Размещено на http://www.allbest.ru

Практичні заняття до теми: Виявлення і вимірювання тенденцій розвитку

Методичні рекомендації

Тенденція (тренд) являє собою напрям розвитку певного соціально-економічного явища. В деяких випадках тенденцію можна встановити за значеннями рівнів ряду динаміки. Наприклад, якщо рівні постійно збільшуються, чи зменшуються. Основні тенденції - зростання чи зниження - можна поділити за їх характером. Характер основної тенденції має певне графічне зображення, його можна також встановити за допомогою абсолютних ланцюгових приростів. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають додатні значення, динамічний ряд має тенденцію до зростання. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають від'ємні значення, динамічний ряд має тенденцію до зниження. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають однакові значення, то характер тенденції рівномірний (рівномірне зростання чи рівномірне зниження). Якщо кожен наступний ланцюговий приріст більше за попередній, то тенденція має прискорений характер. Якщо кожен наступний ланцюговий приріст менше за попередній, то тенденція має уповільнений характер.

Застосування ступінчастої та ковзної середніх для згладжування коливних рядів

До найбільш простих методів згладжування динамічних рядів належать методи ступінчастої середньої та плинної середньої. Метод ступінчастої середньої (укрупнення інтервалів) полягає в тому, що рівні первинного динамічного ряду поєднуються в збільшені інтервали і розраховуються середні в кожному зі створених інтервалів.

Наприклад, утворюється новий динамічний ряд, в якому окремі інтервали - це об'єднання трьох інтервалів первинного динамічного ряду. В такому разі середня кожного укрупненого інтервалу розраховується так:

₁ = (у₁ + у₂ + у₃) : 3 (3.52)

₂ = (у₄ + у₅ + у₆) : 3 (3.53)

₃ = (у₇ + у₈ + у₉) : 3 і т. д. (3.54)

ряд динаміка трендовий рівняння

Суть методу середньої плинної полягає в тому, що середні обчислюються також за збільшеними інтервалами, але на відміну від попереднього методу здійснюється послідовне пересування меж збільшених інтервалів на один первинний інтервал до кінця динамічного ряду. У такому разі середні інтервалів розраховуються за формулами:

₁ = (у₁ + у₂ + у₃) : 3 (3.55)

₂ = (у₂ + у₃ + у₄) : 3 (3.56)

₃ = (у₃ + у₄ + у₅) : 3 і т. д. (3.57)

Якщо значення рівнів похідного (згладженого) динамічного ряду не дають можливості встановити чітку тенденцію, проводять нове згладжування, при цьому беруть ще більші інтервали. Слід зауважити, що для об'єднання беруться інтервали первинного динамічного ряду. Згладжування повторюють доти, доки не виявиться чітка тенденція, або коли не залишиться три укрупнених інтервали, оскільки подальше згладжування вже не має сенсу. Через дві точки завжди можна провести лінію, але при цьому можна отримати результат, протилежний реальному стану.

Обґрунтування типу трендового рівняння, інтерпретація параметрів

Якщо згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити тенденцію розвитку або її характер, то відповідь на це питання можна напевне одержати за допомогою аналітичного вирівнювання заданого (вихідного) динамічного ряду методом найменших квадратів.

Метод аналітичного вирівнювання дає змогу не лише виявити тенденцію розвитку, а й кількісно виміряти її.

Під аналітичним вирівнюванням ряду динаміки у статистиці розуміють побудову функції Y = f(t), яка аналітично виражає залежність значень ознаки Y від часу t. Такі функції, а також їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна виявити основну тенденцію розвитку явища, що вивчається, а також її характер.

Процес побудови трендової кривої складається з двох етапів:

· вибір виду функції f(t)

· обчислення параметрів функції f(t).

Вид функції f(t) можна встановити візуально за кореляційним полем з урахуванням економічної (фізичної тощо) суті явища, що вивчається.

Кореляційне поле являє собою координатну площину tOy із зображеними на ній точками з координатами (t_i, y_i).

На практиці при виборі виду тренду перевага звичайно віддається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст:

· лінійна - у = a + bt - (a - середній початковий рівень ознаки, b - середній абсолютний приріст)

· квадратична, або параболічна - y = a + bt + ct ² - (a - середній початковий рівень ознаки, b - середня початкова швидкість зростання, с - середній приріст швидкості зростання)

· показникові - y = a·b ^t - (a - середній початковий рівень ознаки, b - середній темп зростання).

Після вибору виду залежності її параметри обчислюються за методом найменших квадратів. Цей метод забезпечує такий вибір параметрів тренду, щоб мінімізувати суму квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду від теоретичних рівнів, що розраховані за відповідних значень t.

Найпростішою формулою, що відтворює тенденцію розвитку, є лінійна функція:

(3.58)

Параметри та згідно методу найменших квадратів знаходяться рішенням системи нормальних рівнянь:

, (3.59)

де y - фактичні рівні ряду

t - порядковий номер періоду або моменту часу.

Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Значення умовних періодів t залежать від того, парну чи непарну кількість рівнів має динамічний ряд.

Якщо число рівнів парне (наприклад, 6), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 3.10.

Таблиця 3.10

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для парної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6
Умовний період	- 5	- 3	- 1	1	3	5

Якщо число рівнів непарне (наприклад 7), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 3.11.

Оскільки мета введення умовного нуля - максимальне спрощення розрахунків, то відстані між сусідніми рівнями динамічного ряду з умовними періодами мають бути мінімальними, проте однаковими впродовж усього ряду. Таким чином, у разі парної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють двом; у разі непарної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють одиниці. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від'ємних значень, а ті, що розташовані праворуч - додатних.

Таблиця 3.11

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6	7
Умовний період	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3

Незалежно від кількості рівнів у динамічному ряді з умовними періодами t = 0, а тому система нормальних рівнянь для лінійної моделі тренду матиме такий вигляд:

. (3.60)

Тоді параметри а₀ та а₁ для лінійної моделі тренду розраховуються за формулами:

 (3.61)

Якщо у трендовій моделі використовуються нелінійні функції, то вони приводяться до лінійного вигляду за допомогою певних математичних перетворень [13, с. 186 - 198; 16, с. 204 - 219]. Методика побудови трендових рівнянь за лінійною моделлю та моделлю квадратичної параболи наведена у прикладі 1 розв'язання типових задач до даної теми.

Елементи інтерполяції та екстраполяції на основі часових рядів

Зробити прогноз явища у означає обчислити значення ознаки Y на той майбутній період часу t, який нас цікавить. Очевидно, що будь-який прогноз може бути тільки наближеним і може вважатись реальним тільки за умови збереження у майбутньому тенденції розвитку явища та її характеру. Метод прогнозування на періоди за межами ряду динаміки (на майбутнє або за минулі періоди часу) називають екстраполяцією. Метод прогнозування на періоди пропущених періодів часу в середині ряду динаміки називають інтерполяцією.

Точковий прогноз здійснюється за допомогою екстраполяції трендової моделі, тобто прогнозоване значення явища обчислюється за встановленою формулою. При цьому слід мати на увазі той факт, що рівняння трендової кривої побудоване з використанням умовних періодів, а тому для визначення точкового прогнозу вводиться наступний період. Наприклад, якщо динамічний ряд містить шість періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного, сьомого періоду (див. табл. 3.10) якщо динамічний ряд містить сім періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного (умовного) четвертого періоду (див. табл. 3.11).

Інтервальний прогноз являє собою інтервал значень ознаки у, який із заданою ймовірністю покриває (або має покривати) справжнє значення. Інтервальна оцінка прогнозу, тобто довірчі межі, визначається з певною імовірністю

y_{t+ v} t s_p, (3.62)

де s_p - похибка прогнозу; t - довірче число для прийнятого рівня імовірності; v - період упередження.

(3.63)

де оцінка залишкової дисперсії.

На відміну від точкового інтервальний прогноз може розроблятися лише на наступний період [13, с. 198 - 200; 16, с. 220 - 222 ].

Для оцінки варіації рівнів динамічного ряду використовують абсолютну міру - середнє квадратичне відхилення (S_e) та відносну міру - коефіцієнт варіації

(3.64)

Різницю 100 - V_e - використовують для оцінки сталості динамічного ряду.

Для характеристики закономірних коливань у рядах динаміки з меншими інтервалами часу (декада, п'ятиденка, доба) обчислюють коефіцієнти нерівномірності:

 або . (3.65)

ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗАННЯ

Задача 1

Динаміка виробництва продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Обсяг виробництва	133	135	132	139	141	138	145	143	149

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер, використавши різні методи. Зробити прогнозні розрахунки на кінець року. Результати представити графічно, зробити їх порівняльний аналіз та висновки.

Задача 2

Динаміка обсягу продажу комп'ютерів на ринку регіону (дані умовні) наведена в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8
Обсяг продажу, шт.	215	220	228	236	248	263	282	306

Опишіть тенденцію обсягу продаж комп'ютерів лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року.

Задача 3

Динаміка випуску продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7
Обсяг виробництва продукції, тис.грн.	315,6	303,3	291,5	280,9	271,7	264,3	258,0

Опишіть тенденцію обсягу виробництва лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року. Визначте теоретичні рівні експорту та середнє квадратичне відхилення від тренду. Оцініть сталість динамічного ряду експорту.

Задача 4

Динаміка виробництва продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Обсяг виробництва продукції, тис.грн.	25,9	25,6	25,3	25,0	24,7	24,4	24,1	23,8	23,5

Опишіть тенденцію обсягу виробництва лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року. Визначте теоретичні рівні експорту та середнє квадратичне відхилення від тренду. Оцініть сталість динамічного ряду експорту.

Задача 5

Динаміка виробництва продукції на підприємстві характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Обсяг виробництва продукції, млн. грн.	49,4	49,1	48,6	47,8	46,9	45,6	44,7	43,3	41,7

Опишіть тенденцію обсягу виробництва лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року. Визначте теоретичні рівні експорту та середнє квадратичне відхилення від тренду. Оцініть сталість динамічного ряду експорту.

Задача 6

Динаміка виробництва продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Обсяг виробництва продукції	30,2	30,4	30,9	31,6	32,4	33,3	34,4	35,7	37,2

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер. Зробити висновки.

Задача 7

Коефіцієнти відновлення основних виробничих фондів в народному господарстві регіону за рік наведені у таблиці (%):

Рік	Місяці
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Коефіцієнт відновлення	7,4	7,0	6,6	7,1	6,7	6,3	5,9	7,0	6,6	6,2	7,3	6,9

1. Провести згладжування ряду динаміки методами середньої плинної та ступінчастої середньої.

2. Визначити тенденцію розвитку для даного динамічного ряду за допомогою аналітичного вирівнювання.

Фактичні рівні ряду, результати згладжування та вирівнювання зобразити графічно. Зробити висновок щодо загальної тенденції відтворення основних виробничих фондів.

Задача 8

Динаміка коефіцієнта змінності на підприємстві (дані умовні) наведена в таблиці.

Рік	Коефіцієнт змінності		Рік	Коефіцієнт змінності		Рік	Коефіцієнт змінності
1990	1,2		1995	1,3		2000	1,4
1991	1,1		1996	1,2		2001	1,5
1992	12		1997	1,4		2002	1,5
1993	1,1		1998	1,3		2003	1,6
1994	1,3		1999	1,4		2004	1,6

Визначити тенденцію розвитку для даного динамічного ряду за допомогою аналітичного вирівнювання. Фактичні рівні та згладжені рівні зобразити на графіку. Розрахувати прогнозне значення коефіцієнта змінності на підприємстві на 2008 та 2010 роки.

Задача 9

Визначити тенденцію розвитку для даного динамічного ряду аналітичним вирівнюванням (введенням умовного періоду) за умовними даними наведеними в таблиці (млн. грн.). Вирівнювання проводити за лінійною моделлю. Представити фактичні та згладжені рівні ряду графічно. Зробити висновки. Розрахувати прогнозне значення обсягу виробництва на 12 та 14 період часу.

Період	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Обсяг виробництва продукції	19,6	18,9	18,7	17,8	17,6	16,8	16,7	16,0	15,6

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

Приклад 1

Динаміка виробництва продукції на підприємстві характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Обсяг виробництва, млн. грн.	12,3	12,5	12,2	12,9	13,1	12,8	13,5	13,3	13,9

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер, використавши різні методи. Зробити висновки та прогнозні розрахунки на кінець року.

Розв'язання

1. Метод середньої ступінчастої

Об'єднуємо по три інтервали і в кожному укрупненому інтервалі обчислюємо середнє значення рівня динамічного ряду, таким чином, маємо:

= (12,3 + 12,5 + 12,2) / 3 = 12,33;

= (12,9 + 13,1 + 12,8) / 3 = 12,93;

= (13,5 + 13,3 + 13,9) / 3 = 13,57.

За результатами згладжування методом середньої ступінчастої бачимо тенденцію до зростання. Визначимо характер тенденції, розрахувавши абсолютні ланцюгові прирости:

₁ = - = 12,93 - 12,33 = 0,6.

₂ = - = 13,57 - 12,93 = 0,64.

Висновок: абсолютний приріст зростає, тому для даного динамічного ряду маємо тенденцію до прискореного зростання.

2. Метод середньої плинної

Об'єднуємо перші три інтервали, обчислюємо середнє значення рівня динамічного ряду, переміщуємося на один інтервал і повторюємо процедуру до кінця динамічного ряду, таким чином, маємо:

= (12,3 + 12,5 + 12,2) / 3 = 12,33; = (12,5 + 12,2 + 12,9) / 3 = 12,53;

= (12,2 + 12,9 + 13,1) / 3 = 12,73; = (12,9 + 13,1 + 12,8) / 3 = 12,93;

= (13,1 + 12,8 + 13,5) / 3 = 13,13; = (12,8 + 13,5 + 13,3) / 3 = 13,2;

= (13,5 + 13,3 + 13,9) / 3 = 13,57.

Згладжування показало наявність чіткої тенденції до зростання. Визначимо характер тенденції, розрахувавши абсолютні ланцюгові прирости:

₁ = - = 12,53 - 12,33 = 0,2; ₂ = - = 12,73 - 12,93 = 0,2;

₃ = - = 12,93 - 12,73 = 0,2; ₄ = - = 13,13 - 12,93 = 0,2;

₅ = - = 13,2 - 13,13 = 0,07; ₆ = - = 13,57 - 13,2 = 0,37.

Таким чином, для даного динамічного ярду маємо тенденцію до нерівномірного зростання.

3. Метод аналітичного вирівнювання

а) за лінійною моделлю

Лінійна модель має вигляд:

Параметри та згідно з методом найменших квадратів знаходяться розв'язанням системи нормальних рівнянь:

,

де n - обсяг сукупності (кількість значень рівнів ряду);

y - фактичні рівні ряду

t - порядковий номер періоду або моменту часу

Розв'язавши цю систему, отримуємо значення параметрів лінійної моделі (без використання спрощеного методу із введенням нумерації періодів часу від умовного нуля):

, ,

де - середній рівень динамічного ряду.

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі

№	у	t	t 2	yt
1	12,3	1	1	12,3
2	12,5	2	4	25,0
3	12,2	3	9	36,6
4	12,9	4	16	51,6
5	13,1	5	25	65,5
6	12,8	6	36	76,8
7	13,5	7	49	94,5
8	13,3	8	64	106,4
9	13,9	9	81	125,1
Разом	116,5	45	285	593,8

Тоді:

а₁ = (9 · 593,8 - 116,5 · 45) / (9 · 285 - 45 · 45) = 0,188;

а₀ = 116,5 / 9 - 0,188 · (45 / 9) = 12.

Таким чином, лінійна модель має вигляд:

у_t = 12 + 0,188 t.

Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо значення t = 12, тоді:

У₁₂ = 12 + 0,188 t = 12 + 0,188 · 12 = 14,3.

б) за моделлю квадратичної параболи

Параметри параболи другого порядку:

Y = a + b·t + c·t ²,

обчислюють за допомогою системи нормальних рівнянь:

.

Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від'ємних значень, а ті, що розташовані праворуч - додатних.

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Умовний період	- 4	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4

При цьому t = 0 та t³ = 0; а система рівнянь набуває вигляду:

Тоді:

,

, .

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів параболи

№	у	t	t 2	t 4	yt	y t2
1	12,3	- 4	16	256	- 49,2	196,8
2	12,5	- 3	9	81	- 37,5	112,5
3	12,2	- 2	4	16	- 24,4	48,8
4	12,9	- 1	1	1	- 12,9	12,9
5	13,1	0	0	0	0	0
6	12,8	1	1	1	12,8	12,8
7	13,5	2	4	16	27,0	54,0
8	13,3	3	9	81	39,9	119,7
9	13,9	4	16	256	55,6	222,4
Разом	116,5	0	60	708	11,3	779,9

Використовуючи формули для визначення параметрів параболи та підсумковий рядок таблиці, маємо: b = 11,3 / 60 = 0,188;

с = (9 · 779,9 - 116,5 · 60) / (9 · 708 - 60 · 60) = 0,01;

а = 116,5 / 9 - 0,01 · (60 / 9) = 12,87.

Таким чином, модель квадратичної параболи має вигляд:

у = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t².

Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо відповідне значення. Проте слід ураховувати, що для визначення параметрів параболи були використані умовні періоди. Отже, й значення t має бути визначено з урахуванням цього моменту, тобто маємо підставляти не t = 12, а значення t = 7 (оскільки значенню фактичного періоду 10 відповідає умовний період 5; 11 - 6; 12 - 7), тоді:

y₁₂ = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t² = 12,87 + 0,188 · 7 + 0,01 · 49 = 14,676 ? 14,7.

Приклад 2

Маємо такі дані про видатки Державного бюджету України на освіту (млн. грн.):

Показник	Рік
	1997	1998	1999	2000	2001
Видатки на освіту	15 665	16 704	17 005	18 333	19 200

Необхідно визначити основну тенденцію динамічного ряду шляхом аналітичного вирівнювання за прямою (методом введення умовного нуля) та екстраполювати суму видатків Державного бюджету України на освіту до 2004 р.

Розв'язання

1. Рівняння прямої має такий вигляд:

yt = a + bt,

де y_t - вирівняне середнє значення результативної ознаки;

a, b - параметри рівняння;

t - факторна ознака.

Для спрощення обчислень складемо розрахункову таблицю, яка має такий вигляд:



Рік	Видатки на освіту, млн. грн.	t	t2	yt	y
1997 1998 1999 2000 2001	15665 16704 17005 18333 19200	-2 -1 0 1 2	4 1 0 1 4	-31330 -16704 0 18333 38400	15641,6 16511,5 17381,4 18251,3 19121,2
Всього	86907	0	10	8699	86907,0
2002 2003 2004	прогноз прогноз прогноз	3 4 5	- - -	19991,1 20861,0 21730,9

Для знаходження параметрів а і b, складемо і розв'яжемо систему двох рівнянь із двома невідомими:

Уy = n· a + b У t;

Уyt = a У t + b У t² ,

де п - число рівнів ряду.

За умови, що Уt = 0, способом найменших квадратів знаходимо

Отже, аналітичне рівняння прямої матиме вигляд:

y = 17 381,4 + 869,9 t.

Підставляючи значення t в наведене рівняння, отримуємо вирівняні дані суми видатків Державного бюджету України на освіту (остання графа розрахункової таблиці до прогнозних значень).

2. На основі аналітичного рівняння прямої здійснюємо перспективний прогноз видатків на освіту, за умови, що виявлена тенденція найближчим часом не зміниться (прогнозні значення останньої графи розрахункової таблиці - останні 3 рядки).

Таким чином, якщо виявлена тенденція найближчим часом не зміниться, то видатки на освіту становитимуть у 2004 році 21730,9 млн. грн.

Размещено на Allbest.ru

...