Выбор экономической политики на базе многокритериальной оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выбор экономической политики на базе многокритериальной оптимизации

Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Алшанов Р.А., Боровский Н.Ю., Айсакова Б.А.

Аннотация

В работе представлены результаты по выбору эффективной согласованной экономической политики в сфере экономического роста при многокритериальной оптимизации на базе двух вычислимых моделей общего равновесия с общими переменными оптимизации. Показана эффективность применения одного метода совместной параметрической идентификации исследуемых моделей: CGE модели секторов экономики и CGE модели с сектором знаний. Найдены согласованные оптимальные (в смысле функции полезности на базе двух сформулированных критериев - средних значений ВВП страны и ВДС инновационного сектора экономики в выбранном промежутке времени) значения регулируемых параметров.

Ключевые слова: вычислимая модель общего равновесия, parametrical identification, многокритериальная оптимизация.

Введение

Как известно [1], принятие решений по экономической политике в сфере экономического роста является многоцелевой проблемой, связанной как с выбором адекватных математических моделей, так и с выбором методов оптимизации и согласования целей.

В [1, 2, 3] не обсуждается выбор адекватных моделей, обеспечивающих как решение задачи оценки согласованных оптимальных (с точки зрения функции полезности на базе критериев, описывающих степень достижения соответствующих целей) значений экономических инструментов, так и решение задачи эффективной реализации найденных значений экономических инструментов. В них [1, 2, 3] также, не рассматриваются вопросы: выбора эффективных методов решения задач параметрической идентификации для случая большого числа оцениваемых параметров; выбора алгоритма решения задачи оценки точек Парето области на базе двух и более CGE моделей, имеющих общие ограничения на эндогенные переменные.

В работе обосновывается выбор двух CGE моделей для решения задачи в сфере экономического роста по согласованной оптимизации на базе двух целей: максимизации валовой добавленной стоимости инновационного сектора и максимизации ВВП. Предложен алгоритм совместной параметрической идентификации указанных моделей. На основе двух CGE моделей сформулирована двухкритериальная задача оптимизации и построено Парето множество, на базе которого методом иерархии [4] решена задача согласованной оптимизации.

1. Представление вычислимых моделей общего равновесия

Выбор адекватных математических моделей для решения задач согласованной оптимизации и эффективной реализации найденных оптимальных значений экономических инструментов в рассматриваемой сфере экономического роста осуществляется в классе CGE моделей.

Рассматриваемые вычислимые модели общего равновесия в общем виде представляется с помощью следующей системы соотношений [5].

1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух последовательных лет:

,(1)

Здесь - номер модели (значение соответствует CGE модели секторов экономики и - CGE модели с сектором знаний) - номер года, дискретное время; - вектор эндогенных переменных системы;

,

, (2)

.

Здесь переменные включают в себя значения основных фондов секторов-производителей, остатки средств агентов на счетах в банках и др.; включают в себя значения спроса и предложения агентов на различных рынках и др., - различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов; ; - общий для обеих моделей вектор управляемых (регулируемых) параметров, ; , , , , - компактные множества с непустыми внутренностями; _ вектор неуправляемых параметров, _ открытое связное множество; - непрерывное отображение для .

2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных через экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:

.(3)

Здесь - непрерывное отображение, .

3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов:

.(4)

Здесь - номер итерации; - набор из положительных чисел (настраиваемые константы итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия, однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область; - непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных и некоторых фиксированных . В этом случае отображение имеет единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (3), (4)), .

Вычислимые модели (1), (3), (4) при фиксированных значениях экзогенных параметров для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных , соответствующие равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.

1) На первом шаге полагается и задаются начальные значения переменных

2) На втором шаге для текущего задаются начальные значения переменных на различных рынках и для различных агентов; с помощью (2), вычисляются значения (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг).

3) На третьем шаге для текущего запускается итерационный процесс (4). При этом для каждого значения текущие значения спросов и предложений находятся из (3): через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.

Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на различных рынках. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс для таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.

4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента времени с помощью разностных уравнений (1) находятся значения переменных для следующего момента времени. Значение увеличивается на единицу. Переход на шаг 2.

Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами параметрической идентификации, прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.

2. Вычислительные эксперименты по нахождению оптимальных значений регулируемых параметров одной двухкритериальной задачи на базе двух вычислимых моделей общего равновесия

2.1 Выбор и совместная параметрическая идентификация двух вычислимых моделей общего равновесия

Эвристической основой выбора двух и более CGE моделей на примере двух целей может служить следующий алгоритм:

1 шаг: Выбор двух и более CGE моделей по назначению.

2 шаг: Оценка соответствия результатов шага 1 требованиям обеспечения как решения задачи оценки согласованных, с точки зрения функции полезности на базе критериев, описывающих степень достижения соответствующих целей, значений экономических инструментов, так и решение задачи эффективной реализации найденных значений экономических инструментов.

В работе в рамках первого шага предложенного алгоритма из множества CGE моделей выбраны две: CGE модель с сектором знаний [5] и CGE модель отраслей экономики [5], которые предназначены для исследований в рамках экономического роста. Оценка соответствия выбранных CGE моделей на первом шаге требованиям второго шага рассматриваемого алгоритма показывает, что совместное рассмотрение CGE модели с сектором знаний с интегральным рассмотрением всех отраслей экономики (кроме отраслей науки и образования и инновационного сектора) в виде прочих отраслей экономики с CGE моделью отраслей экономики позволяет эффективно реализовать найденные оптимальные значения экономических инструментов на уровне прочих отраслей (CGE модели с сектором знаний) на базе развёрнутой структуры отраслей экономики (CGE модели отраслей экономики).

Выбранные CGE модели представлены в следующем порядке:

Рассматриваемая модель описывает поведение и взаимодействие на 46 товарных рынках и 16 рынках рабочей силы следующих 19 экономических агентов (секторов).

Экономический агент № 1. Сельское хозяйство, охота и лесоводство;

Экономический агент № 2. Рыболовство, рыбоводство;

Экономический агент № 3. Горнодобывающая промышленность;

Экономический агент № 4. Обрабатывающая промышленность;

Экономический агент № 5. Производство и распределение электроэнергии, газа и воды;

Экономический агент № 6. Строительство;

Экономический агент № 7. Торговля; ремонт автомобилей и изделий домашнего пользования;

Экономический агент № 8. Гостиницы и рестораны;

Экономический агент № 9. Транспорт и связь;

Экономический агент № 10. Финансовая деятельность;

Экономический агент№11.Операции с недвижимым имуществом, аренда и услуги предприятиям;

Экономический агент № 12. Государственное управление;

Экономический агент № 13. Образование;

Экономический агент № 14. Здравоохранение и социальные услуги;

Экономический агент № 15. Прочие коммунальные, социальные и персональные услуги;

Экономический агент № 16. Услуги по ведению домашнего хозяйства;

Часть выпущенного продукта экономических агентов - производителей товаров и услуг № № 1-16 используется в производстве, другая часть уходит на инвестиции, а третья продается домашним хозяйствам. Агенты-производители торгуют между собой промежуточными и инвестиционными товарами.

Экономический агент№17. Совокупный потребитель, объединяющий в себя домашние хозяйства;

Совокупный потребитель покупает потребительские товары, производимые агентами-производителями. Кроме того, он покупает импортные товары, предлагаемые внешним миром.

Экономический агент№18. Правительство, представленное совокупностью центрального, региональных и местных правительств, а также внебюджетными фондами. Правительство устанавливает налоговые ставки и определяет сумму субсидий агентам-производителям и размеры социальных трансфертов домашним хозяйствам. Кроме того, в этот сектор входят некоммерческие организации, обслуживающие домашние хозяйства (политические партии, профсоюзы, общественные объединения и т. д.);

Экономический агент № 19. Банковский сектор, включающий в себя Национальный банк и коммерческие банки.

Здесь экономические сектора №1-16 являются агентами производителями.

Модель отраслей экономики представляется в рамках общих выражений соотношений (1), (3), (4) соответственно , , выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров.

CGE модель с сектором знаний описывает поведение и взаимодействие на 9 товарных рынках и 2 рынках рабочей силы следующих 7 экономических агентов:

Экономический агент № 1 -- сектор науки и образования (знаний),оказывающий услуги по обучению студентов и производству знаний;

Экономический агент № 2 -- инновационный сектор, представляющий собой совокупность инновационно - активных предприятий и организаций;

Экономический агент № 3 -прочие отрасли экономики;

Экономический агент № 4 -совокупный потребитель, объединяющий в себя домашние хозяйства;

Экономический агент № 5 -правительство;

Экономический агент № 6 -- банковский сектор.

Здесь экономические сектора №1,2,3 являются агентами производителями.

Модель с сектором знаний представляется в рамках общих выражений соотношений (1), (3), (4) соответственно , , выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 110 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 86 оцениваемых экзогенных параметров. Из них оцениваемых параметров являются общими для двух рассматриваемых моделей.

Задача параметрической идентификации рассматриваемой пары исследуемых макроэкономических математических моделей состоит в нахождении оценок неизвестных значений их параметров в заданной области, при которых достигается минимальное значение целевой функции, характеризующей:

- отклонения значений выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных);

- расхождения между значениями эндогенных переменных двух моделей, имеющих одинаковый смысл;

и при дополнительном условии совпадения соответствующих значений общих для обеих моделей оцениваемых параметров.

Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции нескольких переменных (параметров) в некоторой замкнутой области евклидова пространства с ограничениями вида (2), накладываемыми на значения эндогенных переменных. В случае большой размерности области возможных значений искомых параметров, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных экстремумов»

В качестве области из множества для оценки возможных значений экзогенных параметров рассматривалась область вида , где _ промежуток возможных значений параметра , . При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые значения, искались в малых промежутках с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие промежутки для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок их возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких переменных с дополнительными ограничениями на эндогенные переменные вида (2) в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера - Мида [6]. Применение этого алгоритма для начальной точки можно интерпретировать в виде сходящейся к локальному минимуму функции последовательности , где , ; В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка может быть найдена достаточно точно.

Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемых моделей на основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума двух различных функций предложены два критерия следующего типа:

,

(5)

Здесь - промежуток времени идентификации; , - соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных i-ой модели, - вспомогательный критерий, - основной критерий; - количество наблюдаемых эндогенных переменных i-ой модели, ; - количество эндогенных переменных двух моделей, имеющих одинаковый смысл, ; , , и - некоторые весовые коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамических систем; , .

Алгоритм решения задачи параметрической идентификации пары моделей был выбран в виде следующих этапов.

1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров , решаются задачи и , в результате находятся точки и минимума критериев и соответственно.

2. Если для некоторого достаточно малого числа верно неравенство , то задача параметрической идентификации моделей (1), (3), (4) решена.

3. В противном случае, используя в качестве начальной точки точку , решается задача A, и, используя в качестве начальной точки точку , решается задача B. Переход на этап 2.

Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.

В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму на базе статистических данных Республики Казахстан за 2000-2008 г.г. c использованием алгоритма Нелдера-Мида [6] были получены значения и . При этом средняя относительная величина отклонений расчетных значений переменных используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений, а также отклонений значений общих для двух моделей переменных модели 1 от соответствующих значений переменных модели 2 составила менее 0.26%.

Результаты просчета и ретроспективного прогноза модели на 2008 г., частично представленные в таблице 1 демонстрируют расчетные , наблюдаемые значения и отклонения расчетных значений основных выходных переменных моделей от соответствующих наблюдаемых значений. Здесь промежуток времени 2000 - 2007 гг. соответствует периоду параметрической идентификации моделей; 2008г.- период ретропрогноза; - валовый выпуск ( тенге, в ценах 2000 года, тенге - денежная единица Республики Казахстан; аналог переменной у второй модели отсутствует); - ВВП ( тенге, в ценах 2000года); - индекс потребительских цен в процентах к предыдущему году; знак «*» соответствует наблюдаемым значениям, знак «» соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений эндогенных переменных от соответствующих наблюдаемых значений.

Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных моделей и соответствующие отклонения.

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
	5.44	6.32	6.47	6.86	7.72	8.52	9.25	9.69	9.84
	5.36	6.28	6.41	6.80	7.68	8.49	9.23	9.55	9.66
	-1.51	-0.55	-0.9	-0.87	-0.45	-0.33	-0.26	-1.4	-1.89
	2.45	2.78	3.05	3.36	3.72	4.09	4.55	5.01	5.18
	2.45	2.76	3.03	3.33	3.72	4.09	4.55	5.01	5.22
	2.43	2.80	3.05	3.35	3.74	4.07	4.57	5.05	5.21
	-0.13	-0.69	-0.71	-0.72	-0.13	0.01	0.03	-0.07	0.86
	-0.70	0.75	0.08	-0.38	0.51	-0.39	0.46	0.85	0.53
		106.4	106.6	106.8	106.7	107.5	108.4	118.8	109.5
		107.8	108.8	108.4	107.5	107.2	108.1	117.4	109.3
		104.6	105.8	106.4	105.9	107.2	108.1	118.5	109.3
		1.35	2.11	1.52	0.83	-0.24	-0.25	-0.30	-0.16
		-1.73	-0.77	-0.36	-0.72	-0.31	-0.32	-0.29	-0.15

2.2 Согласованная оптимизация на базе двух вычислимых моделей общего равновесия

В работе рассматривается многоцелевой (двухцелевой) выбор оптимальной экономической политики с двумя независимыми по предпочтению критериями, характеризующими ВВП и ВДС инновационного сектора на базе двух CGE моделей (CGE модели отраслей экономики и CGE модели с сектором знаний) с их малоотличающимеся эндогенными переменными, имеющими одинаковый смысл. Формулировка рассматриваемой задачи имеет вид:

и .(6)

На базе двух CGE моделей (CGE модели отраслей экономики и CGE модели с сектором знаний), дополнительно имеющих следующие ограничения на эндогенные переменные, имеющие одинаковый смысл.

, (7)

Дополнительные ограничения на рост уровня потребительских цен, в рамках -ой CGE модели, имеют следующий вид:

; ; (8)

Ограничение на уровень дополнительных инвестиций, вкладываемых в рамках двух CGE моделей, имеет вид:

.(9)

Здесь , , при этом некоторые , как не имеющие экономического содержания. Так при и .

При приведённой формулировке двухкритериальной задачи соответствующие обозначения имеют следующие содержания:

- ВВП ( тенге, в ценах 2000года);

- gross value added of the second model's innovative sector in the year ( tenge, in prices of 2000);

и - заданные множества;

, - заданные малые числа;

- расчётный уровень потребительских цен i-ой моделей без оптимизации;

- уровень потребительских цен с оптимизацией.

- дополнительные инвестиции, идущие на субсидирование отраслей-производителей CGE модели с сектором знаний;

- дополнительные инвестиции, идущие на субсидирование отраслей-производителей CGE модели отраслей экономики;

- объём инвестиций на период 2011 - 2015 годы (в тенге);

- номер отрасли модели 1;

- номер отрасли модели 2;

_ дополнительные инвестиции, идущие в год t на субсидирование j-ой отрасли первой модели, при субсидировании k-ой отрасли второй модели.

Для сформулированной двухкритериальной задачи с использованием алгоритма Нелдера-Мида [6] была построена оценка множества Парето в виде набора точек на плоскости , представленная на рисунке 1. На рисунке 1 точки Парето множества для наглядности последовательно соединены непрерывной линией.

Пусть предпочтения лица принимающего решения (ЛПР) в рамках двухкритериальной задачи (6) на базе рассматриваемых моделей с ограничениями (7), (8), (9) определяются с помощью линейной функции полезности вида

(10)

Здесь - веса, значения которых заранее не известны; но предполагается, что .

В рамках определения значений весов ЛПР сообщает не сами значение весов, а показатель относительной важности для пары критериев . В этом случае ЛПР определяет число . Добавляя сюда условие , получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, из которой получаем

.(11)

Сформулируем следующую задачу оптимизации функции полезности на базе двух целевых функционалов задачи двухкритериальной оптимизации по синтезу оптимального закона параметрического регулирования.

На базе двух CGE моделей (модели отраслей экономики и модели с сектором знаний) с общими эндогенными переменными и для заданного показателя относительной важности для пары критериев (6) найти такой набор дополнительных направляемых в отрасли экономики страны инвестиций и , удовлетворяющий условию (9), чтобы соответствующие ему решения исследуемых CGE моделей удовлетворяли для указанных значений времени условиям (7) _ (8) и доставляли максимум функции полезности (10).

Согласование целей на базе сформулированной двухкритериальной задачи оптимизации можно осуществить следующим образом:

Путём взаимодействия с ЛПР в процессе решения сформулированной двухкритериальной задачи, определяется оптимальная (в смысле критерия (10) со значениями весов (11)) точка и значения долей дополнительных инвестиций по значениям критериев .

На рисунке 1, например, отмечена точка представляющая решение второго этапа рассматриваемой задачи оптимизации для случая , . Наклонная прямая проходящая точку A - это линия уровня (equipotential line) функции полезности (10) для рассматриваемого случая, соответствующая максимальному значению этой функции на множестве .

Рис. 1. Оценка множества Парето для задачи 1.

Анализ представленной на рисунке 1 оценки множества Парето показывает, что при различных значениях выбираемого ЛПР показателя возможны только следующие ситуации.

1. Если , то решению задачи 1 соответствует точка .

2. Если , то задача 1 имеет два решения, которым соответствуют точки B и A.

3. Если , то решению задачи 1 соответствует точка A.

4. Если , то задача 1 имеет два решения, которым соответствуют точки A и .

5. Если , то решению задачи 1 соответствует точка C.

экономический равновесие оптимизация стоимость

Заключение

Показана эффективность предложенного метода совместной параметрической идентификации двух большеразмерных CGE моделей.

Предложен эффективный метод выбора согласованной экономической политики в сфере экономического роста на базе постановки и решения многокритериальной (двухкритериальной) задачи оптимизации в среде двух CGE моделей.

Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной государственной экономической политики в сфере экономического роста.

Литература

1. F.J. Andre, M.A. Cardenete, & C. Romero, Designing public policies: An approach based on multi-criteria analysis and computable general equilibrium modeling, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, (642), Springer, 2010.

2. R.L. Keeney, H. Raiffa, Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoffs (Cambridge University Press, 1993).

3. E. Triantaphyllou, Multi-criteria decision making methods: a comparative study (Kluwer Academic Publishers, 2002).

4. T.L. Saaty, The analytic hierarchy process: planning, priority setting, resource allocation (McGraw-Hill, 1980).

5. V.L. Makarov, A.R. Bakhtizin, & S.S Sulakshin, The use of computable models in public administration (Moscow: Scientific Expert, 2007, in Russian).

6. J.A Nelder, R. Mead, A simplex method for function minimization, The Computer Journal, (7), 1965, 308-313.

Размещено на Allbest.ru

...