Анализ рядов динамики

Одной из важнейших задач статистического анализа рядов динамики является выявление и описание основной тенденции развития изучаемого явления, закономерности изменения уровней ряда. Иногда характер тенденции достаточно отчетливо проявляется на графике и в системе статистических показателей, описанных в предыдущих параграфах. Однако часто встречаются динамические ряды, в которых основная тенденция не является очевидной, поскольку на уровни ряда влияет большое число разнообразных факторов.

Основная тенденция развития того или иного явления складывается под воздействием долговременно действующих внутренних и внешних причин и условий, благодаря которым, в основном, формируется величина уровня ряда. Одновременно с этим, уровни динамического ряда колеблются (отклоняются от основной тенденции) под воздействием краткосрочных случайных или систематически (циклически) действующих факторов. Чем сильнее их влияние, тем сложнее вскрыть основную закономерность развития объекта.

При анализе рядов динамики могут быть выделены четыре компоненты, формирующие уровни:

где T - главная компонента, отражающая основную тенденцию развития, так называемый тренд; C - циклическая (конъюнктурная) компонента; S - сезонная компонента; - случайная компонента.

Выделение и изучение отдельных компонент временного ряда называется декомпозицией ряда динамики. Изучение каждой компоненты предполагает использование специальных приемов и методов.

Все названные компоненты содержит далеко не любой динамический ряд. Чаще всего в практических исследованиях встречаются ряды, содержащие трендовую и случайную компоненты. Чтобы видеть влияние сезонной составляющей, нужно иметь ряд, уровни которого относятся к месяцам или кварталам. Проявление циклической компоненты, как правило, характерно для больших динамических рядов, что связано с экономическими (бизнес) циклами. Чем меньше влияние на уровни ряда нетрендовых компонент, тем проще выделить тренд - основную тенденцию изучаемого ряде, описание и прогнозирование которой является центральной задачей изучения временных рядов.

Различают механическое и аналитическое выравнивания. Последнее позволяет формализовать тенденцию, представить ее в виде конкретной математической функции.

Суть различных приемов, с помощью которых осуществляется сглаживание, сводится к замене фактических уровней динамического ряда расчетными, имеющими значительно меньшую колеблемость, чем исходные данные. Уменьшение колеблемости уровней позволяет тенденции развития проявиться более отчетливо.

Один из наиболее простых приемов механического сглаживания заключается в расчете скользящих, или, как иногда их называют, подвижных средних. Применение последних позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить присутствующую в развитии тенденцию.

Пусть динамический ряд состоит из уровней y_t, t = 1,…, n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (т < n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых т уровней, переходят к расчету средней для уровней y₂,…, y_т+i, затем y₃,…, y_m+2 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания, т.е. интервал, для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. Если т нечетное число, а предпочтительнее брать именно нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить конкретное фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

,

где - значение скользящей средней для момента t, y_i - фактическое значение уровня в момент i; i - порядковый номер уровня в интервале сглаживания; m - интервал сглаживания (период скольжения), p - это порядковый номер первого уровня интервала сглаживания.

Аналитическое сглаживание, в отличие от механической, позволяет благодаря использованию той или иной функции получить выровненные значения уровней, т.е. уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой. Эта же функция с некоторой корректировкой или без нее, применяется в качестве модели для экстраполяции (прогноза).

Вопрос о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. При выборе формы кривой надо иметь в виду то, что рост сложности кривой может увеличить точность описания тренда в прошлом. Однако в связи с тем, что более сложные кривые содержат большее число параметров, их доверительные интервалы будут, в общем, существенно шире, чем у более простых кривых.

Будут рассмотрены самые распространенные 5 видов функций: линейная, степенная, полином 2 степени, логарифмическая.

Модели для экспорта

Линейная модель тренда

Значения параметров показаны на рис.

Значения параметров

Система выделяет значимые значения красным цветом, если все параметры значимые, то и уравнение будет значимым. А выглядит оно следующим образом:

? = -104423 + 37112 * t

Так же программа рассчитывает различные показатели, что мы можем увидеть на рис.

Расчет показателей

Тут нам понадобится только значение остаточной дисперсии у² _ост = 5350689110,12.

По уравнению строится таблица значений (рис.)

Таблица значений

В первой графе видим реальные значения экспорта, во второй - те значения, которые вычислены по построенному уравнению, ну а в последней графе видны их разности.

Аналогичные действия для остальных трендов.

Параболическая (полином 2-ой степени) модель тренда

Значения видны на рис.

Значит, уравнение будет иметь следующий вид:

? =194299,7-10055,2+ 1274,8*

Показательная модель тренда

Значит, уравнение будет иметь следующий вид:

? =1,103*

Линейная модель тренда

? = -69388,8 + 30229,9 * t

Тут нам понадобится только значение остаточной дисперсии у² _ост = 3550288002403,57.

Параболическая (полином 2-ой степени) модель тренда

Значит, уравнение будет иметь следующий вид:

? =166872,6-7074,6+ 1008,2*

Показательная модель тренда

Значит уравнение будет иметь следующий вид:

? =1,065*

Ни одна из представленных моделей не значима. Следует вывод, что нельзя описать весь ряд одной функцией, потому что мы видим, что интенсивность изменения уровней разная, хотя направленность в целом одинаковая, но все-таки на отдельных участках мы видим, что интенсивность этого роста различается. Это связано с экономическими колебаниями в 2008-2009 гг.

Периодизация рядов динамики

Чтобы получить модель тренда, необходимо сделать периодизацию, а именно разбить на отдельные периоды, в рамках которых мы видим примерно одинаковые темпы роста.

Наиболее интенсивно начинают меняться значения экспорта и импорта с 2001 года.

На основе абсолютных приростов определим периоды для экспорта и импорта.

Данные экспорта и импорта после периодизации

Также добавим дополнительную переменную - время, необходимую для построения модели.

На основе этих данных простроим линейные модели.

Модель экспорта

Значения параметров для экспорта Германии после периодизации

Система выделяет значимые значения красным цветом, раз все параметры значимые, то и уравнение будет значимым. А выглядит оно следующим образом:

? = 382978,4 + 129413,8 * t

Тогда построим таблицу дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ ряда экспорт после периодизации

Здесь нам понадобится только значение остаточной дисперсии у² _ост =1841495671,2

По уравнению строится таблица значений остатков:

Остатки линейной модели ряда экспорт Германии после периодизации

Важнейшим элементом оценки качества выбранной модели является анализ автокорреляции в остатках, т.е. в отклонениях исходных значений динамического ряда от рассчитанных по уравнению тренда. Автокорреляция признается значимой, если .

Автокорреляция в остатках экспорта Германии после периодизации

Для экспорта значения автокорреляции незначимы, т.к. ?, где =1,055, а =2,306. После этого можно с уверенностью принимать данные функции для последующего прогноза.

Модель импорта

Аналогично экспорту построим модель для импорта.

Все параметры также значимы, значит можно строить модель:

? = 470660,4 + 116237,9 * t

Для экспорта значения автокорреляции незначимы, т.к. ?, где =1,17, а =1,94. После этого можно с уверенностью принимать данные функции для последующего прогноза.

3. Прогнозирование на основе тренда

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

1) развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано трендом;

2) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, то процесс прогнозирования заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд

Пусть эти допущения принимаются как для экспорта, так и для импорта. Тогда сделаем прогнозирование объемов экспорта на 2009 год, для этого в уравнение тренда подставляем значение t в имеющиеся функции для экспорта и импорта:

1) Для экспорта - ? =382978,4 + 129413,8 * t

при t=9, ?₂₀₀₉ = 1164724, 2

2) Для импорта - ? = 470660,4 + 116237,9 * t

при t=6, ?₂₀₀₉ = 1168087,8

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, однако необходимо определение доверительного интервала прогноза, которые будут учитывать лишь ту неопределенность, которая связана с ограниченностью числа наблюдений и соответствующей неточностью найденных оценок параметров кривой.

На основании точечного прогноза, с учетом предельной ошибки определяется доверительный интервал прогноза:

? - ? ? y ? ? + ?.

Предельная ошибка прогноза рассчитывается следующим образом:

? = (?у²_ост /n)* t _табл.

2009 год:

Таким образом, значение доверительного интервала для экспорта будет таким:

?=12369,67

1152354,53 ? y ? 1177093,87

для импорта:

?=8158,02

1159929,78 ? y ? 1176245,82

Невозможно не заметить, что ни одна модель не оказалась верной. Во-первых, модель не учитывает многих факторов, которые имеют влияние на экспорт-импорт.

Стоит отметить некую тенденцию снижения роста импорта и экспорта прямо перед прогнозируемыми годами, а мной была по сухим расчетам выбрана функция строго возрастающая, причем прирост с каждым шагом у нее все больше. Так же не стоит забывать о мировом финансовом кризисе, который ударил по не самым защищенным странам. Возможно, были и еще другие причины, которые не были рассмотрены в данной работе, но тоже имели прямое или косвенное влияние на данные показатели.

4. Автокорреляция рядов динамики

Автокорреляция - это зависимость между последовательными значениями (уровнями) временного ряда. Автокорреляция первого порядка оценивает степень зависимости между соседними значениями временного ряда. Автокорреляция второго порядка оценивает тесноту связи между значениями, разделенными двумя временными интервалами, и т.д.

Наличие автокорреляции проверяется на основе коэффициентов автокорреляции. При этом в качестве результативного признака принимается переменная, содержащая фактические значения уровней исходного ряда динамики, а в качестве факторного признака переменная, содержащая фактические уровни смещенного ряда. Для начала оценивается экспорт.

значит , , ()

Поскольку параметры незначимы, сделать авторегрессионную модель невозможно.

Аналогично с импортом.

значит , , ()

5. Корреляция рядов динамики

При изучении тенденции развития явления во времени часто возникает необходимость определить степень зависимости между динамическими рядами.

Корреляционная связь между уровнями двух динамических рядов называется кросс-корреляцией. Оценка тесноты связи в задачах исследования кросс-корреляции производится с использованием стандартного коэффициента корреляции Пирсона. Однако применение традиционных методов корреляции и регрессии к анализу зависимости временных рядов имеет определенные особенности.

Особое значение приобретает теоретический, содержательный анализ изучаемых явлений и их возможных взаимосвязей во избежание оценки «ложной корреляции». Однонаправленность трендов и высокое значение коэффициента корреляции вовсе не означает наличие причинно-следственной зависимости между рядами. Поэтому, прежде чем приступать к количественной оценке корреляционной зависимости, необходимо теоретически обосновать ее наличие.

Вторая особенность обусловлена тем, что одним из условий применения корреляционно-регрессионного анализа является независимость наблюдений. В контексте изучения временных рядов - это отсутствие связи между уровнями ряда, т.е. автокорреляции. Наличие тренда (автокорреляции) в анализируемых динамических рядах может существенно исказить оценку. Поэтому для получения адекватного результата, необходимо предварительно исключить тенденцию из анализируемых рядов.

С помощью программного средства можно найти интересующие нас показатели. Оказалось, что корреляция действительно присутствует с лагом =0, а это значит, что ряды экспорта и импорта тесно связаны (коэффициент близок к 1).

В нашем случае, можно говорить о ложной корреляции, она проявляется в том, что коэффициент корреляции указывает на наличие тесной корреляционной зависимости, а в действительности причинно-следственная связь между показателями отсутствует.

На основании рассчитанных коэффициентов кросс-корреляции определяется лаг наиболее существенной взаимосвязи между динамическими рядами, то есть тот лаг, которому соответствует максимальный значимый коэффициент кросс-корреляции. В нашем случае максимально значение достигается при и составляет r = 0,99979. Однако построение факторно-временных функций на нулевым лаге не имеет практического смысла, поэтому стоит рассмотреть значимую зависимость при , r = 0,8975.

Получим модель для прогнозирования:

,

где i - лаг наибольшей взаимосвязи между рядами; z - признак-фактор (переменная «Экспорт Германия»); y - признак-результат (переменная «Импорт Германия»).

Очевидно, что в нашем случае уравнение будет иметь вид

При условии статистической значимости уравнения и параметров модель может быть использована для прогнозирования. В нашем случае этого не наблюдается.

Заключение

временной автокорреляция прогнозирование тренд

В данной курсовой работе был произведен анализ объемов экспорта и импорта Германии в период с 1977 по 2012 год и сделан прогноз на 2009 год по этим показателям и сравнили его с фактическим значением. Так же с помощью ППП STATISTICA были найдены многие показатели, характеризующие ряд, были найдены модели, которые наилучшим образом характеризуют показатели.

Так же была найдена зависимость значений рядов от предыдущих периодов и друг от друга.

Размещено на Allbest.ru