Разработка модели эндогенного экономического роста в случае гетерогенных потребителей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Трактовка понятия экономического роста в литературе неоднозначная. Для одних экономистов экономический рост - это увеличение потенциального и реального валового национального продукта (ВНП), возрастание экономической мощи страны. Другие же экономисты характеризуют экономический рост как количественное и качественное совершенствование общественного продукта и факторов производства, увеличение:

· мощностей производства;

· реального объема продукции (ВНП);

· реального объема продукции на душу населения.

Экономический рост можно рассмотреть с помощью эндогенных и экзогенных моделей. Эндогенные и экзогенные переменные отличаются друг от друга способом формирования, эндогенные переменные определяются внутри экономической системы, а экзогенные напротив существуют вне этой системы. Большой проблемой для экономистов является определение эндогенности и экзогенности, их понятия включаются в условия модели.

Также одним из спорных вопросов является наличие связей между переменными. Для одних, эндогенные переменные имеют прямую и обратную связь между собой, а экзогенные напротив не обладают обратным воздействием друг на друга. Другие утверждают, что существует взаимное влияние эндогенных и экзогенных величин, а также экзогенным величинам присуще взаимодействие между собой.

Одна из центральных проблем теории экономического роста выступает определение насколько экономический рост является экзогенным или эндогенным.

Вследствие исследования Р. Солоу вопросов экономического роста, появилось множество альтернативных моделей, которые значатся в экономической теории под общей группой модели эндогенного экономического роста.

К основным недостаткам неоклассических моделей относится экзогенность технического прогресса и постоянный устойчивый рост. В устойчивом состоянии темп прироста основных показателей национального продукта на душу населения равен темпу прироста технического прогресса, который выступает внешним параметром для модели и экономики. В таких моделях технический прогресс является необъясненным, и у него нет зависимости от деятельности субъектов экономики, параметров и предпочтений государственной политики. Также в экзогенных моделях экономического роста инвестиции и сбережения не влияют на темпы прироста. Эндогенные модели роста напротив определяют устойчивый темп роста по средствам связывания его с количественными и качественными факторами. Именно это и является основным отличием моделей эндогенного роста - зависимость темпа прироста основных показателей национального продукта на душу населения от поведенческих и институциональных параметров, зависимость от экономической деятельности человека.

Целью написания курсовой работы является построение модели эндогенного экономического роста в случае гетерогенных потребителей и производителей. экономический рост гетерогенный

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

· Построение модели эндогенного роста для гетерогенных потребителей и производителей;

· Для начала будем рассматривать обобщённую CES, включающей помимо любви к разнообразию также любовь к качеству продукции;

· Разработать модель эндогенного роста с изменением качества, где источником роста может служить любовь к качеству продукции и потребители имеют разное отношение к качеству продукции, также как и разный доход;

· Рассмотреть различные сценарии роста.

Мотивация исследования:

· Исследовать влияние гетерогенности на экономический рост;

· Можно ли в рамках данной модели получить фазовую структурой типа устойчивого узла;

· Если да, то при каких условиях существует устойчивый узел;

· Исследовать эволюцию различных сценариев экономического роста с гетерогенными потребителями.



1. Анализ литературы на предмет взаимосвязи экономического роста и гетерогенности потребителей

На рубеже 1950х годов было положено начало рассмотрения проблемы распределения доходов и взаимосвязи их с темпами экономического роста, в качестве формальных математических моделей. Начало изучения положили С. Кузнец (Kuznets, 1955) и Н. Калдор (Kaldor, 1956).

Следуя гипотезе Кузнеца (Kuznets, 1955), когда идет процесс экономического развития первоначально наблюдается увеличение в доходах населения, что приводит к повышенному неравенству. После этого с течением времени различия между бедными и богатыми начинают понижаться, что и сокращает неравенство. Данный процесс выглядит как кривая в виде буквы U, это и есть кривая Кузнеца. Объяснением данного эффекта, а также причиной роста экономики является процесс индустриализации, который обуславливает постепенный переход населения из аграрного в промышленный сектор. Согласно гипотезе Кузнеца, нестабильный уровень производительности ведет к увеличению доходов в индустриальном секторе, при этом доля экономики растет, что приводит к росту неравенства. На снижение неравенства доходов влияет процесс перераспределение, когда из отрасли, где производительность низкая, рабочая сила переходит в отрасль, где производительность имеет высокие показатели.

Хотя в следствии более обширного изучения, ученые ряда зарубежных исследований скорее склоны отвергнуть гипотезу Кузнеца, так как экономический рост также может привести к снижению, увеличению, консервации неравенства. В результате изучения исследователями были получены следующие выводы:

1. по итогам эмпирических анализов систематическая связь между экономическим ростом и неравенством в распределении доходов не была выявлена;

2. одним из основных условий сокращения бедности и неравенства является экономический рост, но важным критерием выступает ни только темп рост, а в основное его качество;

Подтверждение кривой Кузнеца. В работе Б.А. Гершмана описаны следующие подходы к доказательству кривой:

1. От роста к неравенству.

«Механический подход» был разработан в 1976 С. Робинсоном, описывающий возникновение кривой Кузнеца при минимальных экономических предпосылках. Население поделено на две группы, где разные уровни доходов. В модели средние значения и дисперсии обозначаются и соответственно. Доли населения в секторах - и , + = 1. Средний доход по всему населению равняется:

(1)

Общая дисперсия для всей совокупности:

(2)

Предполагая, что внутри группы распределение по доходам не меняется во временных промежутках, то происходит увеличение относительной доли первого сектора в населении, тогда после преобразований получаем:

(3)

где , , . (4)

Роль финансового сектора, разработанный Дж. Гринвуд и Б. Йованович (Greenwood, Jovanovic, 1990). В данном случае предполагается, что на степень неравенства доходов населения напрямую воздействует уровень развития финансовой системы. Происходит следующий процесс: на ранних стадиях финансовых рынков практически не существует, или они слаборазвиты. Финансовая структура появляется при достижении среднего уровня развития. Происходит увеличение темпа экономического роста и нормы сбережений, увеличивается разрыв в доходах между слоями населения. На зрелой стадии развития возникают обширные структуры, которые обеспечивают высокий уровень финансового взаимоотношения, финансы доступны для всех слоев населения. На последнем этапе развития распределение доходов выравнивается из-за дальнейшему совершенствованию финансовой системы.

Процесс “перетекания”. Благосостояние богатой части населения обеспечивается благосостоянием бедной части населения в будущем. В процессе увеличенного накопления капитала образуются структуры его сохранения для последующей возможности финансирования инвестиционных проектов для бедных. За счет этого финансирования бедная часть населения увеличивает свои доходы, при этом становясь богаче. Но проекты несут различную отдачу. Данный факт приводит к тому, что предприниматели не защищены от моральных рисков, в данный момент возникает неравенство. На ранних стадиях развития доходная часть богатого населения увеличивается со средней скоростью, так как количество запасе капитала особо не велико и его стоимость низка, что выгодно для кредиторов. На самой поздней стадии развития условия для кредитования становятся более и более доступными. Средний класс приобретает уровень доходов богатого сектора. Растущая доля бедного сектора способно производить инвестирования в собственные проекты.

Технический прогресс и инновации. В отсталом секторе экономики применяются старые технологии, а в развитом напротив пользуются более современными, прогрессирующими технологиями. Для перехода к новым технологиям требуется переобучение, именно этот фактор приводит к неравенству. На начальном этапе количество агентов, принимающих участие в процессе распределения доходов в продвинутом секторе, небольшое. В тот момент, когда людей в развитом секторе становится большое количество, неравенство постепенно начинает расти. Хотя, достигая определенно грани, достаточной массы людей, которые разбираются в современных технологиях, неравенство приобретает противоположное направление и начинает уменьшаться. Далее доходы выравниваются.

2. От неравенства к росту.

Несовершенства кредитного рынка. Большая часть населения распоряжаются низким уровнем доходов, для преодоления неравенства требуется получение образования, но существуют ограничения по займам, что приводит к неравенству. То есть инвестиции в человеческий капитал низкие и темпы экономического роста тоже. Такая же ситуация обстоит с физическим капиталом.

Стимулирование работников. Данная теория базируется на работе Дж.Миррлиса (Mirrlees, 1971), главная и основная тема которой оптимальное налогообложение доходов. Смысл таков, что одинаковая заработная плата у работников не мотивирует работников прилагать больше усилий. Именно различия в доходах являются главным стимулом для работников к повышению и росту производительности труда.

Различие норм сбережения. Чем выше уровень доходов, тем выше ставка индивидуального сбережения, а именно богатые сберегают больше, чем бедные. То есть перераспределение доходов из богатого сектора в бедный способствует к пониженную уровню совокупной нормы сбережений и инвестиций. В случае использования, к примеру, функции AK, объясняется данный процесс тем, что более быстрее растет экономика с неравномерным распределением доходов.

Иерархическая структура предпочтений и спрос на инновации. Спрос оказывает прямое влияние на распределение доходов. По наблюдаемой статистике люди, располагающие низкими доходами имеют свойство тратить финансовые средства на предметы первой необходимости. А богатый сектор тратят средства на предметы роскоши. В случае, когда спрос зависит от распределяемого дохода, степень неравенства определяет каким будет объем инноваций, то есть на экономический рост.

Рассматривая две группы населения с различным уровнем доходов. Ситуация равновесия характеризуется следующими состояниями:

1. потребление происходит обеими группами;

2. только богачи потребляют инновационный товар;

3. Никто не потребляет инновационный товар.

У всех трех вариантов влияние неравенства разное. В первом случае - неравенсво доходов не оказывает никакого влияния на темпы роста. Спрос на инновационный продукт стимулирует порывы к изобретению. Темп роста остаются неизменным. Во втором - неравенство приносит вред росту. Требуется много времени для расширения потребления рынка, так как скопление дохода в одних руках небольшой группы людей, с учетом маленького размера рынка инноваций и большого числа бедных людей. Происходит снижение прибыльности. Отсутствует мотивация к изобретениям. В третьем - неравенство благоприятно воздействует на рост, так как велика вероятность образования группы, которая имеет спрос на новый продукт, стимулирующий инновационную деятельность.

Для оценки экономического развития региона возможно использование темп роста валового регионального продукта (ВРП). На данный показатель оказывают влияние и отображают экономическое неравенство следующие показатели:

1. Индекс Джини (ИД) - статистический показатель, который показывает уровень неравенства в распределении доходов в обществе. Индекс Джини изменяется в диапазоне от 0 до 1. Чем больше происходит отклонение от нуля и приближение к единице, тем все больше проявляется концентрация доходов в руках отдельных группы населения.

2. Коэффициент фондов по доходам (КФд), который характеризуется степенью социального расслоения.

3. Индекс глубины бедности (ИГБ) определяется отношением средней величины дефицита дохода по сравнению с прожиточным минимумом к общему количеству семей в выборке по данному региону.

4. Индекс остроты бедности (ИОБ) определяется как средний промежуток низкого дохода, возведенный в квадрат и отнесенный к общему количеству семей в выборке по данному региону.

5. Коэффициент фондов по расходам (КФр) рассчитывается как соотношениемежду средними уровнями денежных расходов 10% населения с самыми высокими доходами и 10% населения с самыми низкими доходами.

В работе доктора экономических наук Костылевой Л.В. и младшего научного сотрудника Дубиничева Р.В. «Неравенство населения и его влияние на социально-экономическое развитие региона» был проведен корреляционно-регрессионный анализ. Уравнение регрессии присоблюдении всех условий выглядит следующим образом:

(5)

где - темп роста ВРП, - индекс Джини, -коэффициент фондов по доходам, - индекс глубины бедности, - коэффициент фондов по расходам.

По полученным результатам были сделаны следующие выводы:

1. К замедлению темпов экономического роста приводит к повышенному уровню объема общего избыточного неравенства, а к ускоренному темпу приводит понижение.

2. При увеличении уровня избыточного неравенства рождаемость снижается, а уровень смертности повышается.

В работе доктора экономических наук Меркуловой Т.В. «Экономический рост и неравенство: институциональный аспект и эмпирический анализ» было выявлено, что изменчивость степени неравенства доходов более всего заметна в межстрановых сравнениях. В работе был сделан эмпирический анализ, который состоял из трех этапов: анализ неструктурированной выборки стран; анализ связи внутри выделенных групп; анализ скорректированного коэффициента Джини. Данная оценка проводилась по выборке из 43 стран за 2000 год. Оценивание неравенства в распределении доходов населения определялось по средствам коэффициента Джини (G), индекс ВВП на душу населения выступал как показатель уровня развития страны, а также использовался индекс развития человека (HDI). Также использовался скорректированный коэффициент Джини, полученный как Gg = G:HDI.

В том случае, когда коэффициент Джини равный у нескольких стран, но индекс HDI, то именно он укажет на различия между странами.

Только для стран со средним и низким уровнем развития по индексу HDI справедливо отсутствие статистически значимой связи между экономическим ростом и распределением доходов. Для высокоразвитых стран выявлена отрицательная связь.

Основным инструментом анализа неравенства по доходам выступает коэффициент Джини, который характеризуется искривление кривой Лоренца.

(6)

где - доля населения, по мере возрастания уровня доходов конкретных социальных групп, возрастает доля населения; - доля доходов, которыми располагает i-ая доля населения, данная функция задает кривую Лоренца.

Коэффициент Джини с учетом дискретных величин:

(7)

где - средний доход i-ой группы населения; - средний доход в целом; -доля населения, который относится к i-ой доходной группе населения; - число доходных групп населения.

По коэффициенту Джини можно определить сдвиги только между населения верхних и нижних групп, но он не может точно определить где именно происходят сдвиги на кривой Лоренца. Энтропийный коэффициент Тейла рассчитывается следующим образом:

(8)

Коэффициент Тейла-Бернулли способен определить изменения в нижней части кривой распределения доходов, рассчитывается по следующей формуле:

(9)

Для оценки неравномерности развития территорий и регионов используется коэффициент вариации Клоцвога-Магомедова, рассчитывается как:

(10)

Где - ВРП в i-ом регионе; - население i-ого региона; m-число регионов.

В статье «Неравенство доходов как фактор экономического и демографического роста» доктора экономических наук А. Ю. Шевякова выдвигается теория, что основная проблема неравенства и бедности населения является система распределения и перераспределения ресурсов.

Сам по себе процесс распределения доходов играет преимущественно в сторону богатого, а на повышение доходов наименее обеспеченных остается незначительный объем. Именно это и является главной проблемой.

Неравенство имеет тенденцию к росту в условии наличия сдерживающих регуляторов в перераспределении доходов, к напримеру прогрессивный налог, в данном случае происходит увеличение доходов богатой части населения, что в свою очередь приводит к уменьшению доходов другой части населения. Для повышения уровня жизни очень самым важным, является то, чтобы не было значимых преимуществ между группами. Государство выступает главным механизмом регулирования распределения доходов. В России, к примеру, неравенство - систематично и определяет динамическое развитие как экономического, так и демографического роста.

В одном из исследований Мирового банка, было выявлено, что высокой уровень неравенства обладает отрицательным влиянием на экономическую динамику и мешает экономическому росту. В России коэффициент Джини превышает критический порог Мирового банка и с течением времени имеет тенденцию к росту.

Сделать данные результата позволили обширные статистические результаты по странам мира, полученные в ходе ряда исследований. После были получены выводы, что темп экономического роста зависит от прошлого неравенства.

Существует теория, что в странах процесс роста неравенства всегда является неизбежным и несет временный характер, так как было проведена модернизация экономики. Процесс экономического роста стабилизирует неравенство, после неравенство снижается и приближается к уровню неравенства развитых стран, а уровень бедности, который является результатом высокого неравенств, с течением времени будет сводится к нули или вовсе исчезнет.

Но ВБ не соглашается с данным утверждением, высокий уровень неравенства, который выше критического уровня, мешает экономическому развитию. Однако экономический рост может существовать в случае высокого уровня неравенства, но не в его силах самостоятельно повлиять на неравенство и бедность в сторону понижения. Если бы государство и процесс модернизации экономики работали вместе и контролировали политику перераспределения доходов, то в результате экономический рост был бы выше имел бы более эффективный характер, которые в свою очередь снижали уровень нераенства.

В свою очередь система экономических, социальных и политических критериев регулируют человеческое поведение и процесс распределения доходов. Данное воздействие впоследствии приводит к ослаблению корреляции между человеческими качествами и доходами, в процессе сводя ее к нулю. Благодаря экономическому, институционному и организационному вмешательству неравенство доходов способно преувеличить неравенство человеческих характеристик.

За доступность образования, квалификации и экономических возможностей и социально-экономические преимущества отвечает институциональная организация. Частная собственность является источником социально-экономических преимуществ. Таким образом можно сделать вывод, что значительных уровень несправедливого неравенства генерируется в результате работы институциональных, организационных, политических структур, нежели рынком.

На развитие экономики и общества значительное влияние оказывает момент определения за счет каких механизмов ведется отбор людей на более преимущественные позиции. Человеческие способности напрямую влияют на то, что люди способны достигнуть касательно накопления богатства или в карьерном росте, то какой статус обществе. Хотя, в современной жизни на статусность человека также влияют наличия авторитетных связей. Так называемая элита общества по экономическим, бюрократическим и политическим характеристикам создает устойчивые группы. Данная элита активно создает механизмы, обеспечивающие их преимущественные возможности, также эти механизмы оберегают их от конкуренции.

Кроме того, неравенство доходов могут возникать по координально разным причинам. К ним относятся, прогрессивной конкуренцией в сочетании с интенсивной социальной мобильностью, одни слои населения доминируют на другими слоями, социальная мобильность в этом случае ограничена. В первом варианте происходит стимулирование экономической активности и необходимости накопления человеческого капитала, так как он выступает как главное преимущество в конкурентной борьбе. Во втором варианте напротив стимулирование к активности отсутствует, наблюдается процесс адаптации, что в свою очередь негативно скажется на развитие человеческого потенциала.

Безусловно, неравенство связано с тем, как функционирует экономика и живет общество, но всего один критерий неравенство доходов не показывает всей картины. К примеру, индекс Джини ничего не скажет о социально-экономических различий между странами. Наблюдается закономерное равенство критерия в двух противоположно разных ситуациях:

1) когда богатая часть населения превышает бедную;

2) когда бедная часть населения превышает богатую.

Также стоит отметить, что на динамику экономического и демографического роста неравенство оказывает двоякое влияние. С одной стороны, мотивация получения более высокого заработка стимулирует людей трудиться больше. Этот факт положительно влияет на экономический рост. С другой сторон, часть населения за чертой бедности не видит возможностей для реализации своего человеческого потенциала.

Так в одной из статей было предложено разложить общие показатели неравенства на структурные компоненты для выявления и разделения положительных и отрицательных эффектов неравенства. Критический уровень доходов позволяет четко зафиксировать размеры того или иного неравенства, а также разделить его на нормальное и избыточное неравенство. Неравенство доходов выше критического уровня является нормальным, а те, что ниже - избыточное. Именно такое разделение дает более ясную картину воздействия неравенства на макроэкономические и демографические показатели.

Затем по предложенной методологии были проведены ряд анализов. После данных анализов было подтверждено, нормальное неравенство несет положительный эффект, а избыточное напротив - негативный, на что указала видимая динамика в положительную или отрицательную сторону социально-экономических и демографических процессов. Конечный вывод анализов: высокий уровень нормального распределения увеличивает продуктивность экономики и снижает показатель избыточного неравенства. При высоком уровне нормального неравенства в рамках общего неравенства, тем более высокий темп роста экономики.

Помимо вышеупомянутых индексов на уровень неравенства доходов оказывает влияние индекс глобализации. В работе Almas Heshmati and Sangchoon Lee было проедено исследование, целью которого было выявление взаимосвязи процесса глобализации и неравенства доходов. В данной работе был разработан новый индекс глобализации, основой которого выступал экономический рост. В работе фигурируют следующие контрольные показатели - анализ Керни и основных компонентов.

Все вышеперечисленные результаты проанализированных статей указывают на наличия взаимосвязи между экономическим ростом и гетерогенонстью потребителей.



2. Модель эндогенного экономического роста с гетерогенными потребителями

2.1 Модель

Межвременная функция полезности:

Рассмотрим экономику, состоящую из гетерогенных потребителей (), чьи предпочтения описываются межвременной функцией полезности следующего вида:

(11)

Здесь - субъективная дисконтная ставка межвременных предпочтений потребителей, она может быть разной для разных потребителей и это может быть связано или не связано с доходим потребителе. Существует в обществе естественное разделение на людей экономных и транжир, не связанное с их социальным статусом и уровнем дохода. - функция полезности верхнего уровня, которая зависит от потребления дифференцированного композитного товара в момент времени t. Во многих источниках используют функцию полезности с постоянным относительным неприятием риска (CRRA), которая выступает как функция полезности верхнего уровня. Данная функция характеризуется постоянством относительного коэффициента Эрроу-Пратта Данный коэффициент выступает мерой неприятия риска, а именно то как меняется состояние богатства человека по сравнению с исходным состоянием. Для функции полезности относительный коэффициент Эрроу-Пратта принимает постоянное значение, здесь коэффициент относительного неприятия риска, который может быть разным для разных людей и не совсем может быть связан с доходом, хотя более рискованные индивиды имеют больше шансов выиграть, как впрочем, и проиграть при рискованных инвестициях. В дальнейшем мы будем использовать функцию полезности такого типа. В качестве функции полезности нижнего уровня будем использовать модифицированную CES функцию:

(12)

отличие от стандартной CES функции состоит в том, что в неё добавлен дополнительный параметр любовь к разнообразию, предложенный в работах Heijdra и van der Ploeg (1996) и Bґenassy (1996, 1998), с тем чтобы отделить его от - степени дифференциации товаров в стандартной модели Диксита-Стиглица. Случай соответствует отсутствию любви к разнообразию, - соответствует стандартной модели Диксита-Стиглица.

2.2 Бюджетное ограничение для динамической задачи

Доход, который получает потребитель, складывается из - заработной платы и дохода на капитал (- процентная ставка, - удельный капитал). Этот доход тратится на потребление , на рост домовладений (будем считать, что население растет с темпом и существующий капитал перераспределяется между всеми членами общества) и на удельный прирост капитала. Следовательно, бюджетное ограничение в любой период t имеет вид:

(13)

Здесь траты на потребление имеют вид:

(14)

Где - цена на - ый товар, - объем потребления - ого товара - ым потребителем т.е. делается предположение, что происходит потребление всего разнообразия товаров, которые есть на рынке. Мы использовали предположение, что темпы роста населения одинаковы во всех слоях населения и капитал соответствующий данной группе перераспределяется между всеми членами определённой группы.

Из этого следует, что потребительская оптимизационная задача выглядит как:

(15)

(16)

Для того, чтобы решить оптимизационную задачу, ее следует разделить на два этапа. Следуя методу обратной индукции, на первом этапе находится решение статической задачи максимизации мгновенной полезности потребителя при выборе оптимального набора благ из доступного на данный момент t набора . На втором этапе находится решение оптимальной траектории движения объема капитала для максимизации полезности по времени.

2.3 Статическая оптимизационная задача

Рассмотрим задачу потребителя для функции полезности потребителя, обладающей свойством любви разнообразию продукции в рамках односекторной модели с CES функцией полезности (12) и бюджетным ограничением (14). Функция Лагранжа в этом случае имеет вид:

(17)

Условие первого порядка:

(18)

(19)

Из последних двух выражений получается следующая функция спроса потребителя будет иметь вид:

(20)

В формуле (10) индекс цен для потребителя на промышленные товары.

(21)

2.4 Задача производителя и краткосрочное равновесие

Для нахождения мгновенного рыночного равновесия рассмотрим задачу производителя. Фирмы не могут наблюдать за индивидуальными характеристиками потребителей поэтому не могут осуществлять ценовую дискриминацию. Следовательно, фирма может ориентироваться на рыночный спрос на свою продукцию:

(22)

Здесь - единичная мера распределения потребителей по их параметрам. Тогда функция прибыли для - ой фирмы имеет следующий вид.

(23)

Здесь и предельные и постоянные издержки соответственно,

Условие первого порядка для (23) :



(24)

Мы рассматриваем случай однородных фирм с одинаковыми предельными и постоянными издержками, , поэтому будем искать симметричное равновесие следовательно . Подставим последнее выражение в (14):

(25)

Из (25) получаем:

(26)

Введём усреднённое значение эластичности замещения

(27)

Тогда выражение для равновесной цены в случае гетерогенных потребителей запишется:

(28)

В случае долгосрочного равновесия, условие свободного входа фирм на рынок даёт дополнительное условие нулевой прибыли. Приравняв к нулю выражение для прибыли (13) получаем равновесноезначение выпуска одной фирмы:

(29)

Равновесное значение числа фирм в долгосрочном периоде получается как следствие балансного уравнения для потребителя:

(30)

Просуммируем последнее выражение по всем потребителям:

(31)

Где - суммарные траты на приобретение товаров всех потребителей. Подставляя в (31) выражения (29) и (28) получаем равновесное значение числа фирм:

(32)

Исходя из последнего выражения, изменение долгосрочного числа фирм может быть связано с изменением общих трат потребителей, изменением постоянных издержек и с эволюцией предпочтений. В нашей работе мы не будем рассматривать эволюцию предпочтений потребителей и изменение во времени распределения потребителей. Хотя в реальной жизни происходит эволюция функции распределения потребителей, как в сторону увеличения, так и уменьшения их неоднородности , во многом это зависит от распределительных институтов, которые являются экзогенными к нашей задачи. Рассмотрение же эндогенной эволюции функции распределения, является отдельной задачей, которую мы рассматривать не будем.

2.5 Динамическая оптимизационная задача

Рассмотрим теперь оптимизационную задачу расходования ресурсов потребителем во времени. Как уже было отмечено выше, мы будем рассматривать случай однородных фирм, тогда суммарные траты потребителя на потребление равны:

(33)

Здесь цена и величина потребления найдены при решении статической задачи (25). Решается задача динамического программирования (15), (16) при следующей функции полезности:

(34)

. Тогда гамильтониан динамической системы запишется:

(35)

Условие максимизации первого порядка имеют вид

(36)

Подставляя гамильтониан (31) в (32), получаем:

(37)

(38)

Возьмём логарифм левой и правой части уравнения (37), потом продифференцируем полученное уравнение по времени и подставим в полученное выражение (38), после всего получается:

(39)

В предположении однородности фирм и симметричного равновесия т.е. одинаковом объёме потреблении товаров разных фирм производная выражения (34) имеет вид:

(40)

Подставим (40) в (39), получим уравнение Рамсея для - го потребителя:

(41)

При получении уравнения (41), мы предположили, что параметры предпочтений у потребителей со временем не меняются. В случае однородных фирм индекс цен (21) принимает вид:

(42)

Подставив последнее выражение в (20), получаем фактически уравнение баланса:

(43)

Подставим последнее выражение в уравнение Рамсея

(44)

С учётом (28) уравнение Рамсея принимает следующий вид:



(45)

Зная темпы изменения числа фирм и предельных издержек, из последнего выражения можно определить темпы изменения потребления для любого типа потребителей. В последнем уравнении Рамсея для - го потребителя входят производные по времени для и которые носят экзогенный характер. Чтобы сделать их эндогенными необходимо рассмотреть промышленный сектор. При определении стратегии поведения, фирмы учитывают предпочтения потребителей, но фирмы не могут наблюдать конкретные характеристики каждого потребителя, единственно, что они могут наблюдать это агрегированный по всем потребителям спрос. Следовательно, необходимо агрегировать индивидуальное уравнение Рамсея по всем потребителям, т. е. применить оператор к левой и правой части уравнения (45)

(46)

В последнем выражении

(47)

- среднее значение любви к разнообразию всех потребителей

(48)

- среднее значение отношения к риску всех потребителей. При получении уравнения (46) мы предположили, что отношение к риску и любовь к разнообразию не связаны друг другом ни функциональным не статистическим образом, т.е. они не коррелируют. Отношение к риску и темпы роста потребления потребителей могут быть статистически связаны между собой. Действительно при инвестировании в проекты, которые могут принести рост дохода, потребители принимают на себя часть риска, следовательно от величины отношения риска будет зависеть величина инвестиций, а следовательно темпы роста потребления. С другой стороны:

(47)

Где - ковариация между риском и темпом роста потребления:

Агрегированное уравнение Рамсея (46) позволяет изучать динамику агрегированного потребления в зависимости от изменения числа фирм и производительности труда. При рассмотрении поведения фирмы необходимо описать сценарий экономического роста. Мы будем рассматривать два возможных подхода, это экономический рост за счёт расширения разнообразия выпускаемой продукции и инвестиции в совершенствование технологии, приводящей к сокращению производственных издержек.

2.6 Задача производителя

1. Технология производства

Считая, что в производственном процессе любой фирмы участвуют два фактора производства - труд и капитал . В свою очередь, труд, используемый в процессе производства выступает частью переменных издержек. Затраты, которые идут на использование капитала, входят в состав постоянных издержек. В этом смысле фирмы имеют возрастающую отдачу от масштаба. Выражение для издержек, связанных непосредственно с производством конечной продукции объемом для - ой фирмы:

, (48)

где - процентная ставка использования капитала , количество которого необходимого для функционирования фирмы, - затраты на производство одной единицы продукции.

Будем считать, что переменные издержки связаны только тратами на зарплату рабочей силы , непосредственно задействованной в производстве, так что

, (49)

Последнее выражение можно переписать, введя производственную функцию в частности Кобба-Дугласа:

, (50)

(51)

В случае переменная производительность рабочей силы (величина выпуска, приходящаяся на одного рабочего). Данная переменная является показателем производительности фирмы, как запас неких знаний у фирмы. Кроме того, единица измерения непосредственно входит в функцию полезности, то есть показывает, что фирма способна произвести за единицу трудозатрат конкретный объем продукции с соответствующим качеством. Таким образом, при любом увеличение происходит увеличение производительности или улучшение качества. Технологии и накопленные знания прямым образом оказывают влияние на производительность труда. Примем, что количество капитала определяет количество накопленных знаний. Сделаем предположение о следующей функциональной зависимости между производительностью труда и капиталом в экономике

, (52)

Здесь - константа, связанная с технологией, индекс (-1) означает величину капитала у других фирм, а интенсивность перетекания (spillover) знаний в экономике. В случае одинаковых фирм и одинакового количества капитала последнее выражение перепишется:

, (53)

В случае большого количества фирм можно пренебречь единицей во второй скобке. Общее количество капитала в экономике . Следовательно, изменение капитала в экономике может быть связано как с изменением капитала внутри фирмы так и с ростом числа фирм, а следовательно с ростом числа разнообразия.

, (54)



2.7 Рост за счет внутренних исследований R&D

У любой фирмы есть возможность увеличить данный запас, то есть любая фирма способна со временем сделать качество собственной производительности лучше, направляя часть труда на исследовательский труд, R&D деятельность. Производительность исследовательского труда зависит от уже накопленного запаса знаний и от других источников знания, которые идентифицируем как перетекание знаний от других фирм:

(55)

и - константы, которые показываю как эффективно происходит перетекание знаний. Знак может быть как положительным, так и отрицательным. При положительном значении константы , фирмы пользуются знаниями, накопленными в прошлом и выступают вложением в новые R&D проекты и получают выгоду от опыта и обучения на практике. При отрицательном значении константы последующее повышение уровня производительности затруднено, так как фирма находится на уровне максимальной производительности.

С другой стороны, поскольку производительность связана с капиталом (53), подставляя в (2.6) в (2.8) получаем

(56)

Из последнего выражения видно, что в случае временная зависимость величины капитала в фирме носит степенной характер.

Затраты на R&D связаны с расходами на рабочую силу, задействованную в данном секторе. Будем полагать, что заработная плата в исследовательском секторе и секторе производства конечной продукции одинакова.

С целью достижения общего экономического равновесия, фирмы одновременно решают две категории задач. Для обеспечения равновесия на товарном рынке производители осуществляют максимизацию прибыли по выпуску:

(57)

Для обеспечения равновесия на рынке труда фирмы выполняют другую серию оптимизационных процедур:

(58)

Теперь в постоянные издержки входят как затраты на капитал так и затраты на R&D.

(59)

Причем величина постоянных издержек, теперь тоже зависит от времени, это может быть связано как с изменением объема капитала внутри фирмы так и с изменением заработной платы.

2.8 Рост через расширение разнообразия

Введение новых производственных линий или расширение разнообразия, может быть рассмотрено как второй тип R&D в модели, вместе с внутренним R&D, направленным на повышение производительности в пределах существующего продукта, как описано выше. Будем считать, что потенциальные участники несут потопленные издержки, чтобы развить проект новой производственной линии. Существуют отдельный сектор, создающий инновации, будем считать, что он конкурентный, а потенциальные производители готовой продукции закупают новые технологии для производства новых типов товаров. Технология исследования такова, что если единиц труда направлены на расширение разнообразия, то создается поток новых фирм

(60)

Будем считать, что потенциальные участники несут потопленные издержки, чтобы развить проект новой производственной линии. Существуют отдельный сектор, создающий инновации, будем считать, что он конкурентный, а потенциальные производители готовой продукции закупают новые технологии для производства новых типов товаров. Технология исследования такова, что если единиц труда направлены на расширение разнообразия, то создается поток новых фирм

определяет эффективность исследовательского сектора, т.е. - количество труда необходимого для создания нового проекта. Будем считать, что исследования относительно новых товарных линий основываются на запасе общественного знания. Индивидуальные усилия по исследованию способствуют развитию общественного знания, то есть, существует процесс перетекания знаний от частного исследователя к общественному запасу знаний. Поскольку усилия исследований направлены на расширение разнообразия продуктов N, мы можем связать запас знаний с N. В частности производительность исследований растет с N:

(61)

Здесь и константы определяющие эффективность исследовательского сектора. Свободный вход в R&D гарантирует, что цена проекта равна цене создания проекта . Таким образом, с изменением во времени числа разнообразий, меняется также барьер входа на рынок новых товаров.

2.9 Условие отсутствия арбитража

Будем считать, что цена проекта выражается как сумма потока будущей дисконтированной прибыли, которую он принесет монопольному владельцу:

(62)

Изменение цены во времени можно получить, дифференцируя уравнение для стоимости проекта по времени:

(63)

Последнее выражение определяет арбитражное уравнение:

(64)



Прибыль в секторе R&D имеет вид:

(65)

Здесь - средняя зарплата в экономике. Для простоты, мы будем полагать, что распределение величин зарплат одинаково в производственном и исследовательском секторах. При совершенной конкуренции в научно-исследовательском секторе стоимость проекта константа и равна:

(66)

Прибыль фирмы:

(67)

У фирмы переменные издержки связаны с заработной платой:

(68)

Подставляя эти значения в арбитражное уравнение, получаем

(69)

Здесь определяется (59). При получении последнего выражения мы использовали, равновесную цену, полученную из решения статической оптимизационной задачи . Левая сторона представляет доход от инвестиций в новые товары, доход от входа . Первый член представляет поток прибыли от новой производственной линии относительно издержек, которые необходимо понести, чтобы развить новую линию. Второй член представляет возрастание издержек развития в течение времени. Введем для компактности обозначение логарифмической производной . Тогда арбитражное уравнение (69) перепишется:

(70)

Аналогично можно получить арбитражное уравнение для внутренних R&D. Однако здесь возможно два подхода, первый исходит из того что величина выпускаемой продукции фирмы не изменяется и инвестиции направлены на экономию переменных издержек, которые дисконтируются по времени. Однако такой подход выглядит достаточно странным если мы интересуемся экономическим ростом, связанным с увеличением выпускаемой продукции. Другой подход опирается на предположении полного использования трудовых ресурсов и неизменности заработной платы, это приводит к тому, что полная величина переменных издержек не меняется , а в результате инноваций изменяется объем выпускаемой продукции. В этом случае мы интересуемся дополнительной прибылью, которая возникает в результате инновационной деятельности. Фирма инвестирует в исследовательские разработки в момент времени t-1, ожидая получить в дальнейшие периоды экономию в издержках . Дисконтируемая выгода должна равняться стоимости данных инвестиций

(71)

Получаем арбитражное уравнение для инвестиций во внутренних R&D

(72)

Увеличение прибыли от инвестиций фирмы в R&D связано с увеличением производительности и следовательно с уменьшением издержек. Поскольку переменные издержки , следовательно:

(73)

(74)

Подставив последние два уравнения в (59) получим арбитражное уравнение для внутренних R&D.

(75)

2.10 Равновесие на рынке труда

Уровень труда несет экзогенный характер с нормой роста . Общий спрос на труд определяется спросом со стороны производства и со стороны двух типов исследований. Для рынка с симметричными фирмами условие равновесия на рынке труда выглядит следующим образом:

(76)

Для анализа разнообразных вариантов режимов экономического роста воспользуемся арбитражным уравнением, уравнение баланса на рынке труда и уравнением Рамсея.



3. Экономический рост

3.1 Рост через расширение разнообразия

Сначала рассмотрим экономический рост, который возникает при расширении разнообразия продукта. Чтобы сосредоточиться на входе, мы предполагаем, что все исследовательские усилия в экономике направлены на развитие новых товаров (L_Ai = 0). Кроме того, мы предполагаем, что издержки входа эндогенно изменяются в течение времени. Из уравнения для изменения числа фирм и условия равновесия на рынке труда мы получаем

(77)

В последнем выражении присутствует две комбинации параметров и , их удобно рассматривать как независимые переменные, которые эволюционируют во времени. Для этого перепишем (77) как выражение, для , которое эволюционирует во времени:

(78)

где - внешний темп роста предложения труда. Рынок капитала находится в равновесии, если доход от инноваций равняется норме прибыли, требуемой домашними хозяйствами . Теперь получим уравнение для второй переменной . Для этого сначала объединим уравнение Рамсея:

и уравнение отсутствия арбитража для инвестиций в расширение разнообразий (59)

Для этого выразим из обоих уравнений и приравняем друг к другу:

(79)

Рассмотрим производственную функцию: тогда среднее потребление:

(80)

Поскольку мы рассматриваем инвестиции в расширение разнообразия

(81)

Будем полагать, что величины в правой части уравнения (81) не коррелируют с показателем риска , тогда

(82)

Подставим в (79) выражение (82) и выразим :

(70)

Искомое уравнение для переменной

(83)

Подставим в (83) выражение (82):

(84)

После подстановки (78) в (84), получаем итоговое уравнение для переменной :

(85)

В уравнении (85) - отношение постоянных и переменных издержек:

(86)

Оно может быть найдено для конкретной фирмы как решений оптимизационной задачи, только для решения этой задачи необходимо определить вид производственной функции, как она зависит от труда и капитала. В частности можно взять производственную функцию типа Кобба-Дугласа или другого типа.

Уравнения (77), (85) формируют систему двух дифференциальных уравнений для и , первое из которых может быть заданно, в то время как второе может подстраиваться. Следовательно, мы можем легко построить фазовую диаграмму для этих двух переменных. В процессе динамики система приходит в седловую точку, она устойчива если первое слагаемое в скобках (85) положительно. Наклон пути в седле вверх (вниз) определяется знаком второго слагаемого в скобках (85), т.е. зависит от величины. Если знак положителен (отрицателен), то наклон пути в седле идет вверх (вниз). Точки выше линии под углом 45 градусов неосуществимы, так как они подразумевают нарушение ограничения на рынке труда , т.е число фирм больше числа работников.

Рассмотрим частные случаи динамики роста разнообразия вариантов потребления.

Рассмотрим случай отсутствия роста числа населения и отсутствие зависимости эффективности исследовательского сектора от накопленных знаний

Таким образом, нами используется простой динамический вариант модели монополистической конкуренции с произвольной функцией полезности потребителя. В данной модели мы наблюдаем растянутый во времени вход фирм на рынок, вместо мгновенного, при этом у фирм присутствуют потопленные издержки входа и постоянные издержки в каждый период времени. Для этого случая уравнения (77) (85) принимают вид

(87)

(88)

Стационарные состояния соответствуют равенству нулю левых частей уравнений (87) и (88), графическое решение которых представлено на рис. 1.

Рис.1. Рост разнообразия вариантов потребления: динамика модели для ()

Если изначально число фирм велико, такое, что , экономика оказывается в стационарном равновесии, в котором N, исторически определено и . То есть рынок разделен на такое большое количество фирм, что норма прибыли для входа меньше минимальной необходимой нормы и в этом случае отсутствуют инвестиции. Если начальное число фирм мало, так что на рынок входят новые фирмы, и экономика приближается к устойчивому режиму, который характеризуется следующими выражениями:

(91)

Этот устойчивый режим может быть связан со статической моделью Диксита-Стиглица. В статической версии с фиксированным потоком издержек и мгновенным входом выполняются следующие выражения [9] и . Следовательно, в динамической модели, слагаемое играет роль фиксированных издержек в статической модели. Отметим, что в итоговые формулы не входят параметры верхней функции предпочтения, которые включают любовь к разнообразию и отношение к риску это связано с тем, что в стабильном режиме, и потребление и разнообразие являются постоянными так, что оба параметра не играют роль.

Динамика модели обогащает картину монополистической конкуренции. В статической модели Диксита-Стиглица размер фирм фиксирован. Однако, в динамической модели вне устойчивого состояния, размер фирмы может уменьшается или возрастать в процессе стремления к равновесию, это зависит о наклона линии . Это связано с тем что во-первых, число фирм не может измениться мгновенно, во-вторых часть рабочей силы может быть задействована в R&D отрасли в краткосрочном периоде, тем самым уменьшая предложение труда для фирм конечной продукции.

3.2 Полуэндогенный рост

Рассмотрим теперь частный случай полуэндогенного роста . Этот случай соответствует ситуации, когда население растет с темпом экзогенным образом и в производстве существует эффект перетекания знаний.

Рис.2 Рост разнообразия вариантов потребления: динамика модели для ()

На рис.2 нарисована фазовая диаграмма для этого случая. Для экономики которая стартует с большого числа фирм, и следовательно они достаточно небольшого размера при инвестиции во внутрифирменные инновации не выгодны, следовательно вся рабочая сила сосредоточена на производстве конечной продукции . В этом режиме выпуск на душу населения остается постоянным и экономика растет только за счет прироста населения, так называемый Мальтузианский рост. По мере роста населения (движение по линии 45⁰ вверх), экономика переходит в другой режим, в котором фирмам становятся выгодны инновации. И система в режим, где выпуск на душу населения растет. Из уравнения (89) следует, что доля работников, работающих в производстве конечной продукции, относительно общего числа работников константа.



(92)

Подставляя (92) в (91) получаем, что число фирм а следовательно разнообразие выпускаемой продукции растет с постоянным темпом:

(93)

Темпа роста потребления для нашего случая:

(94)

Другая интересная характеристика, это как меняется полезность репрезентативного потребителя от времени. Для еашего случая:

(95)

В отличии от индекса расходов темп изменения полезности потребителя для CES функции отличается от темпа роста населения, это связано с любовью к разнообразию и непрерывным ростом числа разнообразия.

...