Обобщенная математическая модель малого предприятия

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Ариничев И.В.

Предложена и верифицирована математическая модель основных производственных фондов, которая может использоваться малыми предприятиями при обосновании плановых решений производственной деятельности

Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, МАЛОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ

Результат процесса производства в малых предприятиях складывается под влиянием многочисленных и разнообразных факторов этого производства, самыми значимыми из которых являются капитал, и трудовые ресурсы. Для того чтобы с высокой степенью точности прогнозировать во времени значение объема выпуска продукции малого предприятия, необходимо оценить изменение указанных факторов во времени.

В настоящее время в существующих работах при построении динамической модели капитала (в непрерывном времени), предполагалось, что основные производственные фонды могут развиваться либо за счет собственной прибыли компании и финансовой поддержке государства, либо за счет прибыли и заемных ресурсов.

В настоящей работе эти случаи обобщены, а также вводится величина выбытия капитала (амортизационные отчисления), например, как в модели Солоу [2].

При разработке модели используются следующие гипотезы: Производственная функция имеет вид:

(1)

Здесь - непрерывная однородная функция первой степени, - стоимость основных производственных фондов в момент времени , - затраты живого труда. Считается, что время непрерывно, малое предприятие может развиваться за счет внутренних источников (прибыли) , за счет единовременно привлекаемого кредитного ресурса , за счет внешней финансовой поддержки оказываемой на безвозмездной основе . Кроме этого, будем считать, что производственная функция имеет непрерывную частную производную в области , а функция непрерывна в промежутке , где - начальный момент моделирования, - стоимость капитала и затраты труда соответственно в момент времени , - произвольное положительное число.

Основные производственные фонды - единственный лимитирующий фактор, определяющий выпуск продукции. Малое предприятие функционирует при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи [1].

Будем считать, что погашение долга компании (кредита) происходит равномерно в непрерывном времени,

Легко показать, что при условии равномерного погашения долга выданного на период лет величина выплачиваемой суммы основного долга за малый времени равна:

, (2)

а сумма начисленных процентов за тот же промежуток времени равна:

, (3)

здесь сумма единовременного кредита выданного в начальный момент времени , - годовая процентная ставка по кредиту,

Константа обуславливает рост удельной себестоимости выпущенной продукции, и следовательно влияет на общую прибыль компании:

, т.е.

, (4)

здесь удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выражении,- общая прибыль компании в момент (без налога на прибыль), выпуск продукции в момент в стоимостном выражении, Зависимость между и производственной функцией выражается соотношением:

(5)

Большинство малых предприятий в настоящее время перешли на упрощенную систему налогообложения (УСН) и платят только налог с прибыли, поэтому будем считать, что величина налоговых отчислений в момент времени равна:

, (6)

где - годовая ставка налога на прибыль.

Отсюда находим чистую прибыль компании:

, (7)

Считая величину выбытия капитала пропорциональной его величине

,

где - норма выбытия, и замечая, что константа уменьшает чистую прибыль малого предприятия, запишем уравнение для изменения капитала компании:

, (8)

- доля чистой прибыли, реинвестируемой в капитал.

Замечая, что

, (9)

Получаем

,

Деля обе части уравнения на

,

вспоминая, что , и переходя к пределу при , получим

 (10)

обозначим , тогда

(11)

Считая, что годовой темп прироста числа занятых - число постоянное , запишем для дифференциальное уравнение:

(12)

решая которое получим

. (13)

Накладывая начальное условие , получим

,

Подставляя полученное решение в уравнение, получим уравнение:

Обозначив, окончательно имеем задачу:

 (14)

. (15)

Данное уравнение описывает изменение основных производственных фондов малого предприятия.

Докажем существование и единственность решения задачи Коши (14)-(15). производственный малый предприятие фонд

Согласно [3], задача Коши (14),(15) имеет и притом единственное непрерывное решение в некоторой окрестности точки если:

а) функция , определяющая правую часть уравнения (14) является непрерывной функцией двух переменных в замкнутой области:

(16)

b) функция удовлетворяет по переменной условию Липшица в области .

Условие b) всегда выполнено, если функция имеет в каждой точки области частную производную, ограниченную во всей области.

Функция очевидно непрерывна в любой области вида (16) (как композиция и сумма непрерывных функций). Частная производная непрерывна в любой области вида (16) (как сумма и композиция непрерывных функций) не содержащей начало координат, и следовательно ограниченна в ней. Т.к. , число очевидно можно выбрать так, чтобы . Число можно взять любым. В полученной области выполнены оба условия теоремы Коши, и следовательно задача (14),(15) имеет единственной решение в некоторой окрестности вида . При этом, если указанный интервал не выходит за область , то решение может быть продолжено вплоть до границы [3]. Так как, может быть выбрано произвольно, то можно считать, что задача (14), (15) имеет единственное решение на промежутке ,

В качестве примере рассмотрим два наиболее распространенных в малых предприятиях вида производственных функций:

-линейная производственная функция

(17)

-производственная функция Кобба-Дугласа

(18)

Тогда для линейной производственной функции уравнение (17) преобразуется следующим образом

, (19)

для нелинейной

(20)

Т.к. обе функции (17), (18) удовлетворяют условиям указанных во введении, то обе задачи Коши (19),(15) и (20),(15) имеют единственное решение.

Решение задачи (19),(15) имеет вид

(21)

Уравнение (20) выгодно решать численно, с помощью какого-нибудь пакета прикладных программ (ППП), например MathCAD 14.

В качестве примера рассмотрим малое предприятие ООО «Консалтинг-Внешторг» и с помощью полученной модели опишем динамику изменения его основных производственных фондов.

ООО «Консалтинг-Внешторг» является представителем в России американской компании AMERICAN CONSTRUCTION TECHNOLOGIES LLC, которая занимается продвижением на Российский рынок американских строительных технологий в области модульного строительства жилых домов и нежилых помещений, металлокаркасного строительства высокоэтажных домов, а также звукоизолирующих заборов вдоль автотрасс, особо прочных фундаментов, искусственного облицовочного камня,

Параметры модели были определены статистически или названы экспертами компании:

дес. тыс. руб. - объем основных производственных фондов в момент времени ;

человек - число сотрудников организации в момент ;

- годовая процентная ставка по кредиту;

дес. тыс. руб, - сумма заемных (кредитных) средств в момент ;

- доля прибыли, отчисляемой на реинвестирование;

- ставка налога на прибыль;

- удельная себестоимость выпуска продукции;

- годовой темп прироста числа занятых;

- безвозмездная финансовая поддержка;

В работе [2] было показано, что производственная функция данной компании может быть представлена в виде (18). Там же были определены коэффициенты:

- коэффициент фондоотдачи компании;

- коэффициент эластичности капитала;

Подставляя полученные значения, получим уравнение описывающее изменение капитала компании в течение двух лет (2008-2009) года:

, (21)

. (22)

Численное решение этой задачи, а также средние значения основных производственных фондов, предоставленные руководством компании приведены в таблице 1 в виде сетки с шагом один месяц.

Таблица 1 - Теоретические и эмпирические значения капитала компании ООО «Консалтинг-Внешторг» за 2008-2009 гг.

Т.к. решение задачи (21)-(22) незначительно отличается от реальных значений основных производственных фондов, то модель (1),(14),(21),(22) может считаться адекватной, статистически значимой и может активно использоваться многими российскими малыми предприятиями при обосновании плановых решений производственной деятельности.

Литература

1. Хачатрян, С.Р. Методы и модели решения экономических задач/ С.Р. Хачатрян, М.В. Пинегина, В.П. Буянов. - М.: Экзамен, 2005. -384 с.

2. Колемаев, В.А. Экономико-математическое моделирование/ В.А. Колемаев.- М.: Юнити - Дана, 2005. - 295 с.

3. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений/ В.В. Степанов. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 468 с.

4. Ариничев, И.В. Математическая модель процесса производства в малых строительных фирмах/И.В. Ариничев, Е.А. Семенчин//Тр./КубГАУ.-2010.-Вып. 8(23)

Размещено на Allbest.ru