Эффекты памяти в эредитарной модели Харрода-Домара

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эффекты памяти в эредитарной модели Харрода-Домара

Тарасова В.В., Тарасов В.Е.

Аннотация: в данной статье рассматривается обобщение модели Харрода-Домара, учитывающее эффекты затухающей памяти. Используя математический аппарат производных нецелого порядка, получаются уточненные решения уравнения эредитарного обобщения модели Харрода-Домара. харрода домар память экономический

Приводятся примеры зависимости экономической динамики от эффектов памяти.

Ключевые слова: макроэкономика, модель экономического роста, модель Харрода--Домара, эредитарность, эффекты памяти, производные нецелого порядка.

Abstract: this article discusses the generalization of Harrod-Domar model, which takes into account the effects of fading memory. Using the mathematical tool of the derivatives of non-integer order, we obtain solutions of the equation of the hereditarity generalization of Harrod-Domar model. Examples of dependence of economic dynamics of the memory effects are suggested.

Keywords: macroeconomics, economic growth model, Harrod-Domar model, hereditarity, memory effects, derivatives of non-integer order.

Одной из простейших моделей экономического роста является модель Харрода-Домара [1, c. 75-78], объединяющая результаты Харрода [11, 12, 15] и Домара [13, 14]. Модель Харрода-Домара с непрерывным временем описывает изменение дохода Y(t), который определяется суммой непроизводственного потребления C(t) и инвестиций I(t). В результате уравнение баланса данной модели имеет вид

??(??) = ??(??) + ??(??). (1)

В модели Харрода-Домара непроизводственное потребление C(t) рассматривается как функция, не зависящая от дохода и инвестиций. В силу этого, она может быть как постоянной во времени, так и изменяться с течением времени. Если непроизводственное потребление C(t) описывается как фиксированная часть дохода C(t)=(1-m)Y(t), где m - норма инвестиций, то модель Харрода-Домара совпадает с моделью естественного роста [2, c. 90-95].

В модели Харрода-Домара предполагается, что зависимость между инвестициями и предельным доходом (скоростью роста дохода) описывается прямой пропорциональностью, то есть выполняется уравнение акселератора

, (2)

где множитель B интерпретируется как коэффициент капиталоемкости прироста доходов. Модель Харрода--Домара описывает рост экономики при условии постоянства коэффициента капиталоемкости В. Формула (2) предполагает, что предельный доход меняется мгновенно при изменении инвестиций, то есть эффекты запаздывания и памяти не учитываются.

Подстановка (2) в уравнение баланса (1) приводит к дифференциальному уравнению модели Харрода-Домара

. (3)

Для постоянной функции потребления (C(t)=C) решение уравнения (3) имеет вид

??(??) = ?? · (1 ? ??^??·??) + ??(0) · ??^??·??. (4)

Решения (4) уравнения (3) описывают динамику экономического роста для постоянной величины потребления, при условии, что зависимость между инвестициями и предельным доходом задается формулой (2), предполагающей отсутствие запаздывания и эффектов памяти.

Использование понятий акселератора с памятью и мультипликатора с памятью, предложенные в работе [4], позволяет строить модели экономического роста, учитывающие эффекты памяти [3, 7, 8, 9, 17]. В статье [10] было предложено обобщение модели Харрода--Домара, учитывающее эффекты динамической памяти со степенным затуханием. Некоторые решения, приведенные в статье [10], содержат лишний множитель (гамма-функцию от показателя затухания памяти). В данной работе предлагаются исправленные решения уравнений эредитарной модели Харрода-Домара, описывающие зависимость динамики экономики от эффектов памяти, и строятся соответствующие графики зависимости дохода от времени и показателя затухания памяти.

Для того чтобы учесть эффекты памяти в моделях Харрода-Домара, необходимо воспользоваться обобщением формулы (2), описывающей взаимосвязь между инвестициями и предельной величиной дохода (скоростью роста дохода). Используя понятие предельной (маржинальной) величины нецелого порядка, предложенное в работе [5, 6], получаем уравнение акселератора с памятью [4, 10]. В случае степенного затухания памяти, уравнение акселератора с памятью записывается в виде

??(??) = ?? · (??₀^??₊??)(??), (5)

где (??₀^??₊??)(??) - производная Капуто [16, 17] порядка ?? ? 0, определяемая формулой

, (6)

где ??(??) - гамма функция, ??^(??)(??) - производная целого порядка n:=[б]+1 функции Y(ф) по переменной ф: 0<ф<t. Здесь предполагается, что функция Y(ф) имеет производные вплоть до (n-1) порядка, которые являются абсолютно непрерывными функциями на интервале [0,t].

Подставив выражение для I(t) из формулы (5) в уравнение баланса (1), получим обобщение уравнения (3) модели Харрода-Домара в виде

. (7)

где b=1/B. Это неоднородное дифференциальное уравнение с производными нецелого порядка. Уравнение (7) учитывает эффекты степенной памяти с показателем затухания б?0.

Для решения уравнения (7) воспользуемся следующим утверждением [16, c. 323]: Если f(t) - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на положительной полуоси (t>0), тогда дробное дифференциальное уравнение

(??₀^??₊??)(??) ? ?? · ??(??) = ??(??), (8)

где n-1<б?n, имеет единственное решение

где ??^(??)(0) - производные целого порядка k функции Y(t),

??_??(??) ? ?₀^??(?? ? ??)^???1 · ??_??,??[?? · (?? ? ??)^??] · ??(??)????, (10)

где ??_??,??[??] - двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера, определяемые выражением

. (11)

Видно, что уравнение (7) представимо в виде (8), где л=b и ??(??) = ??? · ??(??). Для 0<б?1 (n=1) решение уравнения (7) имеет вид

Отметим, что выражение (12) может быть записано в виде

??_??(??) ? ?₀^?? ??^???1 · ??_??,??[?? · ??^??] · ??(?? ? ??)????. (13)

Рассмотрим случай постоянной функции потребления (C(t)=C). В этом случае выражение ??_??(??), задаваемое уравнением (12) с ??(??) = ??? · ??(??) и л=b, принимает вид

. (14)

Используя замену переменной о=t-ф, выражение (14) записывается в виде

. (15)

Воспользуемся теперь формулой (11), определяющей функцию Миттаг-Леффелера, и методом почленного интегрирования вычисляем интеграл

Используя (16), выражение (14) можно записать в виде

??_??(??) ? ??? · (??_??,1[?? · ??^??] ? 1) (17) В результате решение уравнения (7) имеет вид

. (18)

Решение (18) описывает экономический рост с затухающей памятью об изменениях дохода и инвестиций при постоянном непроизводственном потреблении.

Для 0<б?1 (n=1) решение (18) имеет вид

??(??) = ?? · (1 ? ??_??,1[?? · ??^??]) + ??(0) · ??_??,1[?? · ??^??]. (19)

Для б=1, используя ??_??,1[??] = ??^??, получаем решение

??(??) = ?? · (1 ? ??^????) + ??(0) · ??^???? (20)

которое в точности совпадает с решением (4) стандартной модели (3).

Решение (20) уравнения (7) описывает экономический рост в рамках стандартной модели ХарродаДомара с постоянным потреблением. Решения (18) и (19) уравнения (7) соответствуют эредитарной модели экономического роста, учитывающей наличие у экономических агентов памяти об изменениях дохода и инвестиций на конечном интервале времени [0,t] при постоянном потреблении.

Решения (19) с б=0.7 и б=0.3 в сравнении с решением (20), то есть выражением (19) с б=1.0, представлены графически на рис. 1 и 2 для C=1.4, Y(0)=1.5, и ?? = 0.3.

Рис. 1. Функции Y=Y(t), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (19) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для б=0.7, где C=1.4, Y(0)=1.5, и ?? = 0.3

Рис. 2. Функции Y=Y(t), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (19) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для б=0.3, где C=1.4, Y(0)=1.5, и ?? = 0.3

Для 1<б?2 (n=2) решение (18) уравнения (7) имеет вид

??(??) = ??(1 ? ??_??,1[????^??]) + ??(0)??_??,1[?? · ??^??] + ??⁽¹⁾(0)????_??,2[????^??]. (21)

Решения (21) с б=1.1 в сравнении с решением (20) представлены графически на рис. 3 для C=1.4, Y(0)=1.5, ??⁽¹⁾(0) = 0.4, ?? = 0.3 и на рис. 4 для C=1.4, Y(0)=1.3, ??⁽¹⁾(0) = 0.1, ?? = 0.2.

Рис. 3. Функции Y=Y(t), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (21) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для б=1.1, где C=1.4, Y(0)=1.5,

Рис. 4. Функции Y=Y(t), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (21) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для б=1.1, где C=1.4, Y(0)=1.3, ??⁽¹⁾(0) = 0.1 и ?? = 0.2

Решение (19) как функция t и б представлено графически на рис. 5 для C=0.3, Y(0)=2.2, и ?? = 0.3. Решение (21) как функция t и б представлено графически на рис. 6 для C=1.2, Y(0)=1.1, ??⁽¹⁾(0) = 0.4, и ?? = 0.7.

Рис. 5. Функция Y=Y(t), являющаяся решением уравнения (19) для эредитарной модели экономического роста, как функция t и б, для C=0.3, Y(0)=2.2, и ?? = 0.3

Рис. 6. Функция Y=Y(t), являющаяся решением уравнения (21) для эредитарной модели экономического роста, как функция t и б, для C=1.2, Y(0)=1.1, ??⁽¹⁾(0) = 0.4, и ?? = 0.7

Из рис. 1 - 6 видно, что поведение функции дохода существенно зависит от наличия или отсутствия эффектов памяти. Полученные результаты доказывают, что пренебрежение эффектами памяти может приводить к неправильным результатам. При исследованиях экономической динамики и построении макроэкономических моделей, следует учитывать зависимость экономического роста от эффектов памяти.

Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 670 с.

2. Волгина О. А., Голодная Н. Ю., Одияко Н. Н., Шуман Г. И. Математическое моделирование экономических процессов и систем. 3-ие изд. М.: Кронус, 2014. 200 с.

3. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Критерии эредитарности экономического процесса и эффект памяти // Молодой ученый, 2016. № 14 (118). С. 396-399.

4. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Обобщение понятий акселератора и мультипликатора для учета эффектов памяти в макроэкономике // Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-3 (75-3). С. 1121-1129.

5. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Предельные величины нецелого порядка в экономическом анализе // Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление, 2016. № 3 (16). С. 197-201.

6. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Предельная полезность для экономических процессов с памятью // Альманах современной науки и образования, 2016. № 7 (109). C. 108-113.

7. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Ценовая эластичность спроса с памятью // Экономика, cоциология и право, 2016. № 4-1. С. 98-106.

8. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Экономические индикаторы: неоднозначность и эффекты памяти // Экономика. Управление. Право, 2016. № 3 (66). С. 3-5.

9. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Эластичность внебиржевого кассового оборота валютного рынка РФ // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 7-1 (90). С. 207-215.

10. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Эредитарное обобщение модели Харрода-Домара и эффекты памяти // Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-2 (75-2). С. 72-78.

11. Харрод Р. Ф. К теории экономической динамики. М.: Гелиос АРВ, 2011. 160 с.

12. Харрод Р. Ф. Теория экономической динамики. Пер. с англ. М.: ЦЭМИ РАН, 2008. 210 с.

13. Domar E. D. Capital Expansion, Rate of Growth and Employment // Econometrica. 1946. Vol. 14. № 2. P. 137-147.

14. Domar E. D. Expansion and Employment // The American Economic Review, 1947. Vol. 37. № 1. P. 34-55.

15. Harrod R. An Essay in Dynamic Theory // Economic Journal, 1939. Vol. 49 (193). P. 14-33.

16. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 р.

17. Tarasova V. V., Tarasov V. E. Elasticity for economic processes with memory: Fractional differential calculus approach // Fractional Differential Calculus, 2016. Vol. 6. № 2. P. 219-232.

Размещено на Allbest.ru