Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли как количественная мера синергетического эффекта объединения булеанов в системном обобщении теории множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли как количественная мера синергетического эффекта объединения булеанов в системном обобщении теории множеств

Луценко Евгений Вениаминович

д.э.н., к.т.н., профессор

В статье [1] предложено математическое выражение для обобщенного коэффициента эмерджентности Хартли Назван так автором в статье [1] в честь этого выдающегося ученого в связи со сходством математической формы данного коэффициента с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли [2], отражающим уровень системности локальной системы., количественно отражающего величину системного эффекта, возникающего при объединении систем. Для двух систем, образованных на базовых элементах множеств A и B (1):

(1)

Для объединения M систем семейства (2):

(2)

При получении этих выражений в статье [1] в соответствии с системной теорией информации (СТИ) [2] предполагается, что количество подсистем NA в системе, образованной на некотором множестве базовых элементов A, равно сумме числа сочетаний этих элементов от 1 до M:

(3)

Обобщим выражения (1) и (2) без использования этого предположения. Пусть - булеан (система), образованная на множестве базовых элементов A, а - система, образованная на множестве базовых элементов B. В объединение этих систем входят все подсистемы обоих этих подсистем, тогда как в систему , образованную на объединении базовых множеств , кроме того, входят подсистемы, включающие базовые элементы как 1-го, так и 2-го базовых множеств одновременно.

Поэтому система, образованная на объединении базовых множеств, имеет большую мощность, чем мощность объединения систем, образованных на исходных базовых множествах:

(4)

Вышесказанное практически полностью совпадает с классическим определением системного (синергетического, эмерджентного) эффекта: «Свойства системы превосходят сумму свойств ее частей и не сводятся к ним». При этом степень отличия свойств системы от свойств составляющих ее элементов (базового множества) обоснованно считать ее уровнем системности [1-9].

Поэтому предлагается считать, что разность в мощности этих систем (системы, образованной на объединении базовых множеств, и системы, являющейся объединением систем, образованных на исходных базовых множествах) представляет собой системный эффект, возникший за счет их объединения:

(5)

Используем классическую формулу Р. Хартли для количества информации, получаемого при идентификации элемента множества, состоящего из N элементов:

(6)

для расчета количества информации, получаемого при идентификации одной из подсистем системы, образованной на объединении базовых множеств, и системы, являющейся объединением систем, образованных на исходных базовых множествах:

(7)

Откуда непосредственно получаем выражение для обобщенного коэффициента эмерджентности Хартли, независящее от предположения о способе образования подсистем на основе элементов базовых множеств:

(8)

Заметим, что основание логарифма в выражении (7) не является существенным, т.к. берется их отношение.

Обобщим выражение (7) на произвольное количество систем. Пусть дано не 2 системы, а семейство систем: . Тогда для случая многих систем выражения (5) и (8) обобщаются следующим образом:

(9)

(10)

Кроме того, в каждой из систем могут возникать составные элементы из ее собственных базовых элементов. Это приводит к системному эффекту, в результате которого система отличается от множества, т.е. содержит больше элементов, чем в порождающем множестве. Этот вид системного эффекта аналитически выражается локальным коэффициентом эмерджентности Хартли (11), который был получен автором в 2001 году [9] и назван так в честь этого ученого, внесшего большой вклад с разработку научной теории информации Приходится об этом напоминать, т.к. в ряде материалов, широко распространившихся в научной печати и в Internet, их авторы без ссылки на первичный источник информации о коэффициентах эмерджентности Хартли и Харкевича, т.е. работы автора, используют большие фрагменты из этих работ. Чтобы убедится в этом достаточно сделать запрос: «коэффициенты эмерджентности Хартли и Харкевича»:

(11)

где:

W - количество базовых элементов в системе;

m - сложность составного элемента системы, т.е. подсистемы (количество базовых элементов в составном элементе);

M - максимальная сложность подсистем (максимальное количество базовых элементов в составном элементе).

Обобщение локального коэффициента эмерджентности Хартли (11), независящее от способа образования подсистем, имеет вид (12):

(12)

Например, при объединении 2-х систем, содержащих на 1-м уровне иерархии простые числа, а на 2-м уровне составные числа, являющиеся произведениями различных пар простых сомножителей, образуется объединенная система, 1-й уровень которой является объединением 1-х уровней исходных систем, а 2-й образуется по тому же алгоритму, что и в них (рисунок 1):

Рисунок 1. Объединение 2-х систем из простых чисел на базовом уровне и сложных чисел, образованных из пар простых, на 2-м уровне Пример взят и работы (1) и разработан с помощью авторской программы, размещенной по адресу: http://www.twirpx.com/file/370725/ при параметрах «по умолчанию» и максимальным уровнем сложности

В таблицах 1-4 приведены данные о том, какие составные числа произведениями каких простых являются в рассматриваемом примере:

Таблица 1. Состав элементов 1-й системы

Таблица 2. Состав элементов 2-й системы

Таблица 3. Состав элементов объединенной системы

Таблица 4. Состав элементов подсистемы объединенной системы, содержащей элементы, образованные за счет системного эффекта

Числа, показанные на рисунке 3 черным цветом на 2-м уровне объединенной системы, есть на 2-м уровне либо 1-й системы, либо 2-й. Если бы системы объединялись как множества, то никаких других элементов на 2-м уровне объединенной системы и не было бы. Но при объединении систем в объединенной системе могут возникать элементы, образованные из сочетаний базовых элементов нескольких исходных систем одновременно, которых не было в исходных системах и которые могли образоваться только в объединенной системе. В нашем примере на рисунке 3 это числа, показанные более крупным шрифтом и красным цветом на 2-м уровне объединенной системы, образованные из различных пар простых чисел, одно из которых принадлежит 1-й системе, а 2-е - второй (см. таблицы 1-4).

Все полученные выражения стандартно обобщаются также на непрерывный случай путем замены факториалов при расчете числа сочетаний на гамма-функции [9].

В результате запуска этой программы с последовательно увеличивающимся параметром «уровень сложности» при одних и тех же диапазонах базовых элементов, указанных выше, получим результаты, сведенные в таблице 5 и на рисунке 2:

Таблица 5. Зависимость локальных и обобщенного коэффициентов эмерджентности Хартли от сложности объединяемых систем

Рисунок 2. Зависимость локальных и обобщенного коэффициентов эмерджентности Хартли от сложности объединяемых систем

На рисунке 2 использованы обозначения:

- LKEH_SYS1 - локальный коэффициент эмерджентности Хартли для систем Sys_1 и Sys_2;

- LKEH_SYSU - локальный коэффициент эмерджентности Хартли для объединенной системы (объединения систем Sys_1 и Sys_2), хорошо аппроксимируется кубическим степенным полиномом:

y = -2E-05x6 + 0,0006x5 - 0,0078x4 + 0,0603x3 - 0,3513x2 + 1,4537x - 0,1555

R2 = 1

- OKEH - обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли.

Из таблицы 5 и рисунка 2 видно, что при повышении уровня сложности от 4 до 9 уровень системности 1-й и 2-й подсистем не увеличивается. Это связано с тем, что из-за небольшого количества базовых элементов этих системах отсутствуют иерархические уровни с 5-го по 9-й, т.е. на них нет ни одного элемента. На других зависимостях также виден «эффект насыщения», проявляющийся в том, что с увеличением уровня сложности системный эффект увеличивается все медленнее и медленнее и выходит на некоторую асимптоту, определяемую количеством базовых элементов в исходных подсистемах.

В статье предлагается общее математическое выражение для количественной оценки системного (синергетического) эффекта, возникающего при объединении булеанов (систем), являющихся обобщением множества в системном обобщении теории множеств и независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Для этой количественной меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности Р. Хартли» из-за сходства его математической формы с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли, отражающим степень отличия системы от множества его базовых элементов. Для локального коэффициента эмерджентности Хартли также предложено обобщение, независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Приводятся численные оценки системного эффекта при объединении двух систем с применением авторской программы, на которую дается ссылка.

Перспективы.

В перспективе планируется более тщательно исследовать свойства объединения систем, конкретизировать полученные математические выражения для различных способов образования подсистем на основе элементов базовых множеств, разработать системные обобщения других операций над множествами См.: http://ru.wikipedia.org/wiki/Операции%20над%20множествами..

Библиографический список

булеан математический множество

1. Луценко Е.В. Реализация операции объединения систем в системном обобщении теории множеств (объединение булеанов) / Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2011. - №01(65). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2011/01/pdf/29.pdf.

2. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем): Монография (научное издание). - Краснодар: КубГАУ. 2002. - 605с Для удобства читателей некоторые из этих работ приведены на сайте автора: http://lc.kubagro.ru..

3. Луценко Е.В. Программная идея системного обобщения математики и ее применение для создания системной теории информации / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - № 02(36). - Шифр Информрегистра: 0420800012\0016. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/11.pdf.

4. Луценко Е.В. Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации (Часть 1-я: задачи 1-3) / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - № 03(37). - Шифр Информрегистра: 0420800012\0031. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf.

5. Луценко Е.В. Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации (Часть 2-я: задачи 4-9) / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - № 04(38). - Шифр Информрегистра: 0420800012\0049. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/04/pdf/03.pdf.

6. Луценко Е.В. Количественные меры возрастания эмерджентности в процессе эволюции систем (в рамках системной теории информации) / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2006. - №05(21). - Шифр Информрегистра: 0420600012\0089. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2006/05/pdf/31.pdf.

7. Луценко Е.В. Универсальный информационный вариационный принцип развития систем / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - № 07(41). - Шифр Информрегистра: 0420800012\0091. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/07/pdf/10.pdf.

8. Луценко Е.В. 30 лет системе «Эйдос» - одной из старейших отечественных универсальных систем искусственного интеллекта, широко применяемых и развивающихся и в настоящее время / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2009. - № 10(54). - Шифр Информрегистра: 0420900012\0110. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2009/10/pdf/04.pdf.

9. Луценко Е.В. Существование, несуществование и изменение как эмерджентные свойства систем // Квантовая Магия. - 2008. - Т. 5. - Вып. 1. - С. 1215-1239 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL512008/p1215.html.

Размещено на Allbest.ru