Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра «Информационные системы в экономике и менеджменте»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Определение производственного плана предприятия при наличии различных критериев

по дисциплине «Математические методы в экономике»

Выполнила

Б.С. Артемьев

Руководитель

Е.Г. Найденышева

Санкт-Петербург 2013



Оглавление

Введение

1. Построение математических моделей

2. Решение однокритериальной задачи «Выручка»

3. Послеоптимизационный анализ

4. Компенсация дефицитных ресурсов

5. Получение целочисленного решения методом Гомори

6. Получение целочисленного решения методом ветвей и границ

7. Графическое решение задачи с функцией «прибыль»

8. Геометрическая интерпретация множества допустимых планов и достижимого множества

Заключение



Введение

Любое ответственное решение в экономике требует проведения эксперимента. При наличии математической модели мы избавляемся от необходимости дорогостоящих экспериментов, как правило, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это можно делать на модели, которую, условно говоря, можно резать и перекраивать неоднократно без всяких капиталовложений. Это одно достоинство модели. Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы. Построение формальных моделей, их анализ и вывод практических рекомендаций -- одна из важнейших задач прикладной математики.

В данной работе приводится решение производственной задачи на примере условного предприятия с заданными параметрами ресурсов и рыночных цен. Проводится всесторонний анализ задачи по различным критериям оценки и выдвигаются рекомендации по формированию оптимального плана выпуска при приоритете экономических факторов.

Условия задачи

Промышленное предприятие может изготавливать три вида изделий А, В, С, используя при этом три основных, т.е. определяющих программу выпуска, вида ресурсов R1, R2, R3. Нормы расхода ресурсов на единицу изделия каждого вида, запасцы ресурсов на месяц, себестоимость изготовления единицы изделия и их цены приведены в таблице 1. По требованиям технологии ресурс R3 должен быть полностью израсходован в течении месяца. Необходимо сформировать план выпуска изделий на месяц, применяя следующие критерии:

1. Максимум выручки от реализации произведённой продукции

2. Минимум себестоимости изготовления изделий

Таблица 1. Условия задачи

Наименование показателя	Нормы расхода ресурса на одно изделие	Запасы ресурсов
	А	В	С
Ресурс R1 Ресурс R2 Ресурс R3	2 2 3	1 3 2	3 4 6	33 41 36
Себестоимость изготовления, тыс.руб./шт.	10	15	18
Цена тыс.руб./шт.	14	19	22
Прибыль от реализации тыс.руб./шт.	4	4	4

1. Построить соответствующие экономико-математические модели рассматриваемых однокритериальных и многокритериальных задач.

2. Решить однокритериальную задачу ЛП с целевой функцией «выручка» симплек-методом. Выполнить послеоптимизационный анализ. Целочисленное решение получить методом Гомори и методом ветвей и границ.

3. Решить однокритериальную задачу ЛП с целевой функцией «прибыль» геометрически.

Решить две однокритериальные задачи при следующих условиях

Цена каждой единицы изделия (Cj, j=1,2,3) может изменяться, причём эти изменения определяются соотношениями:

Где - некоторый параметр. Для каждого из возможных значений цены изделий найти план производства (не обязательно целочисленный), при котором суммарная выручка была бы максимальной.

Предприятие может использовать не более чем

единиц ресурса R1 и не более чем единиц ресурса R2, где - некоторый параметр. Для каждого возможного значения определить план производства изделий, при котором выручка от реализации является максимальной.

4. Дать геометрическую интерпретацию множества допустимых планов и достижимого множества для вариантов А и В.

5. Решить МКЗ заданными методами. В методе свёртки критериев проанализировать, как изменяется производственный план при изменении весовых коэффициентов. В методе последовательных уступок необходимо проанализировать, как изменяется парето-оптимальное решение при изменении величины уступки.

6. Свести результаты решения МКЗ в таблицу, в которой указать: метод решения, полученный данным методом план, значения себестоимости, выручки и прибыли, вычисленные на полученном плане. Выполнить анализ решения МКЗ с указанием и обоснованием приоритетных планов, имитируя складывающуюся рыночную конъюнктуру, рассчитав уровни рентабельности и т.д.

7. Сделать выводы по работе.



1. Построение математических моделей

Задание: построить соответствующие экономико-математические модели рассматриваемых однокритериальных и многокритериальных задач (выручка и себестоимость). Задачи приведены в стандартном виде.

Выручка

Себестоимость

Многокритериальная задача

, , - количество произведённой продукции 1,2 и 3 вида

- функция зависимости выручки от количества произведённой и проданной продукции и цены за единицу товара

- функция зависимости издержек от количества произведённой продукции первого, второго и третьего вида и их ресурсной стоимости (приведена к стандартному виду)



2. Решение однокритериальной задачи «Выручка»

Задание: решить однокритериальную задачу ЛП с целевой функцией «выручка» симплек-методом. Выполнить послеоптимизационный анализ. Целочисленное решение получить методом Гомори и методом ветвей и границ.

,

Приводим задачу к каноническому виду

,

,

Таблица 2. Симплекс метод

Су	Базис	А0=b	A1	A2	A3	A4	A5	A6
0	A4	33	2	1	3	1	0	0
0	A5	41	2	3	4	0	1	0
-1	A6	36	3	2	6	0	0	1
		-36	-3	-2	-6	0	0	0
0	A4	15	0,5	0	0	1	0	-1/2
0	A5	17	0	5/3	0	0	1	-2/3
0	A3	6	0,5	1/3	1	0	0	1
		0	0	0	0	0	0	1
			14	19	22	0	0
0	A4	15	0,5	0	0	1	0
0	A5	17	0	5/3	0	0	1
22	A3	6	0,5	1/3	1	0	0
		132	-3	-35/3	0	0	0
0	A4	15	0,5	0	0	1	0
19	A2	10,2	0	1	0	0	0,6
22	A3	2,6	0,5	0	1	0	-0,2
		251	-3	0	0	0	7
0	A4	12,4	0	0	-1	1	0,2
19	A2	10,2	0	1	0	0	0,6
14	A1	5,2	1	0	2	0	-0,4
		266,6	0	0	6	0	5,8

Получен нецелочисленный оптимальный план однокритериальной задачи «выручка»

Значение целевой функции на данном плане тысяч рублей.

3. Послеоптимизационный анализ

Для этого составим двойственную задачу и определим теневые оценки ресурсов. Двойственная задача будет иметь вид:

,

Для получения плана данной задачи используем теорему двойственности (y = C*A-1). В базис вошли вектора А4, А2 и А1. Базисная матрица будет иметь вид:



A = (A4, A2, A1) =

Тогда обратная матрица будет иметь вид:

,

Оптимальный план двойственной задачи равен:

,

,

Таким образом, мы имеем дефицитные ресурсы R2 и R3. Интерпретируя полученные результаты можно сказать, что при увеличении ресурса R2 на единицу целевая функция выручки увеличится на 5,8 тысяч рублей, а при аналогичном изменении ресурса R3 только на 0,8 тысяч рублей (это показатели их дефицитности, при уменьшении указанных ресурсов на единицу эффект будет обратным). Мы видим, что увеличение расхода ресурса R2 даёт больший экономический эффект.

Продолжим анализ и найдём интервалы устойчивости для плана целевой функции «выручка» (на данном интервале не будет меняться структура оптимального плана) при изменении вектора ресурсов.

Как было сказано выше, ресурсы R2,R3 -дефицитные. R1 - недефицитный ресурс.

· Найдём интервал устойчивости для вектора возмущений (ресурс R1):

,

,

,

Пока будет изменяться в указанных пределах (и соответствующие ему изменения в R1), ресурс R1 будет оставаться избыточным.

· Найдём интервал устойчивости для вектора возмущений (ресурс R2):

,

,

,

,

Пока будет изменяться в указанных пределах (и соответствующие ему изменения в R2), ресурс R2 будет оставаться дефицитным.

· Найдём интервал устойчивости для вектора возмущений (ресурс R3):

,

,

,

,

Пока будет изменяться в указанных пределах (и соответствующие ему изменения в R3), ресурс R3 будет оставаться дефицитным.

4. Компенсация дефицитных ресурсов

Пусть ресурсы R3 и R2 взаимозаменяемые. Если мы используем на 2 единицы ресурса R2 меньше, то сколько дополнительных единиц ресурса R3 нам потребуется для сохранение выручки?

,

,

,

Так при уменьшении второго ресурса на единицу, нам потребуется 15 дополнительных единиц третьего ресурса для компенсации потерь.

Послеоптимизационный анализ коэффициентов целевой функции

Для начала проведём анализ небазисных переменных. К ним относится переменная ( ).

,

,

,

,

Таким образом, пока (цена на 3 вид продукции) не станет больше 28, производить этот продукт будет невыгодно.

Рассмотрим базисную переменную :

,

,



Рассмотрим базисную переменную :

,

,

Пока коэффициенты целевой функции будут изменяться в таких пределах, значение целевой функции не изменится.

5. Получение целочисленного решения методом Гомори

Оптимальный план нашей задачи для критерия «выручка» имел вид:

,

Значение целевой функции на данном плане тысяч рублей.

Требуется построить правильное сечение для одной из компонент плана. Наибольшая дробная часть у четвёртой компоненты (12,4).

,

где - элементы таблицы в строке выбранного вектора кроме 4го элемента, {…} - дробная часть от числа, - 4я компонента плана.

И при переходе к уравнению:



,

Это условие (ограничение) требуется добавить в задачу для получения целочисленного решения. Решение будет осуществляться двойственным симплекс методом, т.к. все двойственные оценки изначально положительны.

Таблица 3. Двойственный симплекс метод

Су	Базис	А0=b	A1	A2	A3	A4	A5	A6
0	A4	12,4	0	0	-1	1	0,2	0
19	A2	10,2	0	1	0	0	0,6	0
14	A1	5,2	1	0	2	0	-0,4	0
0	A6	-0,4	0	0	0	0	-0,2	1
		266,6	0	0	6	0	5,8	0
0	A4	12	0	0	-1	1	0	1
19	A2	9	0	1	0	0	0	3
14	A1	6	1	0	0	0	0	-2
0	A5	2	0	0	0	0	1	-5
		255	0	0	6	0	0	9

Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори ещё раз.

Оптимальный целочисленный план можно записать так:

,

,

Таким образом, производя 6 единиц продукции первого вида и 9 единиц продукции второго вида мы можем получить 255 тысяч рублей выручки.



6. Получение целочисленного решения методом ветвей и границ

,

Для метода ветвей требуется иметь только 2 переменные. Выразив , получаем:

,

Изобразим задачу графически:

,

Рисунок 1. Метод ветвей и границ. Выручка

Двигая перпендикуляр к градиенту по направлению наибольшей скорости возрастания функции упрёмся в точку С(5,2;10,2), соответствующую оптимальному нецелочисленному решению и максимальному значению функции = 266,6 тысяч рублей.

Ветвление начинается с множества ABCD. Следуя методу, получаем следующее решение:

Таблица 4. Метод ветвей и границ. Выручка

C=(5,2;10,2) f(C)=266,2
,	, , ,

Мы получаем целочисленный план в точке F, со значением функции выручки 255 тысяч рублей, что соответствует ответу, полученному методом Гомори. интерпретация множество последовательный уступка

7. Графическое решение задачи с функцией «прибыль»

Требуется решить однокритериальную задачу ЛП с целевой функцией «прибыль» геометрически.

,

,



Для данной задачи ограничения остаются те же, а значит и область допустимых значений. Аналогичным же способом мы выражаем через другие переменные. Меняется только целевая функция, а с ней и направление вектора градиента.

Рисунок 2. Графическое решение. Прибыль

При решении мы снова упираемся в точку С (5,2;10,2). В ней мы получаем максимальное значение прибыли, равное 61,6 тысяч рублей.

Решение задач с параметрами

В данной части работы будет произведено решение задачи ЛП для максимизации выручки при наличии параметров в целевой функции и в векторе ограничений.

Решение задачи с параметром в целевой функции

,



,

,

Су		Базис	А0=b	A1	A2	A3	A4	A5	A6
0		A4	33	2	1	3	1	0	0
0		A5	41	2	3	4	0	1	0
-1		A6	36	3	2	6	0	0	1
			-36	-3	-2	-6	0	0	0
			0	0	0	0	0	0	0
0		A4	15	0,5	0	0	1	0	-1/2
0		A5	17	0	5/3	0	0	1	-2/3
0		A3	6	0,5	1/3	1	0	0	1
			0	0	0	0	0	0	1
			0	0	0	0	0	0	0
				14-	19+	22+2	0+0	0+0
0		A4	15	0,5	0	0	1	0
0		A5	17	0	5/3	0	0	1
22		A3	6	0,5	1/3	1	0	0
			132	-3	-35/3	0	0	0
				2	.	0	0	0
0		A4	15	0,5	0	0	1	0
19		A2	10,2	0	1	0	0	0,6
22		A3	2,6	0,5	0	1	0	-0,2
			251	-3	0	0	0	7
			15,4	2	0	0	0	0,2
0		A4	12,4	0	0	-1	1	0,2
19		A2	10,2	0	1	0	0	0,6
14		A1	5,2	1	0	2	0	-0,4
			266,6	0	0	6	0	5,8
				0	0		0
0		А4	9	0	-1/3	-1	1	0
0		А5	17	0	5/3	0	0	1
14		А1	12	1	2/3	2	0	0
			168	0	-29/3	6	0	0
			-12	0	-5/3		0	0

1.

,

Интервал оптимальности отсутствует для плана на этой итерации.

2.

,

,

3.

,

,

4.

,

,

Итого мы имеем:

·

·

·

Функция выручки будет достигать своего максимума на каждом из трёх участков значений при условии выполнения плана, поставленного в соответствие выбранному участку.



,

Решение задачи с параметром в векторе ограничений

Су	Базис	А0=b		A1	A2	A3	A4	A5
0	A4	12,4		0	0	-1	1	0,2
19	A2	10,2		0	1	0	0	0,6
14	A1	5,2		1	0	2	0	-0,4
		266,6		0	0	6	0	5,8
0	A4	15		0,5	0	0	1	0
19	A2	18		1,5	1	3	0	0
0	А5	-13		-2,5	0	-5	0	1
		342	76	28,5	0	57	0	0

1.

,

,

2. - задача неразрешима, оптимальные планы отсутствуют

3.

,

,

,

4. - задача неразрешима, оптимальные планы отсутствуют



· ,

· ,

Функция выручки будет достигать своего максимума на каждом из двух участков значений при условии выполнения плана, поставленного в соответствие выбранному участку.

8. Геометрическая интерпретация множества допустимых планов и достижимого множества

Требуется дать геометрическую интерпретацию для задач «выручка» и «себестоимость».

Выручка

Себестоимость,

Для отображения на плоскости задачи приводятся к двум переменным.



,

Изобразив все ограничения для данной задачи, мы получаем выпуклый многоугольник, представляющий множество допустимых планов. Функция «выручка» может принимать любое значение в пределах допустимого множества ABCD.

Рисунок 4. Геометрическая интерпретация выручка

В одной из вершин множества ABCD должен быть заключён оптимальный план задачи. В ходе решения симплекс методом перебираются вершины фигуры, и находится та точка, значение координат (x1,x2) которой дают наибольшее значение целевой функции . Для графического решение требуется определить направление наибольшей скорости возрастания (убывания) функции. Это направление может быть показано вектором градиента, координаты которого находятся как частные производные от целевой функции. В нашем случае вектор градиента будет иметь координаты Передвигая перпендикуляр к вектору градиента по направлению возрастания функции, мы должны упереться в точку, несущую в себе оптимальный план решения задачи. Такой точкой будет точка Именно в этой точке мы получим максимум выручки 266,6 тысяч рублей при заданных ресурсных ограничениях. При изменении цен в пределах интервала оптимальности будет меняться направление вектора градиента, но оптимальный план останется в той же точке. При изменении вектора ресурсов в пределах интервала устойчивости будет меняться область допустимых значений, но вектор градиента сохранит своё направление. Возможные значения функции «выручка» при изменении цен и ресурсных ограничений мы рассмотрели при решении задач с параметрами.

,

Для задачи «себестоимость» принцип графического отображения будет схожим.

В данном случае максимальное значение функции (мы привели её к виду на максимум) будет достигнуто в точке Тогда, подставив эти значения в функцию, мы получим . Меняем знак, получаем минимальное значение себестоимости при существующих ограничениях = 108 тысяч рублей. Такое значение может быть достигнуто при полном отказе от производства первых двух видов продукции, при этом мы потратим на третий продукт весь ресурс R3 (необходимо потратить по условию).

Решение многокритериальной задачи

Требуется решить многокритериальную задачу с функциями «выручка» и «себестоимость» методами свёртки критерия, главного критерия и последовательных уступок.

Метод свёртки критерия

,

Для этого метода самостоятельно введём веса для каждого критерия:

· ,

Таким образом, мы будем решать задачу при условии равной значимости выручки и себестоимости. Функция свёртки будет иметь вид:

,

,

,

Поменяем значимость критериев при сохранении приоритета выручки:

·

,

,

,

·

,

,

,

·

,

,

,

Предположим приоритетность второго критерия (себестоимость):



·

,

,

,

Метод главного критерия

Главным критерием берём выручку. Себестоимость будет добавлена в качестве ограничения. В соответствии с проведённым анализом изменения функций ограничитель себестоимости будет иметь вид:

,

,

,

,

1.

,

,

,

2.

,

,

,

Метод последовательных уступок

Для данного метода возьмём один из уже найденных планов:

,

,

Главным критерием остаётся выручка. Предположим, что лицо, принимающее решение, не удовлетворяет значение себестоимости . Мы назначаем уступку для первого критерия (жертвуем выручкой).

· .

,

,

,

· .



,

,

,

· .

,

,

,

Сводная таблица решений

Таблица 5. Сводная таблица решений

Метод свёртки критерия
						P
0,5	0,5	(5,2;10,2;0)	30,8	266,6	-205	61,6
0,6	0,4	(5,2;10,2;0)	77,96	266,6	-205	61,6
0,75	0,25	(5,2;10,2;0)	148,7	266,6	-205	61,6
0,9	0,1	(5,2;10,2;0)	219,44	266,6	-205	61,6
0,25	0,75	(12;0;0)	-36	168	-120	48
Метод главного критерия
				P
	(7,2;7,2;0)	237,6	-180	57,6
	(9,6;3,6;0)	202,8	-150	52,8
	(11,2;1,2;0)	179,6	-130	49,6
Метод последовательных уступок
				P
16	(6,3;8,54;0)	250,46		59,36
36	(7,68;6,48;0)	230,6		56,64
66	(9,75;3,37;0)	200,53		52,48

В методе свёртки критериев мы видим, что при равной значимости критериев мы имеем тот же ответ, что и при решении однокритериальных задач. Прибыль составляет 61,6 тысяч рублей при максимальной выручке 266,6 тысяч рублей. Издержки составляют 205 тысяч рублей. Как при приоритетности первого критерия (выручка), так и при равенстве критериев структура плана и сам план не меняются, следовательно, не меняются значения выручки и себестоимости. Сохраняется неизменной прибыль. Значение функции свёртки возрастает по мере увеличения первого критерия. Оптимальный план меняется при замене первого критерия на второй критерий (себестоимость становится более значимой, чем выручка). Себестоимость достигает своего минимального значения, но так же значительно падают выручка и прибыль.

По методу главного критерия мы видим, что по мере повышения значения ограничителя (уменьшение себестоимости) неизменно падает значение выручки и вместе с тем - прибыли.

По методу последовательных уступок мы видим, что при увеличении значения уступки на первый критерий, выручка падает при одновременном снижении себестоимости. Прибыль при этом постепенно снижается. По итогам проведённого анализа можно сказать, что во всех случаях, жертвуя выручкой, мы снижаем прибыль. Это означает, что ЛПР следует отдать большее предпочтение именно первому критерию.



Заключение

В работе была рассмотрена задача с промышленным предприятием, располагающим тремя видами ресурсов и продающим свою продукцию на рынке с целью получения прибыли.

Лицо, принимающее решение могло использовать различные критерии для получения оптимального результата. Управление производственными и сбытовыми процессами предполагало возможности максимизации выручки, прибыли или минимизацию издержек. В таких ситуациях математический анализ позволяет наиболее чётко обосновать то или иное производственное решение.

В ходе анализа различных вариантов мы пришли к выводу, что максимальные экономические выгоды предприятие может извлечь в случае, если основной своей задачей поставит максимизацию выручки или прибыли (необходимые значения приведены в работе). Все попытки выйти из ситуации, минимизируя издержки, приводили к потере прибыли, т.к. снижение издержек не компенсировало более быстрого снижения выручки (при акцентировании внимания на себестоимости).

В ходе исследования было так же выявлено, что предприятие располагает некоторой возможностью варьирования цен при сохранении того же производственного плана. А в случае небольших изменений в ресурсном обеспечении, можно обойтись количественным (а не качественным) пересмотром программы выпуска или прибегнуть к компенсации одного ресурса посредством другого, если таковой окажется дешевле в приобретении (или из иных соображений).

К сожалению, устоявшаяся на рынке цена на продукт третьего вида 22 тыс. руб./шт. оказалась невыгодной. Пока она не вырастет больше чем ещё на 6 тысяч, производить третий вид продукции нецелесообразно.

Таким образом, мы получили математически обоснованное производственное решение на основе базовой информации о ресурсах предприятий и рыночных ценах. При сохранении реальных параметров на том же уровне, на каком они были рассмотрены такое решение оптимально.

Размещено на Allbest.ru

...