Исследование вероятностных характеристик двухканальной системы массового обслуживания с отказами
Вероятностные характеристики исследуемой системы с отказами. Определение вероятности состояний как функции времени и их финальные вероятности. Принципы построения математической и компьютерной модели двухканальной системы массового обслуживания.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.12.2018 |
| Размер файла | 764,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исследование вероятностных характеристик двухканальной системы массового обслуживания с отказами
Теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело.
Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [1].
По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные. СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью) [2].
В данной статье рассматривается двухканальная СМО с отказами и ее вероятностные характеристики, а именно вероятности состояний как функции времени и их финальные вероятности.
Сначала построим математическую модель системы. Выделим состояния двухканальной СМО с отказами:
S - в СМО все каналы свободны (нет заявок);
S - в СМО занят один канал, второй канал свободен (1 заявка);
S - в СМО заняты оба канала (2 заявки).
Схема двухканальной СМО с отказами приведена на рисунке 1. Поток заявок с интенсивностью л переводит систему из состояния S0 в состояние S1, из состояния S1 в состояние S2. Перевод системы из состояния S1 в состояние S0 осуществляет поток обслуживаний с интенсивностью м. Перевод системы из состояния S2 в состояние S1 осуществляет поток событий, который представляет собой сумму двух потоков обслуживаний обоих занятых каналов, каждый из которых имеет интенсивность м. Сумма этих двух простейших потоков обслуживаний представляет собой также простейший поток интенсивностью 2м.
Рис. 1. Схема двухканальной СМО с отказами
двухканальный массовый вероятностный отказ
Составим математическую модель. Пользуясь графом состояний, запишем уравнения Колмогорова:
Для нахождения финальных вероятностей приравняем к 0 производные в уравнениях Колмогорова:
Сложив все уравнения, получим верное равенство 0=0. Это значит, что уравнения линейно зависимы и одно из уравнений можно из системы удалить. Заменим второе уравнение уравнением нормировки:
Получим систему:
Выразим из первого уравнения p0 (t), из второго - p2 (t) и подставим в третье уравнение:
Выразим из третьего уравнения p1 (t):
И подставим в систему (1):
Для проверки полученного решения (2) воспользуемся формулами Эрланга:
Для данной системы получим:
Значения финальных вероятностей, полученных с помощью формул Эрланга, совпали со значениями (2). Следовательно, значения финальных вероятностей найдены верно.
Для нахождения вероятности состояний как функции времени воспльзуемся средой Turbo Pascal. В учебнике Трубникова С.В. «Стохастические и имитационные модели» описана процедура, которая решает задачу Коши для системы из m обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка на отрезке [a, b] методом Рунге-Кутта. Отрезок [a, b] разбивается на Nn равных частей и приближенное решение определяется в точках разбиения. Число Nn подбирается по правилу Рунге исходя из требуемой погрешности e. Начальные условия задаются в точке a. Исходные данные: a и b - координаты концов отрезка; e - требуемая точность; m - число уравнений в системе (1<=m<=100); значения m неизвестных функций в точке a (их необходимо поместить в файле input.pas до выполнения этой процедуры); f (p, x, u) - функция, задающая правые части дифференциальных уравнений (здесь p - номер дифференциального уравнения, x - независимая переменная, а u - массив зависимых переменных, обозначающих неизвестные функции) [3].
Результаты работы процедуры: приближенные значения неизвестных функций в последующих точках разбиения (они вычисляются и помещаются в файл output.pas); Флажок fl (он примет значение 1, если заданная точность достигнута, и 0 - в противном случае). В программе также описывается функция f (p, x, u) и вводятся значения необходимых исходных данных.
Для тестирования программы зададим интенсивности. Пусть л= 2, µ = 2. Начальные условия: p0(t) = 1, p1(t) = 0, p2(t) = 0. Исходные данные: m=3, e=0,0000001, a=0, b=10. В файле output.pas появятся значения (рисунок 2).
Рис. 2. Тестирование программы
Проверим выполняется ли уравнение нормировки для t = 10:
p0(t) + p1(t) + p2(t) = 0,4+0,4+0,2=1 - верно.
При подстановке в формулы финальных вероятностей (2), значений л= 2, µ = 2
Значения совпали. Тестирование программы прошло успешно.
Реализуем компьютерную модель. Для этого перенесем данные, полученные в файле output.pas в табличный процессор Excel для всех возможных начальных условий:
1) p0(t) = 1, p1(t) = 0, p2(t) = 0;
2) p0(t) = 0, p1(t) = 1, p2(t) = 0;
3) p0(t) = 0, p1(t) = 0, p2(t) = 1
И построим графики по получившимся таблицам. Для каждого случая компьютерная модель изображена на рисунке 3, 4, 5 соответственно.
Рис. 3. Компьютерная модель для начальных условий 1)
Рис. 4. Компьютерная модель для начальных условий 2)
Рис. 5. Компьютерная модель для начальных условий 3)
Из графиков видно, что вероятность состояния, в котором первоначально была система, с увеличением t уменьшается до определенного уровня, затем стабилизируется (вероятность становится финальной). В остальных же состояниях с увеличением t вероятности увеличиваются, затем также стабилизируются. Суммы вероятностей всех состояний на протяжении всего времени остаются равны единице.
Библиографический список
1. Электронное учебное пособие «Имитационное моделирование экономических процессов» [Электронный ресурс]. URL:http://eos.ibi.spb.ru/umk/11_4/5/5_R0_T6.html (дата обращения: 7.06.2016).
2. Математический форум Math Help Planet [Электронный ресурс]. URL: http://mathhelpplanet.com/static.php? p=sistema-massovogo-obsluzhivaniya (дата обращения: 5.06.2016).
3. Трубников С.В. Стохастические и имитационные модели: Учебное пособие для студентов вузов. - Брянск: «Курсив», 2012. - 206 с. (129 с.)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие производственной функции и изокванты. Классификация малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Определение и использование коэффициентов прямых затрат. Использование метода теории игр в торговле. Системы массового обслуживания.
практическая работа [224,7 K], добавлен 04.03.2010Истоки и история становления экономического анализа. Экономический анализ в условиях царской России, в послеоктябрьский период и в период перехода к рыночным отношениям. Теория массового обслуживания, ее применение и использование при принятии решений.
контрольная работа [50,9 K], добавлен 03.11.2010Состояние вопроса логистического обслуживания потребителей. Разработка логистической системы обслуживания. Повышение эффективности логистической цепи при совершенствовании транспортного обслуживания. Безопастность жизнедеятельности.
дипломная работа [171,9 K], добавлен 31.05.2003Исследование основных этапов создания системы массовой оценки. Сбор и первичный анализ исходной информации. Принцип построения корпоративной системы массовой оценки объектов недвижимости. Разработка математической модели оценки стоимостных показателей.
презентация [13,0 M], добавлен 26.01.2015Структура и принципы организации библиотечного обслуживания на примере Центральной библиотечной системы г. Челябинска. Особенности экономического анализа библиотечной деятельности как основа формирования сети библиотек и их бюджетного обеспечения.
курсовая работа [106,8 K], добавлен 15.03.2012Особенности и значение прогнозирования риска банкротства предприятия, формула расчета определения его вероятности. Сущность модели вероятности риска Таффлера, платежеспособности Спрингейта. Расчет пятифакторной модели Альтмана для акционерных обществ.
контрольная работа [24,1 K], добавлен 14.11.2010Основные и вспомогательные производственные процессы в строительстве. Нормирование труда, методы изучения затрат рабочего времени. Способы расчёта норм времени, выработки, обслуживания и численности. Системы сдельной формы оплаты труда и их содержание.
курсовая работа [95,8 K], добавлен 04.09.2014Понятие и признаки банкротства. Причины и виды банкротства. Процедуры банкротства. Методы диагностики вероятности банкротства. Многокритериальный подход. Дискриминантные факторные модели. Оценка вероятности банкротства предприятия по модели Альтмана.
курсовая работа [59,3 K], добавлен 16.12.2007Понятие банкротства, его причины и способы диагностирования. Модели экспресс-диагностирования банкротства. Прогнозирование вероятности банкротства ФГУП "Кирпичный завод" по модели Сайфулина-Кадыкова, основные направления антикризисного управления.
курсовая работа [101,1 K], добавлен 30.09.2009Основные понятия финансовой несостоятельности предприятий. Создание математической модели прогнозирования банкротства компании. Выявление факторов финансового состояния ЗАО "Управление механизации №276", информационная база анализа угрозы банкротства.
курсовая работа [388,7 K], добавлен 18.05.2014Состояние системы высшего образования в России. Рассмотрение системы образования как экономической субстанции, производственного процесса, услуги и товара. Зарубежный опыт поддержки высшей школы и новые подходы к финансированию в эпоху массового обучения.
курсовая работа [74,0 K], добавлен 16.07.2011Принципы командно-административной системы. Достоинства командно-административной системы. Недостатки командно-административной системы. Анализ модели командно-административной системы. Централизованная система управления хозяйством.
курсовая работа [36,7 K], добавлен 16.03.2004Методика оценки вероятности банкротства в модели Альтмана. Расчет индекса кредитоспособности применительно к российским условиям. Параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Оценка адекватности финансовых политик состояниям экономики.
курсовая работа [74,6 K], добавлен 08.01.2010Понятие, сущность, критерии и финансовые признаки банкротства. Характеристика ООО "Методлит.ру", оценка платежеспособности и финансовой устойчивости. Анализ финансовых признаков несостоятельности компании, определение вероятности наступления банкротства.
курсовая работа [82,1 K], добавлен 10.05.2018Расчет численности персонала - определение обоснованной потребности в кадрах для обеспечения бесперебойного процесса деятельности гостиницы и обслуживания проживающих. Расчетная база трудовых норм: нормы времени, численности, обслуживания; их особенности.
контрольная работа [188,1 K], добавлен 23.05.2012Теоретические аспекты анализа планирования и калькулирования затрат, комплексных расходов на предприятии массового питания на примере кафе "Фламинго". Разработка предложений по улучшению затрат на производство и реализацию продукции, пути экономии.
курсовая работа [49,1 K], добавлен 12.04.2009Основные принципы работы в MathCAD. Типовые статистические функции. Функции вычисления плотности распределения вероятности. Функции и квантили распределения. Функции создания векторов с различными законами распределения. Функции для линейной регрессии.
курсовая работа [684,3 K], добавлен 19.05.2011Изучение видов, задач и требований к предприятиям массового питания. Рекомендации по сертификации услуг общественного питания. Проведение анализа конкурентной среды ресторана "Эль Ранчо" и его финансовой деятельности по данным бухгалтерской отчетности.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 29.09.2010Периоды экономического роста и спада. Вероятность экономического спада. Определение вероятности роста рынка акций в зависимости от экономической ситуации. Составление ряда распределения. Дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.
контрольная работа [85,8 K], добавлен 01.11.2014Комбинаторный метод вычисления вероятностей. Понятие случайных величин. Характеристики положения и рассеивания. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке.
учебное пособие [554,6 K], добавлен 15.06.2015
