Естественнонаучный подход к экономической динамике: эконофизика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Естественнонаучный подход к экономической динамике: эконофизика

В настоящей работе под термином эконофизика мы будем понимать применение методов теории сложных систем к экономике, финансам и бизнесу. Это одно из возможных толкований этого термина. Довольно часто используют иное толкование эконофизики: применение методов теоретической физики к тем же областям, что и выше. Между этими двумя концепциями существует тонкое различие, заключающееся в том, что теория сложных систем - это не совсем физика. Впрочем, если интересны другие трактовки, можно почитать, например, блестящее эссе А. Ежова на эту тему [1] или углубиться в учебники и монографии [2-10].

Теперь несколько слов о теории сложных систем и используемых в этой науке методах. О теории сложных систем написано много (см., например, [11-23]). Центры и институты, проводящие исследования в этом направлении, плодятся по всему миру как грибы. Весьма широк и спектр мнений относительно этой науки: от неумеренных восторгов до полного неприятия. Мы же здесь, не пытаясь давать каких либо определений теории сложных систем, будем придерживаться прагматической и остроумной точки зрения П. Бака: «ерунда, за которую платят деньги, - уже не ерунда».

К методам теории сложных систем разные исследователи относят разные разделы математики, физики, информатики, искусственного интеллекта, логики и т.п. Мы, не ограничивая себя, отнесем к этим методам следующее: теорию конечномерных и бесконечномерных нелинейных динамических систем [17-19], [22], [39]; теорию хаоса [4-6], [15], [16], [21], [28], [29]; теорию фракталов и мультифракталов [10], [11], [24-27]; искусственные нейронные сети [7], [16], [30-33]; теорию самоорганизованной критичности [20]; методы квантовой теории поля и статистической физики [3], [8], [23], [39]; теорию критических явлений [37], [39]. Этот список, отражающий интересы автора, далеко не полный и его можно было бы продолжить (см., например, http://www.necsi.org/).

Эконофизику можно, как и любую физику, разделить на теоретическую и прикладную. В данном контексте это деление, условное конечно, связано с двумя основными направлениями, в которых проходит основной поток эконофизических исследований. Прикладное или, если угодно, экспериментальное направление связано в основном с data mining (см., например, [6]), то есть с извлечением знаний из данных. Данные могут быть самыми разными, но все они являются историческими хрониками каких-то динамических процессов. Задача прикладных эконофизиков - обработать эти данные перечисленными выше методами и извлечь из данных либо новые закономерности, либо закономерности, не осознанные традиционной экономикой. Задача эконофизических теоретиков - построение моделей или теорий динамических процессов в экономике, финансах и бизнесе методами теории сложных систем. При этом, как и всегда в физике, подразумевается проверка этих моделей и теорий на практике. Чтобы дать представление, как все эти методы работают, ниже мы рассмотрим несколько типичных примеров.

Торговая стратегия для FOREX на основе нейропрогноза

В этом разделе мы кратко опишем принципы построения торговой системы и специфику использования в ней нейропрогнозов. Выбранная пара валют и временной период не являются здесь критическими. То же самое можно проделать и для других валютных пар и иного периода исторических хроник. Не является чем-то специфическим и выбор торгового индикатора системы. Наиболее важное здесь - это качественно обученная искусственная нейронная сеть и ее способность прогнозировать в течение длительного времени без переобучения.

Общие сведения о нейротехнологиях и, в частности, о нейропрогнозировании содержаться, например, в [30-33]. Детали, опущенные в настоящей статье, можно найти, например, в [34, 35].

Торговая система на основе нейросетевых предсказаний строилась на спот - котировках межбанковского валютного рынка FOREX. Исходными данными служили значения цен закрытия BID 2-х часового интервала курса GBP/USD. Данные были получены из информационной системы DBC Signal за период с 22 декабря 1999 г. по 20 октября 2000 г. Весь период был поделен на два интервала.

· Первый интервал (22 декабря 1999 г. - 19 июня 2000 г.) - интервал данных для построения, проверки и тестирования нейросети.

· Второй интервал (20 июня 2000 г. - 20 октября 2000 г.) - интервал данных для построения, оптимизации и тестирования торговой системы на основе обученной нейросети.

На интервале данных для нейросетевой обработки содержалось 1546 отсчетов, из которых первые 1300 использовались для обучения сети, следующие 200 - для верификации с целью предотвращения переобучения сети. Оставшиеся 146 были предназначены для проверки качества предсказательной способности сети на данных, которые нейросеть «не видела» раньше.

Для обучения и прогнозирования использовалась рекуррентная сеть Элмана-Джордана описание которой можно, например, найти в [30].

Для каждого вновь появляющегося значения цены закрытия 2-часового интервала обученная нейросеть предсказывает сглаженное процентное изменение котировки, по которой закроется следующий 2-часовой интервал. Эти предсказанные значения строятся под графиком цены. В верхней части Рисунка 5 показан 2-х часовой график спот-котировок британского фунта стерлингов к доллару США, в нижней части рисунка расположены график скорости изменения котировки (нижняя кривая - Rate of Change) и его нейросетевой прогноз (верхняя кривая - NN_Predict). Видно, что прогнозируемое нейросетью изменение немного опережает фактическое изменение котировок.

На основе предсказаний сети была построена reversal торговая система, которая могла подавать сигналы, показанные на Рисунке 6:

Buy (OpenLong or/and ExitShort) - пересечение линией прогноза (NN_Predict) зоны покупки снизу вверх;

Sell (OpenShort or/and ExitLong) - пересечение линией прогноза (NN_Predict) зоны продажи сверху вниз;

Stop (Exit Short or Exit Long) - достижение лимита потерь по открытой позиции.

Для достижения лучших результатов работы системы по критерию Return on Account производилась оптимизация свободных параметров системы:

1. уровень Buy zone;

2. уровень Sell zone;

3. Money Management Stop;

Тестирование и оптимизация торговой системы проводились с помощью программы Omega Research TradeStation 4.0 с учетом комиссионных в размере 10 пунктов базовой валюты.

Графическое изображение правил торговой стратегии.

естественнонаучный эконофизика нейронный статистический

Результаты применения данной торговой стратегии в период времени с 08/23/2000 по 10/20/2000 отражены в Табл. 1 и представлены в долларах США, пересчитанные из пунктов в соответствии со стандартными условиями работы на FOREX: 1 point GBP/USD = 10 долл.

Результат работы торговой стратегии, доллары США

Представленная здесь торговая система, не претендуя на полноту и законченность, является иллюстрацией возможностей применения нейронных сетей к прогнозу рынка FOREX и построению на этой основе эконофизических методов управления капиталом.

Кластеризация портфелей DJIA и NASDAQ100 с помощью самоорганизующихся карт

Еще один пример из области применения искусственных нейронных сетей - это решение задачи портфельной диверсификации. Более конкретно задача ставилась так. Обучить специальную искусственную нейронную сеть - самоорганизующуюся сеть Кохонена или, что то же самое, - самоорганизующуюся карту, кластеризовать компании, входящие в индекс DJIA по признаку «похожести» динамики котировок акций компаний, входящих в эти индексы. Помимо этого, требовалось визуализовать результаты кластеризации (карты Кохонена для этого приспособлены), найти «расстояние» межу компаниями и определить ошибку кластеризации. Наконец, ставилась задача проследить, как динамически меняются результаты кластеризации в зависимости от выбранного периода исторических данных по компаниям.

Кратко результаты решения всех этих задач приведены в настоящем разделе. Более детальную информацию можно найти, например, в работе [36]. О том, как методом самоорганизующихся карт (СОК) можно решать другие задачи из области экономики, финансов, бизнеса, маркетинга и даже демографии можно прочитать в увлекательной книге [33].

Исследование индекса Dow-Jones Industrial Average

Рассмотрим m временных рядов S_i(t), 0 < i ? m 0 < t ? n, представляющих, например, логарифмические приращения цен акций, входящих в индекс DJIA. Определим коэффициент корреляции между рядами S_i и S_j стандартным образом:

где треугольные скобки обозначают усреднение по t.

Мы исследовали недельные котировки акций входящих в индекс DJIA за периоды с 10-Jan-94 по 27-Oct-97 и с 10-Nov-1997 по 27-Aug-2001¹. Этот биржевой индекс включает в себя акции 30 компаний, следовательно, количество различных коэффициентов корреляции с_ij равно (30 Ч 29)/2 = 435. В Таблице 2 представлены максимальные и минимальные значения с_ijза каждый исследуемый период. Наибольший коэффициент корреляции за период с 10-Jan-94 по 27-Oct-97 соответствует компаниям JP Morgan Chase и American Express, а с 10-Nov-1997 по 27-Aug-2001 - компаниям JP Morgan Chase и Citigroup. Все три компании занимаются предоставлением финансовых услуг. Соответствующие графики, дающие визуальное представление о скоррелированости логарифмов цен акций этих компаний, приведены на Рисунке 8.

Максимальные и минимальные значения коэффициентов корреляции компаний из индекса DJIA за исследуемые периоды

Дополнительную информацию о поведении матрицы коэффициентов корреляции во времени можно получить, изучив эмпирическую функцию плотности распределения вероятности P(с_ij) полного набора 435 коэффициентов корреляции. Известно, что для большинства финансовых временных рядов P(с_ij) имеет форму колокола, причем среднее значение P(с_ij) слабо зависит от времени, тогда как среднеквадратичное отклонение почти не меняется [43].

а) Изменение во времени ln S(t) компаний JP Morgan Chase (верхний график) и American Express (нижний график) с 10-Jan-1994 по 27-Oct-1997. b) Изменение во времени ln S(t) компаний JP Morgan Chase (верхний график) и Citigroup (нижний график) c 10-Nov-1997 по 27-Aug-2001

На Рисунках изображена, кластерная структура индекса DJIA построенная методом СОК. Все пространство компаний разделилось на группы векторов, расстояние между которыми внутри каждой группы наименьшее с учетом выбора масштаба кластеризации.

Рис. 7. Кластерная структура СОК для индекса DJIA за период с 10-Jan-1994 по 27-Oct-1997. Левая панель - унифицированная матрица расстояний, средняя панель - кластеризованная СОК, правая панель - матрица ошибок кластеризации

Рис. 8. Кластерная структура СОК для индекса DJIA за период с 10-Nov-97 по 27-Aug-01. Левая панель - унифицированная матрица расстояний, средняя панель - кластеризованная СОК, правая панель - матрица ошибок кластеризации

Заметим, что чем ближе кластеры по градации серого цвета, тем больше коэффициент корреляции между ценами акций компаний, принадлежащим этим кластерам и наоборот. В Таблицах 3 и 4 представлены коэффициенты корреляции между акциями компаний, попавших в кластеры из левого верхнего и правого верхнего углов карты.

Матрица корреляций для компаний, попавших в 2 самых удаленных кластера за период с 10-Jan-94 по 27-Oct-97

Матрица корреляций для компаний, попавших в 2 самых удаленных кластера за период с 10-Nov-97 по 27-Aug-01

Приведенная выше статистика показывает, что метод СОК вполне справился с задачей классификации портфеля DJIA. Важно также отметить, что для различных исторических периодов изменяется как структура кластеров, так и само количество кластеров. С помощью обученной СОК возможно, таким образом, построить набор карт для различных исторических периодов и создать из этого набора карт атлас, который будет давать представление о динамике портфеля.

Квантовые финансы

Под квантовыми финансами мы будем здесь понимать применение методов квантовой теории поля для построения количественных моделей финансовой динамики. К таким методам мы относим метод континуально интеграла, теорию суперсимметрии, теорию струн и методы ренормгруппы. Такой подход к моделированию финансовой динамики завоевывает все большую популярность среди эконофизиков. Происходит это, наверное, потому, что ни один из перечисленных методов не является чистой математикой, а содержит глубокие физические идеи. В этом-то и содержится залог успеха.

В этом разделе мы приводим пример применения метода континуального интеграла для оценки стоимости европейского опциона типа CALL с учетом стохастической динамики волатильности. Такой подход является обобщением известной техники Блэка - Шолза, в которой волатильность считается постоянным параметром модели. Оказывается, удается не только представить с помощью интеграла по траекториям переходные вероятности, но и получить компактные аналитические формулы для цены опционов. Эти формулы обобщают формулу Блэка - Шолза и переходят в нее в пределе постоянной волатильности [42]. К основным результатам представленного здесь исследования можно отнести следующее:

· поскольку в своей основе изучаемая задача имеет нелинейность очень сильного порядка, ее удалось представить в технике функционального интегрирования в элегантном и обозримом виде;

· на этом пути был найден подход, как преодолеть эту нелинейность и получить компактный, аналитический ответ.

Отметим, что попытки применить технику функционального интеграла предпринимались и в работах других авторов [44-46]. Например, в работе [46] использовалась техника функционального интеграла, однако вычислить окончательный ответ аналитически не удалось и все расчеты пришлось производить численно с использованием метода Монте-Карло. То же самое справедливо и относительно других работ, упомянутых выше. Ниже мы очень сжато представим основные этапы вывода обобщенной формулы Блэка - Шолза. Опущенные детали и вычисления можно найти в [42].

Будем рассматривать модель рынка, в которой отсутствуют арбитражные возможности и транзакционные издержки, а также предполагается наличие безрисковой процентной ставки. В основе модели лежат стохастические дифференциальные уравнения на цену спот актива и его волатильность. Иными словами, рынок спот активов моделируется специальными марковскими случайными процессами. Уравнения на цену спот актива S(t) и его волатильность V(t) запишем в виде:

Здесь R и Q - коррелированные гауссовы шумы с нулевым средним и корреляторами вида:

Параметры в уравнениях имеют следующий смысл: ч и м - параметры сноса, у - волатильность, а е - «волатильность волатильности». Обозначим цену европейского опциона CALL через f (t, S(t), V(t)). Следуя идеологии вывода оригинальной формулы Блэка - Шолза [40, 41], можно получить на цену f (t, S(t), V(t)) стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных:

обобщающее стандартное уравнение Блэка - Шолза. Здесь r - безрисковая процентная ставка, появившаяся в уравнении при хеджировании соответствующего портфеля. Поскольку цена и квадрат волатильности - положительны, удобно сделать замену переменных: S=e^x, -? < x < ? и V=e^y, -? < y < ?.

Обозначим через p (x, y, ф|x?, y?) условную плотность вероятности того, что логарифм цены актива x? и логарифм волатильности спот-актива y?, фиксированные приф = 0, в текущий момент времени ф будут иметь значения x и y соответственно. Тогда цена опциона при 0 < t < T описывается следующими формулами:

Условная вероятность может быть выражена через функциональный интеграл по логарифму цене и логарифму волатильности:

Здесь действие равно L = L₀ + L₁, где

Приведенный выше функциональный интеграл вычисляется по квантово-полевому обобщению метода стационарной фазы [39]. Метод стационарной фазы проводится по параметру 1/е. После громоздких вычислений был получен окончательный аналитический ответ:

где K - это страйковая цена,

стандартизованное нормальное распределение, а его аргументы даются формулами:

Через Д обозначена величина

где ц дается формулой

Эти формулы и есть обобщение формулы Блэка - Шолза на случай стохастической волатильности. В случае постоянной волатильности необходимо перейти к пределам:м>0,с>0,е>0. Нетрудно убедиться, что при этом полученные здесь формулы переходят в формулу Блэка-Шолза.

Полученные формулы тестировались на данных по опционам на индекс FTSE100. Выбирался опцион типа CALL c дневной нарезкой с сайта www.liffe.com. Терминальное время для опциона - Dec-2004 со страйком 3200. Данные по опциону брались за три месяца «времени жизни опциона», то есть, за февраль, март, и апрель 2004 года.

Процедура тестирования полученных формул и их сравнение с формулой Блэка - Шолза проводилась следующим образом. Брались данные по опционам и данные по спот-активам с некоторым «запасом» так, что бы было возможным вычислить статистически значимую историческую волатильность по данным на индекс. Далее цена опциона вычислялась по формуле Блэка-Шолза исходя из исторической волатильности. Безрисковая процентная ставка выбиралась равной 6%/год. Вычислялась также цена опциона по предложенным здесь формулам. Коэффициент корреляции между шумами выбирался равным 0.4, а значение м выбиралось таким образом, чтобы предложенные формулы давали наилучшую аппроксимацию реальных данных. Например, при м=-3 были получены результаты, представленные на Рисунке 13.

Линия 1 - это реальные данные по опционам, линия 2 - это цена, полученная из формулы Блэка-Шолза, линия 3 - это цена из полученной в работе формулы. Визуально можно заметить, что предложенная в работе формула дает лучшую аппроксимацию, чем оригинальная формула Блэка - Шолза.

Были также вычислены средние ошибки по рассматриваемой в работе выборке за период три месяца. Оказалось, что средняя ошибка по оригинальной формуле Блэка - Шолза составляет 14.11%, а по предложенной здесь формуле - 5.56%.

Линия 1 - это реальные данные по опционам, линия 2 - это цена опциона, полученная на основе формулы Блэка-Шолза, линия 3 - это цена опциона на основе полученных здесь формул. По оси ординат отложена цена европейского опциона CALL в USD, по оси абсцисс - время в днях

Подытожим результаты, полученные в этом разделе. Именно, результаты статистической обработки показывают, что формула Блэка - Шолза дает большую погрешность, чем предложенная обобщенная формула. Из проведенного исследования можно сделать несколько основных заключений. Проблема стохастической волатильности была сведена к технике вычисления континуальных интегралов. Поскольку рассматриваемая в работе задача в своей основе содержит нелинейность высокого порядка, в развитом в работе формализме ее удалось представить в компактном, элегантном виде. Был предложен метод, который позволил «обработать» эту нелинейность и получить аналитический ответ для цены европейских опционов

Список литературы

1. А.А. Ежов. Что такое эконофизика? В: К 10-летию Экономико-аналитического института МИФИ. Физическая экономика+Эконофизика=ЭконоМИФИзика // Сборник статей. Составители А.А. Ежов и В.В. Харитонов. М.: ИНЭС, 2006, стр. 16-24;

2. R.N Mantegna. and H.E. Stanely. An Introduction to Econophysics: Correlation and Complexity in Finance, Cambridge University Press, 2000;

3. J.P. Bouchaud and M. Potters. Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University Press, 2000;

4. Э. Петерс. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. - М.: Мир, 2000;

5. E.E. Peters. Fractal Market Analysis. Applying Chaos Theory to Investment and Economics, John Wiley&Sons, Inc. 1994;

6. Medio, G. Gallo. Chaotic Dynamics. Theory and Applications to Economics, Cambridge University Press, 1993;

7. В. Дюк, А. Самойленко. Data mining: учебный курс (+СD). - СПб: Питер, 2001;

8. M. Aoki. New Approaches to Macroeconomic Modeling. Evolutionary Stochastic Dynamics, Multiple Equilibria, and Externalities as Field Effects, Cambridge University Press, 1998;

9. J.O. Grabbe, International Financial Markets, 3rd. Edition, Prentice-Hall, Inc., 1996;

10. B.B. Mandelbrot, Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk, Springer, 1997;

11. Б. Мандельброт, Фракталы, случай и финансы. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004;

12. И. Пригожин и И. Стенгерс. Порядок из хаоса, Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. - М.: Эдиториал УРСС, 2000;

13. Г. Николис, И. Пригожин. Познание сложного. Введение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990;

14. M. Gell-Mann. The Quark and the Jaguar. Adventures in the Simple and the Complex, Abacus, 1998;

15. Д. Рюэль. Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001;

16. Yaneer Bar-Yam. Dynamics of Complex Systems, Addison-Wesley, 1997;

17. S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 1990;

18. Lasota, M.C. Mackey. Chaos, Fractals, and Noise, Springer-Verlag, 1998;

19. Predictability of Complex Dynamical Systems (Yu. A. Kravtsov, J.B. Kadtke, Eds.), Springer_Verlag Berlin Heidelberg 1996;

20. P. Bak. How Nature Works: the Science of Self - Organized Criticality, Oxford University Press, 1997;

21. K. Kaneko, I. Tsuda. Complex Systems: Chaos and Beyond. A Constructive Approach with Applications in Life Sciences, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001;

22. R.C. Hilborn. Chaos and Nonlinear Dynamics. An Introduction for Scientists and Engineers, Oxford University Press 1994;

23. T.S. Biro, S.G. Matinyan, B. Muller. Chaos and Gauge Field Theory, World Scientific Lecture Notes in Physics - Vol. 56, World Scientific, 1994;

24. А.Д. Морозов. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004;

25. Р.М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000;

26. Е. Федер. Фракталы, Москва «Мир» 1991;

27. Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002;

28. H. Kantz, T. Schreiber. Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, 1997;

29. Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005;

30. А.А. Ежов, С.А. Шумский. Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе. - М.: МИФИ, 1998;

31. Д.-Э. Бэстенс, В.-М. Ван ден Берг, Д. Вуд. Нейронные сети и финансовые рынки: принятие решений в торговых операциях. - Москва: ТВП, 1997;

32. Neural Networks in the Capital Markets (Ed. Apostolos-Paul Refenes), John Wiley & Sons, 1995;

33. Г. Дебок, Т. Кохонен. Анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт/ Пер. с англ. - М.: Издательский Дом «АЛЬПИНА», 2001;

34. С.В. Котелкин, Ю.А. Куперин, Л.А. Дмитриева, И.В. Сорока. Особенности динамики российского финансового рынка: опыт междисциплинарного эконофизического подхода, Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 8 - менеджмент, вып. 2 (№16), 2002, с. 80-107;

35. Ю.А. Куперин, Л.А. Дмитриева, И.В. Сорока. Исследование динамики на финансовых рынках нейросетевыми методами: Научные доклады Центра управленческих и институциональных исследований факультета менеджмента СПбГУ. №2001-12;

36. А.А. Жеребцов, Ю.А. Куперин. Применение самоорганизующихся карт Кохонена для кластеризации индексов DJIA и NASDAQ100, Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 8 - менеджмент, вып. 65 (№8), 2005;

37. D. Sornette. Why Stock Markets Crash: Critical Events in Complex Financial Systems, Princeton University Press, 2003

38. Р.Р. Счастливцев. «Предсказание крахов и критических точек на фондовом рынке США методом модифицированных локальных гёльдеровских показателей», Интернатурный проект по экспериментальной программе дополнительного образования «Информационные технологии, эконофизика и менеджмент сложных систем» (руководитель Куперин Ю.А.), 2005 г.;

39. А.Н. Васильев. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Издательство ПИЯФ, СПб, 1998;

40. P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne. The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, Cambridge University Press, 1995;

41. J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd Edition, Prentice - Hall, 1997;

42. П.Б. Гольдин. «Аналитические результаты для оценки опционов со стохастической волатильностью», Интернатурный проект по экспериментальной программе дополнительного образования «Информационные технологии, эконофизика и менеджмент сложных систем» (руководитель Куперин Ю.А.), 2005 г.;

43. R.N. Mantegna. Degree of Correlation Inside a Financial Market., in Applied Nonlinear Dynamics and Stochastic Systems near the Millennium, Edited by J.B. Kadtke and A. Bulsara (AIP Press, New York), (1997), pp.197-202.

44. B.E. Baaquie, L.C. Kwek and M. Srikant. «A path integral approach to option pricing with stochastic volatility: some exact results», - arXiv: cond-mat/9708178 v1, 22 Aug 1997.

45. S. Heston. «A closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options», The Review of Financial Studies (1993) 6, p. 327.

46. G. Montagna and O. Nicrosini. «A Path Integral Way to Option Pricing».-arXiv: cond-mat/0202143 v1, 8 p., Feb 2002.

Размещено на Allbest.ru