными на протяжении года. Очевидно, что первый случай отражает более благоприятные условия на рынке труда.

В настоящее время уже имеется достаточное количество исследований, которые были направлены на выявление основных факторов, влияющих на продолжительность безработицы (Abraham & Vodopivec, 1993; Ham, Svejnar, & Terrell, 1998; Lubyova & Van Ours, 1997; Micklewright, Nagy, & others, 1995). Однако авторы не уделяют должного внимания группе факторов здоровья или же совсем не включают их в исследование, хотя наличие связи между состоянием здоровья и способностью человека заниматься трудовой деятельностью не вызывает сомнений. Гораздо чаще можно увидеть исследования, направленные на изучение влияния длительности безработицы на уровень здоровья (Bartel & Taubman, 1979; Jin, Shah, & Svoboda, 1995). В данных исследованиях было обнаружено сильное пагубное влияние безработицы на состояние здоровья. Однако обнаруженную связь с трудом можно назвать однозначной. Довольно очевидно, что плохое состояние здоровья пагубно влияет на предложение на рынке труда, например, путем сокращения рабочих часов для индивида или его производительности. Следовательно, можно предположить, что работодатели с большей охотой будут нанимать более здоровых сотрудников. Кроме того, индивид со слабым здоровьем оказывается ограниченным в возможностях поиска работы, поскольку сужается перечень потенциальных мест его работы. Таким образом, уровень здоровья может повлиять на вероятность индивида найти работу в какой-либо сфере.

Если индивиды с ослабленным здоровьем в среднем остаются безработными на протяжении более длительного срока, тогда справедливо, что они составляют более высокую долю в группе безработных, чем в группе занятых.

Цели и задачи исследования. Цель выпускной квалификационной работы состоит в теоретическом анализе и эмпирической оценке влияния факторов здоровья на продолжительность безработицы на основе анализа выживаемости.

В соответствии с поставленной целью задачами выпускной работы являются:

· анализ теоретических подходов к обоснованию влияния здоровья на рынок труда;

· анализ теоретической литературы по вопросам связи между здоровьем и безработицей;

· построение вероятностной функции выживания, соответствующей длительности безработицы, и выявление потенциально значимых факторов здоровья;

· определение основных факторов, влияющих на продолжительность безработицы;

· построение моделей анализа выживаемости (кривых выживания, регрессий Кокса, Вейбулла и Гомперца) для прогнозирования риска трудоустройства индивида;

· оценка точности построенных моделей и выбор наилучшей спецификации.

Объектом исследования трудоспособное население.

Предметом исследования сроки поиска работы в зависимости от различных входных факторов.

Теоретическая и методологическая основа дипломной работы базируется на научных трудах отечественных и зарубежных авторов, посвященных проблемам взаимосвязи между здоровьем и безработицей, количественному измерению продолжительности безработицы и факторов здоровья, методологии анализа выживаемости.

В процессе исследования были использованы статистические модели анализа выживаемости, включающие в себя метод Каплана-Мейера, регрессии Кокса, Вейбулла и Гомперца.

Информационной базой исследования послужили данные Панельного Исследования Доходов Домохозяйств (PSID) в США, материалы периодической печати, а также сети Интернет.

Научная новизна работы заключается в формировании системы факторов, обуславливающих продолжительность безработицы и риск быть нетрудоустроенным; получение эконометрических оценок влияния факторов здоровья на продолжительность безработицы и самом исследовании влияния здоровья на безработицу, а не наоборот, как в большинстве случаев.

Объем и структура работы. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. В первой главе рассматриваются теоретические подходы к обоснованию влияния здоровья на безработицу и методологические приемы анализа данных о длительности состояний. Во второй главе описываются основные приемы сбора и преобразования данных. Отдельный пункт посвящен проблемам измерения и выявления потенциально значимых факторов здоровья. Третья глава включает в себя непосредственно сами расчеты и анализ полученных результатов. Общий объем дипломной работы содержит 65 страниц текста, 12 таблиц и 2 приложения. Библиографический список включает в себя 34 наименования.

Глава 1. Теоретические и методологические аспекты влияния здоровья на безработицу

1.1 Основные предпосылки исследования влияния факторов здоровья на продолжительность безработицы

Основные предпосылки исследования влияния факторов здоровья на продолжительность безработицы

Вся литература, исследующая взаимосвязь между безработицей и факторами здоровья, может быть поделена на два направления. Работа Бреннера (Brenner, 1979) дала начало первой волне исследований. Бреннер обнаружил, что уровень безработицы имел значительное влияние на уровень смертности, причем значимость была достигнута также при включении пространственных лагов на уровень безработицы. Работы последователей Бреннера показали сильно противоречивые результаты, но схожи они в одном - если влияние безработицы на уровень смертности действительно существует, то оно проявляется лишь через большой промежуток времени.

Вторая волна исследований основывалась на использовании данных микроуровня, в частности, состоянии безработицы в разные моменты времени для прогнозирования уровня смертности. В представленных здесь работах результаты оказались уже весьма схожими: указывалось, что для безработных были характерны более высокие уровни смертности, чем для занятых (Iversen, Andersen, Andersen, Christoffersen, & Keiding, 1987; Wadsworth, Montgomery, & Bartley, 1999). Тем не менее, полученные результаты являются не совсем достоверными, так как все они игнорировали уровень здоровья индивидов в начальный момент времени в группах занятых и безработных по отдельности. Весьма вероятно, что в группе безработных могли оказаться индивиды с более низкими показателями здоровья, чем в группе занятых, вследствие чего и уровень смертности для них оказался выше. Существует два возможных объяснения, почему средний уровень здоровья в группе безработных может быть ниже, чем в группе занятых.

Первая возможная причина заключается в том, что работники с более низким уровнем здоровья могут иметь больше шансов стать безработным: ослабленное здоровье, как правило, влечет за собой больше пропусков рабочих дней по болезни, что негативно отражается на работе фирмы в целом (это утверждение будет также доказано в следующем пункте). Таким образом, люди с ослабленным здоровьем вероятнее всего первыми станут безработными, если появится необходимость в сокращении штата сотрудников. Эрроу (Arrow, 1996) обнаружил, что ослабленное здоровье действительно увеличивает вероятность стать безработным для некоторых категорий рабочих. Другая группа исследователей выявила, что безработица среди молодого населения тесно связана с накопленными еще с детства проблемами со здоровьем (Montgomery, Bartley, Cook, & Wadsworth, 1996).

Вторая возможная причина заключается в том, что люди с более слабым здоровьем могут оставаться безработными в течение более длительного периода времени, что может также являться следствием первой причины. Если длительность безработицы действительно больше для индивидов с ухудшенным здоровьем, тогда они составляют большую долю всех безработных; отсюда неудивительно, что показатели смертности в этой группе были выше, чем в группе занятых. В данной работе проверяется последняя гипотеза: ослабленное здоровье оказывает положительное влияние на длительность безработицы.

Существует немало исследований, исследующих влияние различных факторов на продолжительность безработицы. Так, Хэм и другие (Ham et al., 1998) обнаружили, что женатые мужчины имеют меньшую продолжительность безработицы, чем одинокие, а люди только с начальным уровнем образования испытывают трудности при устройстве на работу. Еще несколько исследований (Lubyova & Van Ours, 1997; Micklewright et al., 1995) подтвердили указанную связь между семейным положением и вероятностью трудоустройства для мужчин. Абрахам и Водопивек (Abraham & Vodopivec, 1993) на данных Словении обнаружили, что возраст оказывает негативное влияние на вероятность найти работу, а люди с высшим образованием имеют преимущество в трудоустройстве перед теми, у кого только среднее образование. Однако исследований, посвященных анализу влияния состояния здоровья на длительность безработицы, очень мало. К. Фурманов и И. Чернышева (Фурманов & Чернышева, 2014) построили модель продолжительности поиска работу и оценили влияние различных факторов на время пребывания в безработице. К сожалению, группа характеристик здоровья оказалась незначимой в данном исследовании. Другое исследование J. Stewart (2001) показало, что люди, вынужденные покинуть работу из-за состояния здоровья, имеют более низкую вероятность найти работу, чем те, кто покинул работу по каким-либо другим причинам. Кроме того, люди, покинувшие работу по состоянию здоровья и имеющие ограничения в работе, имеют еще меньше шансов трудоустроиться, чем люди с ухудшенным здоровьем, но без ограничений.

Капитал здоровья как составляющая человеческого капитала

Предполагаемая взаимосвязь между уровнем здоровья индивида и его положением на рынке труда может быть проиллюстрирована с помощью модели Гроссмана (Grossman, 1972). Согласно модели здоровье расценивается как составляющая человеческого капитала: сам по себе он обесценивается с течением времени, но может быть поддержан или даже увеличен с помощью инвестиций. Индивид может инвестировать в свое здоровье путем использования медицинской помощи или соблюдения «правильного» питания. Ежедневные упражнения и/или соблюдение режима питания также считаются инвестициями в здоровье, в отличие от чрезмерного употребления алкоголя или принятия наркотиков, которые наоборот ускоряют процесс обесценения здоровья. В модели Гроссмана индивиды максимизируют функцию полезности, которая зависит от запаса здоровья, потребления других товаров и услуг, времени на досуг и предпочтений. Общий вид производственной функции здоровья выглядит следующим образом:

,

где запас капитала здоровья в период , «поток услуг» от единицы капитала здоровья, потребление других благ в момент времени .

Основное предположение модели Гроссмана - эндогенность запаса капитала. Текущий запас здоровья зависит от инвестиций в прошлые годы, которые, в свою очередь, зависят от еще более ранних инвестиций. Таким образом, здоровье в данной модели обладает характеристиками не только потребительского, но и инвестиционного блага. Как объект инвестиций хороший уровень здоровья сокращает число дней невыхода на работу по болезни, в связи с чем индивид может работать дольше, зарабатывать больше денег и расширять собственную потребительскую корзину или же наоборот - иметь больше времени на отдых.

Однако стоит заметить, что модель Гроссмана допускает наличие двойной связи между здоровьем и безработицей. Так, плохой уровень здоровья действительно может увеличить вероятность стать безработным и задержаться в таком состоянии больше, чем люди с хорошим уровнем здоровья, так как в целом работодатели желают видеть у себя более здоровых работников и не хотят максимально сократить число дней невыхода на работу из-за болезни. С другой стороны, так как уровень здоровья в модели зависит от прошлых и текущих инвестиций, которые в свою очередь определяются прошлыми/текущими заработками, то статус безработного может ухудшить состояние здоровья, если общий доход индивида меньше, чем в состоянии занятости.

Обратимся к некоторым эмпирическим исследованиям, которые изучали влияние ухудшенного здоровья на рынок труда. Курие и Мадриан (Currie & Madrian, 1999) подчеркивают, что во многих работах действительно было выявлено значимое влияние здоровья на вероятность быть занятым на рынке труда, однако проблема в том, что эта связь недостаточно изучена, в частности, не хватает оснований для подтверждения бесспорной значимости эффекта, а также того, остаются ли факторы здоровья значимы при включении в модель других групп факторов. Помимо этого, авторы указывают на недостаток исследований, которые бы принимали во внимание все возрастные группы трудоспособного возраста: большинство работ делают акцент на старших возрастных группах.

Начнем с обзора исследований о влиянии здоровья на вероятность выхода на пенсию. Сразу несколько исследований (Bound, 1989; Disney, Emmerson, & Wakefield, 2006) показали, что ухудшение здоровья в старших возрастных группах (от 50 лет) имело значительное влияние на решение выхода на пенсию. Другое исследование (Blau & Riphahn, 1999) показало, что неожиданное ухудшение здоровья увеличивает вероятность стать безработным на 84 процента и вероятность выйти из состава рабочей силы на 200 процентов для людей от 40 до 59 лет.

Исследований, которые бы анализировали различные последствия плохого здоровья для рынка труда, значительно меньше. Согласно им, плохое состояние здоровья негативно влияет на производительность работника и предложение труда. Так, Стерн (Stern, 1996) на данных Панельного Исследования Динамики Домохозяйств (PSID) показал, что снижение трудоспособности из-за болезни увеличивало вероятность потери работы на 13 процентов. На тех же данных другая группа авторов (Haveman, Wolfe, Kreider, & Stone, 1994) получила, что плохое состояние здоровья сокращает общее количество отработанных часов на 7,4 процента. Meser и Berger (2004) обнаружили, что временные проблемы со здоровьем сокращают как зарплату (на 8,4% для мужчин и 4,2% для женщин), так и количество отработанных часов (на 6,3% для мужчин и 3,9% для женщин). В целом, эмпирические работы подтверждают выводы из теоретической модели Гроссмана.

1.2 Постановка задачи анализа выживаемости и спецификация терминологии

Анализ выживаемости (иногда анализ наступления события) - изучение зависимости риска наступления (или ненаступления) события от продолжительности пребывания объекта в группе риска, а также от ряда других характеристик объекта и внешних факторов, влияющих на этот риск (Бурдяк, 2007). С помощью данной группы методов и подходов изучаются данные, протяженные во времени. Такие данные, как правило, собираются с помощью панельных опросов домохозяйств либо отдельных индивидов. Специфика группы методов состоит в анализе цензурированных данных, т.е. учитываются респонденты, для которых на момент окончания исследования интересующее событие еще не наступило. В начале исследования все без исключения респонденты представляют собой группу риска, то есть в любой момент для любого респондента может наступить интересующее исследователя событие - в нашем случае это устройство на работу.

В анализе выживаемости выделяют три главных компонента - объекты, события и время. В данном исследовании объекты - это люди, члены домохозяйств; событие - переход из состояния безработицы в состояние занятости и время - продолжительность нахождения в состоянии безработицы (количество недель). Главная задача анализа выживаемости - определить, как меняется вероятность наступления того или иного события в зависимости от продолжительности пребывания в группе риска и какое влияние на исследуемую вероятность оказывают различные характеристики.

Все методы анализа выживаемости строятся на следующих базовых предположениях:

1. Линейность - все объясняющие переменные линейно влияют на логарифм функции риска наступления события (определение функции риска дано ниже);

2. Независимость объясняющих переменных.

Для проверки первого предложения не существует никаких формальных тестов; второе предположение можно проверить с помощью построения матрицы корреляций.

Пусть для непрерывной случайной величины (времени жизни чего-либо) определена кумулятивная функция распределения , отражающая вероятность наступления события до момента времени (в рамках данной работы - вероятность найти работу до времени ). Обратная ей величина отражает вероятность того, что интересующее событие не наступило до момента времени (вероятность, что индивид остался безработным до времени ) и называется функцией выживания

,

где - функция плотности распределения.

Другая очень важная функция, характеризующая распределение величины - функция риска , отражающая вероятность «погибнуть» в момент времени : . Числитель данного выражения отражает условную вероятность того, что интересующее событие произойдет в интервале времени при , а знаменатель - ширину интервала. В целом функция риска отражает мгновенную интенсивность осуществления события. Если на функцию риска негативно влияет продолжительность безработицы (, то вероятность найти работу уменьшается cо временем. В качестве возможного объяснения данному феномену выступают эффект разочарования от поиска работы, ухудшение рабочих навыков, потеря квалификации, а также боязнь работодателей нанимать людей, которые долгое время оставались без работы. Если же производная больше нуля, то вероятность найти работу увеличивается со временем, что может являться следствием уменьшения резервной заработной платы, то есть с увеличением продолжительности безработицы человек соглашается работать за меньшую ставку заработной платы.

Если исследователь знает одну из функций, то он без труда может вывести и вторую. Отношение между функцией выживаемости и функцией риска описывается следующим образом: . Подынтегральное выражение называется кумулятивной функцией риска и отражает сумму всех рисков при переходе от момента времени 0 к . Таким образом, имея функцию выживания , можно ее продифференцировать и получить функцию плотности распределения , а затем найти функцию риска , поделив ее на функцию выживания . Если же исследователь знает функцию риска , то он может получить кумулятивную функцию риска , взять от нее экспоненту и получить функцию выживания .

1.3 Неполные данные

Отличительная черта анализа выживаемости - неполные данные, то есть ситуация, когда продолжительность пребывания объекта в некотором состоянии не удается установить с точностью. Сбор данных о длительности чего-либо предполагает довольно продолжительное наблюдение за объектами. Однако время на проведение определенного исследования часто довольно ограничено, поэтому исследователь сталкивается с цензурированными и/или усеченными данными.

Причины неполноты данных представлены на рисунке 2.1. Пусть точка А означает момент начала исследования, а точка B - его окончания. Линии отражают длительность интересующего события.

Рис. 1.1. Неполнота данных

Линии и отражают ситуацию, когда длительность пребывания в периоде безработицы полностью попала в рамки исследования, т.е. данные являются полными. Линия показывает состояние, для которого полная длительность безработицы не будет зафиксирована в исследовании, то есть на момент окончания исследования респондент все еще оставался безработным. Такое наблюдение является цензурированным. Состояние отражает состояние, когда момент начала безработицы начался раньше начала исследования. Если респонденты отвечают на вопрос о начале периода безработицы, то данные перестают быть неполными; в противном случае мы опять сталкиваемся с цензурированием. Состояние 5, также как и состояние 4, началось до момента исследования, но и закончилось до периода наблюдения, поэтому вообще не попало в выборку. Это пример того, что вероятность попадания в выборку может зависеть от продолжительности пребывания в некотором состоянии (усеченные данные).

Цензурированные данные

Цензурирование бывает левосторонним, правосторонним, а также интервальным. Выборка называется цензурированной слева, когда неизвестна дата начала исследуемого события: к примеру, если респондент не указывает дату начала периода безработицы (линия . Правостороннее цензурирование отражает ситуацию, когда исследователь знает момент начала эксперимента, но не может точно установить полное время «жизни» для некоторых объектов на момент окончания исследования (линия на графике). Это, как правило, связано с завершением исследования или выпадением объекта из рассмотрения. Интервальное цензурирование случается тогда, когда момент «смерти» удается установить лишь с точностью до нескольких лет, к примеру, если известно, что человек умер в возрасте от 60 до 64 лет, если его семья не принимала участия в опросе в этот промежуток времени. В данном исследовании мы сталкиваемся с правосторонним цензурированием, ведь каждый респондент указывает момент начала периода безработицы, но не каждый находит работу до окончания исследования.

Усеченные данные

Усечение - вид неполноты информации, при котором какая-то область возможных значений длительности оказывается недостаточно представленной в выборке: состояния, длительность которых слишком велика или, наоборот, слишком мала, просто не включаются в анализируемые данные (Ратникова et al., 2013). Усечение, так же как цензурирование, бывает правосторонним, левосторонним и интервальным.

Усечение слева наблюдается в том случае, когда на момент начала исследования состояние уже продолжалось в течение некоторого периода времени. Для того чтобы попасть в выборку, такое состояние должно было продлиться до начала исследования, поэтому маленькие продолжительности, которые не «доживают» до его начала, оказываются недостаточно представленными в выборке. Так, в нашем исследовании могут быть недостаточно представлены короткие периоды безработицы, длящиеся менее тридцати дней.

Усечение справа возникает, когда из рассмотрения удаляются наблюдения, для которых интересующее событие не завершилось к моменту окончания исследования. Пример усеченной справа выборки содержится в книге Клейна и Мойшбергера (Klein & Moeschberger, 2005), где рассматривались данные о поражении СПИДом при переливании крови. Так, чтобы данные были включены в выборку, было необходимо, чтобы время от переливания до диагностики было меньше времени от переливания до обследования. Поэтому случаи, когда диагностика затягивалась, не были включены в выборку, а значит, большие продолжительности были недостаточно представлены.

Интервальное усечение встречается крайне редко, но все-таки возникает, когда объекты выпадают из рассмотрения на некоторое время, а потом возвращаются обратно. Если индивид в возрасте 50 лет выпадает из исследования на 2 года, а потом возвращается обратно, то эти два года представляют собой период, в котором невозможно отследить наступление интересующего события. Следовательно, вероятность, что такое событие попадет в выборку, зависит от длительности изучаемого состояния.

В общем, в случае цензурирования причиной неполноты информации является отсутствие точной информации об изучаемой продолжительности. В случае усечения - особенность сбора данных для анализа, где вероятность попадания наблюдений в выборку зависит от длительности изучаемого состояния. Следствием этого является тот факт, что выборка представляется не полностью случайной, а некоторые значения оказываются недостаточно представленными. В данном исследовании мы столкнулись с неполнотой данных следующего вида: усечение слева и цензурирование справа.

1.4 Метод Каплана-Мейера

Метод Каплана-Мейера является непараметрическим методом, используемым для оценки вероятности выживания до заданных моментов времени. Большое преимущество метода Каплана-Мейера состоит в том, что он справляется с цензурированными данными. График оценки Каплана-Мейера представляет из себя убывающую ступенчатую линию, так как значения функции между точками наблюдений предполагаются равными константе. Данный метод может быть использован, если выполняются шесть основных предположений.

Основные предпосылки использования

Метод Каплана-Мейера может быть использован, если выполняются шесть основных предположений ((“Kaplan-Meier using SPSS Statistics,” n.d.).

Предположение №1. Статус события должен состоять из двух взаимно исключающихся состояний: «событие» и «неполное (цензурированное) событие». Кроме того, должна наблюдаться полная группа событий, т.е. непременно должно произойти хотя бы одно из событий.

Предположение №2. Период выживания должен быть четко определен и точно измерен. Метод Каплана-Мейера в отличие от других методов анализа выживаемости (к примеру, актуарного подхода) требует, чтобы момент наступления события был четко записан, а не просто произошло ли интересующее исследователя событие в заранее указанный интервал (к примеру, запись того, что выход из безработицы наступил где-то в течение января, февраля итд.)

Предположение №3. Левостороннее цензурирование должно быть представлено в минимальном объеме, а лучше, чтобы его вообще не было. Левостороннее цензурирование происходит, когда неизвестен момент начала эксперимента, что часто случается в медицинских исследованиях, так как нельзя с уверенностью сказать, когда определенное заболевание начало развиваться в организме человека. В нашем исследовании же, момент начала эксперимента - становление индивида безработным, и проблема с началом отсчета встречается крайне редко, т.к. почти всегда индивиды могут с точностью сказать, когда они стали безработными.

Предположение №4. Независимость цензурирования и события. Это предположение подразумевает то, что причина обозначения события в качестве цензурированного не должна быть связана или близка к интересующему исследователя событию. То есть исследователь должен быть уверен, что обозначение наблюдения в качестве цензурированного происходит не потому, что соответствующий респондент имел больший риск наступления события. Тем не менее, наблюдение может стать цензурированным по следующим причинам: 1) респондент отказался от дальнейшего участия в эксперименте или больше не смог принимать в нем участие (к примеру, переехал в другой город). 2) если интересующее событие не наступило к концу эксперимента. Данное предположение чрезвычайно важно, так как метод Каплана-Мейера предполагает, что цензурированные наблюдения ведут себя так же как и нецензурированные. В общем, нельзя цензурировать событие по причинам близким к интересующему событию. К примеру, в нашем исследовании индивид не должен быть помечен в качестве цензурированного наблюдения, если, будучи безработным, он получил полгода исправительных работ.

Предположение №5. Не должны наблюдаться долгосрочные тренды. Многие исследования, применяющие анализ выживаемости, характеризуются тем, что: 1) период между началом и концом эксперимента слишком велик; 2) момент начала эксперимента для всех событий разнится (в нашем случае это означает, что дата начала периода безработицы индивидуальна для каждого респондента). Тем не менее, в таких исследованиях точка начала отсчета предполагается единой для всех наблюдений (начальный момент времени ). Однако если с течением времени факторы сильно изменились, что могло повлиять на вероятность наступления интересующего события, то оценки будут сильно смещены. К примеру, если за рассматриваемый период размер пособия по безработице вырос в несколько раз, то включение в исследование всех периодов безработицы, зарегистрированных за рассматриваемый период, может также привести к смещенным результатам (так как увеличение размера пособия по безработице часто приводит к росту средней продолжительности безработицы).

Предположение 6. В каждой исследуемой подвыборке доля цензурированных наблюдений должна быть примерно одинакова. Это необходимо при сравнении функций выживания для двух разных групп помощью, к примеру, log-rank теста. Несоблюдение данного условия может повлечь за собой ошибки первого и второго рода. Данное предположение проверяется в п. 3.2.

Применение метода Каплана-Мейера для оценки функции выживания

Предположим, что исследователь владеет выборкой из независимых наблюдений, где каждое наблюдение обозначается переменная, содержащая в себе длительности пребывания в состоянии безработицы для каждого респондента, а индикатор цензурирования. Предположим также, что среди наблюдений существует случаев наступления определенного события (в нашем случае - нахождения нового места работы). Упорядочим длительности безработицы по возрастанию . Обозначим за число респондентов «под риском» в момент времени , т.е. число продолжительностей безработицы, которые продлились не меньше, чем . За обозначим число объектов, для которых интересующее событие наступило в этот же момент времени, т.е. число респондентов, которые нашли работу в момент времени . Тогда оценка Каплана-Мейера вычисляется по формуле (Hosmer Jr & Lemeshow, 1999):

,

при условии, что

Заметим, что следует перемножать значения только для тех моментов времени, для которых , т.е. когда наблюдался хотя бы один исход, так как если , то .

Практически всегда в дополнении к оценке Каплана-Мейера исследователи строят доверительный интервал выживаемости. Доверительный интервал выживаемости рассчитывается по следующей формуле:

,

где стандартная ошибка выживаемости, а - квантиль нормального распределения. Обычно принято строить 95% доверительный интервал, то есть полагать .

Стандартная ошибка выживаемости рассчитывается по формуле Гринвуда:

В целом, оценка Каплана-Мейера применяется для оценки закона распределения вероятностей и является некоторым аналогом эмпирической функции распределения применительно к неполным данным.

Обзор статистических методов сравнения кривых выживания

Метод Каплана-Мейера позволяет исследователю построить кривые выживания для групп фактора, но визуально оценить, значима ли разница между ними, не всегда возможно. Вследствие этого, необходимо обращаться к статистическим тестам. Существует несколько тестов для проверки идентичности кривых выживания, наиболее распространенные из них - логранговый критерий Кохрана-Мантеля-Гензеля, тест Уилкоксона для цензурированных данных и тест Тарона-Уэра. Все три теста основаны на сравнении взвешенной разницы между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами в каждый момент времени, и отличаются только методом придания веса наблюдениям. Во многих источниках говорится о том, что практически всегда все три теста покажут один и тот же результат, тем не менее, для каждого типа данных лучше определить наиболее подходящий, ведь полагаться на тест, который показал наименьшее p-значение «непрофессионально» (“Kaplan-Meier using SPSS Statistics,” n.d.).

Логранговый критерий является наиболее сильным, когда отношение шансов является постоянным (наблюдаются пропорциональные риски) на протяжении определенного периода времени. Проверить предположение о пропорциональных рисках можно визуально - достаточно посмотреть, пересекаются ли кривые выживания. Если они пересекаются, то риски непропорциональные. Логранговый критерий предпочтительнее остальных, если исследователь придает больший вес наиболее поздним наблюдениям. Критерии Уилкоксона следует применять в противоположном случае - если больший вес следует наложить на более ранние наблюдения, так как вес равен количеству объектов, подверженных риску в каждый момент времени. Тест Тарона-Уэра является чем-то средним между двумя упомянутыми тестами, так как вес в этом тесте определяется как квадратный корень из количества наблюдений, подтвержденных риску в каждый момент времени.

Тем не менее, основной недостаток всех перечисленных тестов заключается в том, что тесты не очень хорошо справляются с ситуациями, когда кривые выживания пересекаются. Флеминг, Харрингтон и О'Салливан (Fleming, Harrington, & O'sullivan, 1987) предложили тест, который решает данную проблему путем использования в качестве тестовой статистики максимальное наблюдаемое различие между этими двумя функциями выживания. Однако данный тест не представлен ни в одном статистическом пакете.

1.5 Регрессия Кокса, или модель пропорциональных рисков

Модель пропорциональных рисков применяется для определения связи между длительностью до наступления интересующего события и вектором объясняющих переменных . В рамках данного исследования естественно предположить наличие влияния как минимум некоторых социально-экономических характеристик на продолжительность безработицы, хотя акцент делается на влиянии факторов здоровья на вероятность прекращения состояния безработицы. Логично предположить, что работодатели хотят видеть у себя более здоровых рабочих, поскольку они меньше пропускают работу, что согласуется с результатами многих эмпирических исследований (см. пункт 1.2). Кроме того, вероятнее всего, что люди с ухудшенным состоянием здоровья меньше времени уделяют поиску работы, поэтому срок пребывания в состоянии безработицы для них может быть больше, чем для здоровых людей.

Чтобы выяснить, существуют ли основания утверждать о наличии различий между группами индивидов, можно использовать описанный в п.2.3.2 метод Каплана-Мейера и сопутствующие ему тесты для определения значимости различий (п. 2.3.3). Однако «при большом количестве объясняющих переменных (или при значительном разбросе их значений) число групп, в которые входят индивиды с одинаковыми характеристиками, может оказаться слишком большим, а число наблюдений внутри групп - слишком маленьким, чтобы результаты были надежными» [3, 315]. Помимо этого, исследователю будет довольно трудно интерпретировать множество оценок кривых выживания.

Решить данную проблему можно при помощи регрессионных моделей путем введения предположений о характере связи распределения длительностей с регрессорами. Одна из регрессионных моделей, наиболее часто используемая в случаях наличия в выборке цензурированных наблюдений - модель пропорциональных рисков Кокса. Несмотря на то, что модель Кокса является непараметрическим статистическим методом, который не требует предположения о каком-либо типе распределения, существует небольшой ряд условий, выполнение которых необходимо для правильного применения метода.

Так, в основе модели Кокса лежат три базовых предположения:

· все объясняющие переменные независимы;

· все объясняющие переменные линейно влияют на риск наступления события;

· риски наступления события для любых двух наблюдений в любой момент времени пропорциональны.

Исследователь может проверить выполнение первого и последнего условий. Первое условие проверяется с помощью построения матрицы корреляций. Методы проверки последнего условия описаны в пункте 1.5.4.

Формулировка модели

Модель пропорциональных рисков Кокса основывается на предположении о мультипликативном влиянии объясняющих переменных на функцию риска :

,

где опорная функция риска (baseline hazard function). Опорная функция риска отражает распределение длительности при отсутствии влияния внешних факторов; связующая функция, отражающая связь риска с вектором объясняющих переменных. Во многих исследованиях предполагается следующий вид связующей функции риска . Данный вид функции удобен по двум причинам: во-первых, он позволяет добиться неотрицательности функции риска, а во-вторых, дает возможность с легкостью интерпретировать вектор коэффициентов регрессии Так, прирост объясняющей переменной на единицу дает рост функции риска в раз в каждый момент времени .

Зависимость интегральной функции риска от объясняющих переменных тоже мультипликативна:

Оценка модели методом частичного правдоподобия

Для оценки модели регрессии применяется метод частичного правдоподобия, предложенный самим Коксом (Cox, 1972). Пусть в исследуемой выборке зафиксировано наступлений событий . Для начала допустим, что число прекращений равно количеству нецензурированных наблюдений, т.е. длительность каждого нецензурированного наблюдения уникальна.

Пусть множество состояний под риском в момент времени . В предположении о равенстве числа прекращений числу полных наблюдений, вероятность того, что из всех состояний под риском в момент именно в наблюдении со значениями регрессоров произойдет прекращение состояния, равна (Ратникова и др., 2013):

В случае модели Кокса данное равенство может быть переписано следующим образом:

Видно, что зависит только от значений регрессоров и коэффициентов при них, и не зависит от опорной функции. Произведение всех таких вероятностей для полных данных дает функцию частичного правдоподобия :

Оценки коэффициентов могут быть получены путем максимизации функции частичного правдоподобия. Однако также как в решение задач с помощью метода максимального правдоподобия, удобно максимизировать не саму функцию , а логарифм от нее:

Несмотря на то, что получаемые оценки коэффициентов несколько уступают в эффективности оценкам, полученных с помощью метода максимального правдоподобия, основной плюс данного метода состоит в возможности не налагать ограничения на функцию риска. Все статистические методы, применимые к обычному методу, актуальны и здесь.

Оценка модели при наличии совпадающих моментов прекращения

В реальной жизни редко бывает так, что моменты прекращения уникальны для каждого наблюдения. Практически всегда исследователь сталкивается с такими данными, где длительности сразу для нескольких наблюдений одинаковы. В такой ситуации вероятность прекращения в момент времени для наблюдения с вектором объясняющих переменных , а значит, и функция частичного правдоподобия, рассчитывается другим способом.

В случае если изучаемая длительность является непрерывной величиной, то совпадения моментов прекращения в целом не может быть, а кажущееся совпадение является следствием неточности измерения или округления. Это означает, что состояния с одинаковым моментом прекращения завершились в разное время, однако не известно, какое раньше, а какое позже. Для упрощения предположим, что выборка состоит из трех наблюдений, и два состояния 1 и 2 завершились в один момент времени. Пусть порядок завершения равновероятен, тогда функция частичного правдоподобия выглядит следующим образом:

где .

При большом числе совпадений моментов прекращения использование данного метода предполагает большое число вычислений, поэтому очень часто используют приближения, наиболее часто используемые из которых - приближение Эфрона и Бреслоу. Метод Бреслоу (Breslow, 1974) предполагает, что каждое из совпадающих состояний завершается при одинаковом множестве «под риском», т.е.:

Функция частичного правдоподобия для приближения Бреслоу выглядит следующим образом:

где количество прекращений в момент времени , , а множество наблюдений с моментом прекращения

Несмотря на то, что метод Бреслоу требует меньшего объема вычислений по сравнению с другими подходами к расчету функции частичного правдоподобия, он показывает малую точность, когда число совпадений в моментах прекращения большое. Большую точность приближения в большинстве случаев дает метод Эфрона (Efron, 1977), который рассчитывается следующим образом [27, 106-107]:

Проверка правильности спецификации модели

Для проверки правильности спецификации необходимо проверить гипотезу о пропорциональности рисков, т.е. что отношение рисков равняется константе в каждый момент времени . Для определения характера временной зависимости необходимо оценить опорное распределение.

Бреслоу ввел следующую оценку опорной интегральной функции риска [3, 321]:

На основании данной функции риска рассчитываются остатки Кокса-Снелла, один из часто используемых методов для проверки предположения о пропорциональности рисков. Так, остаток Кокса-Снелла для наблюдения в момент времени определяется следующим образом:

.

Для цензурированных справа наблюдений в формулу выше подставляется длительность до момента цензурирования, а само наблюдение за остатком также считается цензурированным, так как полная длительность не меньше цензурированной, следовательно, и значение интегральной функции риска для полной длительности должно быть не меньше.

В модели с правильной спецификацией остаток Кокса-Снелла должен иметь распределение, близкое к экспоненциальному, с параметром , т.е. быть похожим на прямую линию (биссектрису угла).

Помимо остатков Кокса-Снелла исследователи часто обращаются к остаткам Шоенфельда (Schoenfeld residuals). Пусть объясняющих переменных и наблюдений, независящих от времени, а также переменная цензурирования представлены следующим вектором , где , а для полных моментов прекращения и в противоположном случае. Остатки Шоенфельда основаны на индивидуальном вкладе каждого фактора к производной натурального логарифма функции частичного правдоподобия.

где

Хосмер и Лемешоу (Hosmer Jr & Lemeshow, 1999) показывают, что остаток Шоенфельда для наблюдения и регрессора представляет собой разницу между значением регрессора и взвешенным средним значений регрессора по всем наблюдениям под риском в момент прекращения состояния для наблюдения :

,

где .

На основе остатков Шоенфельда строится формальный тест на пропорциональность рисков (Grambsch & Therneau, 1994). Авторы предполагают некоторую функциональную зависимость коэффициента при регрессоре от времени, т.е.:

где константа, а некоторая функция времени. Если гипотеза о пропорциональности рисков выполняется, то . Авторы так же предложили способ взвешивания остатка Шоенфельда так, что . Нулевая гипотеза о равенстве нулю проверяется путем построения линейной регрессии на .

1.6 Обзор параметрических моделей

Существует и другой подход для определения связи между длительностью до наступления интересующего события и вектором объясняющих переменных - с помощью параметрических регрессионных моделей. Параметрические методы, в отличие от модели Кокса, основываются на предположении о том, что длительность подчинена некоторому закону распределения, чьи параметры тем или иным образом связаны с объясняющими факторами. Наиболее распространенными параметрическими моделями, построенными на основе модели пропорционального риска, являются регрессии Вейбулла и Гомперца.

В регрессии Вейбулла плотность распределения имеет следующий вид: . Предполагается, что параметр определен объясняющими переменными - , а второй параметр не связан с регрессорами. Опорный риск имеет вид , функция риска: , а функция выживания: .

Здесь временной параметр. При интенсивность отказов увеличивается со временем, - уменьшается, а при - не меняется во времени.

В регрессии Гомперца плотность распределения задана следующей функцией . Опорная функция риска представлена следующим образом: . Функция риска принимает вид , а функция выживания - . Таким образом, изучаемая длительность распределена по закону Гомперца с параметром . В данном распределении является параметром времени, при временная зависимость отсутствует.

Параметрические модели предпочитаются непараметрическим, если исследователя интересует оценка опорной функции риска. Кроме того, непараметрическая оценка может оказаться недостаточно «гладкой» и слишком подверженной случайным колебаниям. Параметрические методы также предпочитаются непараметрической модели Кокса, когда исследователь работает в небольшой по объему выборкой, и при применении метода частичного правдоподобия потеря эффективности может быть существенным недостатком.

1.7 Выбор наилучшей спецификации

Выбор наилучшей спецификации среди параметрических можно проводить с помощью информационного критерия Акаике (AIC): , где число параметров в модели, а логарифм функции правдоподобия. Предпочтение отдается модели с наименьшим значением .

Для сравнения непараметрических моделей с параметрическими опираться на критерий Акаике нельзя, поскольку в параметрических моделях зависимая переменная - времена «жизни», а в регрессии Кокса - ранжированные времена «жизни» (Cook Alex, 2008). В связи с этим, будем сравнивать модели по прогнозной силе. Для этого разобьем имеющуюся выборку на две части: обучающую и тестовую. На обучающей части выборки будем строить модели и оценивать правильность спецификации, а точность прогноза на основании модели будем оценивать на тестовой части выборки. Для проверки точности прогноза будем пользоваться двумя методами: визуальным анализом на основании остатков Кокса-Снелла, а также ROC-анализом.

На основании прогнозных значений о нахождении или ненахождении индивидом работы, полученных на данных тестовой выборки, строится четырехпольная таблица сопряженности.

Таблица 1.1. Сравнение результатов классификации моделью и фактической принадлежностью объектов к классам.

Классификация	Фактически
Моделью	положительно	отрицательно
положительно	TP	FP (ошибка II рода)
отрицательно	FN (ошибка I рода)	TN

Источник: https://basegroup.ru/community/articles/logistic

доля верно классифицированных положительных случаев (модель предсказала нахождение работы, и индивид ее нашел);

доля верно классифицированных отрицательных примеров (модель предсказала сохранение статуса безработного, и индивид не нашел работу);

положительные примеры, классифицированные как отрицательные (модель не смогла предсказать нахождение индивидом работы);

отрицательные примеры, классифицированные как положительно (индивид не нашел работу, а модель предсказала обратное).

На основании данной таблицы можно рассчитать:

· Долю истинно положительных случаев(True Positives Rate):



· Долю ложно положительных случаев (False Positives Rate):

Аналогично можно рассчитать доли истинно и ложно негативных случаев.

Важно также обозначить долю истинно отрицательных случаев за специфичность , а долю истинно положительных - за чувствительность

Будем сравнивать модели по долям верно классифицированных случаев, а также по площади под ROC кривой, которая получается следующим образом:

1. Для каждого порога отсечения от 0 до 1 рассчитываются чувствительность и специфичность .

2. Строится график зависимости чувствительности от доли ложно положительных случаев .

Глава 2. Подготовка и анализ статистических данных

2.1 Описание данных

Наш анализ базируется на данных «Панельного исследования динамики доходов (PSID)» за 2011 и 2013 гг. Эта репрезентативная по стране выборка содержит наблюдения за 9063 домохозяйствами в США. Поскольку опрос проводится раз в два года, данные двух опросов охватывают период с 2009 по 2013 гг.

Изучение продолжительности безработицы требует, чтобы в выборке присутствовали индивиды трудоспособного возраста: для США это возраст от 16 до 65 как для мужчин, так и для женщин. В исследовании рассматриваются только те периоды безработицы, которые начались в период с начала 2009 по конец 2012 гг. включительно.

В интервью каждому респонденту задавался вопрос о текущем статусе занятости, и если респондент являлся безработным на момент интервью, его дополнительно спрашивали о времени начала безработицы. У остальных индивидов спрашивали, были ли они безработными в течение двух лет с момента последнего опроса, и если ответ был положительным, респонденты дополнительно указывали дату начала и конца безработицы (максимально точно, для многих индивидов даже были указаны точные даты увольнения и последующего приема на работу). Наличие таких переменных обусловило выбор в пользу американской базы данных за место «Российского мониторинга экономического положения и здоровья населения НИУ ВШЭ», где информация по длительности безработицы получается только в одной временной точке.

Также индивидам задавались вопросы по персональным характеристикам, образованию, доходам, здоровью и т.д. Поскольку работа направлена на исследование факторов здоровья, а американский вопросник содержит гораздо больший перечень вопросов по данной теме, чем какой-либо другой, этот факт послужил еще одной причиной выбора базы PSID.

Для определения влияния факторов здоровья в работе используется группа объективных дамми переменных, где 1 - наличие определенного заболевания, а 0 - его отсутствие. Перечень заболеваний включает в себя повышенное артериальное давление, астму, заболевания дыхательных путей, диабет, артрит, рак и хронические заболевания. Помимо этого, на данных о росте и весе каждого респондента, нами был построен индекс массы тела, который вычисляется как масса тела, деленная на квадрат роста тела. Данный индекс позволяет оценить степень соответствия массы тела и роста человека и косвенно понять, имеется ли недостаточный или избыточный вес.

Помимо уже указанных переменных в исследовании использовались и другие показатели:

1. самооценка собственного здоровья по пятибалльной шкале (как отличного, хорошего, нормального, плохого или очень плохого);

2. наличие каких-либо ограничений в работе из-за плохого состояния здоровья;

3. частота употребление алкоголя;

4. частота курения (в количестве выкуренных сигарет в день).

Опросник не содержал вопроса касательно общего дохода респондента, поэтому эта переменная собиралась согласно рекомендациям (Duffy, Leissou, McGonagle, Schlegel, & others, 2013). Так, в переменную доход включалась не только заработная плата респондента, но и все косвенные виды заработка: различные премии, чаевые, доход от аренды, банковских вкладов и т.д.

Также мы контролировали, в какой сфере деятельности работал респондент до увольнения, и находится ли его профессия в перечне вредных и тяжелых производств. Другие факторы включают различные социально-экономические характеристики индивида, вроде пола, возраста, семейного положения. Для построения модели также была определена переменная «цензурирование», являющаяся индикатором прекращения состояния безработицы. Общий перечень используемых в исследовании переменных с их полным описанием находится в Приложении 1.

...