Оценка интервальных параметров инвестиционных проектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт системного анализа РАН

ОЦЕНКА ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

М.Ю. Стернин

Г.И. Шепелев

Москва

Ключевые слова и выражения: принятие решений, экспертный анализ, обобщенные интервальные оценки, сравнение параметров инвестиционных проектов.

Выявление оценок параметров, известных с неопределенностью и требующих экспертного прогнозирования, приводит к необходимости разработки подходов, более полно отражающих знания и ожидания экспертов. В работе на примере сравнения параметров инвестиционных проектов, выраженных в виде интервальных и обобщенных интервальных оценок, развиваются предложенные ранее идеи, применимые для сравнения оценок, полученных в условиях неопределенности.

Проблема сравнения инвестиционных проектов и выбора лучших из них для финансирования привлекает внимание и экономистов-исследователей и практических работников. В сложных ситуациях значения параметров инвестиционных проектов, необходимых для расчета индикаторов эффективности, получают как прогнозные оценки независимых экспертов, представленных в виде числовых интервалов. Результирующие индикаторы эффективности проектов, рассчитываемые методами интервального анализа, также получают при этом интервальное представление [Калмыков и др., 1986]; [Авдеенко и др., 2000].

Действительно, пусть имеется реализуемый в течение 5 лет инвестиционный проект со следующими компонентами денежного потока СF(t) = [СFmin, СFmax]: CF(0) =[- 105, - 95], CF(1) = [70, 75], CF(2) = [83, 85], CF(3) = [100, 104], CF(4) = [191, 194], CF(5) = [94, 96]. Ставка дисконтирования d принимает значения в интервале d = [10%, 12%]. Тогда результирующий индикатор эффективности такого проекта, в качестве которого принят чистый дисконтированный доход NPV, исчисленный в соответствии с правилами интервальной арифметики, лежит в интервале NPV = [269.57, 313.68]. Поэтому при принятии решения о выборе предпочтительного проекта требуется использование процедур сравнения результирующих интервалов-индикаторов [Ащепков и др., 2006].

В работе [Стернин и др., 2009] предложен метод непосредственного сопоставления интервальных оценок, процесс сравнения в котором трактуется как задача принятия решений. Метод позволяет либо указать лучшую интервальную оценку из сравниваемых, либо рекомендовать лицу, принимающему решения (ЛПР), временно отказаться от принятия решения. В последнем случае, вероятно, целесообразно воздержаться от немедленного принятия решения и попытаться сузить диапазон неопределенности, получив дополнительную информацию.

1. Сравнение интервалов-индикаторов

Задача сравнения результирующих интервалов-индикаторов не может быть решена чисто логико-математическими методами, а должна быть поставлена как задача принятия решений. Это означает, что в процесс решения включается человек, принимающий решения, а алгоритм решения должен позволять учитывать его предпочтения и склонность к риску.

В соответствии с предлагаемым методом в паре сравниваемых интервалов выделяются три зоны: зона, благоприятствующая проверяемой гипотезе о предпочтительности одной из оценок (зеленая зона, g); зона эквивалентности оценок (желтая зона, y) и зона, неблагоприятная для истинности проверяемой гипотезы (красная зона, r). Вывод о предпочтительности, эквивалентности или несравнимости интервальных оценок делается на основе сопоставления длин зон Dg, Dy, Dr и предпочтений ЛПР.

В рамках метода рассматривается задача сравнения двух числовых интервалов Ii = [Li, Ri], заданных их левыми Li и правыми Ri границами, Li < Ri. С точностью до перестановки I1 и I2 возможны следующие четыре варианта их взаимного расположения (конфигурации):

а) R1< L2, b) L1 < L2 < R1 < R2, c) L1 < L2 < R2 < R1, d) L1 = L2, R1 = R2.

Ищутся условия, при которых I2 может быть предпочтительнее («больше»), чем I1.

При интервальном задании оценок параметров инвестиционного проекта возможные значения его чистого дисконтированного дохода, вычисленные для момента T, лежат в интервале [NPVmin(T), NPVmax(T)].

Вариант а) не вызывает затруднений, и позволяет принять решение о предпочтительности второго проекта (П2 П1) «автоматически». Здесь фактически нет задачи принятия решений.

NPV1max < NPV2min (чистая предпочтительность).

Определим интересующие нас зоны в варианте b) (сдвиг). Можно видеть, что длина зеленой зоны Dg, благоприятствующей проверяемой гипотезе о предпочтительности второго проекта, равна Dg = (NPV2min - NPV1min) + (NPV2max - NPV1max). Желтая зона эквивалентности оценок расположена в диапазоне Dy=(NPV1max - NPV2min). В варианте сдвига интервала второго проекта вправо относительно интервала первого проекта, красной зоны, отвергающей гипотезу о превосходстве второго проекта, не существует.

В варианте c) (внутреннее включение) могут существовать все три зоны. Зеленая зона, Dg = (NPV2max - NPV1max). Желтая зона Dy = (NPV1max - NPV1min). Красная зона, Dr = (NPV1min - NPV2min).

Конфигурация d) характеризуется наибольшей неопределенностью, интервалы эквивалентны друг другу по предпочтительности. В этой ситуации ЛПР не в состоянии принять рационального решения в пользу какого-либо из интервалов без дополнительной информации. Необходимо либо отказаться от выбора, либо, если сделать выбор все-таки нужно, а оперативно получить дополнительную информацию невозможно, воспользоваться случайным выбором. Мерой неопределенности в рассматриваемой задаче сравнения может служить протяженность S пересечения I1?I2.

Среди нескольких возможных числовых коэффициентов, характеризующих ситуацию принятия решений, показатель K, названный нами коэффициентом уверенности, имеет ясный экономический смысл.

Этот коэффициент (К) равен доле разности длин зеленой и красной зон в общей протяженности сравниваемых интервалов с учетом их возможного пересечения: экспертный прогнозирование инвестиционный финансирование

.

Содержательно он характеризует относительный прирост возможного максимального выигрыша за счет верного принятия решений. Действительно, в случае конфигурации b), например, при выборе интервала I2 в качестве предпочтительного максимум возможного выигрыша от такого выбора равен R2 - L1. При выборе интервала I1 эта величина равна R1 - L2. Таким образом, относительный прирост возможного максимального выигрыша за счет верного принятия решений равен [(R2 - L1) - (R1 - L2)]/(R2 - L1), т.е. равен K.

Вычисленное в конкретной ситуации сравнения интервальных величин значение коэффициента уверенности K может быть использовано ЛПР при принятии решений. Именно, если при проверке гипотезы о предпочтительности интервала I2 значение коэффициента K для сравниваемой пары интервальных оценок окажется «достаточно большим» и согласуется с представлениями ЛПР о приемлемой величине риска, который связан с принятием решения и который измеряется пороговым (индивидуальным для каждого ЛПР и ситуации принятия решений) значением Kth, то принимается, что I2 I1, если K ? Kth.

Задание экспертом шансов на реализацию тех или иных значений параметров в пределах их интервальных оценок, описываемых плотностями распределения вероятностей, позволяет перейти к сравнению интервально-вероятностных индикаторов эффективности проектов. Для этого методом статистических испытаний производится разыгрывание точечных величин в интервально заданных NPV обоих сравниваемых проектов. Расчет коэффициента уверенности ведется в этом случае также по формуле (1.1), где Dg и Dr интерпретируются теперь, как число «попаданий» в зеленую и красную зоны соответственно, а D(I1UI2), как общее число «историй» в методе Монте-Карло.

2. Сравнение ОИО-индикаторов

В ряде случаев эксперту затруднительно выразить свои знания об анализируемом параметре, указывая единственную интервальную оценку: интервал излишнего размаха снижает ценность знаний эксперта, а зауженный интервал довольно часто ведет к ошибкам предсказания [Slovic et al., 2001]; [Shepelyov et al., 2003].

Целесообразно поэтому дополнительно к моноинтервальному подходу разработать такой подход к выявлению и представлению экспертных знаний о неопределенных количественных данных анализируемых задач, который дал бы эксперту возможность выразить свои знания о параметрах задачи, задавая совокупность интервальных оценок. Отказ от использования только одноинтервальных оценок позволяет эксперту формализовать свои представления о возможной неточности длины и положения интервалов-оценок значений каждого параметра.

Такой подход - подход обобщенных интервальных оценок (ОИО) [Стернин и др., 2010]; [Chugunov et al., 2008] - разработан нами как непосредственное развитие традиционного моноинтервального подхода.

Для представления в подходе ОИО своих знаний о параметре модели эксперт вначале формирует полиинтервальную оценку (ПИО). Для этого эксперт может задать несколько характерных интервалов, входящих в совокупность интервалов-оценок, а затем восстановить по ним ПИО.

К появлению конструкций ПИО и ОИО могут приводить различные схемы выявления экспертных знаний и предпочтений. Например, для результирующего интервального значения NPV экспертом могут быть получены пессимистическая и оптимистическая интервальные оценки. Рассматривая эти интервалы как основания трапеции ПИО, эксперт может дополнить трапецию интервалами промежуточного уровня, или перейти к непрерывной интерпретации, указав форму боковых граней трапеции. К схемам типа ПИО и ОИО приводят также процедуры оценки, осуществляемые с помощью нескольких экспертов.

ПИО параметра D (например, NPV(T)) можно наглядно представить криволинейной трапецией на плоскости (X = D, Y = б), которая восстанавливается по экспертным оценкам оснований трапеции. Ось ординат б [0, 1] служит осью меток упорядоченных левых границ интервалов совокупности. Наибольшему основанию трапеции («базовый» интервал) соответствует б = 0, а наименьшему («мини» интервал) отвечает б = 1. Таким образом, ПИО определяется положением и длинами минимального (верхнего [Dlu, Dru]) и базового (нижнего [Dld, Drd]) интервалов совокупности, задаваемых своими левыми Dl и правыми Dr границами, и формой боковых границ трапеции. В приложениях, как правило, считают эти границы прямолинейными.

Суждения эксперта о шансах на реализацию значений анализируемой величины формализуются путем задания плотности совместной функции распределения вероятностей F(D, б) = F1(б)F2(D|б) на ПИО (Рис.1).

Рис.1. Криволинейная трапеция, представляющая ПИО параметра D (NPV(T)).

Распределение F1(б) характеризует шансы реализации различных сценариев в их совокупности. Плотности F2(D|б) описывают шансы реализации тех или иных значений D на каждом из интервалов совокупности. В общем случае на разных (по б) полосах ПИО плотности F2(D|б) могут принадлежать к разным семействам распределений. Полученная конструкция - ПИО вместе с определенной на ней F(D, б) - является обобщенной интервальной оценкой величины D.

Сравнение параметров, описываемых ПИО, может быть произведено точно так же, как и в случае моноинтервальных параметров, т.е. на базе соотношения (1.1) с заменой длин «цветных» зон их площадями. В случае дополнительного задания экспертом шансов на реализацию различных моноинтервальных оценок в составе ПИО (плотности f1(б)), расчет зон в сравниваемых парах параметров осуществляется синтезом методов статистических испытаний и прямого сравнения моноинтервальных оценок. Наконец, при наличии полной информации об ОИО задача может быть сведена к моноинтервальному случаю путем усреднения всех распределений ОИО с получением обобщенного вероятностного распределения fav(D) на «базовом» (b) основании ПИО. Указанное усреднение производится в соответствии с соотношением (1.2).

Для наиболее распространенных на практике прямолинейных границ ПИО в (1.2) бl(D) = (D - Dlb)/(Dlm - Dlb), бr(D) = (Drb - D)/(Drb - Drm). В простейших случаях, например, для ПИО с равномерными распределениями вероятностей по осям, для fav(D) могут быть получены аналитические выражения [Стернин и др., 2008].

Подход ОИО может быть использован в задачах выявления и формализации экспертных знаний и в задачах принятия решений.

В подходе ОИО осуществляется замена первичного объекта моноподхода - точечной оценки, интервальной оценкой. Интервал, как средство описания неопределенности в моноподходе заменяется совокупностью интервалов, названной полиинтервальной оценкой (ПИО). Функция распределения вероятностей, заданная на моноинтервальной оценке заменяется совместной функцией распределения вероятностей, заданной на вышеуказанной совокупности.

Подход ОИО находится на стыке нескольких научных областей, таких как теория принятия решений, инженерия знаний, теория вероятностей, системы поддержки экспертных решений. Этот подход, расширяя возможности более полного выявления знаний экспертов об исходных данных задачи, приводит к более адекватному учету неопределенности и повышению качества принимаемых решений.

Авторы полагают, что предложенный метод непосредственного сравнения интервалов адекватно учитывает специфику задач принятия решений, для которых характерно наличие понятия несравнимости и может успешно дополнить известные методы оценки интервальных параметров инвестиционных проектов.

Благодарности. Работа поддержана программами фундаментальных исследований президиума РАН «Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация» и ОНИТ РАН «Информационные технологии и методы анализа сложных систем», Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 08-01-00247, 08-07-13532, 09-07-00009, 09-07-12111, 10-07-00242).

Список литературы

1. [Авдеенко и др., 2000] Авдеенко С.Н., Домбровский В.В. Анализ инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности. Вестник томского государственного университета, Т. 271, июнь. 2000.

2. [Ащепков и др., 2006] Ащепков Л., Давыдов Д.. Показатель интервального неравенства: свойства и применение //Вычислительные технологии. 2006. Т. 11.

3. [Калмыков и др., 1986] Калмыков С., Шокин Ю., Юлдашев З. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986.

4. [Стернин и др., 2008] Стернин М., Шепелев Г.. Анализ сценариев в методе обобщенных интервальных оценок. // Таврический вестник информатики и математики. Т. 2. 2008.

5. [Стернин и др., 2009] Стернин М., Шепелев Г.. Сравнение полиинтервальных оценок в методе ОИО. // Intelligent Support of Decision Making. International Book Series N 10. Supplement to Information Technologies and Knowledge. V. 3, 2009.

6. [Стернин и др., 2010] Стернин М., Шепелев Г.. Обобщенные интервальные экспертные оценки в принятии решений. // Доклады академии наук (сер. математика, информатика). Т. 432, 2010.

7. [Chugunov et al., 2008] Chugunov N., Shepelyov G., Sternin M. The generalized interval estimations in decision making under uncertainty. // Int. J. Technology, Policy and Management. V. 8. 2008.

8. [Slovic et al., 2001] Slovic P., Fischhoff B., Lichtenstein S. Facts vs. fears: understanding perceived risk. //In Kahneman D., Slovic P., Tversky A (Eds.). Judgment Under Uncertainty: Heuristics and Biases // Cambridge: Cambridge University Press. 2001.

Размещено на Allbest.ru