Об одном вопросе портфельного инвестирования в теории линейного стохастического рынка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Об одном вопросе портфельного инвестирования в теории линейного стохастического рынка

В печати появился цикл работ Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски о вычислении оптимальной стратегии инвестирования и управления капиталом портфеля в стохастической линейной теории [1,~2]. В этих работах находится максимум функционала темпа роста капитала портфеля, который зависит от параметра риска выбираемого инвестором. Активы также зависят от факторов, которые моделируются стохастическими процессами.

В цитируемых работах рассмотрена конкретная система стохастических дифференциальных уравнений для двух случайных величин и вида

стохастический рынок линейный инвестирование

(1.1)

Здесь броуновское движение, - константы.

В цитируемых работах дано определение допустимой стратегии инвестирования, и в данной работе мы будем ему следовать. К нашим целям не относится полностью цитировать вышеприведенные работы. Поэтому коротко укажем, что в упомянутых работах введен функционал, для которого выписываются два члена разложения в ряд Тейлора в окрестности точки.

(1.2)

Через обозначен параметр, который интерпретирован как рискочувствительный параметр. Значение параметра соответствует не рискующему инвестору, значение соответствует реально рискующему инвестору. Здесь - условное математическое ожидание, а - условная дисперсия величины при фиксированных значениях факторов

Диссертации по математическому моделированию всегда были образцом для обучения и подражания молодого поколения. Поэтому становится важным исправить грубые ошибки (не описки) [4] и восстановить авторитет математических исследований. Мы сформулировали вопросы к автору и послали ей по электронной почте. Но в ответ получили только наспех переделанную, с некоторыми исправленными ошибками версию диссертации. Но та версия диссертации, которая была представлена к защите и изучалась оппонентами, уже депонирована в Международном центре по информатике и электронике и выставлена в библиотеках страны. Кроме того, она широко разрекламирована в Интернете.

Кроме того, в данной работе обнаружено, что функционал (1.2) в исследуемой модели, если выполнено неравенство имеет особенность. Выявлено, что справедливо приведенное ниже утверждение. Доказано, что свойства функции оптимальной стратегии в данной модели зависят от вида решения уравнения КФП на базе которого она вычислена. Выявлено свойство функции предельной условной дисперсии, связанной с существованием точки перегиба, опираясь на которое можно проводить вычисления пессимистической оценки момента времени обновления параметров модели. Если лицо принимающее решение уверено, что оно знает значение параметров рынка с достаточной точность, то оптимистическая оценка момента время принятия решения об обновлении параметров модели может быть вычислено по функции оптимальной стратегии.

Функция распределения случайной величины (плотность вероятности) определяется уравнением КФП, которое приведем ниже. Условное математическое ожидание и условная дисперсия величины при фиксированном значении в момент времени , определены формулами

 (1.3)

Уравнение КФП в этом случае имеет вид

+

(1.4)

Решение задачи поиска экстремума функционала дает возможность получить стратегию инвестирования, позволяющую получить максимальный доход портфеля активов. В [4] и в данной работе исследуются два решение задачи (1.4) с двумя различными начальными условиями: задано гауссовское начальное распределение с дисперсией и равномерное начальное распределение на отрезке. В [4] утверждается, что предельная условная дисперсия с начальным гауссовским распределением с некоторого момента времени становится отрицательной (с. 61, Рис. 3.1)!

Сделаем следующее важное для математического моделирования, во всех областях приложений, замечание.

Замечание 1. На сайте «Мир дифференциальных уравнений» института Проблем механики РАН eqwold.ipmnet.ru в разделе «Типичные ошибки при построении точных решений» приведена подборка статей [5] и обсуждается следующий вопрос. Там сказано: «В последние годы в научных журналах (в том числе и весьма авторитетных) появилось большое количество статей, содержащих ошибки при построении «новых» точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Часто ошибки связаны с «тупым» использованием популярных программ аналитических вычислений Maple и Mathematica, которые часто выдают большой список точных решений. Многие авторы при этом наивно полагают, что таким образом они получают новые решения. Однако детальный анализ этих решений показывает, что многие из них эквивалентны и сводятся к одному и тому же хорошо известному решению. Нередко встречаются «новые» решения, которые просто не удовлетворяют рассматриваемому уравнению (авторы делают много громоздких промежуточных выкладок и забывают после этого сделать прямую проверку)». Мы полностью поддерживаем данное высказывание и можем добавить, что указанная причина приводит к «открытию новых эффектов», один из которых развенчан в данной работе.

Пусть начальное гауссовское распределение имеет вид [4]

(1.5)

Здесь через обозначена дельта функция Дирака.

Для построения решения задачи (1.4), (1.5) предлагается применить преобразование Фурье по переменной . Через здесь обозначена дисперсия начального распределения (1.5). Здесь через обозначено математическое ожидание (среднее значение) случайной величины .

Обозначим через - образ (изображение) функции после преобразования Фурье [4]. После применения преобразования Фурье по переменной получим уравнение

(1.6)

После применения преобразования Фурье (1.5) имеет вид

(1.7)

Будем искать решение в виде

(1.8)

Здесь неизвестные гладкие функции.

Далее подставляем (1.8) в (1.6) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях . Отсюда следует система обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.9)

Приравнивая начальные данные (1.7) и (1.8) при , получим начальные условия

(1.10)

Данная задача Коши для системы (1.9) с начальными данными (1.10) имеет единственное точное решение

(1.11)

где .

Заметим, что несовпадения построенного решения с функциями из (3.3.11) [4] (стр. 51) значительные. Автору [4] обязательно надо было сделать проверку.

После того, как получены правильные формулы (1.11) можно представить простые проверяемые формулы для функции с точностью до умножения на константу , которая вычисляется из условия нормировки

 (1.12)

Ниже у вспомогательных функций для краткой записи формул, аргументы будем опускать. Функция распределения совместной плотности вероятности используется далее для вычисления условного математического ожидания (1.3) и условной дисперсии. Поэтому не играют роли, так как выносятся за знак интеграла и сокращаются. Таким образом, на окончательный результат оказывают влияние только три функции: Получаются простые и понятные формулы в отличие от [4]. Сделаем обратное преобразование Фурье по формуле

(1.13)

Сделаем проверку. Подставим функцию (1.13) и её вычисленные производные в уравнение КФП (1.4) и исключим производные функций с помощью равенств (1.9). Получим тождественный нуль. Таким образом, построено вещественное решение (1.13) задачи Коши (1.4), (1.5).

В формуле (1.13) присутствует мнимая единица , и может показаться, что это комплекснозначная функция. Но, так как в функции (1.12) входит как множитель мнимая единица, в отличие от [4], то это вещественная функция. Выполняется неравенство поэтому экспоненциальное убывание по всем направлениям в формуле (1.13) обеспечено.

Функция (1.12) следует из выражения под экспонентой (1.13), после возведения его в квадрат. Тогда, интегрируя по частям интеграл в числителе и получим выражение для условного математического ожидания (1.3)

=

(1.14)

При вычислении предполагается, что в широком диапазоне изменения параметров и также выполняется неравенство

Вычислим предел при условного математического ожидания (1.14). Получим

(1.15)

Интегрируя два раза по частям интеграл в числителе получим выражение для условной дисперсии

Окончательно получим выражение для условной дисперсии

(1.16)

Приведем предел при условной дисперсии, который следует из (1.16).

=

(1.17)

Кривая предельной условной дисперсии с начальным гауссовским распределением в данной работе (1.17) совпадает с графиком условной дисперсии при равномерном распределении начальных данных рассчитанной в [4] (с. 60) по формуле (3. 3. 27). В данной работе вычислено, что гауссовское начальное распределение не приводит ни к каким ограничениям, в отличие от [4], где свойства противопоставляются (стр. 61, стр. 71).

Кривая предельной условной дисперсии с начальным гауссовским распределением, в [4] (с. 61, Рис. 3.1) просто вызвана ошибкой в решении системы дифференциальных уравнений (1.9) и вычислении обратного преобразования Фурье. Вместо компактных и обозримых формул (1.12) - (1.16) в [4] приведены огромные не проверяемые формулы.

Случай равномерного начального распределения фактора в [4] (с. 58) рассмотрен правильно.

Условная дисперсия в этом случае также описывается той же самой, растущей после точки перегиба кривой 2 на Рис. 3.1.

После точки перегиба начинает увеличиваться неопределенность. Координату точки перегиба можно вычислить.

Вычисление пессимистической оценки времени принятия решении.

Вычислим координату точки перегиба функции (1.16). Из равенства нулю второй производной следует . (1.18)

Вычисление оптимальной стратегии инвестирования и оптимистическая оценка момента времени принятия решения

Прокомментируем кратко рассмотренную в [1], [2], [4] задачу оптимального управления портфелем Доходности активов и линейная процентная ставка по модели Васичека [3] описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Менеджер может с оптимизмом предполагать, что ему известны значения всех коэффициентов, которые с достаточной точностью отражают состояние рынка в данный момент времени.

Замечание 2. Например, в данной работе исправлена ошибка в формуле для вычисления

[4] стр. 48 (3.3.4)

Выполняем построения, предложенные в [4] и заметим, что лицо принимающее решение находится в условиях неопределенности, так как в модели только с двумя активами число коэффициентов. Реально, речь может идти только о том, что лицо принимающее решения, (менеджер) основываясь на знании результатов расчета по данной модели, зная расчетные значения предельной условной дисперсии и опираясь на результаты расчета по другим моделям может принять на себя имеющиеся риски и принять некоторое оптимистическое решение, опираясь в основном еще и на свой опыт. Здесь большое значение имеет характер менеджера и его приверженность в более осторожной или более рискованной тактике, его мера отвращения к богатству.

Для упрощения задачи в [4], без всяких комментариев, положили следующие значения коэффициентов

После этого упрощения получим коэффициенты которые правильно

Вычислены в [4] стр. 64. Если исправить ошибку, указанную в замечании 2, то получим дополнительные вторые слагаемые в коэффициентах

(1.19)

Это приводит к различию в результатах численных расчетов не меньше чем на двадцать процентов. Возможно получение функция оптимальной стратегии напоминающая арктангенс, т.е. функция имеющая горизонтальную асимптоту. Если выбрать другое решение уравнения КФП, то возможны кривые оптимальной стратегии, которые имеют локальный максимум. Таким образом, выяснено, что вид функции оптимальной стратегии зависит от решения уравнения КФП с помощью которого она вычислена. Вычисления проведенные при отрицательном значении коэффициента риска функционал (1.2) имеет особенность, о чем в цитируемых работах ничего несказанно.

Список литературы

стохастический рынок линейный инвестирование

1. Bielecki T., Pliska S. 1999. Risk sensitive dynamic asset management. J. Appl. Math. and Optimiz., N. 39, P. 337-360.

2. Bielecki T., Pliska S. 2000. Sherris. Risk sensitive asset allocation. J. Econ. Dynamics and Contr. N.24, P. 1145-1177.

3. Vasicek O. 1977. An equilibrium characterisation of the term structure. J. of Financial Economics, V. 5, N.2, P. 177-188.

4. Камбарбаева Г.С. Математическое моделирование оптимальных стратегий инвестирования в линейной модели рынка. Дис. на соис. ученой ст. к.ф.-м.н., М. МГУПС. 2011. РГД ОД 9 11-05.1741. www.lib.ua-ru.net/diss/cont/485579.html, www.dslib.net/mat-modelirovanie/kambarbaeva.html

5. Kudryashov N.A. 2010. A Note on New exact solutions for the Kawahara equation using Exp - function method. J. of Computational and Applied Mathematics. V. 234, N.12, p. 3511-3512.

Размещено на Allbest.ru