Размещено на http://www.allbest.ru/

¹Херсонский национальный технический университет, Феодосийский факультет, Феодосия, Украина

²Феодосийская финансово-экономическая академия Киевского университета рыночных отношений, Феодосия, Украина

Математическая модель изменения денежной массы в регионе

П. И. Иванов¹, О. В. Филатова²

Проведение эмиссионных операций и обеспечение наиболее их эффективного влияния на развитие экономики является одной из основных функций центральных банков всех стран. Особое внимание при этом должно уделяться разработке качественных прогнозов параметров денежного обращения, что будет способствовать минимизации рисков, связанных с изменением денежной массы. При расчете потребности региона в денежной массе в процессе реализации эмиссионной функции Национального банка целесообразно учитывать влияние миграционных процессов. В связи с этим нами была предложена математическая модель, которая позволяет отслеживать динамику изменения денежной массы в результате миграции трудового населения и прогнозировать её уровень в любой конкретный момент времени. В работе [1] была получена математическая модель изменения денежной массы в регионе в результате миграции трудоспособного населения для случая, когда число въезжающего в регион трудоспособного населения, побывавшего на заработках, было равно числу населения, выезжающего из региона на заработки так, что в целом, число населения в регионе не менялось. В данной работе рассматриваются случаи, когда число въезжающего в регион трудоспособного населения, побывавшего на заработках не равно числу населения, выезжающего из региона на заработки так, что в целом, число населения в регионе изменяется. эмиссионный центральный банк денежный

Пусть величина денежной массы в регионе, в котором проживает млн. человек трудоспособного населения в настоящий момент времени , составляет миллионов гривен. За единицу времени в регион въезжает млн. человек трудоспособного населения, побывавшего на заработках в других регионах, каждый из которых ввозит в среднем денежных единиц. За промежуток времени , количество ввозимой в регион денежной массы составит: , при этом поступающая в регион денежная масса равномерно распределяется по региону.

Пусть теперь за время из региона выезжает на заработки в другие регионы млн. человек трудоспособного населения, с которыми из региона вывозится в среднем денежных единиц.

Здесь - среднее значение отношения вывозимых мигрантом из региона денежных средств к распределенным в регионе. Причем, за время среднее распределение денежной массы в регионе незначительно изменяется на относительно небольшую величину , которая стремится к нулю при стремлении к нулю.

Поскольку , величина не будет оставаться постоянной величиной равной , а будет изменяться по закону . При этом, если , то количество трудоспособного населения в регионе будет уменьшаться и увеличиваться, если . Теперь составим конечно-разностное уравнение для динамики изменения денежной массы в регионе. Очевидно, что:

Разделив обе части уравнения на величину и переходя к пределу при , имеем:

,

откуда получим дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее динамику изменения денежной массы в регионе:

Перепишем его в виде:

(1)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Общее решение дифференциального уравнения (1) позволяет получить зависимость, которая представляет собой математическую модель изменения денежной массы в регионе в результате миграции трудоспособного населения для рассмотренного нами частного случая, когда количество въезжающего в регион трудоспособного населения, побывавшего на заработках, не равно количеству выезжающего из региона на заработки трудоспособного населения:

(2)

Найдем значение константы из начальных условий: при .

Отсюда

или

(3)

Таким образом, было найдено решение (2) дифференциального уравнения (1) и значение произвольной постоянной (3).

Рассмотрим конкретный пример наполнения денежной массой региона за счет миграции трудоспособного населения. В качестве единицы времени выберем 1 календарный месяц. Пусть в рассматриваемом регионе проживает =3 млн. человек. Пусть в начальный момент времени величина денежной массы в регионе, в котором проживает =3 млн. человек населения, составляет =15 миллиардов гривен. Пусть, за единицу времени в регион въезжает =320 тыс. человек трудоспособного населения, побывавшего на заработках в других регионах, каждый из которых ввозит в среднем =10000 денежных единиц (гривен).

Далее, пусть поступающая в регион денежная масса равномерно распределяется по региону. Пусть - среднее значение отношения вывозимых мигрантом из региона денежных средств к распределенным в регионе, равно 1. Пусть, за единицу времени из региона выезжает на заработки =300 тыс. человек трудоспособного населения.

Используя формулу (2), построим математическую модель распределения денежной массы в регионе для этого конкретного случая (рис. 1).

Рис.1. Динамика наполнения региона денежной массой при заданных начальных условиях

Как видно из рис. 1, для данных начальных условий, в течение 10 лет (120 месяцев) идет интенсивное наполнение денежной массой региона. При этом нужно учесть, что и возрастание населения региона, за счет разности въезжающих и выезжающих, идет по линейному закону. Этим и объясняется переход явно нелинейной в начальный период, в близкую к линейной зависимость (см. рис. 1).

Интересно проследить за динамикой изменения денежной массы при изменении (уменьшении) величины заработка. Так, при =5000 получаем прямую (рис. 2), а при =3000 уже имеем даже точку минимума, после которой денежная масса все же возрастает, (рис. 3).

Рис. 2. Динамика наполнения региона денежной массой при =5000 и заданных начальных условиях

Рис. 3. Динамика наполнения региона денежной массой при =3000 и заданных начальных условиях

Наличие точки минимума объясняется вымыванием в первое время денег из региона выезжающими до тех пор, пока не установится равновесие, и регион вновь не начнет наполняться за счет привоза денег возвращающимися с заработков.

Пусть, теперь за единицу времени в регион въезжает =300 тыс. человек трудоспособного населения, побывавшего на заработках в других регионах, каждый из которых ввозит в среднем =10000 денежных единиц (гривен), а из региона выезжает на заработки =320 тыс. человек трудоспособного населения.

Используя формулу (2), построим математическую модель распределения денежной массы в регионе для этого конкретного случая () (рис.4).

Рис. 4. Динамика изменения денежной массы в регионе при заданных начальных условиях

Весьма интересным является наличие максимума на кривой изменения денежной массы и, это несмотря на то, что число выезжающего на заработки трудоспособного населения превышает число въезжающих, уже заработавших деньги. Это является следствием равномерного распределения денег в регионе. Неожиданным явился тот факт, что, несмотря на несколько большее число выезжающих по сравнению с въезжающими, регион продолжает еще некоторое время наполняться денежной массой, поскольку в целом денег вывозится пока еще меньше (за счет равномерного их распределения в регионе). Это продолжается до момента достижения равновесия, после чего денежная масса из региона начинает вымываться. Время достижения точки максимума - является предельным значением времени принятия решения властей по регулированию процесса изменения денежной массы в регионе.

Выводы

В процессе анализа, прогнозирования и планирования денежных ресурсов региона целесообразно учитывать динамику изменения денежной массы в результате миграции трудоспособного населения, выезжающего на заработки в другие регионы страны или за границу. Предложенная математическая модель позволяют прогнозировать уровень денежной массы в регионе в любой конкретный момент времени в перспективе с учетом сезонных колебаний численности миграции населения.

Список литературы

1. Иванов П.И., Филатова О.В. Математическая модель изменения денежной массы в регионе в результате миграции трудоспособного населения // Культура народов Причерноморья. - Симферополь: Крымский научный центр национальной академии наук и министерства образования и науки Украины, Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Межвузовский центр "Крым", 2011. - № 198. - С. 192-196.

Размещено на Allbest.ru