Якісне дослідження модифікованої моделі Вальраса-Маршала (еволюції ціни та об’ємів випуску деякого агрегованого товару)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Якісне дослідження модифікованої моделі Вальраса-Маршала (еволюції ціни та об'ємів випуску деякого агрегованого товару)

 

 В. А. Диба,

студентка 4 курсу кафедри Математичного Моделювання Економічних Систем

Національного Технічного Університету України «Київський Політехнічний Інститут», м. Київ



Ми живемо в епоху споживання. Найбільші виробничі потужності спрямовані на задоволення бажань споживача. Існує скажена конкуренція на ринках товарів і послуг. І на цій сучасній арені, фірмам, які хочуть бути успішними, просто необхідно знати з точністю до копійки оптимальне співвідношення ціни та обсягів виробництва сьогодні, завтра, у наступному році, для того, щоб не понести катастрофічних втрат на ринку, щоб знати, яку товарну політику використовувати, на які ринки орієнтуватися. Для цього ми і використовуємо динамічні моделі математичного моделювання.

Одним із традиційних підходів до прогнозування розвитку економічних процесів є вивчення зсуву точки рівноваги динамічної системи через зміну певних параметрів моделі. У поєднанні із квазістаціонарним підходом аналізу динамічних економічних процесів призвело до загального уявлення про те, що розвиток будь-якої складної системи можна розглядати як зміну одного стійкого стану іншим із коротким періодом перехідного процесу між ними.

І хоча аналіз реальної економічної динаміки на основі такого підходу може виявитися помилковим, оскільки період нерівноважного розвитку багатьох економічних процесів може виявитися занадто довгим, щоб їм можна було б знехтувати, класик сучасної економічної думки А.Маршал виправдав використання квазістаціонарного підходу для оцінки змін на ринку.

У даній роботі об'єктом дослідження є еволюція ціни та обсягів товару деякого товару на ринку та їхнього взаємозв'язку. Тобто класична модель «попит-пропозиція» розглядається як складна динамічна нелінійна модель, а еволюція розвитку представлення через перехід від одного стійкого стану до іншого.

Економічна постановка задачі: динаміка макроекономічної моделі в околі точки рівноваги.

У 2006 році у Харківському журналі Biznes Inform вийшла стаття «Model of the Production Cycle», де автори досліджували модифіковану модель Вальраса-Маршала у загальному вигляді. Нас зацікавила дана модель, проте ми вирішили дослідити цю модель під іншим кутом, замінивши загальний вигляд функцій попиту та пропозиції на конкретний, виходячи із теорії споживання.

Головні завдання даної статі є:

Взяти за основу загальний вигляд модифікованої моделі Вальраса-Маршала, ввести до неї конкретні функції попиту та пропозиції
Проаналізувати стійкість даної системи та знайти точки зміни локальної поведінки стаціонарних режимів системи
Дослідити глобальну стійкість системи та її поведінку.

 We live in an era of consumption. The largest manufacturing facility designed to meet the desires of the consumer. There is a furious competition in the markets for goods and services. At this present stage, firms that want to be successful, it is necessary to know exactly the penny optimal value and volume production today, tomorrow, next year, in order to avoid incurring catastrophic losses in the market to know what commodity use policies that are market oriented. For this purpose we use dynamic models of mathematical modeling.

One of the traditional approaches to predict the development of economic processes is the study of the shift the equilibrium point of the dynamic system by changing some parameters of the model. Combined with dynamic analysis approach quasi economic processes has led to the general notion that the development of any complex system can be considered as a single stable state with another short period of transition between them.

Although the analysis of real economic dynamics based on this approach may be misleading, since the period of non-equilibrium many economic processes may be too long, so they could be neglected classic of modern economic thought A.Marshal justify the use of quasistationary approach to assess changes in the market.

In this paper, the object of study is the evolution of prices of goods and some goods in the market and their relationship. That is a classic model of "supply-demand" is considered as a complex nonlinear dynamical model, and the evolution of representation through a transition from one stable state to another.

The economic problem statement: the dynamics of macroeconomic models in the neighborhood of the equilibrium point.

In 2006, the Kharkiv Biznes Inform magazine published an article «Model of the Production Cycle», where the authors studied the modified model of Walras-Marshall in general. We are interested in this model, but we decided to investigate this model from a different angle, replacing the general form of the demand and supply functions for a specific, based on the theory of consumption.

The main objectives of this floor are:

* Take as a basis for a general view of a modified model of Walras, Marshall, introduce her specific function of supply and demand

* To analyze the stability of the system and find the point of changing local behavior of stationary regimes of

* To investigate the global stability of the system and its behavior.

Ключові слова: ціна товар ринок попит

Стаціонарний режим - це такий стан системи, за якого параметри режиму не змінюються в часі.

Точка рівноваги -- нерухома точка фазового простору, що відповідає стану спокою динамічної системи.

Попит та пропозиція -- економічна модель, що описує процес ціноутворення на ринку. Ця модель вводить поняття попиту та пропозиції в якості універсальних характеристик ринку та доводить, що, за умовами певних припущень, ці характеристики урівноважуються та приводять до встановлення певної ціни на даний товар.

Попит -- це запит фактичного або потенційного покупця, споживача на придбання товару за наявних у нього коштів, що призначені для цієї покупки.

Пропозиція -- кількість товару, який є на ринку або може бути доставлений на нього.

Розглянемо динамічну модель еволюції ціни p і обсягу випуску у деякого (агрегованого) товару в їхньому взаємозв'язку (Модифікована модель Вальраса-Маршала).

Модель виходить з таких міркувань. При ідеальних ринкових відносинах зміна ціни визначається тим, наскільки задоволений попит на товар. Звідси - перша гіпотеза моделі: швидкість зміни ціни пропорційна відхиленню (з урахуванням знаку) наявної кількості товару від попиту на товар. При цьому, якщо точка (р, у) лежить нижче, а отже, лівіше лінії попиту, то ціна має тенденцію до зростання (ціну можна підвищувати, бо покупець по даній ціні готовій купити більшу кількість товару попит перевищує наявну кількість товару і ціна має зростати). Якщо ж вище, а отже, правіше, - то навпаки.

Друга обставина. Випуск товару виробником стимулюється бажанням отримати максимальний прибуток. Якщо, ціна за якою виробник готовий продати товар, більша від ціни, що склалася на ринку, то випуск товару зменшуватиметься. Тобто, якщо точка лежить лівіше, а отже, вище лінії пропозиції, то випуск має тенденцію до спадання (бо ціна на товар не вигідна виробнику). Якщо ж нижче - то навпаки.

маємо систему

 

(1)

 

де деякі додатні коефіцієнти.

D(p) - функція попиту,

G(y) - функція пропозиції

р - ціна на деякий агрегований товар

у - кількість товару.

Далі нам необхідно деталізувати функції пропозиції та попиту для системи (2.1), тобто виразити функції D(p) та G(y), для отримання конкретнішого виду моделі.

Функцію попиту виразимо з задачі раціональної поведінки споживача за Маршалом, яка полягає в раціональному виборі набору благ та послуг споживачем при заданих функції корисності U(x) та визначеному бюджетному обмеженні k. Якщо функція корисності U(x) є двічі непевно-диференційовною та строго опуклою, а бюджетне обмеження має вигляд px<=k, де р - вектор-рядок цін, а k - бюджетне споживача, що може бути використаний для придбання товарів, то раціональна поведінка споживача визначається такою задачею опуклого математичного програмування: px ? k

 

 

Таким чином виражаємо функцію попиту 

Функцію пропозиції беремо як просту лінійну залежність G(y) = ay.

Таким чином маємо наступну систему:

 

(2)

 

Отримаємо динамічну систему, яка залежить вже від конкретних параметрів. Для дослідження локальної поведінки розв'язків даної системи, знаходимо власні числа матриці першого наближення:

Лінеаризуємо систему, для чого знаходимо часкові похідні рівнянь. Отримуємо матрицю першого наближення

 

 

Знайдемо значення елементів матриці в точці рівноваги системи. Тоді матриця А матиме вигляд.

 

 

Далі необхідно знайти власні числа матриці.

 

 

Значення власних чисел залежить від підкореневого рівняння.

 

 

Спростимо рівняння через заміну

 

,

 

Тепер рівняння матиме вигляд:  => 

 

Далі вирішуємо рівняння відносно відношення двох змінних 

 Таким чином, умови зміни локальної поведінки стаціонарного режиму системи мають наступний вигляд:

1) Якщо

 

то D власні числа

 

 

=> маємо асимптотично стійкий вузол.

2) Якщо , то власні числа будуть комплексними, і розв'язок буде виражатися як асимптотично стійкий фокус.

3)Якщо , то D=0 і власні числа будуть дорівнювати матимемо асимптотично стійкий вироджений вузол.

Таким чином при зміні параметрів моделі у часі, відбувається

 зміна локальної поведінки стаціонарних режимів системи.

Тепер дослідимо глобальну стійкість системи - глобальну поведінку стаціонарних режимів. При дослідженні глобальної поведінки системи постає питання: чи буде точка  атрактором системи (2) в Q, тобто чи вірно, що для  відповідна траєкторія 

Теорема. Точка  є атрактором системи (2.5) в Q.

Доведення:

Розглянемо функцію  Знайдемо її похідну в силу системи (2.5) в області Q.

 

 

Підставимо значення . Тоді

 

 

Для  

Тоді, вся система є меншою за 0:

 

 _, (бо , тобто 

 

Візьмемо  і розглянемо задачу Коші

 

 

Розв'язання цієї задачі p(t), y(t) існує на  в силу теореми Пікара. Виведемо апріорну оцінку, з якої випливатиме, що цей розв'язок на  Дійсно,

 

 

З оцінки (?) маємо, що p(t), y(t) існує залишається в еліпсоїді :

навколо точки .

Тепер доведемо, що Якщо , то все доведено. Спробуємо довести від супротивного. Нехай  Визначимо напрямок векторного поля (2.5) на I₁ та I₂, де 

 

 

Таким чином, векторне поле в Q поблизу I₁ та І₂ направлене так, що (p(t),y(t)) не може перетнути вісі , отже 

Тепер доведемо, що  Від супротивного, нехай  такі, що  За теоремою Вайєрштраса така точка існує, бо множина  - компакт. При цьому в силу властивостей векторного поля  Крім того,  Оскільки функція  монотонно спадає, то

 

 

Оскільки  - інваріантна множина щодо (2.5), то V набуває сталого значення вздовж траєкторії точок , отже  Але  маємо протиріччя. Отже,  і теорема доведена.

Тепер проведемо моделювання на ЕОМ, для підтвердження або спрощення отриманих результатів.

Задамо систему із конкретними параметрами:

 

(3)

 

Перевіримо, чому дорівнюють власні числа матриці першого наближення А лінеарізованої системи:

 

 

 

Отже, власні числа комплексні, отже, як було доведено в попередньому розділі, в околі точки рівноваги маємо фазовий портрет типу «фокус».

Спочатку візьмемо початкові умови в околі точки рівноваги і за допомогою математичного пакету Maple 15 побудуємо фазовий портрет системи. Отримаємо рис (1):

 

Рис. 1. Локальна поведінка стаціонарних режимів системи (3)

 

Як бачимо система (3) має стійке положення рівноваги і початкові умови дійсно «згортаються» до точки рівноваги.

Тепер збільшимо відстань між точкою рівноваги та початковими умовами і перевіримо наступні умови:

1) Система має єдине стійке положення рівноваги

2) Траєкторії наближення початкових умови до точки рівноваги маються відповідати фазовому портрету типу «Фокус»

3) Траєкторії залишаються у першому квадранті.

Проводимо моделювання і отримаємо рис (2):

 

Рис. 2. Глобальна поведінка стаціонарних режимів системи (3)

Всі три умови підтверджено

 

Отже, аналітично дослідивши систему (2) ми отримали результати, які доводять, що дана модель завжди має рівноважний стан - тобто на ринку деякого агрегованого товару завжди буде існувати рівновага між ціною на товар та його кількістю на ринку, і початкові значення будуть прагнути до нього. Дослідження глобальної поведінки показало, що при віддалені початкових умов від точки рівноваги система зберігає стійкість на будь-якому великому проміжку, і траєкторії, по яким ціна та кількість товару будуть наближатися до точки рівноваги не будуть виходити за межі першого квадранту, тобто завжди будуть залишатися додатніми.



Список використаної літератури

1. Voronin A. V. and Kizim N. A. A Model of the Production Cycle// Biznes Inform. - 2006. - № 6. - С. 71-74.

2. В.-Б. Занг. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. -- М.: Мир 1999. --335 с., ил.

3. Парасюк I.O. Вступ до якісної теорії диференціальних рівнянь. - К.: ВПЦ "Київський університет", 2005. - 88 с.

 References.

1. Voronin A. V. and Kizim N. A. A Model of the Production Cycle// Biznes Inform. - 2006. - № 6. - S. 71-74.
2. V.-B. Zang. Sinergeticheskaya ekonomika. Vremya i peremeny v nelineinoi ekonomicheskoi teorii: Per. s angl. -- M.: Mir 1999. --335 s., il.
3. Parasyuk I.O. Vstup do yakisnoi teorii diferencial`nix rivnyan`. - K.: VPC "Kiivs`kii universitet", 2005. - 88 s.

 Стаття надійшла до редакції 31.05.2013 р.

Размещено на Allbest.ru

...