Моделирование динамики экономических явлений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование динамики экономических явлений

1 Характеристики экономического развития. Характеристики скорости и интенсивности изменения динамического ряда

экономический динамический солоу

Задачи, изучаемые экономической наукой и практикой, делятся, в зависимости от учета времени, на статистические и динамические. Статистика изучает состояния экономических объектов, относящихся к определенному моменту или периоду времени, без учета изменения их параметров во времени. В динамических задачах отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязи во времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что в свою очередь является важнейшим фактором изменения объема выпуска.

В основе динамического анализа лежит понятие траектории. Траектории описывает состояние изучаемого объекта (или значения изучаемого показателя) как функцию от времени:

где - отрезок времени, на котором определена траектория.

При этом время t может учитываться как по моментам (или интервалам), так и непрерывно. В первом случае (1) называют также динамическим (временным) рядом. По временному признаку экономические показатели делятся на моментные (например, численность населения и объем основных фондов на начало года) и интервальные (объем производства за год и т.п.). Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное время удобно для приложений, так как статистические модели всегда дискретны и относятся к конкретным моментам или интервалам времени. Для дискретного времени может использоваться аппарат разностных уравнений.

Характеристики скорости и интенсивности изменения динамического ряда.

Абсолютный прирост за единицу времени характеризует скорость изменения уровня.

Темп роста характеризует интенсивность изменения.

Темп прироста - относительную скорость изменения.

Показатели изменения динамического ряда могут вычисляться при постоянной и переменной базе. За постоянную базу принимается один уровень динамического ряда, как правило, начальный. Переменной базой служит предшествующий уровень. Показатели на постоянной базе называются базисными, а на переменной - цепными.

Предельные (непрерывные) абсолютные и относительные приросты

Непрерывный абсолютный прирост:

Непрерывный темп прироста:

Связь между непрерывным и дискретным темпам прироста

Пусть непрерывный темп прироста

Тогда

С = const.

Потенцируя, имеем:

А = е

Дискретный темп прироста равен

Таким образом, связь между непрерывным и дискретным темпами прироста имеет вид:

2. Типы экономического развития. Выбор моделей типов траектории экономического развития

Пусть показатель S(t) есть сумма A(t) и B(t), растущих с постоянными непрерывными темпами и соответственно. Рассмотрим случай, когда Тогда

S(t)=A(t)+B(t)=A(0) e+B(0) e=A(0) e

Поскольку , то величина в квадратных скобках стремиться к единице, и темп прироста суммы приближается к темпу быстрее растущего составляющего.

Пусть показатель P(t) есть произведение A(t) и B(t) с непрерывными темпами прироста и :

P(t)=A(t) B(t)=A(0) e

то есть темп прироста произведения равен сумме темпов прироста сомножителей.

В случае дискретных темпов прироста и показателей A(t) и B(t), имеем:

P(t)=A(t) B(t)=A(0) (1+).

При малых и величина пренебрежимо мала и темп прироста произведения приближенно равен сумме темпов прироста сомножителей. Если же и значительны, то темп прироста произведения не может приближенно считаться равным сумме темпов прироста сомножителей.

Пример. Производственная функция - статистически устойчивая, взаимосвязь между ресурсами и результатом производства: K, L Y.

Производственная функция типа Кобба-Дугласа: Y = AKL.

Логарифмируя, имеем: lnY = lnA+. Дифференцируя по времени: Таким образом, где Y - производная по времени. Таким образом, производственная функция в темповой записи имеет вид:

Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа

Так как то

Отсюда где - производительность труда, - капиталовооруженность (фондовооруженность) труда. В темповой записи производственная функция имеет вид: где p - темп прироста производительности труда, f - темп прироста фондовооруженности. Так как в моделе Кобба-Дугласа то темп прироста производительности труда меньше темпа прироста фондовооруженности.

Производственная функция типа Кобба-Дугласа с постоянным темпом роста вследствие нейтрального технического прогресса: В темповой записи:

3. Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара

Y(t) = C(t)+I(t), C(t) - функция потребления, I(t) - функция инвестиций.

В модели Харрода-Домара предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям: где B - коэффициент капиталоемкости прироста дохода. Таким образом,

А) C(t) = 0, то есть все ресурсы направляются на инвестиции. Решая дифференциальное уравнение получаем:. В темповой записи модель принимает вид: y(t) = 1/B. Таким образом, 1/B представляет собой максимально возможный темп прироста и называется технологическим темпом прироста.

Б) Пусть потребление постоянно во времени: C(t) = C const, то есть Y(t) = BY(t)+C. Частное решение этого уравнения представляет собой Y(t)=C. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: . Таким образом, общее решение исходного уравнения

есть

При t=0: Y(0)=A+C, то есть A=Y(0) - C Y(t)=(Y(0) - C) e+C.

В этом случае непрерывный темп прироста равен

При темп прироста

При темп прироста

так как доход растет, а постоянный объем потребления составляет все меньшую ее долю.

В) Потребление растет с постоянным темпом r:

C(t)=C(0) e

Решение данной модели:

Действительно, запишем уравнение в виде

Частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид: так как

Общее решение соответствующего однородного уравнения есть . Действительно, интегрируя уравнение получаем, где К-константа интегрирования. Потенцируя: Отсюда .

Из общих соображений ясно, что темп прироста потребления r не должен быть больше максимально возможного общего темпа прироста 1/В, так как иначе потребление будет занимать все большую, ив конце концов - подавляющую часть дохода, что сведет к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Эти видно из формулы решения модели, так как в случае r>1/B коэффициент отрицателен, а растет быстрее, чем - следовательно, отрицательное в этом случае второе слагаемое через некоторое время перевесит первое.

В решении рассматриваемой модели роста при r>1/B многое зависит от соотношения между r и (здесь - норма накопления в начальный момент времени t=0). Если то темп прироста дохода равен темпу прироста потребления, и решением является . Норма накопления в этом случае постоянна и равна , а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален коэффициенту капиталоемкости прироста дохода.

Если в рассматриваемой модели роста то темп прироста потребления оказывается слишком высоким для экономики, и темп прироста дохода падает и становится отрицательным, что аналогично случаю Если же то норма накопления, а вместе с ней и темп прироста дохода растут, причем темп прироста дохода в пределе приближается к 1/B.

4. Особенности модели макроэкономического роста Солоу

Еще одним важным и интересным примером модели экономической динамики является модель Солоу, которая рассматривается в курсе макроэкономики. Не рассматривая здесь модель Солоу еще раз, рекомендуем обратить на нее внимание и сопоставить используемые в ее изложении подходы и выводы с теми, о которых говорится в настоящей лекции.

1. Если показатель Y(t) есть непрерывная функция времени, то рост ее с постоянным темпов записывается как , где - основание натуральных логарифмов, а - непрерывный темп прироста.

В случае дискретного времени динамика показателя, растущего с постоянным темпом , описывается как

2. Интегрируя, имеем: где К - константа интегрирования.

Потенцируя, получаем: где При поэтому

3. Однородное уравнение, соответствующее исходному неоднородному, получается, если свободный член уравнения приравнять к нулю.

4. Общее решение дифференциального уравнения представляет собой сумму частного решения исходного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

5. Из соотношения Y(t)=BY(t)+C имеем: непрерывный темп прироста.

Литература

Кугаенко А.А. Основы теории и практики динамического моделирования социально-экономических объектов и прогнозирования их развития. - М.: Вузовская книга, 2000.

Кулинич Е.И. Эконометрия. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Основные имитационного и статистического моделирования. Учебное пособие. /Ю.С. Харин. - М.: Дизайн ПРО, 2001.

Попов Л.А. Анализ и моделирование: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2003.

Фролькис В.А. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов: 2-е изд. - СПб: Питер, 2002.

Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении. Учебное пособие. - М.: Дело, 2000.

Отчет о человеческом развитии» Ташкент 2003 г.

О.О. Замков. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. М., ГУ ВШЭ, 2001.

О.О. Замков. Макроэкономическая динамика: Прикладное моделирование и анализ. М., Диалог-МГУ, 2003.

Размещено на Allbest.ru