Наближене обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку з метою визначення найприбутковішої альтернативи за умов ризику

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наближене обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку з метою визначення найприбутковішої альтернативи за умов ризику

В.Р. Кігель,

кандидат економічних наук, доцент

Обґрунтовано метод наближеного обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку, заснований на використанні інформації про очікуваний рівень та стандартне відхилення прибутку від його очікуваного значення, з урахуванням індивідуального ставлення до ризику особи, яка обирає рішення. Наведено приклад використання методу для визначення найприбутковішого інвестиційного проекту за умов ризику щодо майбутніх витрат та доходів.

A method for approximate calculation of Random Profit Deterministic Equivalent is developed. The method is based on information about expected level and standard deviation of profit from its expected value with accounting for the individual risk assessment of a decision-maker. An application of the method for the most profitable investment project selection under the risk of future incomes and expenditures is presented.

Постановка проблеми. Прийняття економічних управлінських рішень здійснюється, як правило, за умов ризику щодо майбутніх витрат, доходу, прибутку тощо. Тобто критеріальні показники, за якими порівнюються альтернативи, потрібно розглядати як випадкові величини, а не як детерміновані. Додаткові труднощі у пошуку рішення обумовлені необхідністю визначати та враховувати переважання особи, яка обирає рішення, оскільки кожна особа у конкретній ситуації ставиться до ризику індивідуально, згідно її власної системи переважань. Постає проблема запропонувати зручний у практичному використанні математичний інструментарій порівняння альтернатив за умов ризику.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Сучасна теорія корисності, започаткована Нейманом і Моргенштерном, стверджує, що за умов ризику доцільно керуватися показником очікуваної корисності, який одночасно враховує як індивідуальні переважання (для цього слугує функція корисності), так і закон (функцію) розподілу значень відповідного випадкового критеріального показника. Але практичне використання показника очікуваної корисності ускладнюється або унеможливлюється через похибки, які притаманні і функції корисності (через неможливість абсолютно точного визначення індивідуальних переважань), і імовірнісному закону (функції) розподілу, що використовується (оскільки йдеться про розвиток відповідних економічних процесів у майбутньому), і, нарешті, методам наближеного обчислення відповідних інтегралів. Поширений критерій "Очікуване значення - Дисперсія", заснований на використанні коефіцієнта Пратта-Ерроу, має до того ж методичні вади через несумірність одиниць виміру його окремих складових. Позбутися останнього недоліку можна з використанням критерію "Очікуване значення - Стандартне відхилення", але використання такого підходу вимагає належного теоретичного обґрунтування.

Мета статті - навести варіант теоретичного обґрунтування критерію "Очікуване значення - Стандартне відхилення", отримати зручні для практичного використання розрахункові формули обчислення показника детермінованого еквіваленту випадкового прибутку та проілюструвати методику порівняння ризикових альтернатив на прикладі визначення найприбутковішого інвестиційного проекту.

Виклад основного матеріалу дослідження. Економічна діяльність практично завжди є недетермінованою щодо майбутніх результатів [1, 2], особливо щодо витрат, доходу та прибутку. Тому задача визначення найприбутковішої альтернативи є недетермінованою. Теорія прийняття рішень розрізняє два класи недетермінованих задач. По-перше, це задачі прийняття рішень за умов невизначеності - коли про майбутній прибуток за кожною з допустимих альтернатив можна говорити лише з точністю до відповідної множини його можливих значень. По-друге, це задачі прийняття рішень за умов ризику, коли додатково залучається інформація про закони (або функції) розподілу ймовірностей можливих значень майбутнього прибутку.

Таким чином, за умов ризику прибуток за кожною з допустимих альтернатив розглядається як випадкова величина, а задача вибору найприбутковішої альтернативи полягає у порівнянні альтернативних випадкових величин.

Детермінованим еквівалентом випадкового прибутку називається такий невипадковий рівень прибутку, який на думку ОПР /особи, яка обирає рішення/ є рівноцінним до зазначеного випадкового прибутку [3]. Отже, наявність засобів обчислення детермінованих еквівалентів дозволяє звести задачу визначення найприбутковішої з ризикових альтернатив до пошуку альтернативи, детермінований еквівалент випадкового прибутку за якою є найбільшим.

До формули наближеного обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку можна дійти, виходячи з наступних міркувань і припущень.

Припущення 1. Детермінований еквівалент випадкового прибутку визначається індивідуальними переважаннями ОПР - функцією - залежно від очікуваного рівня прибутку та стандартного відхилення випадкового прибутку від його очікуваного рівня: .

Припущення 2. Для безризикового прибутку (коли та ) детермінований еквівалент збігається з рівнем цього прибутку: .

Далі припустимо, що від однієї одиниці виміру прибутку ми перейшли до іншої, тобто скористалися позитивним лінійним перетворенням розміру прибутку: , де . Тоді очікуваний рівень прибутку, стандартне відхилення та детермінований еквівалент випадкового прибутку теж мають змінитися у раз: , , . Ці міркування дають підставу ввести наступне припущення.

Припущення 3. Функція обчислення детермінованого еквіваленту є позитивно однорідною першого порядку функцією відносно своїх аргументів і : для довільного .

З теореми Ейлера про однорідні функції робимо висновок, що для функції обчислення детермінованого еквіваленту справджується рівність:

. (1)

Припущення 4. Якщо всі можливі рівні випадкового прибутку одночасно збільшити на детерміновані грошових одиниць, тоді детермінований еквівалент теж збільшиться на грошових одиниць:   

Звернемо увагу, що при одночасній зміні всіх можливих рівнів випадкового прибутку на детерміновану величину очікуваний рівень прибутку теж зміниться на грошових одиниць, у той час коли стандартне відхилення випадкового прибутку від очікуваного рівня залишиться без змін. Тому припущення 4 означає, що справджується рівність:

(2)

і, зокрема, що:

. (3)

З рівності (2) випливає, що частинна похідна функції за змінною не залежить від і дорівнює 1. Дійсно, покладаючи , матимемо:

.

Зауважимо, що отриманий висновок і рівність (1) повністю узгоджуються з припущенням 2. Окрім цього, з (1) і (2) випливає, що , а також, зокрема, що: .

Покладемо . Значення визначається індивідуальними переважаннями ОПР, причому , якщо ОПР є нейтральною до ризику, , якщо вона є несхильною до ризику, , якщо ОПР є схильною до ризику. Тоді з умови позитивної однорідності (припущення 3), матимемо рівність: . /Дійсно, ./

Використовуючи цей результат і рівність (3) при , остаточно одержимо: .

Отже, детермінований еквівалент випадкового прибутку наближено можна обчислити за формулою:

, (4)

де - очікуваний рівень (математичне сподівання) майбутнього випадкового прибутку, - стандартне відхилення випадкового прибутку від очікуваного рівня, - множник, значення якого визначається індивідуальним ставленням ОПР до ризику. А саме: , якщо ОПР нейтральна щодо ризику, , якщо вона несхильна до ризику та , якщо ОПР схильна до ризику. Ми використовуємо наступні значення цього множника: , якщо ставлення ОПР до ризику дещо відрізняється від нейтрального; , якщо ставлення до ризику впевнено відрізняється від нейтрального; , якщо ставлення ОПР до ризику значно відрізняється від нейтрального.

Звернемо увагу, що для практичного використання формули (4) потрібно, крім переважань ОПР, оцінити лише математичне сподівання та стандартне відхилення випадкового прибутку за кожною з допустимих альтернатив. Тобто докладної інформації про закон (функцію) розподілу ймовірностей використовувати не потрібно.

У першому наближенні обчислити математичне сподівання та стандартне відхилення випадкового прибутку можна, керуючись рекомендаціями розробників системи ПЕРТ [4]:

, , (5)

де , та - відповідно, мінімальний, модальний (найімовірніший) та максимальний рівні майбутнього випадкового прибутку за конкретною альтернативою, оцінювати які значно легше, аніж знаходити закони (функції) розподілу ймовірностей можливих значень випадкового прибутку.

Приклад. Знайдемо найприбутковіший з чотирьох інвестиційних проектів за даними, що наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Оцінки рівнів випадкового чистого зведеного доходу альтернативних інвестиційних проектів, тис. грн.

обчислення детермінований випадковий прибуток

Спочатку за формулами (5) знайдемо основні статистичні характеристики випадкового чистого зведеного доходу за кожним з інвестиційних проектів. Результати зведемо у таблицю 2.

Таблиця 2

Статистичні характеристики випадкового чистого зведеного доходу альтернативних інвестиційних проектів, тис. грн.

Далі, для обчислення за формулою (4) детермінованих еквівалентів випадкового чистого зведеного доходу за кожним з інвестиційних проектів, потрібно визначити переважання ОПР та оцінити індивідуальне значення множника . Оскільки ставлення ОПР до ризику можна визначити лише наближено, вважаємо за доцільне побудувати допоміжні графіки відповідних лінійних залежностей від детермінованих еквівалентів випадкових прибутків кожного з інвестиційних проектів на множині значень , скажімо, від -1,5 до 1,5 (рис. 1). Від'ємні значення цього множника відповідають несхильній до ризику ОПР, нульове - нейтральній, додатні -схильній до ризику ОПР. Такі графіки допоможуть ОПР порівняти прибутковість ризикових альтернатив за переважністю.

Помічаємо (дивись рис. 1), що переважна більшість ОПР найприбутковішим вважатиме інвестиційний проект , оскільки найчастіше особи виявляють несхильність або нейтральність до ризику (при лінія детермінованого еквіваленту випадкового прибутку за проектом розташована вище за інші). Водночас ОПР з надзвичайно високою схильністю до ризику за найприбутковіший визнає проект , який у порівнянні з проектом має гірші показники модального та очікуваного рівнів випадкового чистого зведеного доходу, але характеризується вдвічі більшим значенням показника стандартного відхилення цього випадкового доходу. Проекти або , скоріше за все, найприбутковішими не будуть визнані за будь-якого ставлення ОПР до ризику.

Рис. 1. Залежність детермінованих еквівалентів випадкового прибутку за кожним з альтернативних інвестиційних проектів від індивідуального ставлення ОПР до ризику (відбивається значенням множника )

Ще один приклад використання зазначеного підходу до розв'язування логістичних задач визначення найекономічнішого маршруту перевезення вантажу за умов ризику наведено в [5]. Потрібно взяти до уваги, що коли критеріальний показник має оптимізаційне спрямування не до максимуму (коли йдеться про прибуток), а до мінімуму (коли йдеться, скажімо, про витрати), значення множника , що використовується у формулі (4) для обчислення детермінованого еквіваленту, у разі несхильності ОПР до ризику є додатним, а у разі схильності до ризику - від'ємним. Причому, незалежно від оптимізаційного спрямування критеріального показника, за абсолютним значенням множник є нульовим за нейтрального ставлення ОПР до ризику, але тим більше відрізняється від нуля, чим більше ставлення ОПР до ризику відрізняється від нейтрального.

Висновки. Отримали варіант теоретичного обґрунтування критерію "Очікуване значення - Стандартне відхилення" для прийняття економічних управлінських рішень за умов ризику. Довели формулу наближеного обчислення детермінованого еквіваленту випадкового прибутку. Навели приклад використання методики для визначення найприбутковішого інвестиційного проекту за умов ризику. Показали також спосіб застосування методики для випадків, коли критеріальний показник порівняння ризикових альтернатив (наприклад, витрати) має оптимізаційне спрямування до мінімуму.

Література

1. Вітлінський В.В., Великоіваненко Г.І. Ризикологія в економіці та підприємництві: Монографія. - К.: КНЕУ, 2004. - 480 с.

2. Степанкевич К.С., Шаров О.І. Ризикологія та оцінювання економічних ризиків. - К.: Університет "КРОК", 2007. - 119 с.

3. Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

4. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования. Применение системы ПЕРТ и ее разновидностей при управлении производственными и научно-техническими проектами: Пер. с фр.- М.: Прогресс, 1968. - 182 c.

5. Кигель В.Р. Выбор наиболее экономичного маршрута перевозки груза в условиях риска //"Логистика. Проблемы и решения". Международный научно-практический журнал. - 2009. - № 1. - С. 26-30.

Размещено на Allbest.ru