Блок домохозяйства в DSGE модели экономики России

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Факультет экономических наук

Образовательная программа «Экономика»

БАКАЛАВРСКАЯ ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

Блок домохозяйства в DSGE модели экономики России

Выполнил

Студент группы № БЭК145

Княгинин Александр Владимирович

Научный руководитель

к. э. н. Радионов Станислав Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование динамического стохастического общего равновесия (Dynamic stochastic general equilibrium - DSGE) является направлением в прикладной экономической теории, которое развивается вокруг объяснения и предсказания динамики экономических агрегатов, при этом опираясь на микрооснования. Это означает, что, в отличие от процесса построения эконометрических моделей, DSGE моделирование начинается со спецификации структуры экономики, которая состоит из нескольких блоков экономических агентов, максимизирующих свои целевые функции. В число таких блоков могут входить домохозяйства, фирмы, государство и прочие агенты. Благодаря этому DSGE модели содержат структурные связи между макроэкономическими феноменами, что позволяет им избежать критики Лукаса в том, как они предсказывают влияние мер фискальной и монетарной политики на экономику. Теория DSGE моделирования обязана своим происхождением теории реальных деловых циклов, но включает в себя множество элементов Новой Кейнсианской экономики: монополистическую конкуренцию и различные жесткости. Как и в теории реальных деловых циклов, в DSGE моделях экономика подвержена случайным внешним шокам, которые провоцируют изменения в динамике эндогенных переменных модели.

Целью данной работы является построение блока домохозяйств для DSGE модели российской экономики. Для достижения этой цели должна быть решена следующая последовательность задач. Во-первых, необходимо провести обзор современной литературы по DSGE моделированию мер фискальной политики, в которой особый акцент был сделан на блоке домохозяйств. На основании полученного знания о подходах к построению блока домохозяйств нужно определить модельные переменные и собрать соответствующую статистику по российской экономике, необходимую для последующей калибровки модели. Следующей задачей будет являться формулировка максимизационной задачи домохозяйств и наложенных на нее условий с последующим выводом оптимизационных уравнений между переменными из условий первого порядка. Последним шагом к построению модели является ее калибровка с целью определения значений параметров.

По сей день основное свое применение DSGE модели находят в центральных банках, где они используются для предсказания эффектов монетарной политики, при этом исследование фискальной политики при помощи DSGE моделей пока не настолько же распространено. Цель применения DSGE модели напрямую влияет на подход к ее построению, и потому в моделях, предназначенных для анализа монетарной политики, куда меньше внимания уделяется деталям, имеющим первостепенную важность при анализе фискальной политики, в том числе и блоку домохозяйств. Российская экономика, как и любая другая, имеет свои особенности поведения экономических агентов, и потому требует отдельного исследования, опирающегося на национальную статистику. В то же время существующие DSGE модели российской экономики были нацелены на исследование влияния внешних шоков или мер монетарной политики, а потому не вводили важные для анализа фискальной политики модификации блока домохозяйств, в связи с чем данная работа и приобретает научную актуальность. Практическое применение работы возможно в случае дальнейшей разработки модели и включения в нее других блоков агентов, что позволит определять оптимальные уровни мер фискальной политики и предсказывать влияние шоков.

В первой главе работы проведен обзор литературы: первый раздел содержит описание общего подхода к построению блока домохозяйств в DSGE-моделях, а второй является обзором модификаций, введенных в обозреваемых источниках. Вторая глава работы посвящена построению модели: первый раздел содержит информацию о выбранных переменных модели и об источниках статистики для этих переменных; второй раздел включает в себя формулировку и решение максимизационной задачи домохозяйств; в третьем разделе приведено обоснование выбора формы модели; четвертый раздел включает в себя результаты калибровки; в последнем разделе содержится демонстрация работы готовой модели.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Базовый подход к моделированию домохозяйств в DSGE моделях

Эта глава основана на обзоре современных прикладных работ по DSGE моделированию различных экономик с акцентом на исследовании эффектов фискальной политики, а также нескольких теоретических работ по этой же теме. Целью обзора является выделение и описание общих черт и различий в подходах к формулированию блока домохозяйств, принятых в современной исследовательской литературе.

В стандартном подходе к построению DSGE моделей домохозяйства живут на бесконечном временном горизонте и имеют определенные системы предпочтений. Агенты блока домохозяйств принимают решения в отношении эндогенных для них переменных так, чтобы максимизировать свою полезность, причем на максимизационную задачу накладывается ограничение равенства входящих денежных потоков исходящим (если быть точнее, то условие нестрогого превышения входящих потоков над исходящими, но оно всегда будет выполняться как равенство). Так как обстоятельства, влияющие на положение домохозяйств, имеют стохастический характер, домохозяйства не могут заранее выстроить оптимальную траекторию решений на весь бесконечный горизонт (которую тогда можно было бы рассчитать с помощью принципа Беллмана), и им приходится в каждом периоде принимать новое решение. Тем не менее, решения разных периодов все равно оказываются связаны между собой, потому как приобретение различных активов, а также владение капиталом подразумевает связь между состоянием домохозяйств в следующих друг за другом периодах.

Полезность домохозяйств принято рассматривать как некую возрастающую и выпуклую по потреблению функцию, что отражает стандартную микроэкономическую предпосылку об убывающей предельной полезности. Как правило, в паре с зависимостью от потребления вводится аналогичная зависимость от отдыха, причем по обеим переменным вместе функция полезности должна быть уже вогнутой. При этом по понятным причинам для удобства в модель в качестве переменной вводится, как правило, не само время отдыха, а труд как противоположное ему явление. Получается, что, если по отдыху функция полезности была выпуклой и возрастающей, то по труду она будет вогнутой и убывающей. В качестве труда в модель может вводиться как число часов труда (доля от общего доступного времени), так и численность занятого населения, что несколько усложняет интерпретацию, но зато лучше поддается количественному исчислению. Общая функция полезности домохозяйства состоит из одномоментных функций полезности, то есть является сепарабельной по времени, причем полезность каждого из последующих периодов домохозяйства дисконтируют по некоторой субъективной ставке межвременных предпочтений:

Здесь - оператор математического ожидания, - субъективный дисконт-фактор домохозяйств, - одномоментная функция полезности.

Для простоты часто предполагается, что функция полезности характеризуется постоянной эластичностью как в отношении потребления, так и в отношении труда. В некоторых работах коэффициент эластичности (или обратная ему величина) присутствует в формуле полезности в явном виде, и тогда одномоментная аддитивно-сепарабельная функция полезности будет выглядеть следующим образом:

где - потребление в текущем периоде, - предложение труда в текущем периоде, а - эластичности по труду и потреблению, соответственно. Эластичность может приниматься равной единице, и в таком случае функциональная зависимость примет вид натурального логарифма, так как:

Аддитивно-сепарабельная форма одномоментной функции полезности доминировала в обозреваемой литературе, но это не обязательное условие. Возможна такая ситуация, что динамику эмпирически наблюдаемых переменных будет лучше объяснять спецификация функции полезности, допускающая влияние значения одной переменной на предельную полезность, порождаемую другой переменной. Как вариант, возможно использование функции Кобба-Дугласа (Christiano, Eichenbaum, Rebelo, 2011, p. 83):

Здесь - оператор математического ожидания, - субъективный дисконт-фактор домохозяйств, - потребление, - часы труда, - государственные расходы, - некая выпуклая функция. Эта функция все равно является аддитивно-сепарабельной не только по времени, но и в отношении госрасходов с одной стороны и труда с потреблением с другой. Тем не менее, она допускает взаимное воздействие уровней потребления и труда на полезность.

Другая форма, допускающая такой эффект, называется GHH функцией полезности и изначально была введена в работе по реальным деловым циклам Greenwood et al. (1988). Эта функциональная форма была использована в том числе в работах Algozhina (2012) и Mucka and Horvath (2015), и выглядит она так (Algozhina, 2012, p. 7):

домохозяйство моделирование фискальный

Здесь , , - сложный дисконт-фактор, зависящий от среднего потребления и труда. Как можно заметить, в таком случае значения потребления и труда не перемножаются, а вместо этого содержащий их линейный двучлен возводится в степень, зависящую от параметра .

Решение задачи домохозяйств включает в себя значения эндогенных переменных в зависимости от экзогенных для домохозяйств переменных и прочих параметров, при которых полезность домохозяйств достигает максимума при условии равенства входящих денежных потоков исходящим. Стандартное ограничение входящих и исходящих потоков записывается следующим образом (Galн, Lуpez-Salido, Vallйs, 2007, p. 236):

где - уровень цен, - потребление, - инвестиции, - валовая процентная ставка по облигациям, купленным в периоде t, - доходы от продажи облигаций, - реальная зарплата, - часы труда, - рента с капитала, - капитал, - дивиденды, - налоги. Левая часть уравнения - это исходящие потоки, а правая - входящие. Подобная спецификация предполагает, что домохозяйства напрямую осуществляют инвестиции. Инвестиции текущего периода, в свою очередь, приведут к росту капитала в следующем периоде, что увеличит будущий доход домохозяйств или, по крайней мере, компенсирует расходы на амортизацию (Galн, Lуpez-Salido, Vallйs, 2007, p. 237):

Здесь - капитал, - инвестиции, - норма амортизации, - изменение в запасе капитала в ответ на расходы на инвестиции.

Таким образом, если в модели нет шоков, связанных с нормой амортизации или издержками подстройки капитала, размер капитала в будущем периоде полностью определяется решением домохозяйств в текущем. Также связь между периодами в данной спецификации образуется из возможности у домохозяйств приобретать облигации. Тем не менее, как уже было отмечено выше, домохозяйства не выстраивают траекторию решений, а только приобретают облигации на следующий период, опираясь на текущую ставку процента. Существует и такая спецификация динамики роста капитала, в которой капитал формируется за счет инвестиций текущего периода (Algozhina, 2012, p. 8):

Здесь - параметр, отвечающий за издержки подстройки капитала. В таком случае домохозяйствам уже не приходится полагаться на свои ожидания о значении ренты, так как они выбирают размер инвестиций в том же периоде, в котором рента становится известна. Издержки подстройки капитала, которые здесь зависят от разницы в объеме капитала между периодами, могут также зависеть от разницы между объемами инвестиций или от прироста инвестиций.

Агрегированные переменные являются некоторыми функциями от переменных, которые определяют индивидуальные домохозяйства, и в случае рассмотрения репрезентативного домохозяйства агрегированные потребление и труд можно просто считать суммами потребления и труда индивидуальных домохозяйств. Полученные на основе решения задач репрезентативных агентов уравнения взаимосвязей между агрегированными переменными представляют собой систему конечно-разностных уравнений. В дальнейшем исходя из этих уравнений можно моделировать изменения в эндогенных переменных в ответ на изменения в экзогенных переменных, а также симулировать реакцию переменных на шоки, выводящие систему из стационарного состояния (если оно существует). Помимо эндогенных и экзогенных переменных в модели необходимо будут присутствовать различные параметры, такие как, например, эластичности благ в функции полезности домохозяйств или норма амортизации капитала. Установить значения этих параметров можно либо путем калибровки, либо путем оценивания. Калибровка предполагает подбор параметров, так чтобы модель генерировала динамику переменных, максимально близкую к реальным данным. Оценивание параметров является более сложной процедурой и может проводиться с помощью таких подходов, как обобщенный метод моментов, метод максимального правдоподобия и байесовский подход. У каждого из этих способов оценивания есть свои сильные и слабые стороны, но в теории они позволяют получить более надежные значения параметров.

1.2 Модификации

Практически все современные работы по DSGE-моделированию включают в себя ряд модификаций, потому как многие аспекты динамики экономических агрегатов нельзя получить путем перебора функциональных форм или калибровки параметров в базовой модели. Так в данных часто можно наблюдать избыточную чувствительность к мерам фискальной политики: временные изменения в налогах сразу же влияли на расходы домохозяйств на потребление. Объяснить подобный феномен возможно при помощи введения предпосылки об отсутствии свободного доступа к финансовым рынкам у всех домохозяйств. Имея доступ к финансовым рынкам, домохозяйства делают инвестиции, покупают активы с целью максимизации своей полезности и, как только появляется новая информация о располагаемом доходе домохозяйств, перестраивают свои стратегии и определяют новый оптимальный уровень сбережений и потребления. Подобное свойство означает, что к ним применим принцип рикардианской эквивалентности: если государство решает увеличить госрасходы, домохозяйства смогут выбрать одинаковую долгосрочную стратегию потребления вне зависимости от выбранного государством способа финансирования госрасходов.

Тем не менее, в реальности свободный доступ к финансовым рынкам есть далеко не у всех и не всегда. Ограничения ликвидности будут приводить к динамике потребления, инвестиций и труда, более чувствительной к колебаниям в располагаемом доходе. Наиболее простой способ моделирования ограничения ликвидности в экономике - это разделение домохозяйств на обладающие полным доступом к финансовым рынкам и не обладающие им вообще. Первые принято по вышеописанным причинам называть «рикардианскими», вторые - «нерикардианскими» («rule-of-thumb» households). Первая группа будет сберегать и, таким образом, полностью отвечать за возникновение инвестиций в экономике, тогда как вторая будет основывать свой уровень потребления исключительно на трудовом доходе и трансфертах. На данный момент, разделение домохозяйств на «рикардианские» и «нерикардианские» принято в большинстве работ по причине обширных подтверждений избыточного влияния текущего дохода на потребление на основе анализа агрегированных данных и естественных экспериментов, а также того, что достаточно высокая доля домохозяйств не имеет сбережений (Galн, Lуpez-Salido, Vallйs, 2007, p. 229).

Помимо избыточной чувствительности при колебаниях текущего дохода в реальных данных наблюдается и избыточная сглаженность: перманентное изменение дохода отражается на потреблении не мгновенно, как можно было бы ожидать, если бы домохозяйства каждый период принимали решения только на основе объема входящих денежных потоков, а постепенно. В качестве возможного объяснения этих феноменов было предложено ввести в полезность домохозяйств связь между потреблением в разных периодах, так что потребление домохозяйств всегда будет представлять собой AR (1) процесс. Экономическое обоснование этого следующее: домохозяйства имеют свои привычки потребления и ценят именно то, насколько их текущее потребление отличается от привычного. В таком случае реакция на перманентные шоки со стороны потребления будет замедленной. Как правило, привычки вводятся следующим образом:

где - привычки потребления. Привычки могут быть просто уровнем потребления в предыдущем периоде или же некоторой линейной формой от прошлых уровней потребления. Привычки потребления могут относиться как к потреблению самого индивидуального домохозяйства, так и к агрегированному потреблению, в любом случае в результате это приводит к сглаживанию моделируемого потребления.

Привычки потребления являются достаточно распространенной модификацией стандартной DSGE модели и появляются в большинстве современных работ по этой теме. Исключение составляет классическая статья Galн, Lуpez-Salido, Vallйs (2007), которая является теоретической работой, на исследовательский вопрос которой введение привычек, вероятно, не повлияло бы значительно. Среди практических работ привычки не применяются, например, в работе Algozhina (2012) по венгерской экономике. В обозреваемой литературе привычки преимущественно задавались таким способом (Coenen, McAdam, Straub, 2008, p. 2551):

Здесь - потребление домохозяйства, - агрегированное потребление, - труд домохозяйства, - эластичности по труду и потреблению, - коэффициент устойчивости привычек.

В других работах (например, в Fueki, Fukunaga, Saito (2011)) для привычек использовалось потребление самого домохозяйства, а не агрегированный уровень. В работе по чешской экономике (Stork and Zavacka, 2010) привычки введены не только для уровня потребления, но и для труда, что должно соответственно сгладить также и предложение труда. При этом авторы вводят привычки только для «рикардианских» домохозяйств, тем самым делая «нерикардианские» домохозяйства ответственными за более значительную долю колебаний в экономике со стороны домохозяйств.

Помимо перечисленных модификаций работы по DSGE моделированию часто включают прочие дополнительные особенности, которые либо имеют прямое отношение к цели исследования, либо помогают лучше описать реальные данные. Так, облигации, которые приобретают «рикардианские» домохозяйства, в большинстве работ разделяются на отечественные и иностранные, что непосредственно соотносится с целью работ, описывающих открытые экономики. Исключение составляют такие работы, как Colciago et al. (2008) и Forni, Monteforte, Sessa (2009). Чтобы в таких моделях возникало устойчивое решение, вместе с иностранными облигациями вводилась некая премия за риск, которую должны были платить домохозяйства при покупке иностранных ценных бумаг.

Инвестиции - другое направление расходов «рикардианских домохозяйств» - также моделируются по-разному. В работе Medina and Soto (2006) по экономике Чили инвестиции напрямую осуществляют фирмы, которые сразу же и получают от них отдачу, тогда как в большинстве работ принята такая схема: потребители осуществляют инвестиции (или приобретают инвестиционные блага) - фирмы пользуются капиталом для производства благ - потребители получают доходность с капитала. Для моделирования инвестиций в японской экономике Fueki et al. (2011) вводят отдельный блок владельцев капитала, которые максимизируют свой доход от использования (utilization) капитала, рост которого они обеспечивают расходами на инвестиции. Работа Stork and Zavacka (2010) является примером DSGE модели без инвестиций и капитала как таковых: «рикардианские» домохозяйства в числе входящих потоков имеют трудовой доход, доход с активов и прибыль, а в числе исходящих - потребление и покупку активов; среди факторов производства у фирм-производителей же числятся только технологический прогресс, труд и импортированные товары, которые выступают заменой капиталу.

Среди модификаций, относящихся к функции полезности домохозяйств, часто встречается добавление к ценным для домохозяйств благам денежных балансов и общественных благ. Внесение денежных балансов в функцию полезности объясняется тем, что известно, что у домохозяйств имеются предпочтения ликвидности: они всегда стремятся иметь в собственном расположении некоторый объем наличности, потому как она является высоколиквидной. В таком случае денежные балансы должны быть внесены и в бюджетное ограничение домохозяйств, так чтобы было отражено изменение объема денежных балансов на счетах домохозяйств за период. Подобная модификация была введена в модели испанской экономики (Bosca et al., 2010) и чилийской экономики (Medina and Soto, 2006). При этом денежными балансами располагали только «рикардианские» домохозяйства, потому как предполагалось, что «нерикардианские» домохозяйства живут за чертой бедности и потому расходуют все заработанные средства на потребление без задержек. В работе Coenen et al. (2008) денежные балансы были введены в модель только с целью отражения прибыли государства от сеньоража и не были добавлены как благо в функцию полезности домохозяйств. При этом денежные балансы не рассматривались как актив, и потому присутствовали в бюджетных ограничениях домохозяйств обоих типов.

Общественные блага вносились в модели в работах, посвященных изучению эффектов фискальной политики, потому как именно их производство государством финансируется за счет фискальных мер. В модель Mucka and Horvath (2015) потребление общественных благ вводится аналогично потреблению частных, то есть с привычками, тогда как в модели Stдhler and Thomas (2012) в функцию полезности вносятся так называемые государственные услуги, к котором привычки потребления уже не применяются. В последней работе также введено разделение трудовых ресурсов по двум отраслям: отрасль частных благ, в которой действуют фирмы, и отрасль государственных услуг, которые производит государство. При этом сам труд не входит в функцию полезности домохозяйств, а определяется отдельно в блоке рынка труда исходя из равенства спроса и предложения.

Помимо возможности работать в двух отраслях, работники в модели Stдhler and Thomas (2012) могут быть безработными и получать пособие. Вместо того, чтобы повышать гетерогенность домохозяйств и вводить различные типы домохозяйств в зависимости от статуса занятости и отрасли, в работе используются репрезентативные домохозяйства («рикардианское» и «нерикардианское»), которые среди входящих потоков получают зарплату частного сектора, зарплату общественного сектора и пособие, взвешенные по долям населения, которые эти доходы получают. Безработица также изучалась в работе Bosca et al. (2010) по испанской экономике, причем в ней она присутствовала и в функции полезности репрезентативного домохозяйства. Полезность домохозяйства в этой работе зависела от потребления, отдыха работающих агентов (все время за вычетом времени работы), отдыха безработных (все время за вычетом времени поиска работы) и денежных балансов. Таким образом, в модель удавалось ввести негативный эффект безработицы: в стандартном подходе потеря места работы частью населения учитывалась как выбор большего объема отдыха репрезентативным домохозяйством, но при помощи данной модификации сокращение предложения труда за счет потери рабочего места уже отражалось на полезности отрицательно.

Последний тип модификаций блока домохозяйств относится к включению в модель жесткостей. Так в работе Mucka and Horvath (2015) для словацкой экономики в исходящие потоки домохозяйств включены издержки подстройки капитала, которые зависят от уровня использования (utilization) капитала на единицу основного капитала. Таким образом, принимая решение о размере инвестиций, домохозяйства учитывают то, что часть потраченных денег уйдет на издержки подстройки. Forni et al. (2009) в своей DSGE модели Еврозоны вводят в исходящие потоки бюджетного ограничения домохозяйств издержки подстройки и капитала, и зарплат, которые выглядят следующим образом (Forni et al., 2009, p. 563):

где - индекс потребительских цен, - объем физического капитала, - темп технологического прогресса, - уровень использования капитала на единицу капитала, - издержки отклонения от стационарного состояния, так что , - параметр издержек подстройки зарплат, - номинальная зарплата, - темп инфляции.

Получается, что издержки подстройки зарплат возникают, когда выбранная домохозяйствами на рынке труда зарплата выросла по сравнению с предыдущим периодом больше или меньше, чем с темпом, равным темпу инфляции, деленному на темп технологического прогресса. Наконец, возможны и другие жесткости в блоке домохозяйств: в модели Fueki et al. (2011) помимо издержек подстройки зарплат вводятся издержки перемещения труда между секторами. Домохозяйства в этой модели могут быть заняты в двух секторах: быстрорастущем секторе, производящем инвестиционные блага, и медленнорастущем секторе, производящем потребительские блага. Сокращение предложения труда в одном из секторов и увеличение его в другом сопровождается сокращением располагаемого дохода домохозяйств, что позволяет получить равновесие в распределении труда между секторами.

Подводя итоги, можно заключить, что моделирование блока домохозяйств в DSGE моделях допускает высокую степень разнообразия. Модификации в модель вносятся по мере необходимости, причем в одних случаях модификации помогают с лучшей точностью откалибровать модель - к таким модификациям чаще относятся различные жесткости, а в других случаях модификации напрямую связаны с целью построения модели - к таким модификациям чаще относится введение новых переменных.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ

2.1 Переменные модели

Модель будет включать в себя только блок домохозяйств, за основу которого взят стандартный подход к построению этого блока, описанный в предыдущей главе. Также будут введены повсеместно принятые модификации, а именно привычки потребления и гетерогенность домохозяйств. Таким образом, в этой модели домохозяйства максимизируют свою полезность, зависящую положительно от потребления и отдыха; в число их доходов входят трудовой доход, доход с капитала и трансферты, а в число расходов - потребление и инвестиции. Также домохозяйства уплачивают налог на трудовой доход. Агрегированный отдых выражается как численность рабочей силы за вычетом численности занятых, то есть агрегированный труд в модель вводится именно как численность занятых, а не как общее число часов труда.

Так как в данной работе рассматривается только блок домохозяйств DSGE модели российской экономики, такие переменные, которые в более крупной модели должны были бы формироваться эндогенно при участии агентов других блоков, в этой модели будут введены как экзогенные. К таким переменным относятся уровень цен потребления, уровень цен инвестиций, уровень зарплат («рикардианских» и «нерикардианских») и доходность по капиталу. Также в число экзогенных переменных модели входят ставка налога на трудовой доход, трансферты и численность рабочей силы (обоих типов домохозяйств). Соответственно, к числу переменных, которые формирует блок домохозяйств (к эндогенным переменным), относятся потребление, предложение труда, инвестиции и капитал. Потребление и труд также делятся на значения «рикардианских» и «нерикардианских» домохозяйств.

Калибровка модели требует сравнения моделируемой динамики переменных с реальными данными, и поэтому вместе с отбором переменных должен производиться и сбор данных по этим переменным. Модель калибруется на квартальных данных за 2000-2017 годы (по 3 квартал), представленных на сайте Федеральной службой государственной статистики (URL: http://www.gks.ru). Данные по переменным «потребление» () и «инвестиции» () были взяты из ВВП по элементам использования в постоянных ценах, за базовый год был принят 2011. Для потребления использовалась статистика по расходам домашних хозяйств на конечное потребление, а для инвестиций - валовое накопление основного капитала. Обе переменные измеряются в миллиардах рублей. В качестве цен потребления () и цен инвестиций () использовались индексы-дефляторы этих величин (при базовом 2011 году). Так как в квартальных данных всегда наблюдается сезонность, для модели были использованы скорректированные на сезонность ряды, выложенные в открытый доступ сотрудниками ФИЦ ИУ РАН (URL: http://ecomod.tech/).

Переменные труд () и рабочая сила () были также взяты из базы данных Федеральной службы государственной статистики: в качестве труда использовалась численность занятого в экономике населения (млн человек), в качестве рабочей силы - численность экономически активного населения (млн человек). В переменных наблюдалась ярко выраженная сезонность: низшая точка цикла приходилась на 1 квартал, высшая - на 3. Исходя из этого обе переменные были скорректированы на сезонность при помощи библиотеки seasonal в программном обеспечении R (URL: https://CRAN.R-project.org/package=seasonal).

Деление домохозяйств на «рикардианские» и «нерикардианские» предпочтительно производить в соответствии с тем, какая доля населения страны не осуществляет сбережений. Согласно опросу ВЦИОМ, доля населения Российской Федерации, не имеющая сбережений, составляет около 63% (ВЦИОМ: Сбережения и доход: сколько денег нужно для счастья? URL: https://wciom.ru/index.php?id=236&uid=3591). Далее, чтобы появилась возможность разделить потребление домохозяйств на потребление «рикардианских» и потребление «нерикардианских», необходимо принять предпосылку, согласно которой к «нерикардианским» домохозяйствам будут относиться наименее обеспеченная часть населения. В таком случае полученный ряд потребления можно будет разделить следующим образом:

где - потребление «рикардианских» домохозяйств, - доля четырех верхних (самых обеспеченных) децильных групп населения в конечном потреблении, - потребление «нерикардианских» домохозяйств. Данные по потреблению децильных (и 20-процентных) групп были собраны с сайта Федеральной службы государственной статистики. Для 2002-2015 годов использовалась годовая статистика, для 2000-2001 годов - доля за 2002 год (данных по этим годам нет), для 2016-2017 годов - квартальная статистика.

Так как труд и рабочая сила исчисляются занятыми, эти переменные разделить на «рикардианские» и «нерикардианские» можно в отношении 4:6. Тогда, например, труд будет вычисляться так:

где - труд «рикардианских» домохозяйств, - труд «нерикардианских» домохозяйств. Рабочая сила делится на рабочую силу «рикардианских» () и «нерикардианских» () домохозяйств аналогично.

Ставка налога на трудовой доход ( рассчитывалась исходя из данных по оплате труда и сумме налогов, уплаченных домохозяйствами. В качестве статистики по оплате труда использовалась «Оплата труда наемных работников (включая оплату труда и смешанные доходы, не наблюдаемые прямыми статистическими методами)» из ВВП по источникам доходов (в млрд руб.), причем для модели был взят скорректированный на сезонность ряд c сайта http://ecomod.tech/. Для расчета суммы налогов была использована статья «Налоги и сборы» в расходах домохозяйств из Баланса денежных доходов и расходов населения (в млрд руб). Данные были также скорректированы на сезонность при помощи библиотеки seasonal в программном обеспечении R. Так как оплата труда как элемент ВВП по источникам доходов представляет собой первичные доходы работников (до уплаты налогов), получить ставку налога на трудовой доход можно делением суммы налогов на оплату труда. Для 2016-2017 годов квартальной статистики по налогам и сборам на момент поиска данных не было, поэтому для этих лет ставка была принята на уровне 4 квартала 2015 года.

Для разных типов репрезентативных домохозяйств номинальные зарплаты требуется считать отдельно, чтобы отразить разные объемы их входящих потоков:

Здесь - номинальная зарплата «рикардианского» домохозяйства (тыс. руб. на человека в год), - номинальная зарплата «нерикардианского» домохозяйства, - доля верхних 4 децильных групп в денежных доходах, - оплата труда (с сезонной корректировкой). Доля считалась для 2000-2015 годов на годовых данных, для 2016-2017 - на квартальных.

Трансферты на счетах «нерикардианских» домохозяйств () можно досчитать из баланса:

В свою очередь, трансферты «рикардианским» домохозяйствам () можно найти как разницу между скорректированным на сезонность в R рядом «Социальные трансферты» в Балансе денежных доходов и расходов населения и трансфертами «нерикардианским» домохозяйствам. Для 2016-2017 годов квартальной статистики на момент сбора данных не было, поэтому было принято постоянным отношение трансфертов «нерикардианским» домохозяйствам к трансфертам «рикардианским», на основе чего и были досчитаны последние.

Оставшиеся две переменные модели - капитал и доходность по капиталу - не содержатся в российской статистике, но сам доход с капитала можно рассчитать по остаточному принципу из баланса «рикардианских» домохозяйств:

Здесь - доходность по капиталу, - капитал (в текущих ценах, млрд руб.)

2.2 Формулировка и решение задачи домохозяйств

«Рикардианские» домохозяйства максимизируют следующую функцию полезности:

При бюджетном ограничении:

И ограничении на динамику капитала:

«Нерикардианские» домохозяйства максимизируют функцию:

При бюджетном ограничении:

- это дисконт-фактор межвременных предпочтений домохозяйств, , , , - параметры функций полезности, , - коэффициенты устойчивости привычек, - норма амортизации. Привычки в модели введены в отношении агрегированного потребления, поэтому в функции полезности домохозяйства переменные с верхним индексом прописной буквой являются индивидуальными переменными домохозяйства, а с верхним индексом заглавной буквой - агрегированными переменными. Таким образом, - это потребление репрезентативного «рикардианского» домохозяйства в текущем периоде, а - агрегированное потребление всех «рикардианских» домохозяйств в текущем периоде.

Далее будет представлено решение оптимизационной задачи «рикардианского» домохозяйства. На первом шаге выразим инвестиции из уравнения динамики капитала и подставим это выражение в бюджетное ограничение:

Теперь максимизационная задача «рикардианских» домохозяйств в каждом из периодов содержит по одному ограничению, а не по два, и, таким образом, более нет необходимости дифференцировать функцию Лагранжа по двум дополнительным переменным: инвестициям и множителю Лагранжа для ограничения на динамику капитала. Запишем фрагмент функции Лагранжа для одного периода:

В каждом периоде репрезентативное «рикардианское» домохозяйство принимает решения касательно размера потребления, размера инвестиций и объема труда. Но инвестиции в текущей форме функции Лагранжа уже редуцированы к значению капитала в разных периодах, поэтому, так как инвестиции определяют размер капитала в следующем периоде, можно будет сказать, что потребители принимают решение о размере капитала следующего периода. Найдем условия первого порядка относительно перечисленных переменных:

Из условия первого порядка по капиталу можно найти оптимизационное уравнение для множителя Лагранжа:

Математическое ожидание здесь отражает тот факт, что домохозяйства вынуждены осуществлять инвестиции, еще не имея точного знания о доходности по капиталу в следующем периоде. Выражением из условий первого порядка по потреблению и по труду можно получить выражение:

Подставим это выражение в условия первого порядка по потреблению и по труду и получим оптимизационные уравнения для потребления и труда:

Так как выражения для потребления и труда уже найдены, инвестиции можно получить из бюджетного ограничения домохозяйства:

Капитал же, в свою очередь, следует уже описанной динамике:

Далее найдем решение максимизационной задачи «нерикардианского» домохозяйства. Функция Лагранжа для одномоментной функции полезности «нерикардианского» домохозяйства будет выглядеть так:

Условия первого порядка для потребления и труда:

Из этих уравнений можно получить выражение труда через потребление, которое и будет оптимизационным уравнением для труда:

На следующем шаге подставим это выражение в бюджетное ограничение домохозяйств, чтобы получить уравнение для потребления:

Итого мы получили две системы уравнений, в одной из которых имеется 5 уравнений на 5 эндогенных переменных (множитель Лагранжа, потребление, труд, инвестиции и капитал), а в другой - 2 уравнения на 2 эндогенных переменных (потребление и труд). Решение систем позволит получить динамику переменных в зависимости от изменения экзогенных переменных в каждом из периодов. Агрегированные величины подобны переменным репрезентативных домохозяйств, и потому для калибровки модели на реальных данных об агрегированных величинах могут использоваться уравнения, выведенные для репрезентативных домохозяйств.

2.3 Комментарии к выбору формы модели

Мультипликативная форма одномоментной функции полезности была предпочтена аддитивно-сепарабельной, потому как в процессе калибровки она показывала либо аналогичную, либо более близкую к реальным данным динамику. К примеру, для текущих бюджетного ограничения и ограничения на динамику капитала воспроизведение реальных данных при помощи аддитивно-сепарабельной функции полезности значительно уступало таковому при помощи мультипликативной функции:

Рисунок 1 - воспроизведение потребления «рикардианских» домохозяйств при помощи разных форм функций полезности, млрд руб. Источник: Росстат, расчеты автора

При этом вне зависимости от этого выбора при расчете оптимизационных уравнений было обнаружено, что оставить издержки подстройки капитала без введения в модель дополнительных переменных технически неосуществимо. Стандартная формула динамики капитала, используемая во многих из обсужденных в предыдущей главе работ, включает в себя издержки подстройки капитала:

Здесь - издержки подстройки, являющиеся некой нелинейной положительной функцией от прироста инвестиций. Эта форма динамики капитала позволяла дифференцировать функцию Лагранжа по инвестициям и получить уравнение на инвестиции, вместо того чтобы досчитывать их из баланса. Но теперь из бюджетного ограничения приходится выводить не инвестиции, а множитель Лагранжа для этого ограничения, который, хотя и явно в нем не содержится, может быть введен путем выражения через него эндогенных переменных. Тем не менее, решить эту задачу аналитически нельзя, так как, как уже было показано в предыдущем подразделе, множитель Лагранжа будет зависеть от потребления и труда нелинейно и с присутствием параметров модели в степени, тогда как от инвестиций он будет зависеть в степени, уже не включающей эти параметры. Как итог, вычисление множителя Лагранжа возможно только численно, что является слишком сложной задачей для используемого программного обеспечения.

В большинстве DSGE моделей из обзора литературы в бюджетное ограничение домохозяйств также были введены облигации, что позволяло получить достаточно простое выражение для множителя Лагранжа из условия первого порядка по этой переменной. Подобный подход был также испробован при построении модели российской экономики, что, тем не менее, не позволило добиться высокого качества модели. По этой причине было решено исключить из модели издержки подстройки капитала. Вместе с тем отпала нужда и в ценных бумагах в качестве переменной, потому как более не было необходимости искать дополнительные способы построения оптимизационного уравнения для множителя Лагранжа.

2.4 Калибровка модели

Калибровка модели осуществлялась в два этапа. На первом этапе проводилась калибровка «рикардианских» домохозяйств, то есть подбирались значения параметров функции полезности и и коэффициента устойчивости привычек такие, что моделируемая динамика эндогенных переменных модели была максимально близка к реальным данным. Методом подбора таких значений была минимизация следующего функционала:

Здесь - сумма квадратов разностей между реальными данными по величине и моделируемой переменной , - среднее значение реальных данных по величине .

Так как статистики по капиталу нет, модель калибровалась только на потреблении, труде и инвестициях. При этом норма амортизации () влияла значительно только на динамику капитала (и незначительно - на множитель Лагранжа), и потому ее значение не рассчитывалось, а было взято на уровне 0,05%. Экзогенная переменная в статистике также не присутствует, а потому в модели она рассчитывалась как , где - доход по капиталу (получен из реальных данных), - смоделированный капитал.

Модель калибровалась в предположении о детерминированности системы, а потому «впередсмотрящее» уравнение для множителя Лагранжа было переписано как «назадсмотрящее»:

Таким образом, динамика уже трех моделируемых переменных включает лаги, причем только для потребления в качестве лага в «нулевом» периоде (1 квартал 2000 года - период №1) можно взять реальное значение - потребление верхних 4 децильных групп в 4 квартале 1999 года. Итого функционал необходимо минимизировать по параметрам , , , и .

Ограничения на параметры возникают из необходимости вогнутости функции по труду и потреблению. Это требует отрицательной определенности матрицы Гессе для функции полезности:



Можно заметить, что эти неравенства зависят от выражения , которое в теории может принимать как положительное, так и отрицательное значение и тем самым влиять на определенность матрицы. Тем не менее, для найденного в результате калибровки значения это выражение, согласно как реальным данным, так и получившейся в результате модельной статистике, всегда принимает положительное значение. При этом условии можно получить следующие упрощенные ограничения на параметры:

В результате минимизации функционала параметры были откалиброваны следующим образом: = 0,570118, = -0,46950884, = 0,907965308. Это позволило построить следующую динамику потребления «рикардианских» домохозяйств:

Рисунок 2 - калибровка потребления «рикардианских» домохозяйств, млрд руб. Источник: Росстат, расчеты автора

В целом смоделированная динамика отражает тенденции реальных данных: рост с возрастающим темпом до 2006 года, дальнейшее стихание темпа и падение в 2015-2016 годах. При этом смоделированный ряд является значительно более сглаженным, что объясняется привычками потребления, которые к тому же в результате калибровки оказались высоко устойчивыми, на что указывает значение параметра .

Труд на реальных данных имел очень слабую дисперсию, благодаря чему удалось построить очень близкий по значениям смоделированный ряд.



Рисунок 3 - калибровка предложения труда «рикардианских» домохозяйств, млн человек. Источник: Росстат, расчеты автора

При этом приблизительно до 2011 года модельная переменная периодически заметно отличалась от реального предложения труда, но на оставшемся временном участке уровни уже практически совпадали.

Наконец, инвестиции были досчитаны из баланса и потому не должны были сильно расходиться с реальными данными при условии успешно смоделированных потребления и предложения труда, но все равно были добавлены в функционал, чтобы минимизировать возможные выбросы.

Рисунок 4 - калибровка инвестиций, млрд руб. Источник: Росстат, расчеты автора

Для калибровки блока модели с «нерикардианскими» домохозяйствами функционал будет выглядеть следующим образом:

Минимизировать этот функционал необходимо только по параметрам функции полезности «нерикардианских» домохозяйств: , , , причем ограничения аналогичны тем, которые накладывались на параметры «рикардианских» домохозяйств. В результате калибровки были получены следующие значения этих параметров: = 0,456620988, = -0,948232174, = 0,479759452.

Потребление «нерикардианских» домохозяйств в результате калибровки удалось смоделировать практически безупречно:

Рисунок 5 - калибровка потребления «нерикардианских» домохозяйств, млрд руб. Источник: Росстат, расчеты автора

Труд также удалось смоделировать достаточно точно:

Рисунок 6 - калибровка предложения труда «нерикардианских» домохозяйств, млн человек. Источник: Росстат, расчеты автора

Наконец, путем сложения потребления «рикардианских» и «нерикардианских» домохозяйств можно получить агрегированное потребление:

Рисунок 7 - агрегированное потребление домохозяйств, млрд руб. Источник: Росстат, расчеты автора

2.5 Результаты

По итогам калибровки удалось получить модель блока домохозяйств, способную объяснить динамику потребления, труда и инвестиций в российской экономике. В дальнейшем модель, включающую построенный блок домохозяйств, можно использовать для симуляции воздействия детерминированных и стохастических экзогенных переменных на эндогенные переменные модели. Одной из наиболее важных задач для авторов экономической политики является прогноз влияния мер фискальной политики на экономику, и модель в том числе будет подходить и для построения таких прогнозов.

Ниже представлена симуляция потребления, труда и инвестиций с использованием полученной модели блока домохозяйств на 4 квартала вперед при изменении налоговой ставки (). Все экзогенные переменные модели за исключением налоговой ставки были построены как возрастающие с постоянным ежеквартальным темпом, равным среднему темпу за предыдущий год. Налоговая ставка была взята на уровне, приблизительно равном уровню, используемому в модели за 3 квартал 2017 года (0,09), а также на уровнях 0,05 и 0,13.

Рисунок 8 - динамика потребления в зависимости от ставки налогообложения, млрд руб. Источник: расчеты автора

Как можно увидеть из графика, сохранение ставки налога на предыдущем уровне приведет к росту потребления на исходной траектории со средним ежеквартальным темпом на уровне 0,4%, в то время как изменение ставки налога приведет к резкому росту в случае сокращения ставки и к резкому падению в случае увеличения ставки. При этом в дальнейших периодах и в том, и в другом случае будет наблюдаться рост потребления, но при снизившейся ставке он будет быстрее (на уровне 0,7%, причем темп стихает), а при повысившейся ставке он будет медленнее (на уровне 0,2%, причем темп растет).

Рисунок 9 - динамика труда в зависимости от ставки налогообложения, млн человек. Источник: расчеты автора

Труд в модели будет падать по причине сокращения рабочей силы, причем при снижении ставки он упадет сильнее, чем при ее сохранении, а при повышении - слабее. В то же время, впоследствии вне зависимости от первоначального изменения ставки труд сходится к той же траектории, на которой он бы находился при сохранении ставки налога на уровне 0,09. При этом в случае первоначального снижения ставки он будет несколько выше, а в случае повышения - ниже.

Рисунок 10 - динамика инвестиций в зависимости от ставки налогообложения, млрд руб. Источник: расчеты автора

Динамика инвестиций в целом похожа на динамику потребления, только в этом случае в последующих периодах для обоих типов изменения ставки налога наблюдается явная конвергенция к исходной траектории.

Проведенное моделирование имеет демонстративный характер и показывает, как, согласно модели, должны повести себя потребление, труд и инвестиции при заданных экзогенных переменных. Чтобы оно имело настоящую прогнозную силу, зафиксированные в данной модели экзогенные переменные, которые в действительности формируются внутри экономики, должны быть также введены в модель как эндогенные.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью данной работы было построение блока домохозяйств для DSGE модели российской экономики. Первой задачей, направленной на достижение этой цели, был обзор современных работ по DSGE моделированию, посвященных исследованию фискальной политики и потому имеющих детально разработанный блок домохозяйств. В результате обзора удалось установить, что в подавляющем большинстве работ к стандартному подходу к построению блока домохозяйств добавляют привычки потребления, сглаживающие моделируемую динамику потребления, и разделение домохозяйств на те, для которых рикардианская эквивалентность выполняется, и те, для которых она не выполняется. Прочие модификации включались в модели по мере надобности и либо имели непосредственное отношение к исследовательскому вопросу работы, либо помогали лучше объяснить реальные данные.

Оставшиеся задачи были направлены на построение модели: была собрана статистика по переменным модели, а также вся информация, необходимая для разделения домохозяйств на два вышеописанных типа. Следующие две задачи - формулировка и решение задачи домохозяйств и калибровка модели - проводились параллельно, с тем чтобы, опираясь на промежуточные результаты калибровки, подобрать оптимальную функциональную форму модели. В результате была выбрана форма модели, порождающая наиболее близкую к реальным данным динамику переменных, и вместе с тем определены значения параметров. В конце работы с целью демонстрации работы модели были сделаны предсказания касательно динамики эндогенных переменных модели в ответ на изменения налоговой ставки при зафиксированных экзогенных переменных.

Дальнейшее направление исследований должно быть посвящено разработке других блоков модели: блоку фирм, который может включать в себя несколько уровней и в том числе рынок труда, а также государству. В результате можно будет получить полноценную DSGE модель, способную изучать и прогнозировать влияние фискальной политики и шоков на российскую экономику. Также возможно исследование использования других модификаций при разработке блока домохозяйств, которые могут улучшить качество модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Algozhina, A. Monetary and fiscal policy interactions in an emerging open economy exposed to sudden stops shock: a DSGE approach. FIW Working Paper N° 94. 2012.

2. Bosca, J.E. et al. A rational expectations model for simulation and policy evaluation of the Spanish economy. Springer. №1. 2010. pp. 135-169.

3. Christiano, C., Eichenbaum, M., Rebelo, S. When Is the Government Spending Multiplier Large? Journal of Political Economy. № 119(1). 2011. pp. 78-121.

4. Coenen, G., McAdam, P., Straub R. Tax reform and labour-market performance in the euro area: A simulation-based analysis using the New Area-Wide Model. Journal of Economic Dynamics & Control. № 32. 2008. pp. 2543-2583.

5. Colciago, A. et al. The Role of Fiscal Policy in a Monetary Union: are National Automatic Stabilizers Effective? Review of International Economics. № 16(3). 2008. pp. 591-610.

6. Forni L., Monteforte L., Sessa L. The general equilibrium effects of ?scal policy: Estimates for the Euro area. Journal of Public Economics. № 93. 2009. pp. 559-585.

7. Fueki, T., Fukunaga, I., Saito, M. Assessing the E?ects of Fiscal Policy in Japan with Estimated and Calibrated DSGE Models. Bank of Japan Working Paper Series. 2011.

...