Многофакторная модель, динамические ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Казанский государственный архитектурно - строительный университет

Кафедра экономики и предпринимательства в строительстве

Курсовая работа

по дисциплине: «Статистика»

на тему «Многофакторная модель, Динамические ряды»

Выполнил:

Студентка гр. 4ПМ201

Адгамова А.М.

Проверил: ст. преподаватель, к.э.н. Харисова Р.Р.

Казань 2015

Содержание

• 1. Многофакторная модель
• 2. Динамические ряды
• 
• 1. Многофакторная модель
• цена эластичность экспорт российский
• Для оценки влияния факторов на стоимость домов в п. Константиновка г. Казани требуется провести отбор факторов в модель линейной регрессии на основе данных по 30 объявлениям, а также изучить состав и структуру выборочный совокупности. Выборочные данные представлены в таблице 1.1.
• Таблица 1.1

№ п/п	Цена дома, руб. Y	Общая площадь, м2(x1)	Количество соток (x2)	Возраст дома, год (x3)	Количество комнат в доме(x4)
1	4400000	110	4	1	5
2	7600000	144	7	6	4
3	5800000	200	6	2	5
4	4800000	93	4	3	4
5	4900000	126	5,3	1	5
6	6250000	170	6	1	7
7	8000000	250	8	1	6
8	6500000	220	10	1	7
9	4500000	130	4,9	3	5
10	4305000	126	5,2	1	4
11	2250000	60	2	3	2
12	5500000	163	4,2	1	3
13	3900000	180	10	1	4
14	5590000	180	7	2	5
15	4600000	160	5	1	4
16	3400000	120	3,5	1	4
17	3700000	79	4	4	3
18	5600000	210	3	3	5
19	4000000	140	5	1	4
20	6899000	130	4,1	2	5
21	3100000	110	11	8	4
22	5000000	160	5	1	6
23	6700000	152	5	1	4
24	4250000	128	4	3	4
25	2500000	120	8,8	4	4
26	5200000	130	5	8	4
27	4999000	150	5	6	6
28	3549000	130	5	4	5
29	5100000	130	5	2	5
30	5300000	135	4,5	4	5

• Воспользуемся методом исключения факторов.
• На первом шаге включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся пакетом Анализ данных табличного процессора EXCEL, инструмент Регрессия. Результаты представлены в таблице 1.2.
• Модель зависимости цены дома от всех факторов имеет вид:
• Y(x)=1093780,773+23176,56х₁?165384,463x₂+84987,05x₃+ 258134,613x₄.
• Проверку значимости уравнения регрессии осуществим на основе F-критерия Фишера. Расчетное значение (F_расч) равно 6,5. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы г1 = k = 4 и г2 = n - k - 1 = 30 - 4 - 1 = 25 составляет 2,76.
• Таблица1.2. Вывод итогов инструмента «Регрессия» (множественная регрессия)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,713392637
R-квадрат	0,508929054
Нормированный R-квадрат	0,430357703
Стандартная ошибка	1044597,773
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	Df	SS	MS	F
Регрессия	4	28271653194443,5	7067913298610,87	6,477285238
Остаток	25	27279612672223,2	1091184506888,93
Итого	29	55551265866666,7
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	1093780,773	999519,2744	1,094306834	0,284252246
Переменная X1	23176,5565	6843,130892	3,386835187	0,00234234
Переменная X2	-165384,463	106493,1304	-1,55300593	0,132990726
Переменная X3	84987,05443	105073,2078	0,808836584	0,426240039
Переменная X4	258134,613	225065,5385	1,146930866	0,262268895

• Поскольку F_расч>F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.
• Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,713, свидетельствует о тесной связи между признаками.
• Множественный коэффициент детерминации RІ, равный 0,51, показывает, что около 51% вариации зависимой переменной обусловлено влиянием включенных в модель факторов и на 49% ? другими факторами, не учтенными в модели.
• Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью t - критерия Стьюдента.
• Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: t_a1 =3,387, t_a2 =-1,55, t_a3 = 0,8, t_a4 = 1,147. Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы г = n - k - 1 = 30 равно 2,06. Значит, выполняются следующие неравенства: t_a1>t_табл; ¦t_a3,t_a2,t_a4¦<t_табл. Таким образом, коэффициенты регрессии a₂, a₃, a₄ незначимы и из модели следует исключить факторные признаки x₂, x₃, x₄.
• На втором шаге построим модель зависимости цены дома от общей площади. Расчеты представлены в таблице 1.3.
• Таблица 1.3. Вывод итогов инструмента «Регрессия» (парная регрессия)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,661829931
R-квадрат	0,438018857
Нормированный R-квадрат	0,417948102
Стандартная ошибка	1055914,699
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	24332502001421,8	24332502001421,8	21,823735846194
Остаток	28	31218763865244,8	1114955852330,17
Итого	29	55551265866666,7
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	1687708,474	722329,459	2,336480194	0,026849816
Переменная X1	22500,17199	4816,386049	4,67158815	0,0000680509104019004

• Величина коэффициента корреляции (r_yx = 0,661) свидетельствует о заметной связи между признаками.
• Парный коэффициент детерминации (rІ_yx = 0,438) показывает, что на 43,2% изменение зависимой переменной объясняется изменениями факторного признака.
• Значимость коэффициента корреляции проверим с помощью t-критерия Стьюдента по формуле:
• Табличное значение t-критерия Стьюдента при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы г = (n - k - 1) = 28 составляет 2,05.
• Так как tрасч>tтабл, то значение коэффициента корреляции признается значимым и делается вывод о том, что между признаками есть статистическая взаимосвязь.
• Коэффициент регрессии a1 = 22500,17 показывает, что с увеличением общей площади на 1% цена на дом возрастает на 22500,17руб.
• Уравнение парной регрессии имеет вид:
• =1687708,474+ 22500,17х₁.
• Табличное значение t-критерия с г = (n - k - 1) = 28 степенями свободы при доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) равно 2,05. Расчетные значения критерия равны t_а0= 2,34, t_а1= 4,67.
• Значит, имеем следующие результаты:
• ¦t_а0¦>tтаблпараметр a0 значим;
• ¦t_а1¦>tтаблпараметр a1 значим.
• Для проверки значимости уравнения регрессии в целом воспользуемся F-критерием Фишера. Табличное значение воспользуемся F-критерия с г1 = k = 1 и г2 = n - k - 1 = 28 степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) равно 4,20. Расчетное значение критерия составляет 21,288.
• Так как Fрасч>Fтабл, уравнение парной линейной регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.
• Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:
• Эi= ai Ч ,
• где ai- коэффициент регрессии при i-м факторе;
• - среднее значение i-го фактора;
• -среднее значение результативного признака.
• Эi= ai Ч = = 0,66%.
• Коэффициент эластичности показывает, что на 0,66% в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1%.
• Для изучения состава и структуры выборочной совокупности регионов построим статистический ряд распределения домов по признаку «общая площадь». Расположим значения признака х1в порядке возрастания с помощью табличного процессора EXCEL, инструмент Данные, сортировка. Результаты представлены в таблице 1.4.
• Таблица 1.4. Разработанная таблица для построения ряда распределения

Х1	у	Х1	у	Х1	у
60	2250000	130	4500000	160	4600000
79	3700000	130	6899000	160	5000000
93	4800000	130	5200000	163	5500000
110	4400000	130	3549000	170	6250000
110	3100000	130	5100000	180	3900000
120	3400000	135	5300000	180	5590000
120	2500000	140	4000000	200	5800000
126	4900000	144	7600000	210	5600000
126	4305000	150	4999000	220	6500000
128	4250000	152	6700000	250	8000000

• Число групп nопределим по формуле Стерджесса:
• n= 1 + 3,322lgN= 1 + 3,322lg30 ? 6групп
• Величину интервала группировки рассчитаем по формуле:
• h = = (250 - 60)/6 ? 31,7.
• Значения границ интервалов ряда распределения при h = 31,7 приведены в таблице 1.5.

• Таблица 1.5. Расчет интервальных границ группировки

№ группы	Граница,%
	нижняя	верхняя
1	60	91,7
2	60+31,7=91,7	91,7+31,7=123,4
3	91,7+31,7=123,4	123,4+31,7=155,1
4	123,4+31,7=155,1	155,1+31,7=186,8
5	155,1+31,7=186,8	186,8+31,7=218,5
6	186,8+31,7=218,5	218,5+31,7=250,2

• На основе данных табл. 1.4 и 1.5 составим таблицу1.6, в которой представлен ряд распределения домов по общей площади.
• Таблица 1.6. Распределение домов по общей площади

№ группы	Группы домов по общей площади,%	Число домов	Накопленная частота	Накопленная частность, %
		всего	В % к итогу
1	60-91,7	2	(2*100)/30=6,7	2	6,7
2	91,7-123,4	5	(5*100)/30=16,6	2+5=7	6,7+16,6=23,3
3	123,4-155,1	13	(13*100)/30=43,3	7+13=20	23,3+43,3=66,6
4	155,1-186,8	6	(6*100)/30=20	20+6=26	66,6+20=86,6
5	186,8-218,5	2	(2*100)/30=6,7	26+2=28	86,6+6,7=93,3
6	218,5 и более	2	(2*100)/30=6,7	28+2=30	93,3+6,7=100
	Итого	30	100

• Графически ряд распределения изображается с помощью гистограммы и кумуляты. В качестве программного средства графического изображения ряда распределения воспользуемся табличным процессором EXCEL, инструмент Мастер диаграмм. Результаты представлены на рис. 1.1.


Рис.1.1 Гистограмма распределения домов по общей площади

На рис.1.1 показано нахождение значения моды. Конкретное значение моды для интервального ряда распределения определяется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

-частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному интервалу;

- частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Модальным интервалом является интервал 123,4-155,1, так ему соответствует наибольшая частота (=13, табл.1.6).

Таким образом, в выборочной совокупности чаще всего встречаются дома с общей площадью равной 140,3.

Для нахождения значения медианы строится кумулята (рис.1.2).

Рис.1.2. Кумулята распределения домов по общей площади

Конкретное значение медианы для интервального ряда распределения определяется по формуле:

Где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

-накопленная частота интервалов, предшествующих медианному интервалу;

-сумма частот.

Согласно данным таблицы 1.6 медианным интервалом является интервал 123,4 - 155,1, так как в этом интервале сумма накопленных частот превышает величину, равную половине численности единиц совокупности =15).

В выборочной совокупности половина домов имеют в среднем общую площадь 136,08, другая половина - не менее 136,08.

Для расчета характеристик ряда распределения построим вспомогательную табл. 1.7.

Расчет средней арифметической взвешенной:

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения:

Таблица 1.7. Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

№ группы	Группы домов по общей площади, %	Число домов (	Середина интервала, % (
1	60-91,7	2	75,85	151,7	-70,8	5012,64	10025,28
2	91,7-123,4	5	107,55	537,75	-39,1	1528,81	7644,05
3	123,4-155,1	13	139,25	1810,25	-7,4	54,76	711,88
4	155,1-186,8	6	170,95	1025,7	24,3	590,49	3542,94
5	186,8-218,5	2	202,65	405,3	56	3136	6272
6	218,5 и более	2	234,35	468,7	87,7	7691,29	15382,58
	Итого	30		4399,4			43578,73

Расчет коэффициента вариации



На основе проведенных расчетов можно сделать выводы о том, что средний уровень общей площади в данной совокупности равен 146,65, отклонение от среднего значения в ту или иную сторону составляет в среднем 38,11, вариация общей площади в рассматриваемой совокупности домов незначительна (V=25,99%<33%) и совокупность по данному признаку качественно однородна.

Рассчитать показатели ряда распределения по несгруппированным данным можно с помощью табличного редактора EXCEL, инструмент Сервис Анализ данных > Описательная статистика. Результаты представлены в таблице 1.8.

Таблица 1.8. Выход итогов «Описательная статистика»

Цена дома, руб. Y	Общая площадь, м2 (x1)
Среднее	4939733,333	Среднее	144,5333
Стандартная ошибка	252689,5917	Стандартная ошибка	7,432723
Медиана	4949500	Медиана	132,5
Мода	4949500	Мода	130
Стандартное отклонение	1384037,894	Стандартное отклонение	40,7107
Дисперсия выборки	1915560891954,02	Дисперсия выборки	1657,361
Эксцесс	-0,037256194	Эксцесс	0,808913
Асимметричность	0,23242292	Асимметричность	0,55105
Интервал	5750000	Интервал	190
Минимум	2250000	Минимум	60
Максимум	8000000	Максимум	250
Сумма	148192000	Сумма	4336
Счет	30	Счет	30
Уровень надежности(95,0%)	516808,2431	Уровень надежности(95,0%)	15,20162

Значения табл. 1.8 несущественно расходятся с приведенными ранее расчетами, так как они определены по фактическим несгруппированным данным, тогда как значения показателей, полученные на основе данных табл. 1.7, определялись по серединам интервалов, взятым в качестве значений признака.

На основе данных табл. 1.4 построим аналитическую группировку (табл. 1.9).

Таблица1.9. Зависимость цены дома от общей площади (аналитическая группировка)

№ группы	Группы домов по общей площади	Число домов	Цена домов
			всего	В среднем на один регион
1	60-91,7	2	9	2975000
2	91,7-123,4	5	18200000	3640000
3	123,4-155,1	13	67302000	5177076
4	155,1-186,8	6	30840000	5140000
5	186,8-218,5	2	11400000	5700000
6	218,5 и более	2	14500000	7250000
	Итого	30	148192000	4939733

Построенная группировка не дает представления о направлении связи между признаками (с ростом значений факторного признака не наблюдается рост или снижение среднего значения результативного признака).

Для измерения тесноты связи между признаками рассчитываются эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение:

Где - общая дисперсия признака Y;

межгрупповая дисперсия признака Y.

Общая дисперсия вычисляется по формуле



Для расчета общей дисперсии воспользуемся табличным процессором EXCEL, инструмент Мастер функций, статистическая функция ДИСПР. Расчетное значение дисперсии равно .

Межгрупповая дисперсия определяется по формуле

.

Для расчета межгрупповой дисперсии составим табл. 1.10.

Таблица 1.10. Расчет межгрупповой дисперсии

№ группы	Группы домов по общей площади	Число домов,	Групповая средняя
1	60-91,7	2	2975000	-1964733	7720350000000
2	91,7-123,4	5	3640000	-1299733	8446530000000
3	123,4-155,1	13	5177076	237343	732312000000
4	155,1-186,8	6	5140000	200267	240641000000
5	186,8-218,5	2	5700000	760267	1156010000000
6	218,5 и более	2	7250000	2310267	10674700000000
	Итого	30	2975000		28970500000000

Межгрупповая дисперсия равна:

.

Эмпирический коэффициент детерминации равен:

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

=0,72.

Полученное значение эмпирического корреляционного отношения подтверждает наличие тесной связи между рассматриваемыми признаками. Эмпирический коэффициент детерминации показывает, что 52% общей вариации изучаемого признака (цена домов) обусловлено вариацией группировочного признака (коэффициента общей площади дома).

2. Динамические ряды

Внешняя торговля РФ товарами, а именно экспорт товаров со странами СНГ, представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Экспорт товаров.

Год	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
экспорт товаров со странами СНГ, млн $	32720	41689	51708	68636	45149	59039	78682	83656	78125	68834

Источник: Электронный ресурс ЦБР: http://www.cbr.ru/statistics/?PrtId=svs

Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным и цепным. Оно может быть абсолютным и относительным.

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (2.1), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (2.2).

(2.1)(2.2)

По знаку абсолютного изменения делается вывод о характере развития явления: при > 0 -- рост, при < 0 -- спад, при = 0 -- стабильность.

Эти изменения определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы 2.2. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. Правило выполняется:

и

Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (2.3), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (2.4).

(2.3)(2.4)

Относительные изменения уровней определены в 5-м и 6-м столбцах таблицы 2.

Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном -- спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. Темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 2.2, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному.

Правило выполняется:

и

Таблица 2.2. Расчеты изменений динамики

Год	Y						хар-р		хар-р
2005	32720	-	-	-	-	-	-	-	-
2006	41689	41689-32720=8969	8969		1,274	1,274-1=0,274	рост	0,274	рост
2007	51708	51708-32720=18988	51708-41689=10019			1,58-1=0,58	рост	1,24-1=0,24	рост
2008	68636	68636-32720=35916	68636-51708=16928			2,098-1=1,098	рост	1,327-1=0,327	рост
2009	45149	45149-32720=12429	45149-68636=-23487			1,38-1=0,38	рост	0,658-1=-0,342	спад
2010	59039	59039-32720=26319	59039-45149=13890			1,804-1=0,804	рост	1,308-1=0,308	рост
2011	78682	78682-32720=45962	78682-59039=19643			2,405-1=1,405	рост	1,333-1=0,333	рост
2012	83656	83656-32720=50936	83656-78682=4974			2,557-1=1,557	рост	1,063-1=0,063	рост
2013	78125	78125-32720=45405	78125-83656=-5531			2,388-1=1,388	рост	0,934-1=-0,066	спад
2014	68834	68834-32720=36114	68834-78125=-9291			2,104-1=1,104	рост	0,881-1=-0,119	спад

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда .

Ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней арифметической простой:

,

то есть за период 2005-2014гг. в России в среднем за год экспорт товарами со странами СНГ составил 60823,8 млн $.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение - это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (2.5). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда - это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений наколичество изменений (2.6).

=(2.5)=(2.6)

Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными.

.

То есть ежегодно в среднем экспорт товарами со странами СНГ растет на 4012,67 млн $.

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле 2.7, к цепное среднее относительное изменение по формуле 2.8.

(2.7)(2.8)

Базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми.

.

То есть ежегодно в среднем экспорт товарами со странами СНГ растет в 1,086 раза.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий среднийтемп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики., то есть ежегодно в среднем экспорт товарами со странами СНГ растет на 8,6%.

Проверим ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) с помощью графической модели, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. В итоге приходим к трендовой модели вида:

(2.9)

Где: -математическая функция развития;

-случайное или циклическое отклонение от функции;

t -время в виде номера периода (уровня ряда).

Цель такого метода - выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

прямая линяя;

гиперборла;

парабола;

степенная;

ряд Фурье;

Для выявления тренда построим график Y(t) (рис.2.1):

Рис.2.1 График динамики экспорта товарами РФ со странами СНГ

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( - читается как «игрек, выравненный по t») от фактических () дает метод наименьших квадратов - МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

(2.10)

При выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле 2.9вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии свышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные - оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

(2.11)

где n - количество уровней ряда; t - порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y - уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно -1, -2, -3 и т.д., а следующие за средним (центральным) - соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

(2.12)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле 2.12 параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 2.3.

Из таблицы 2.3 получаем:

и

.

Отсюда искомое уравнение тренда.В 6-м столбце таблицы 2.3 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней (рис.2.2).



Рис.2.2. График эмпирических и трендовых уровней экспорта товарами РФ со странами СНГ.

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

(2.13)

где k - число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А - аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (2.15); Д_о - остаточная дисперсия (2.16), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф(2.14) и аналитической дисперсии:

;(2.14)

;(2.15)

(2.16)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р >F_Тсчитается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 2.3. Расчеты

Год	y	t	t2	yt
2005	32720	-9	81	-294480	39446,1818182	45241521,8515	457002559,127	789823574,44
2006	41689	-7	49	-291823	44196,7636364	6288878,45605	276458338,236	36614057,04
2007	51708	-5	25	-258540	48947,3454546	7621213,51904	141050172,569	83097809,64
2008	68636	-3	9	-205908	53697,9272727	223146016,806	50778062,1257	61030468,84
2009	45149	-1	1	-45149	58448,5090909	176876942,059	5642006,90285	245699355,04
2010	59039	1	1	59039	63199,0909091	17306356,372	5642006,90285	3185511,04
2011	78682	3	9	236046	67949,6727273	115182848,688	50778062,1257	318915307,24
2012	83656	5	25	418280	72700,2545455	120028358,464	141050172,569	521309356,84
2013	78125	7	49	546875	77450,8363636	454496,608644	276458338,236	299331521,44
2014	68834	9	81	619506	82201,4181818	178687868,847	457002559,127	64163304,04
Итого	608238	0	330	783846	608238	890834501,67123	1861862277,9211	2423170265,6

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле (2.13), для чего в 7-м столбце таблице 2.3 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце - числитель аналитической дисперсии. В формуле (2.13) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся):

F_Р = 1861862277,9211*8/(890834501,67123*1)=16,72016317>F_Т,

значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 5,32 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [= k - 1 = 1] и 8-й строке [= n - k = 8]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле ,(2.17):

,(2.17)

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n-1 (приложение 2); - ошибка аппроксимации, определяемая по формуле ,(2.18):

,(2.18)

где и - соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n- число уровней ряда; k- число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2005 год с уровнем значимости = (1-0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле2.18:

Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,2622 при = 10 - 1=9.

Прогноз на 2005 с вероятностью 95% осуществим по формуле ,(2.17):

или

(млн $).

Размещено на Allbest.ru

...