Грылева Ирина Валентиновна

Кандидат экономических наук Доцент кафедры экономики и управления на предприятии irina.gryleva@gmail.com

Как видно из таблицы 1, только на ММВБ-РТС заключается порядка 4 миллионов опционных сделок в год, общие объемы контрактов в стоимостном выражении достигают нескольких триллионов рублей в год, опционные контракты заключаются и на других российских биржах, кроме того, существует внебиржевой рынок опционной торговли [6]. Таким образом, у участников рынка опционной торговли возникает потребность в качественно проработанных моделях ценообразования опционов.

В настоящее время разработаны различные модели оценки опционов, однако, они не обладают универсальностью и не охватывают все разновидности опционных контрактов, существующих на рынке [1]. Обзор существующих методов и моделей ценообразования опционов, подготовленный на основе [2], [4], [5], [9], их достоинств и недостатков, представлен в таблице 2.

Наиболее универсальным способом оценки опционов является построение моделей ценообразования с использованием метода Монте-Карло [3], [5]. Однако, его применение, требует самостоятельной разработки отдельной специализированной модели для каждого вида опционов, отсутствуют стандартные готовые модели, что неудобно для большинства участников рынка опционных контрактов.

Таблица 2 Обзор моделей и методов ценообразования опционов

Модель Блэка-Шоулза-Мертона имеет ограниченную сферу применения и может использоваться, главным образом, для оценки европейских опционов.

Возможность применения данной модели для оценки американских опционов колл рассматривается как следствие утверждения, что досрочное исполнение опциона на покупку бездивидендной акции не является оптимальным [9]. Однако, данное утверждение спорно. В течение срока действия опциона рыночная конъюнктура может сложиться таким образом, что текущая стоимость акции окажется выше цены исполнения опциона и в этом случае досрочное исполнение опциона будет выгодным. Кроме того, не предполагается возможность применения модели Блэка-Шоулза-Мертона для оценки американских опционов пут [7].

Биномиальная модель ценообразования опционов и основанная на ней модель КоксаРосса-Рубинштейна предназначены для оценки европейских, американских, азиатских и экзотических опционов [6], [9]. Метод основан на построении биномиального дерева, диаграммы, демонстрирующей результаты различных вариантов изменения цены базисного актива в течение срока действия опциона. При применении данного метода исходят из предположения, что за каждый промежуток времени, продолжительностью Дt, темп роста цены базисного актива может составить либо величину u>1, либо величину d<1 (рис.1). Цена базисного актива в момент заключения опционного контракта предполагается равной S_0.

^fdd

Рис. 1. Цена акции и цена опциона в биномиальном дереве [9]

Стоимость опциона через Дt лет, в случае если темп роста цены будет равен u, равна f_u. Стоимость опциона через Дt лет, в случае если темп роста цены будет d, равна f_d. Стоимость опциона через 2 шага по Дt, если на обоих шагах темп роста равен u, окажется равной f_uu. Стоимость опциона через 2 шага по Дt, если на одном из них темп роста равен u, а на другом - d, будет равна f_ud. Стоимость опциона через 2 шага по Дt, если на обоих шагах темп роста d, будет равна f_dd.

Цена опциона f в корне биномиального дерева рассчитывается по следующей формуле [9]:

f ₌ e^-rЧDt--_Ч(p_Ч f_u +(1_- p)_Ч f_d ) (1)

Параметры f_u и f_d определяются также с помощью формулы (1.1), исходя из данных о стоимости опционов на следующем шаге (f_uu, f_ud, f_dd). Стоимость опциона в конечной вершине биномиального дерева (по истечении срока его действия) определяется как выигрыш от его исполнения (неисполнения) при рассчитанной для этой вершины цене базисного актива [9].

Для биномиального дерева, представленного на рис. 1, возможны следующие варианты стоимости опциона в конечной вершине: f_uu, f_ud, f_dd. Следовательно:

f_u = e^-rЧDt _Ч(p_Ч f_uu +(1_- p)_Ч f_ud ) (2)

f_d = e^-rЧDt _Ч(p_Ч f_ud +(1_- p)_Ч f_dd ) (3)

Параметр r в формулах (1.1), (1.2), (1.3) - безрисковая процентная ставка. Параметр p рассчитывается по следующей формуле [9]:

erЧDt _-d

p₌ (4) u-d

Параметр p в биномиальной модели ценообразования опционов рассматривают как вероятность роста цены базисного актива [8], [9]. Такая трактовка является ошибочной, поскольку данный параметр может принимать значения больше единицы. Действительно, поскольку u>1, 0<d<1, r>0, Дt>0, параметр p всегда будет больше нуля. Однако, исходя из формулы (1.4), для того чтобы p оказался больше единицы, достаточно чтобы e^rЧDt >u .

Это реализуется в двух случаях: 1) r _> ln(u) , 2) Dt > ^ln(u) . Dtr

Помимо того, что трактовка параметра p как вероятности оказывается ошибочной, в случае, если p>1, возникает некорректность в расчете цены опциона по формулам (1) -(3), а именно скачкообразное ее занижение при незначительном увеличении интервала Дt, либо безрисковой ставки r. Авторские результаты исследования границ применимости биномиальной модели ценообразования опционов представлены графически на рис. 2. ln(u)

На рис. 2 приведены графики функции r = для различных значений параметра u. Dt

Корректное применение рассматриваемой биномиальной модели при каждом значении параметра u возможно при сочетаниях r и Дt, находящихся слева от графика.

Рис. 2. Границы применимости биномиальной модели при различных значениях темпа роста цены базисного актива (u) за промежуток времени Дt

В частности, если рассматривается изменение цены базисного актива на 0,5% за интервал времени Дt (u=1,005) и безрисковая процентная ставка составляет 10 процентов годовых, то при интервале изменения цены Дt, равном 12 рабочим дням расчет, выполненный по формулам (1.1)-(1.3) окажется корректным. В случае же, если будет выбран интервал, продолжительностью 13 рабочих дней, возникнет скачкообразное занижение цены опциона.

Аналогично, если при построении биномиального дерева исходят из возможности дискретных изменений цены базисного актива на 0,1% за интервал времени Дt, равный 4 рабочим дням, (u=1,001), то при безрисковой процентной ставке равной 5% годовых расчет цены опциона по формулам (1.1)-(1.3) будет корректным. При ставке 7% годовых корректность расчета окажется сомнительной, т.к. возникнет скачкообразное занижение цены опциона.

Для вычисления параметра u, отражающего возможные дискретные изменения цены базисного актива за интервал времени Дt Коксом, Россом и Рубинштейном в 1979 году была предложена следующая формула [8]:

u = e^{s Dt} (5)

Параметр у в формуле (2) является волатильностью цены базисного актива, а sЧ Dt является среднеквадратическим отклонением цены базисного актива за короткий промежуток времени Дt [8], [9]. Следовательно, приведенные на рис. 2 значения параметра u являются реалистичными. Действительно, для того чтобы параметр u принял значение 1,005, значение среднеквадратического отклонения цены базисного актива должно быть равно sЧ Lt = 0,005.

Такое незначительное среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за промежутки времени Дt продолжительностью 5-15 рабочих дней является вполне возможным. Значения цены базисного актива, взятые в определенный момент времени и спустя 5-15 рабочих дней от этого момента времени, могут отличаться весьма незначительно.

Таким образом, использование биномиальной модели ценообразования опционов может приводить к некорректным результатам в реальных рыночных условиях. В зависимости от того какие интервалы изменения цены базисного актива выберет пользователь, осуществляющий расчеты по вышеуказанной модели, он получит совершенно различные скачкообразно меняющиеся результаты. Кроме того, трактовка параметра p как вероятности роста цены базисного актива оказывается в корне неверной.

Полученные результаты исследования свидетельствуют о необходимости модификации биномиальной модели ценообразования опционов с целью исключения возможности некорректных результатов ее применения.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие заключительные выводы:

1. Модель Блэка-Шоулза-Мертона нуждается в исследовании границ применимости и соответствия предположениям, использовавшимся при выводе.

2. Биномиальная модель может давать некорректные результаты при применении в реальных рыночных условиях.

3. Обширным полем дальнейшего исследования является разработка схем применения метода Монте-Карло к задачам ценообразования опционов.

Литература