Закон ЦИПФА и экономический рост городов в России

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет «Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента»

Подразделение департамент экономики

Выпускная квалификационная работа - БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА

по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика»

Закон ЦИПФА и экономический рост городов в России

студента (-ки) группы № 144

образовательная программа «Экономика»

Пивоварова Ксения Александровна

Руководитель

Доцент департамента экономики факультета «Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента»

Санкт-Петербург 2018

В настоящем исследовании проверяется гипотеза, что закон Ципфа выполняется для распределения среднемесячной реальной заработной платы российских городов. Главные задачи, поставленные в работе, заключались в оценивании прологарифмированного уравнения «ранг-размер» для данных по населению и реальной заработной плате, протестировать распределения параметров на наличие пространственной зависимости, построить динамику Парето показателя по обоим распределениям. В ходе исследования применялись инструменты эконометрического анализа как метод наименьших квадратов и пространственного регрессионного анализа как тест Морана и пространственный авторегрессионный лаг. Привлечение методов пространственного регрессионного анализа обосновывается тем, что были предприняты попытки связать выполнение закона Ципфа с наличием пространственной корреляцией в распределении значений анализируемых показателей. В результате выяснилось, что распределение размеров населения и среднемесячных реальных заработных плат подчиняются закону Ципфа, но при этом пространственная взаимосвязь размера населения отрицательная, а у реальных заработных плат положительная, следовательно, тип пространственной корреляции факторов не влияет на выполнение закона Ципфа. Траектория динамики Парето показателя также различна у факторов: у населения за 18 лет Парето экспонента снижалась в то время, как у реальных заработных плат за 11 лет увеличилась. В первом случае это означает, что в течение временного промежутка, размеры городов сходились по числу жителей, во втором - рост числа богатых городов. Кроме того, было подтверждено, что при накладывании ограничений на размер населения, распределение размеров городов становится ближе к закону Ципфа.

1. Введение

Экономический рост страны обуславливается увеличением таких параметров социально-экономической среды, как значение ВВП на душу населения, уровень занятости, доли бедных и богатых, уровень образования, значение доли экспорта и импорта в ВВП страны и другое. Эти факторы описывают макроэкономическую картину страны. Однако, если углубиться на микроуровень и рассмотреть основные показатели в рамках городов, то это даст более конкретизированный ответ на вопрос, как развивается и растет страна.

История развития городов в России берет свое начало с древнерусского государства. Являясь важными стратегическими объектами в торговых отношениях, города росли в соответствии с прогрессом в социально-экономической сфере: переход от традиционного воспроизводства к рыночному, появление фабричного и мануфактурного производства, технические прогрессы, возникновение денег как инструмент обмена, тенденции урбанизации. Современные города России - это не только центры, где сосредоточены основные представители разных отраслей промышленности, технологий и информационные структуры, но и живая система сетей, связывающих между собой органы, которые в ответе за снабжение города ресурсами и его жизнедеятельность. В России статус города назначается в случае, если число жителей населенного пункта не меньше 12 тысяч. Однако, в соответствии с результатами специалистов экономической и социальной географии России, около трети российских городов, имея численность населения ниже порога, сохранили за собой статус города в следствие исторических факторов, а также, если произошли сдвиги численности населения у населенных пунктов, уже имевших статус города [Махрова А., Кириллов П. 2015]

В настоящее время, во всех развитых и развивающихся странах города классифицируются по численности населения: «большие» с численностью населения 100-250 тысяч человек, «крупные» - 250-500 тысяч, «крупнейшие» - 500-1000 тысяч, «города-миллионники» - от 1 миллиона и более. В России на 2013 год существует 15 «городов-миллионников». Однако, разница в численности жителей среди крупнейших городов достигается в 2 и более раза, а города с меньшим числом жителей встречаются чаще. Это является признаком соответствия распределения размеров городов степенному закону [Gabaix, 1999].Кроме того, в России наблюдается процесс пространственной сходимости городов со схожими социально-экономическими показателями[Балаш 2013, Иванова 2014, Коломак 2014]. Другими словами, города с похожими значениями параметров расположены вблизи друг друга. Это известный пример кластеризации как свидетельство наличия пространственной зависимости [Anselin&Bera, 1988]. В связи с этим, я задалась вопросом, есть ли связь между этими двумя явлениями. Данная работа нацелена изучить экономический рост городов России с применением закона Ципфа и пространственного регрессионного анализа.Опираясь на распределение Парето, закон Ципфа выполняет грубое условие подгонки моделей к этому правилу. Изначально идея закона гласит, что для большинства стран распределение по размерам городов почти полностью подчиняется степенному закону: число городов с населенностью, большей, чем S, пропорционально 1 / S [Gabaix, 1999]. В моем исследовании будет проверяться следование закону как население городов, так и фактора экономического роста. Таким образом, гипотеза исследования заключается в предположении, что фактор экономического роста российских городов подчиняется закону Ципфа, и существует пространственная зависимость в его распределении.

Актуальность темы аргументируется несколькими положениями. Во-первых, ранее выполненные работы в этом направлении не касались темы экономического развития городов в России. Во-вторых, приведение анализа во временном промежутке обеспечит выявление характера эволюции оцениваемого показателя, что, несомненно, будет иметь положительный эффект в исследовании и объяснении ситуации в России. В-третьих, хотя идея применения инструментов пространственного анализа не новаторская, это позволит объяснить феномен группировки городов в пространстве.

Вторая секция содержит обзор других исследований по данной теме и обсуждение ее с разных подходов. В третьем и четвертом разделе представлено описание применяемых данных и используемых методов в ходе исследования, соответственно. Результаты и главные выводы по работе продемонстрированы в пятой секции. Общий итог и обсуждение потенциала к дальнейшим исследованиям расположены в 5 разделе.

2. Обзор литературы

Закон Ципфа был основан в 1908 году как закономерность распределение частоты слов в речи и с тех пор нашел широкое применение в разных аспектах человеческой жизни, в том числе экономике. В этой части исследования я предпринимаю попытки оценить предыдущие работы, главным объектом которых поставлен закон Ципфа, и изучить способы его применения в сочетании с другими явлениями.

Согласно XavierGabaix[1999], первоначальная форма законаЦипфа представляется уравнением

(1)

где это некий положительный показатель, это размер города, обозначает показатель Парето. Если , то выполняется закон Ципфа. Ссылаясь на работу Krugman[1996a, p. 40], XavierGabaix строит модель из фиксированного числа городов, закрепляя за каждым порядковый номер в зависимости от его размера, результаты которой подтверждают гипотезу о существовании закона Ципфа. Следуя предпосылке, что для определенной размерной группы города имеют одну траекторию роста (одинаковая средняя и дисперсия роста), автор приходит к выводу, что гомогенный процесс роста отсылается к законуГибрата, который делает интерпретацию правила «ранг-размер» более упрощенной. Формальное определение закона Гибрата выражается следующим образом: распределение вероятностей процессов роста не зависит от первоначального значения размера города в период t. Таким образом, закон Гибрата можно считать одним из инструментов выполнения закона Ципфа. Кроме того, автор статьи не упускает из виду различные типы объяснений закона Ципфа, приведенные ранее, рассматривая модели роста Штайндля и стохастические, как модель Саймона.В первом случае принимается во внимание темп роста городов уже существующих и скорость возникновения новых городов. При условии, если эти два темпа не равны, то показатель Парето, равный их отношению, не будет равен единице, как того требует закон Ципфа. В виду того, что выполнение требуемого условия проблематично, эта модель не удовлетворяет запросам исследования. В ситуации со стохастическими моделями роста, примером которых является модель Саймона, речь идет о мигрантах и вероятности их расселения по уже существующим городам или в создании нового города. Вероятность того, что мигранты выберут заселение в существующем городе пропорциональна числу его жителей. Тогда модель предполагает возникновения степенного закона, где . Так как ожидается, что , образуются следующие вопросы. Во-первых, значение должно быть очень близко к 0, что означает вырождение городов, так как процесс приближения значения параметра к нулю будет очень медленным[Krugman1996a, pp. 96-97; 1996b]. Во-вторых, ключевым значением для этой модели служит факт того, что темпы роста числа городов выше, чем темпы роста населения существующих городов. Однако, предпосылка с темпом возникновения новых городов не является фундаментальной в законе Ципфа. Откуда следует, что эта модель не заключает в себе тех вопросов, которые необходимы для описания закона Ципфа.

В следующей статье XavierGabaix демонстрирует несколько экономических моделей, подставляя их с законом Ципфа.Исходя из вопроса можно ли сопоставить два города, рассматривая их с разных направлений поведения: постоянная отдача от масштаба и экстерналиями, автор выводит две возможности такого рода анализа закона о ранге и размере. Первая выражена в предположении, что эффекты экстерналий ограничены, и города стремятся асимптотически к CRS поведению, где крупные и малые города имеют ограничения в различии производительности. Вторая вариант представляется в отсутствии ограничений на эффекты от экстерналий, различия в технологиях очень заметны среди больших городов, при этом крупные города имеют явное преимущество в технологиях над малыми. Объединяя эти модели, исследователь выражает следующее уравнение,

(2)

где это полезность агента, - уровень удобств в городе I, это число нового населения городаi, - старого, -продуктивность города i в момент t, - выгоды и затраты от большой численности населения в городе i, - спилловер технологий. Равновесиеуказывает, что с появлением новых агентов, выбирающими между городами, меньшая продуктивность в городе компенсируется высокими благами [Gabaix 1999]. Кроме того, онопоказывает, что также возможны два совершенно разных метода проявления закона Ципфа. Первый вариант подразумевает, что вариация благоприятных экстерналий ограничена, то есть они существуют, но в больших городах их практически не остается, и города приблизительно имеют постоянную отдачу от масштаба в верхней части распределения.Случайность шоков блага и производительности создает толчок для роста уровня населения , который не зависит от размера города , так как экстерналии достигли своих предельных значений. Данное обстоятельство приводит к выполнению закона Гибрата. Второе направление дает картину, когда экстерналии не имеют ограничений и обретают значимость по мере роста городов. Это объясняется тем, что имея разный уровень производительности, большие города тем самым создают негативные социальные экстерналии для малых городов, так как большие города становятся более привлекательными для новых работников. Поэтому в размерах городов четко выражено различение [Gabaix 1999].Эти два процесса подтверждают осуществимость законов Гибрата и Ципфа. Касательно моего исследования, я не акцентирую внимание на поиске факторов, влияющих на различия городов по размеру и темп их роста. Многие эти факторы скрыты из анализа, что, однако, будет учтено при пространственном регрессионном анализе. Но упоминание о них важно для полного понимания процесса урбанизации и отличительных характеристик городов.

Основным методомпроверки наличия пространственной зависимости является пространственный регрессионный анализ[LeSage&Pace 2009]Подход пространственного анализа, который применяют в своей работе JulieLeGallo и CoroChasco-Yrigoyen, будет основой для анализа пространственной зависимости городов в моем исследовании. Рассматривая муниципальные объекты Испании в период с 1900 по 2001, LeGallo и Chasco-Yrigoyen, выяснили, чтодля городов процесс урбанизации не был унифицирован и имеет разные формы и темпы в зависимости от определения городского муниципалитета [LeGallo&Chasco-Yrigoyen 2008]. Так как в настоящем исследовании за единицу наблюдения взяты города, как самостоятельные, гетерогенные населенные пункты, то предполагается, что, при прочих равных условиях, процесс урбанизации и экономического роста российских городов происходит в среднем из года в год одинаково. Авторы применяют алгоритм Anselin[1988, pp. 203], где сначала находят МНК оценки основной регрессии

(3)

для 11 уравнений, рассмотренныхотдельно. Исходная модель является прологарифмированным законом «ранга-размера». Так как распределение ошибок ненормально, присутствует гетероскедастичность и пространственная корреляция, авторы используют пространственную SUR модель для оценки ковариационной матрицы ошибок уравнений с целью проверки на временную корреляцию между регрессиями.LeGallo и Chasco-Yrigoyen также выделяют межклассовую мобильность как фактор расслоения и дивергенции населения внутри группы городских муниципалитетов, привлекая Марковские цепи для анализа явления. В следствие того, что городские муниципалитеты устойчиво сохраняют уровень благосостояния, их межклассовая мобильность очень низкая. Несмотря на это, муниципалитеты среднего размера больше подвержены к изменению класса, чем крупные и мелкие, и именно к переходу на нижний класс, так как перемещение в верхний класс осуществляется медленнее, чем снижение по классовой лестнице в виду большого размера самого класса.

Передо мной стоит задача анализа среднемесячной реальной заработной платы по городам с помощью степенного закона. Было обнаружено, что некоторые общественно-политические переменные следуют закону Ципфа во многих странах [Gangopadhyay 2017].Подставляя под закон ранг-размер такие социально-экономические показатели Индии, как доход, уровень благосостояния, уровень потребления и размер городов,KausikGangopadhyay приходит к следующим результатам. Во-первых, он подтверждает факт о том, что закон Гибрата является достаточным условием для выполнения закона Ципфа, но не необходимым.Если в какой-то момент времени показатель подчиняется закону Ципфа, это не гарантирует выполнение закона Гибрата для этого показателя.Во-вторых, закон Ципфа подходит для анализа всего множества наблюдений, но не для подмножества, если оно сгенерировано рандомным образом. Таким образом, если случайно выбрать из генеральной совокупности показатели по женщинам, то вероятность, что данное распределение будет иметь вид Парето распределение, мала. В отношении методов оценивания, автор сначала обращается к линейной аппроксимации, в результате чего получает смещенные оценки Парето показателя. Далее, вычислив вероятность всей выборки через функцию плотности вероятности и кумулятивной функции распределения, он ее максимизирует, откуда получает несмещенные оценки. В результате оценивания регрессий по каждому из показателей, автор приходит к заключению, что в распределениях выбранных параметров соблюдался закон Ципфа, однако это не конечный список факторов, которые можно подвергнуть анализу [Gangopadhyay 2017].Следовательно, KausikGangopadhyay продемонстрировал еще один метод тестирования степенного закона.

Недавнее исследование российских реальных заработных плат на предмет пространственной конвергенции [Иванова 2017] обосновывает гипотезу о наличии пространственной зависимости по доходу населения. В этой работе автор подтверждает гипотезу о сходимости уровней зарплат во времени и наличии эффекта от первоначальных величин зарплат соседей.Из эмпирических доказательств следует, что между значениями реальных заработных плат российских городов есть пространственная автокорреляция в радиусе 300 км.Для построения модели была выбрана спецификация пространственной модели Дарбина, так как в объеме данных есть пропущенные значения объясняемых переменных. Проверяя на данных пространственнуюсигма- и бета-сходимость, Иванова заключает, что существует как условная пространственная сигма-конвергенция реальной заработной платы соседствующих городов, взятая с менее строгими ограничениями, так и бета-конвергенция, однако выделив при этом категории по секторам экономики для наглядной демонстрации прямых эффектов на уровень роста зарплат.

Ранее еще не проводился анализ связи распределения доходов населения как фактора экономического роста городов в России с законом Ципфа. Но опубликовано достаточное количество исследований по степенному закону и распределению населения в городах России. По словам Расторцевой и Манаевой[2015], коэффициент Парето зависит от размера географической территории федерального округа, и закон Ципфа выполняется для малых и крупных городов, но не выполняется для «городов-миллионников». Согласно исследованию Балаша [2012], распределение городов России соотносится с законом ранг-размер, а также доказано наблюдение пространственной кластеризации городов России по темпам роста численности населения.

3. Описание данных

График 1. Плотность распределения зарплат, 2002, 2013 гг.

Экономически рост российских городов я измеряю в реальной среднемесячной заработной плате, взяв этот показатель как приблизительное значение к подушевому доходу страны, по основной причине: российские статистические базы не предоставляют

Рисунок 1. Пространственное распределение реальных заработных плат

эту информацию на уровне городов. К тому же в статье Ивановой [2017] в стране в 2013 г. представляются доказательства того, что значения реальной заработной платы иВРП на душу населения по субъектам федерации.

Рисунок 2. Пространственное распределение численности населения в стране первой группы в 2013г.

В то же время, реальная заработная плата выражает покупательскую способность зарплаты россиян, что лучше демонстрирует уровень жизни граждан, а значит уровень развития города. Расчет реальной заработной платы представлен как оплата труда в значениях потребительской корзины [Remington 2015]. То есть как отношение средней номинальной заработной платы по городам к значению стоимости фиксированного набора товаров и услуг по региону, в котором город расположен [Иванова 2017]. Номинальные значения зарплаты были выгружены с базы данных МультистатМультистат. Экономика городов России, сайт: http://multistat.ru/. Из выборки были исключены такие регионы, как Республика Ингушетия и Республика Чечня из-за отсутствия информации по показателю. Кроме того, населенные пункты, которые утратили статус города или были включены в состав более крупного, так же не вошли в главную выборку. Данные по стоимости фиксированного набора товаров и услугвыгружены из базы Федеральной Службы Государственной Статистики Федеральная Служба Государственной Статистики, сайт: http://www.gks.ru/.В виду того, что в базе присутствовали значения параметра начиная с 2002 года, в результате сбора и обработки данных получилась выборка из 989 городов за промежуток с 2002 - 2013 гг. Ниже представлен график плотности распределения заработных плат в начале и конце временного промежутка (График 1).По нему можно заключить, что в среднем уровень реальной оплаты труда увеличился более чем в два раза за весь период. Об этом же свидетельствует результат оценки массива данных по зарплатам в Таблице 1 Приложения 1.

После этого я провела геокодирование значений заработных плат по городам, используя географические координаты городов, чтобы изобразить пространственное распределение заработных плат в стране (Рисунок 1). Карта иллюстрирует наличие пространственной зависимости в распределении реальных заработных плат. Вместе с этиммы видим положительную пространственную корреляцию по величине реальной оплаты труда. Более темные участки представлены богатыми городами, у которых значения параметра схожи. Стоит обратить внимание, что темные области сосредоточены вокруг «городов-миллионников» и тех городов, что владеют минеральными ресурсами.

Кроме того, высокий уровень зарплат наблюдается у молодых городов, которые в основном расположены в Сибири и Дальнем Востоке и Тюменской области [Скоробогатов, 2017]. Это города, образованные в советский и постсоветский периоды и выделяющиеся высокими уровнями дохода, несмотря на свой небольшой возраст.

Одновременно, я анализирую динамику Парето показателя по населению России с 1996 по 2013 гг.Источником данных была база Экономика городов России. Собрав данные по числу жителей в городах, я имею группу из 1017 наблюдений.Если обратиться к Рисунку 2, мы засвидетельствуем наличие пространственная зависимость в распределении населения по городам. То, что рядом с крупно населёнными объектами находятся тут же города с радикально меньшим числом жителей, наталкивает на предположение, что пространственная связь между значениями фактора отрицательная. Выделяются регионы с густонаселенными городами такие как, Центральный федеральный округ, Северо-кавказский, Приволжский, то есть большая часть населения сосредоточена в Европейской части страны.

Сопоставление этих двух карт подтверждает свидетельство, что города с большим размером населения имеют высокие уровни реальных заработных плат.

Как было отмечено выше, есть населенные пункты в России, которые носят статут города, не отвечая при этом требованию по минимальному числу жителей. Поэтомуя ввела ограничение на выборку по населению, установив порог, чтобы число жителей в наблюдения было в среднем не ниже 12 тысяч человек[Rafael 2008]. Из сформировавшегося списка городов я выделила вторую выборку. Значение берется в среднем, так как за 18 лет существования были города, численность которых сокращалась в два - три раза, что может стать причиной не нормального распределения городов.

То, как менялся средний размер городов в течение 18 лет можно рассмотреть путем непараметрического оценивания плотности распределения логарифма населения городов по 1996, 2004 и 2013 году. Используется логарифмирования выборки, что бы распределение стало ближе к нормальному из-за больших значений. Результаты представлены в Графике 2. По вертикальной оси откладываются значения плотности, а по горизонтальной -

График 2. Плотность распределения логарифма населения в 1996, 2004, 2013 гг.

логарифм показателя.Из графика видно, что за рассматриваемый период численность населения в стране возросла. Это же показывает Таблица 2 с описательной статистикой данных в Приложении 1. С 1996 года заметно изменение распределения с унимодальной на бимодальную, а в 2004 году это отчетливо проявляется. Однако к 2013 году распределение возвращается к унимодальной форме. Это наблюдение говорит о том, что в период с 1996 по 2004 год имелось два значения численности населения, к которому в среднем стремилось распределение. График второй группы отличается от первого смещением распределения правее и увеличением вероятности значения населения по городам в среднем по всем выделенным годам. (См. Приложение 2 График 3.)

4. Методология

Исследование базируется на оценке зависимости ранга города от его размера в первоначальной формулировке

(4)

где - это порядковый ранг города, - размер населения, и параметры положительные по строению.Целью оценивания модели является получение значения параметра , который выражает действительность закона Ципфа. Если , то закон Ципфа выполняется, если стремится к бесконечности, то города будут сходиться по размеру населения. Однако, величина Парето показателя может так же превышать 1. Это связано с тем, что в верхнем хвосте распределения городов очень близка к 1, в то времякак для распределения дохода этот показатель неустойчив и может колебаться [Gabaix 1999]. С другой стороны, коэффициент с отрицательным знаком указывает направление наклона прямой линии, отображающей взаимосвязь между рангом и размером городов.

Для того, чтобы облегчить процесс тестирования регрессии и поиска Парето параметра, берется логарифм обеих частей уравнения

(5)

таким образом, оценивая модель для каждого города i по каждому году t.

Методология анализа модели соответствует алгоритму Anselin [2003] для пространственного регрессионного анализа. На первом этапе происходит оценка индивидуально рассмотренных уравнений при помощи метода наименьших квадратов (МНК), сопровождаемая тестами на нормальность распределения ошибок регрессии, наличие гетероскедастичности, и тестом на пространственную автокорреляцию. Судя по исходу Jarque-Bera, Breusch-Pagan и Moran I тестирований, регрессионные уравнения с численностью населения и реальными заработными платами в роли объясняющих переменных имеют ненормальное распределение ошибок, что объясняется присутствием непостоянной дисперсией ошибок, и доказано наличие пространственной автокорреляции.Когда в регрессии присутствует пространственная автокорреляция, обходиться только оцениванием МНК недостаточно, так как оценки коэффициентов выходят смещенные и несостоятельные.Поэтому следует второй этап анализа - проведение диагностического теста через расчет множителя Лагранжа, который необходим для выбора дальнейшей спецификации модели в пространственном регрессионном анализе. Отбор проходит из двух вариантов: регрессия с пространственным лагом зависимой переменной или модель с пространственной ошибкой, где пространственная зависимость находится в остатках регрессии. Однако, прежде чем перейти ко второму этапу, необходимо провести коррекцию моделей на гетероскедастичность, иначе статистические значения теста множителя Лагранжа будут не точные.Используя устойчивые робастные стандартные ошибки, как ошибки в форме Уайта, гетероскедастичность была устранена [Магнус, Катышев, Пересецкий 2007].

Исходя из карт с изображением пространственного распределения городов по населению и реальной заработной плате выдвигается предположение, что присутствует пространственная зависимость в распределении этих показателей. Элемент, который ответственен за связь между пространственными единицами, в данном случае - городами, это пространственная матрица. Выбор пространственной весовой матрицы играет важную роль в пространственном регрессионном анализе, так как существует много вариаций ее составления, например, через расстояния между центроидами-объектами региона, через ближайшего соседа на основе k- ближайших соседних областей или через смежность (при наличии общей границы), так как образующиеся при этом связи отличаются [LeSageandPace 2010]. В настоящей работе будет использоваться пространственная матрица, веса которой рассчитаны на основе расстояний между городами, которые вычислены с помощью координат. Веса матрицы определены следующим образом:

(6)

где это расстояние между городом i и j, . Берется такое отношение, так как чем меньше города отдалены друг от друга, тем больше воздействие пространственных эффектов.

По результатам теста множителя Лагранжа, приведенным в Таблице 3, следует вывод, что для оформления пространственной зависимости применяется модель пространственного регрессионного лага. Такая спецификация используется в случае, когда исследуется влияние зависимого фактора у соседствующих объектов jна значение этого же фактора у анализируемого объекта i. Данная модель представляется следующим уравнением

(7)

где это [nx1] вектор объясняемой переменной, это пространственный авторегрессионный коэффициент, выражающий степень пространственной зависимости между объектами, это [nxn] пространственная весовая стандартизированная по строкам матрица, это [nxk] матрица объясняющих факторов, это [kx1]вектор параметра, которыйбудет оцениваться, это [nx1] вектор нормально распределенных ошибок. Оценивание происходит с помощью метода максимального правдоподобия (ММП). Способ МНК не привлекается в виду получения смещенных оценок.

Таблица 3. Статистика теста множителя Лагранжа для населения () и реальной заработной платы (). Параметр значим на 5% уровне для населения, и на 10% - заработной платы

Таким образом, после тестирования регрессии по ММП, я получила несмещенные оценки коэффициентов и , оценку пространственного авторегрессионного коэффициента , а такжепрямые и косвенные эффекты, которые характеризуютизменений независимой переменной на зависимый фактор между соседними объектами.Средний прямой эффект в модели SAR усредняет эффект от объясняющей переменной на зависимую в своих же наблюдениях. Средний косвенный эффект указывает на среднее изменение объясняющей переменной других городов от изменения i-ых. Исследование прямых и косвенных эффектов имеет большуюценность для анализа влияния изменений исследуемых факторов соседей друг на друга.

Результаты, интерпретации и выводы представлены в следующем разделе.

Результаты

Закон Ципфа и размер города

Как ранее отмечалось, работа нацелена проверить, выполняется ли закон Ципфа для уровней реальных заработных плат российских городов, включая инструмент пространственного регрессионного анализа. Сначала проверяется выполнение закона в отношении населения российских городов и анализируется эволюция Парето показателя. Затем тот же алгоритм реализуется для среднемесячных реальных заработных плат.

Имея базовую модель в виде уравнения «ранг-размер», я провожу стандартное тестирование 18 самостоятельно рассмотренных парных регрессий методом наименьших квадратов для обеих выборок. Результаты приведены в Таблице 4. Оценка коэффициента при объясняющей переменной имеет отрицательный знак и значения близки к 1. Однако, оценки коэффициентов выборки с ограничением близки к 1, чем первоначальной. Выполняются главные предпосылки к подтверждению гипотезы о том, что население российских городов подчиняется закону Ципфа. Данная зависимость проиллюстрирована ниже на Графике 4 за 2013 год. Верхний хвост распределения имеет малое количество точек с высокими значениями по населению, и чем меньше ранг, тем больше точек с одинаковым значением. График с зависимостью по робастной выборке можно найти в Приложении 2 (График 5) Сопоставляя распределение «ранг-размер» двух выборок, я пришла к выводу, что выборка с ограничением точнее иллюстрирует закон Ципфа. В этом выражается суть закона Ципфа, Парето закона и степенного закона: количество наблюдений с большими значениями меньше, чем наблюдений с малым значением, которых насчитывается большое число [Adamic, Huberman2002].

Таблица 4. Значимость оценок на 5% уровне значимости “*”

График 4. Правило «ранг-размер» для населения в 2013 г, вся выборка

Перед проведением теста Морана было обнаружено, что присутствует гетероскедастичность в моделях. Это значит условная дисперсия ошибок не постоянная, что нарушает предпосылку о нормальности ошибок. Применяя устойчивые стандартные ошибки в форме Уайта [White 1977], я получила робастные оценки.

Результаты теста Морана говорят, что присутствует отрицательная пространственная автокорреляция во всех оцененных моделях, кроме регрессий с 1996 - 2000 гг. для группы с 843 наблюдениями. (См. Приложение 3.) Получение индексов Моранапри вероятности ошибки менее 5 % указывает, что данные имеют пространственную взаимозависимость. Диаграммы рассеяния находятся в Приложении 4. Это необходимое условие для пространственного регрессионного анализа [LeSage, Pace 2009]. Убедившись, что данные пространственно связаны, можем переходить к тесту множителя Лагранжа для выбора спецификации пространственной модели.

Тест множителя Лагранжа является одним из основных статистических тестов, наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом Вальда, и применяется для проверки ограничений на параметры статистических моделей. Так как наблюдений много в каждой из выборок, я могу ссылаться на его тестовые статистики. При проверке моделей данным тестом я руководствовалась значением рассчитанных статистик как для модели с пространственным лагом, так и с пространственной ошибкой. Если обе величины выходят значимыми, то выбирать из двух спецификаций следует по значениям статистик робастного диагностического МЛ теста. Если тест не показывает статистически значимой пространственной связи, то стоит остановиться на оценках МНК. Однако в моей работе такой ситуации не возникло. По МЛ значениям к корректному описанию пространственной связи подходит модель с пространственным лагом. Таким образом тестируемая модель принимает следующий вид:

(8)

Таблица оценивания регрессии методом максимального правдоподобия представлена ниже.

Таблица 5. Модель SAR, оценки значимы на уровне 1% “**”, статистики 5% “*”

В сравнении с результатами, полученными от МНК оценивания, значения как константы, так и Парето показателя отличаются. Так как наличие пространственной взаимосвязи было подтверждено, полностью полагаться на МНК оценки я не могу, так как они получились смещенными, и тест ММП это показывает. Следовательно, данный тест подтверждает гипотезу распределении размера городов по закону Ципфа. Помимо этого, наблюдается отрицательная пространственная авторегрессия, что подтверждает результат теста Морана: соседи имеют негативное воздействие на ранг друг на друга при росте уровня населения у них. Значение теста на правдоподобие тоже значимо, что означает, что выбранная спецификация верная.

Кроме получения оценок коэффициентов регрессии, так же найдены прямые и косвенные эффекты. (Таблица 6.)

Прямые эффекты это есть влияние объясняющей переменной на зависимую. То есть, когда размер города растет, его ранг быстро снижается, так как Парето экспонента очень близка к 1. Косвенные эффекты описывают влияние изменения независимой переменной в городе i на зависимую переменную в j городе, . В случае размера городов и их ранга косвенное влияние означает, что в 2013 году увеличение ранга города i влекло рост населения в соседних городах на 0,26 %. Такая интерпретация соответствует функциональной форме оцениваемых моделей. Так же, заметно, что косвенное влияние теряет свою силу с течением времени. Другими словами, пространственные эффекты слабеют.

Рассмотрю пространственный анализ с выборкой, где введено ограничение.

Начиная с проверки на пространственную автокорреляцию, как было отмечено ранее, в периоде с 1996 по 2000 включительно, тест Морана не фиксирует наличие пространственной взаимосвязи. С 2001 года, анализируемое явление проявляется, что значит, с 2001 года можно реализовывать алгоритм Анселина.

Таблица 6. Прямые и косвенные эффекты по населению, 1017 городов

Как показал диагностический тест множителя Лагранжа, для описания пространственной связи требуется использовать пространственный лаг зависимой переменной. Таблица 7 свидетельствует о том, что оценки коэффициентов сместились, однако вывод о выполнении закона Ципфа подтверждается. Так же значимость теста на правдоподобие увеличилась. Следовательно, спецификация SARполностью подтверждена.

Таблица 7. Модель SAR, оценки и статистики значимы на уровне 5%“*”, тест LM значим на 1%, “**”

Обратимся к результатам выведения эффектов в Таблице 8. Прямое воздействие размера населения на ранг города увеличилось в то время, как косвенные эффекты уменьшились. В этом случае, если в 2013 году город iменяет свое положение в ранжировании, то численность населения в других городах растет на 0.18%. Сравнение двух выборок показало, что введение ограничения качественней отображает выполнение закона Ципфа.

Таблица 8. Прямые и косвенные эффекты по населению, 843 города

Эволюция Парето показателя в рамках правила «ранг-размер» по населению

Рассмотрим, как меняется за 18 лет значение Парето показателя и сравним МНК оценки с оценками пространственной авторегрессии. Для этого я прибегну к оценкам, полученным после анализа регрессий на основе данных из выборки с ограничением, так как они лучше подгоняют «ранг-размер» зависимость под закон Ципфа. Динамику Парето показателя можно наблюдать из Графика 6.

График 6. Динамика Парето показателя.

В течение 12 лет уровень Парето экспоненты снижается. Заметен резкий спад значения показателя с 2009 по 2010 год по сравнению с пологими снижениями. Это можно обосновать повышенными миграционными потоками в крупные города России

Так как значение отдаляется от 1, города сходятся по размеру населения, однако процесс это протекает очень медленно. Заметно, что оценки МНК смещены относительно оцененного коэффициента Парето методом пространственного лага. Это значит, что инструмент пространственного анализа лучше справляется с обоснованием осуществления закона Ципфа в зависимости ранга города от его размера.

Закон Ципфа и реальная заработная плата

Теперь разберем итоги изучения основной гипотезы исследования.

Таблица 9. Значимость оценок на 5% уровне значимости “*”.

График 7. Зависимость «ранг-размер» для реальных заработных плат в 2013 г

Оценивания базовой модели методом наименьших квадратов предоставило значимые оценки коэффициентов связи. Оцененный параметр

имеет обратное воздействие на зависимый фактор, как описывается в степенном законе. Но значение оценок Парето показателя превышает 1, как того требуется в законе Ципфа. Перейдем к Графику 7, где представлена связь ранга против уровня реальных заработных плат, и рассмотрим, как ведет себя распределение.

По графику можно заключить, что, несмотря на отклонение Парето экспоненты от нужного значения, наблюдается редкое число городов с высоким уровнем реальной зарплаты в то время, как городов с меньшими реальными заработными платами гораздо больше. Следовательно, степенной закон выполняется, и при грубом предположении можно заключить выполнение закона Ципфа.

Проследим, есть ли существенные изменения величин коэффициента при оценивании пространственной модели.

Проведенный статистический тест множителя Лагранжа дал следующие результаты: продиагностированные регрессии по годам следует тестировать в спецификации пространственной авторегрессии. Результирующая таблица представлена в разделе методологии. (Таблица 3) Ниже мы можем разобрать полученные статистики и оценки, полученные от тестирования моделей. (Таблица 10).

Согласно тестовым значениям теста правдоподобия, спецификация моделей подобрана верно. Параметр оценен с отрицательным знаком, откуда следует, что степенной закон не нарушен. Коэффициент пространственной авторегрессии в этих моделях положительный, что подтверждает положительную пространственную взаимозависимость, моделей, а именно изменение размера реальных заработных плат влияют на размер ранга усоседей. Что бы детальней разобраться с влиянием соседей друг на друга, рассмотрим предельные эффекты.Прямые эффекты отображены правильно, так как между рангом и размером реальной оплаты труда обратная связь. Косвенные эффекты имеют отрицательный знак, описывая таким образом влияние изменения ранга города i на реальную заработную плату у его соседей. Более конкретней, в 2013 году изменение ранга города i на 1% вело к снижению реальной оплаты труда его соседей на 0.61%.

Таблица 10. Модель SAR, оценки и статистики значимы на уровне 5%,

Эволюция Парето показателя в рамках правила «ранг-размер» по реальной заработной плате

В этой части раздела я хочу проанализировать как менялось во времени значение Парето показателя для реальных зарплат в российских городах. Полученные оценки данного параметра занесены в одну таблицу, на основе которой построен график...