Математична статистика
Завдання та методи математичної статистики. Генеральна та вибіркові сукупності. Статистичні розподіли та чисельні характеристики вибірки. Міри центральної тенденції та мінливості. Стандартні розподіли математичної статистики. Основи теорії ймовірностей.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.11.2018 |
| Размер файла | 448,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Міністерство освіти і науки України
Природничо-математичний ліцей
КУРСОВА РОБОТА
на тему: „Математична статистика ”
Зміст
Вступ
1. Основні завдання та методи математичної статистики
2. Генеральна та вибіркові сукупності
3. Статистичні розподіли та чисельні характеристики вибірки
4.Показники вибірки
4.1 Міри центральної тенденції (МЦТ)
4.2 Міри мінливості (ММ)
5. Стандартні розподіли математичної статистики
5.1 Розподіл (хі-квадрат)
5.2 Розподіл Стьюдента
6. Основи теорії ймовірностей
Висновок
Список використаної літератури
ВСТУП
Статистика має багатовікову історію. Найперші згадки про підрахунки населення, худоби, земельних угідь і майна відносяться до XIII ст. до н. е. (Китай). В міру розвитку рівня організації суспільства збільшувались потреби в статистичній інформації, розширювалася сфера застосування статистики, удосконалювалися її методи багатьма видатними вченими і практиками.
На практиці термін «статистика» вживається у різних значеннях. Під статистикою розуміють практичну діяльність зі збору, обробки, аналізу кількісної інформації, яка характеризує ту чи іншу сторону суспільного життя (торгівлю, виробництво, населення, освіту, тощо).
Статистикою також називають науку, яка, базуючись на практичних даних, досліджує загальні тенденції і прогнозування розвитку масових суспільно-економічних явищ. Економічними прикладами таких досліджень можуть бути вивчення тенденцій попиту і пропозиції, розробка та прийняття оптимальних рішень на всіх рівнях комерційної діяльності на ринку товарів та послуг.
Предмет статистики складають прийоми та способи наукового аналізу даних, що стосуються масових явищ, з метою визначення деяких узагальнюючих ці дані характеристик і виявлення статистичних закономірностей.
1. Основні завдання та методи математичної статистики
Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом результатів експериментів і спостережень, а також побудовою математичних моделей, що містять поняття ймовірності. Теоретичною базою математичної статистики служить теорія ймовірностей.
В структурі математичної статистики традиційно виділяють два основні розділи: описова статистика і статистичні висновки (рис. 1.1).
Рис. 1.1. - Основні розділи математичної статистики
Описова статистика використовується для:
узагальнення показників однієї змінної (статистика випадкової вибірки);
виявлення взаємозв'язків між двома і більше змінними (кореляційно-регресійний аналіз).
Описова статистика дає можливість отримати нову інформацію, швидше зрозуміти і всебічно оцінити її, тобто виконує наукову функцію опису об'єктів дослідження, чим і виправдовує свою назву. Методи описової статистики покликані перетворити сукупність окремих емпіричних даних на систему наочних для сприйняття форм і чисел: розподіли частот; показники тенденцій, варіативності, зв'язку. Цими методами розраховуються статистики випадкової вибірки, які служать підставою для здійснення статистичних висновків.
Статистичні висновки надають можливість:
оцінити точність, надійність і ефективність вибіркових статистик, виявити похибки, які виникають у процесі статистичних досліджень (статистичне оцінювання);
узагальнити параметри генеральної сукупності, отримані на підставі вибіркових статистик (перевірка статистичних гіпотез).
Основна ідея математичної статистики базується на переконанні про те, що повне вивчення всіх об'єктів генеральної сукупності в більшості наукових завдань або практично неможливе, або економічно недоцільне, оскільки вимагає багато часу і значних матеріальних витрат. Тому в математичній статистиці застосовується вибірковий підхід, принцип якого показано на схемі рис. 1.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2. Генеральна та вибіркові сукупності
математичний статистика вибірковий ймовірність
Нехай необхідно вивчити сукупність однорідних об'єктів відносно деякої ознаки (кількісної або якісної). Іноді для цього проводять суцільне обстеження, при якому досліджується кожний об'єкт сукупності. На практиці суцільне обстеження використовується порівняно рідко. Є декілька причин для цього:
· сукупність має велику кількість об'єктів, яку обстежити фізично неможливо;
· обстеження об'єкта вимагає його фізичного знищення;
· для обстеження одного об'єкту необхідні значні матеріальні витрати.
В таких випадках вибирають із всієї сукупності об'єктів порівняно невелику кількість об'єктів, яку називають вибіркою , і обстежують їх. Множина об'єктів, з якої здійснюється вибірка називається генеральною сукупністю. Число елементів вибірки називають об'ємом вибірки, а число елементів генеральної сукупності - об'ємом генеральної сукупності. Генеральна сукупність може мати скінченну або нескінченну кількість елементів.
Приклад 2.1. Множина деталей виготовлена у цеху є скінченною генеральною сукупністю.
Приклад 2.2. Множина можливих значень, які можна отримати у результаті вимірювання фізичної величини є нескінченною генеральною сукупністю.
Часто генеральна сукупність має скінченну кількість об'єктів. Але якщо це число достатньо велике, то можна вважати, що генеральна сукупність має нескінченну кількість об'єктів. Це значно спрощує розрахунки без суттєвої втрати точності результатів. Таке спрощення виправдовується тим, що збільшення об'єму генеральної сукупності практично не впливає на результати обробки статистичних даних.
При здійсненні вибірки можна поступати способами: після того, як об'єкт вибраний і над ним виконано спостереження, його або повертають або не повертають у генеральну сукупність.У відповідності до цього розрізняють повторні вибірки, коли вибрані об'єкти повертаються в генеральну сукупність, і безповторні - коли не повертаються.
Для того, щоб за даними вибірки можна було б зробити вірні висновки про генеральну сукупність, необхідно щоб вибірка правильно представляла пропорції генеральної сукупності. Цю умову коротко формулюють так: вибірка повинна бути репрезентативною.
На підставі закону великих чисел можна стверджувати, що вибірка буде репрезентативною, якщо її здійснити випадково. Кожний об'єкт вибірки вибраний випадково із генеральної сукупності, якщо всі об'єкти мають однакову ймовірність попасти у вибірку.
Якщо об'єм генеральної сукупності достатньо великий, а вибірка складає незначну її частину, то різниця між повторною і безповторною вибірками незначна; у граничному випадку, коли генеральна сукупність нескінченна, а вибірка скінченна, різниця між вибірками зникає зовсім.
На практиці використовуються різні способи відбору об'єктів у вибірку. Принципово ці способи можна розділити на два види:
1) відбір, що не вимагає розбиття генеральної сукупності на частини. Сюди належать: а) простий випадковий безповторний відбір; б) простий випадковий повторний відбір.
2) відбір, при якому генеральна сукупність розбивається на частини. Сюди належать: а) типовий відбір; б) механічний відбір; в) серійний відбір.
Простим випадковим називають відбір, при якому об'єкти вибираються по одному із всієї генеральної сукупності. Якщо при цьому об'єкти повертаються у генеральну сукупність, то відбір є простим випадковим повторним, якщо ні - простим випадковим безповторним.
Типовим називають відбір, при якому об'єкти вибираються не з усієї генеральної сукупності, а з кожної її “типової” частини.
Приклад 2.3. Якщо деталі виготовляються на декількох станках, то деталі випадковим чином вибирають із деталей виготовленних на кожному окремому станку.
Механічним називають відбір, при якому генеральна сукупність випадковим чином розбивається на частини і з кожної частини випадково вибирають один об'єкт. Кількість таких частин має дорівнювати необхідному об'єму вибірки.
Приклад 2.4. Якщо необхідно вибрати 20% деталей, то вибирають кожну п'яту; якщо необхідно вибрати 5% деталей, то відбирають кожну двадцяту.
Суттєвим недоліком механічного відбору є те, що він не завжди забезпечує репрезентативність вибірки.
Приклад 2. Якщо відбирають кожний двадцятий валик, причому одразу після цього міняють різак, то відібраними виявляться валики, обточені затупленним різаком.
Серійним називають відбір, при якому об'єкти вибираються з генеральної сукупності не по одному, а серіями, які піддаються суцільному обстеженню.
Приклад 2.6. Якщо вироби виготовляються великою кількістю станків, то здійснюють суцільне обстеження продукцію лише декількох випадково вибраних станків.
Серійним відбором користуються коли ознака, відносно якої обстежується генеральна сукупність мало коливається в різних серіях об'єктів.
На практиці часто використовуються комбінований відбір, при якому сполучають вказані вище способи.
3. Статистичні розподіли та чисельні характеристики вибірки
Значення чисельної ознаки, які спостерігаються в деякій конкретній вибірці, називають варіантами. Послідовність таких варіант у зростаючому порядку - варіаційним рядом. Якщо у вибірці об'єму n варіанта зустрічається разів, то число
(3.1)
називають відносною частотою варіанти, а - частотою варіанти.
Від вибірки до вибірки об'єму n частотита відносні частоти змінюються. Це означає, вони є значеннями випадкових величин та , відповідно. В подальшому все що стосується конкретної вибірки буде позначатися малими буквами латинського та грецького алфавітів, а все що стосується вибірки взагалі - відповідними великими буквами.
Перелік варіант та відповідних до них частот(або відносних частот) називають статистичним розподілом вибірки. Статистичний розподіл, як правило, задається у вигляді таблиці. Ломана крива, яка з'єднує точки з координатами (xi, ni), або (xi, wi) у прямокутній системі координат називається полігоном частот.
Приклад 3.1. Для конкретної вибірки одержали статистичний розподіл відносних частот
.
Його гістограма має вигляд:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Статистичний розподіл вибірки можна також представити у вигляді послідовності інтервалів та відповідних до них частот, що особливо зручно, коли ознакою є неперервна величина. Інтервал з варіантами розбивають на декілька часткових інтервалів довжиною і знаходять для кожного з них суму частот варіант, які потрапили в інтервал. Якщо всі інтервали рівні (), то відповідні варіанти називають рівновіддаленими, а їх чисельні значення визначаються серединами відрізків. Якщо частота первинної варіанти знаходиться на границі двох інтервалів, то її частота рівномірно розподіляється між ними. Графічно статистичний розподіл з послідовністю інтервалів задається гістограмою частот (відноснихчастот). Для побудови гістограми частот (або відносних частот), необхідно на вісі абсцис відкласти часткові інтервали і побудувати на них як основах прямокутники висотою . Величини називають густиною частоти, а величини - густиною відносної частоти. Загальна площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто об'єму вибірки n, а площа гістограми відносних частот дорівнює одиниці.
Приклад 3.2. Для конкретної вибірки об'єму одержали розподіл частот по частковим інтервалам
Частковий інтервал довжиною |
Сума частот варіантчасткового інтервалу |
Густина частоти |
|
5-1010-1515-2020-2525-3030-3535-40 |
46163624104 |
0.81.23.27.24.82.00.8 |
Полігон частот такого розподілу має такий вигляд
Размещено на http://www.allbest.ru/
Емпіричною інтегральною функцією вибірки називають функцію
, (3.2)
- Размещено на http://www.allbest.ru/
кількість варіант менших ніж x (дискретна випадкова
величина).
Размещено на http://www.allbest.ru/
На відміну від емпіричної інтегральної функції розподілу вибірки, інтегральну функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною інтегральною функцією розподілу. З теореми Бернуллі слідує, що відносна частота події тобто по ймовірності прямує до ймовірності цієї події. Це означає, що емпірична функція вибірки по ймовірності прямує до теоретичної функції розподілу генеральної сукупності. Тому емпірична функція розподілу вибірки є оцінкою теоретичної функції генеральної сукупності.
Із означення емпіричної функції слідують такі її властивості:
1. значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1];
2. - неспадна функція;
3. якщо - найменша варіанта, то при ; якщо - найбільша варіанта, то
4. при .
Статистичні розподіли конкретної вибірки характеризуються початковими
(3.3)
та центральними
(3.4)
емпіричними моментами степені k.
Від вибірки до вибірки емпіричні моменти змінюються і тому мають розглядатися як значення випадкових величин
відповідно ( - великі букви грецького алфавіту, відповідні до них малі букви ).
Початкові та центральні емпіричні моменти визначаються аналогічним чином, як і моменти дискретних випадкових величин, лише замість ймовірностей використовуються відносні частоти. Тому всі терміни та співвідношення між моментами випадкової величини справедливі і для емпіричних моментів вибірки (необхідно лише замість теоретичних моментів підставити відповідні емпіричні). При великій кількості спостережень емпіричні моменти прямують по ймовірності до відповідних теоретичних моментів.
При обчисленнях емпіричних моментів зручно використовувати умовні варіанти
, (3.5)
c - стала величина (умовний нуль). Якщо варіаційний ряд складається з рівновіддалених варіант з кроком h і в якості умовного нуля вибрана одна з варіант, то умовні варіантами виражаються цілими числами.
Спочатку обчислюються початкові моменти для умовних варіант, які називаються умовними емпіричними моментами:
, (3.6)
а потому і самі емпіричні моменти:
, (3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Приклад 3.3.Для вибірки об'єму одержані такі результати:
|
1.00 1.03 1.05 1.06 1.08 1.10 1.12 1.15 1.16 |
1 3 6 4 2 4 3 6 5 |
1.19 1.20 1.23 1.25 1.26 1.29 1.30 1.32 1.33 |
2 4 4 8 4 4 6 4 5 |
1.37 1.38 1.39 1.40 1.44 1.45 1.46 1.49 1.50 |
6 2 1 2 3 3 2 4 2 |
Необхідно обчислити початковий момент першого порядку та другий, третій, четвертий центральний моменти вибірки.
Розв'язування. Об'єм вибірки достатньо великий і тому має зміст перейти до статистичного розподілу для рівновіддалених варіант. Для цього область значень розбивається на однакові інтервали з кроком і підраховується сума частот для кожного відрізку. За рівновіддалені частоти доцільно взяти середини інтервалів. У результаті одержується такий розподіл:
.
Для подальших обчислень зручно вибрати в якості умовного нуля варіанту 1.25: . У такому випадку розподіл умовних варіант (3.5) такий:
.
,
,
,
,
.
Умовні початкові моменти обчислюються за формулами (3.6):
; ;;;
На підставі формул (3.7 - 3.10) при
, (3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Приклад 3.3.Для вибірки об'єму одержані такі результати:
|
1.00 1.03 1.05 1.06 1.08 1.10 1.12 1.15 1.16 |
1 3 6 4 2 4 3 6 5 |
1.19 1.20 1.23 1.25 1.26 1.29 1.30 1.32 1.33 |
2 4 4 8 4 4 6 4 5 |
1.37 1.38 1.39 1.40 1.44 1.45 1.46 1.49 1.50 |
6 2 1 2 3 3 2 4 2 |
Необхідно обчислити початковий момент першого порядку та другий, третій, четвертий центральний моменти вибірки.
,
відповідно ( - великі букви грецького алфавіту, відповідні до них малі букви ).
Початкові та центральні емпіричні моменти визначаються аналогічним чином, як і моменти дискретних випадкових величин, лише замість ймовірностей використовуються відносні частоти. Тому всі терміни та співвідношення між моментами випадкової величини справедливі і для емпіричних моментів вибірки (необхідно лише замість теоретичних моментів підставити відповідні емпіричні). При великій кількості спостережень емпіричні моменти прямують по ймовірності до відповідних теоретичних моментів.
4. ПОКАЗНИКИ ВИБІРКИ
4.1 Міри центральної тенденції (МЦТ)
Мірами центральної тенденції (МЦТ) називають чисельні показники типових властивостей емпіричних даних. Ці показники дають відповіді на питання про те, наприклад, «який середній рівень інтелекту студентів педагогічного університету?», «яке типове значення показника відповідальності певної групи осіб?». Існує порівняно невелика кількість таких показників-мір і в першу чергу: мода, медіана, середнє арифметичне. Кожна конкретна МЦТ має свої особливості, що роблять її цінною для характеристики об'єкта дослідження в певних умовах.
Мода Мо - це значення, яке найчастіше трапляється серед емпіричних даних. Так, для ряду значень 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 мода дорівнює 3 (Мо = 3). Зверніть увагу на те, що мода є значення з найбільшою частотою (у прикладі це значення дорівнює 3), а не частота цього значення (у прикладі вона дорівнює 4).
При визначенні моди необхідно дотримуватися таких угод:
* мода може бути відсутня, наприклад, для даних 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5;
* якщо варіанти суміжні і мають однакову частоту, мода визначається як середнє значення сусідніх варіант. Наприклад, для ряду 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 мода Мо = (4+5)/2=4,5;
* якщо варіанти несуміжні, може існувати декілька мод. Так, для даних 2,
2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5 характерна бімодальність, тобто дві моди Мо1 = 3 і Мо2 = 5;
* емпіричні дані можуть мати великі та малі моди. Наприклад, дані 2, 2,
3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9 мають одну велику моду Мо1 = 6 та дві малі моди Мо2 = 3,5 і Мо3 = 9.
На графіках розподілу мода - це варіанта з максимальною частотою.
Медіана Ма - це значення, яке приходиться на середину упорядкованої послідовності емпіричних даних. Для непарної кількості даних медіана визначається середнім елементом МЛ = х(п+Г)/2. Наприклад, для 11 значень 4, 4,
4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 медіана дорівнює 4 (МЛ = 5), тобто:
МЛ = х(п+1)/2 = х(11+1)/2 = х6 = 5.
Якщо кількість значень даних є парною, то медіаною є середнє значення центральних сусідніх елементів. Наприклад, для 12 значень 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7 медіана МЛ = (5+6)/2 = 5,5:
Середнє арифметичне X (вибіркове середнє або середнє) сукупності п значень дорівнює:
X = х1 + х2 + - + хп . (2.1)
Так, для вибірки (2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8) середнє X дорівнюватиме:
X = (2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 7 + 8)/10 = 47/10 = 4,7.
Особливості мір центральної тенденції:
мода вибірки обчислюється просто, її можна визначити «на око». Для дуже великих груп даних мода є досить стабільною мірою центру розподілу;
медіана займає проміжне положення між модою і середнім з погляду її підрахунку. Ця міра особливо легко визначається у разі ранжированих даних;
середнє арифметичне передбачає використовування всіх значень вибірки, причому всі вони впливають на значення цієї міри.
Розглянемо, що може відбутися з модою, медіаною і середнім, коли зміниться удвічі лише одне значення, наприклад, 10-го об'єкта вибірки (рис. 2.28).
|
1 |
Емпіричні дані |
МЦТ |
|||||||||||||
|
2 |
і |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Мо |
ІШ |
X |
|
|
3 |
Вибірка 1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4,5 |
4,8 |
||
|
4 |
Вибірка 2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1В |
3 |
4,5 |
5,7 |
Рис. 2.28. - Властивості МЦТ
Як бачимо, мода і медіана залишилися незмінними, у той час як середнє змінилося значною мірою (з 4,8 до 5,7). На величину середнього особливо суттєво впливають значення, що перебувають далеко від центру групи даних.
З точки зору помилок, що виникають через те, коли для характеристики цілої сукупності вибирається лише одна єдина статистична міра (мода, медіана чи середнє), кожна міра центральної тенденції має свою інтерпретацію
Мода є найбільш представницьким значенням або значенням, яке найкраще «замінює всі значення», якщо ми змушені вибрати одне.
Медіана - це таке значення, для якого сума абсолютних різниць усіх значень менша за суму різниць для будь-якого іншого значення. Наприклад, для сукупності {1, 3, 6, 8, 9} медіана Ма = 6. Абсолютні різниці становлять: |1-6|=5, |3-6|=3, |6-6|=0, |8-6|=2, |9-6|=3. Сума всіх цих різниць 5+3+0+2+3=13 менша за суму різниць щодо будь-якого іншого значення. Наприклад, для 1 абсолютні різниці |1-1|=0, |3-1|=2, |6-1|=5, |8-1|=7, |9-1|=8, а їхня сума 0+2+5+7+8=22. Інші розрахунки дадуть подібні результати.
Якщо вибрати медіану, то досягається мінімальне відхилення - за умови, що «відхилення» визначається як сума абсолютної відмінності кожного значення від медіанної оцінки. Якщо ж замість кожного значення береться середнє, забезпечується мінімальне відхилення - за умови, що «відхилення» визначається як сума квадратів різниць кожного значення з середнім.
Використання мір центральної тенденції у якості характеристик випадкової вибірки є умовою необхідною, але недостатньою. Показники описової статистики, крім МЦТ, включають ще одну групу показників - міри мінливості (ММ).
4.2 Міри мінливості (ММ)
Обмеженість мір центральної тенденції для характеристики сукупностей можна продемонструвати на прикладі двох вибірок (рис. 2.29), які мають різні розподіли, проте однакові (і це не складно перевірити) МЦТ (значення моди Мо, медіани МЛ і середнього X дорівнюють 4).
|
1 |
Емпіричні дані |
МЦТ |
ММ |
|||||||||||||||
|
2 |
і |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Є |
7 |
8 |
9 |
11 |
Мо |
X |
з/ |
з* |
|||
|
3 |
Вибірка 1 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
5 |
4 |
4 |
0,6 |
0,77 |
||
|
4 |
Вибірка 2 |
2 |
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
5 |
6 |
4 |
4 |
4 |
1,6 |
1,26 |
Рис. 2.29.- Властивості ММ
Проте вибірки мають істотну різницю значень основних ММ: дисперсій * х і стандартних відхилень *х (див. два останні стовпчики рис. 2.29). Можна відзначити своєрідну «чутливість» показників ММ щодо властивостей сукупності.
Дисперсія служить мірою однорідності сукупностей емпіричних даних. Чим вища однорідність, тим нижче значення дисперсії. Для повністю однорідних сукупностей дисперсія дорівнює нулю.
Коефіцієнт варіації Ух використовується у разі порівняльної оцінки різноякісних середніх величин і визначається (у тому числі у %) як відношення стандартного відхилення до середнього арифметичного:
уі = зх /X -100% (2.10)
Асиметрія Ах характеризує ступінь несиметричності розподілу відносно його середнього. Позитивна асиметрія вказує на відхилення вершини розподілу в бік від'ємних значень, негативна - у бік додатних.
Ексцес Ех характеризує відносну опуклість або згладженість розподілу вибірки порівняно з нормальним розподілом. Позитивний ексцес позначає відносно загострений розподіл, негативний - відносно згладжений.
«Стандартом» розподілів служить нормальний розподіл И(ц,а) з нульовою асиметрією і ексцесом. Для нього Ах = 0 - нормальний розподіл є симетричним відносно середнього значення, і Ех = 0 - розподіл є «ідеальний» - не загострений і не згладжений.
Пропонуємо самостійно визначити, наскільки можуть різнитися результати точних і «спрощених» розрахунків ММ залежно від обсягу вибірки п.
На якісному рівні можна наочно оцінити показники описової статистики завдяки вибірковим розподілам частот. Наприклад, форма розподілів на рис. 2.31 свідчить про однакові показники МЦТ (середні, моди і медіани вибірок однакові) і різні показники ММ (дисперсії і стандартні відхилення різні).
На рис. 2.32 показано розподіли двох однакових за однорідністю вибірок (дисперсії однакові), проте різних за середніми показниками. Ці вибірки мають також нульові значення асиметрії і ексцесу.
5. Стандартні розподіли математичної статистики
5.1 Розподіл (хі-квадрат)
Нехай - система нормальних випадкових величин з одинаковими математичними сподіваннями та середньоквадратичними відхиленнями . Тоді сума квадратів цих величин розподілена за законом (хі квадрат) із степенями свободи. Густина розподілу
(4.1.1)
де - гамма-функція (додаток 1.11).
Розподіл однозначно визначається одним параметром - числом степені свободи n. Із збільшенням числа степеней свободи розподіл повільно наближається до нормального (додаток 1.12).
Математичне сподівання та дисперсія розподілу
,
.
Доведення. За означенням математичного сподівання
,
,
(використана рівність ).
З врахуванням цього
.
Для обчислення дисперсії зручно скористатися формулою
.
5.2 Розподіл Стьюдента
Якщо Z - нормальна випадкова величина з параметрами та , а V - незалежна від Z величина, розподілена за законом із n степенями свободи, то випадкова величина
має розподіл, який називають розподілом Стьюдента, з густиною
. (4.2.1)
Розподіл Стьюдента однозначно визначається одним параметром - числом степеней свободи розподілу випадкової величини V (додаток 1.13)
Функція симетрична, тому математичне сподівання розподілу Стьюдента дорівнює нулю:
, (4.2.2)
а дисперсія
. (4.2.3)
5.3 Розподіл FФішера-Снедекора
Якщо U іV - незалежні випадкові величини розподілені за законом з степенями свободи, відповідно, то випадкова величина
(4.3.1)
має розподіл , який називається розподілом F Фішера-Снедекора з густиною
(4.3.2)
Розподіл F Фішера-Снедекора однозначно визначається двома параметрами (додаток 1.14).
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини відповідно дорівнюють
, (4.3.3)
. (4.3.4)
Розподіл F Фішера-Снедекора називають ще -розподілом.
6. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання вивченням генеральної сукупності за допомогою вибіркової сукупності - вибірки. Досліджуючи ту чи іншу вибірку, мають на увазі її випадкову (імовірнісну) природу, тобто вибірку розглядають як сукупність випадкових значень, що характеризує певні властивості генеральної сукупності. Для отримання випадкових значень організують випробування (іспити, спостереження тощо) при певних (відомих) умовах. Отже, оцінюючи генеральну сукупність за допомогою вибірки за її імовірнісними властивостями, ми постійно маємо справу із сукупністю набутих значень випадкових подій, отриманих у результаті випробовувань.
Враховуючи те, що властивості випадкових подій вивчає теорія ймовірностей, яка вважається теоретичною базою статистичних досліджень, розглянемо основні поняття і закономірності цієї галузі математичних знань.
Нагадаємо, що сукупність отриманих у випробуваннях емпіричних значень випадкової величини також називають вибіркою, яка підлягає статистичній обробці. Слово «емпірична» означає те, що статистичні обчислення проводяться за даними випробувань (дослідів або спостережень). З цієї ж причини для поняття «сукупність вибіркових значень» використовують термін «вибіркова функція» розподілу. Наприклад, у результаті повторних вимірювань деякої величини отримано п значень: х1, х2, ... хп. Ці значення природно вважати реалізацією набору з п незалежних однаково розподілених випадкових величин з невідомою функцією розподілу Р(х), властивості якої необхідно визначити, знайти.
Щоб оцінки були вірогідними, вибірка має бути представницькою (репрезентативною). її імовірнісні властивості повинні збігатися або бути близькими до властивостей генеральної сукупності. Це можна досягти, якщо гарантувати всім об'єктам генеральної сукупності однакову ймовірність потрапити у вибірку.
Висновок
Отже, Статистика сьогодні це фундаментальна базова галузь наукових економічних знань. Протягом багатьох століть теоретичні проблеми статистики розроблялися спочатку філософами і політичними діячами, потім галантерейники, астрономами і фізиками, а нині це область застосування зусиль економістів і математиків.
Виникнувши з потреб практичних завдань держави, статистика посіла важливе місце в системі державного управління. В даний час статистичні методи застосовуються для аналізу різних соціально-економічних явищ; при дослідженні ринку; аудиторських перевірках; в управлінні та прогнозуванні; при оцінці фінансового стану господарюючих суб'єктів; ціноутворенні; страхуванні.
Статистика сьогодні являє собою практичну діяльність зі збору, обробки та аналізу статистичних даних.
Тому Статистика - це величезний інформаційно-довідковий матеріал, що характеризує всі сторони функціонування і розвитку того чи іншого господарюючого суб'єкта: індивідуального підприємця, фірми, підприємства, галузі, регіону, національного господарства в цілому.
Роль математики в сучасній статистики величезна. Настільки ж велика і кількість методів математичного аналізу статистичних даних.
Своєрідне положення статистки в системі наук визначає її органічний зв'язок з науковими дисциплінами, що вивчають основні закономірності і якісні особливості в тій чи іншій області явищ.
Список ВИКОРИСТАНОЇ літератури
1. Баева Т.Е. Применение статистических методов в педагогическом исследовании : учеб.-метод. пособие для студентов и аспирантов ин-та физ. культуры / Т.Е. Баева, С.Н. Бекасова, В.А. Чистяков. - СПб. : НИИХ, 2001. - 81 с.
2. Горкавий В.К. Математична статистика: навч. посібн. / Горкавий В.К., Ярова В.В. - К.: ВД "Професіонал", 2004. - 384 с.
3. Михайлычев Е.А. Математические методы в педагогическом исследовании. - М.: Высшая школа, 2008. - 196 с.
4. Волкова П.А. Статистическая обработка данных в учебно-исследовательских работах / П.А. Волкова, А.Б. Шипунов. - М.: Экопресс, 2008. - 60 с.
5. http://6years.net/index.php?do=static&page=Matematika_Statistika - вільний доступ до книг з математичної статистики.
6. http://www.statsoft.ru/home/textbook/ - електронний підручник з статистики StatSoft.
7. Методика навчання і наукових досліджень у вищій школі: [навч.посіб.] С. У.Гончаренко,П. М. Олійник, В. К. Федорченко та ін.]; за ред. С. У. Гончаренка, П. М. Олійника. - К.: Вища шк.., 2003. - 323 с.
8. Професійна освіта: словник / уклад. С. У. Гончаренко та ін.; за ред. Н. Г. Ничкало. - К.: Вища шк., 2000. - 380 с.
9.Едронова В.М., Едронова М.В. Загальна теорія статистики: Підручник - М .: МАУП, 2001. - 511 с.
10.Большой Л.Н., Смирнов Н.В. Таблиці математичної статистики. - М .: Наука, 1983.
11.Вальд А., Послідовний аналіз, пер. з англ М .: Физматгиз, 1960.
12.Ватутін В.А. та ін. Теорія ймовірностей і математична статистика в задачах: Учеб. посібник для вузів / В.А. Ватутін, Івченко Г.І., Медведєв Ю.І. та ін. - 2-е вид., испр. - М .: Дрофа, 2003. - 328 с: ил.
13. Інтернет-ресурси.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
История развития статистики в России. Деятельность видных ученых в развитии статистики как науки. Основные задачи статистики. Общая теория статистики, экономическая статистика, социальная статистика. Отраслевая статистика.
реферат [23,9 K], добавлен 12.12.2006Система показників і завдання статистики тваринництва, її організація в Україні. Статистичні групування: види й використання у характеристиці складу явища за певними ознаками. Ряди розподілу вибіркової сукупності, її характеристика та графічне зображення.
дипломная работа [357,8 K], добавлен 04.12.2010Статистика как одна из древнейших отраслей знаний, возникшая на базе хозяйственного учета. Развитие статистики как науки. Определение предмета статистики. Статистическое наблюдение как этап статистического исследования. Методы и показатели статистики.
контрольная работа [38,9 K], добавлен 20.01.2010История возникновения и развития статистики. Предмет, основные понятия и категории статистики. Методы сбора, обобщения и анализа статистических данных. Экономическая статистика и ее отрасли. Современная организация статистики в Российской Федерации.
лекция [16,5 K], добавлен 02.05.2012Поняття продуктивності праці і методика її визначення. Соціально-економічне значення, завдання і особливості статистики праці. Методи, завдання та джерела статистики праці. Проблеми продуктивності праці в сучасних умовах розвитку сільського господарства.
курсовая работа [414,6 K], добавлен 08.01.2014Загальна характеристика статистики як суспільної науки. Основні особливості вивчення статистики виробництва яєць з 1986 до 2010 року. Аналіз показників статистики сільського господарства. Статистичний ряд, кореляційний та індексний аналіз виробництва.
курсовая работа [232,8 K], добавлен 14.07.2012Дослідження характеру державної статистики, основних напрямків її розвитку, предмету та методології сучасної статистичної науки. Характеристика дескриптивної та індуктивної течій статистики. Вивчення міжнародних статистичних стандартів та рекомендацій.
доклад [37,1 K], добавлен 16.05.2011Статистика підприємства. Теорія статистики. Економічна статистика. Соціальна статистика. Галузеві статистики (промислова, фінансова, соціальної інфраструктури). Заробітна плата. Тарифний, годинний, денний і місячний фонд заробітної плати робітників.
курсовая работа [216,3 K], добавлен 17.11.2008Статистичне вивчення валового регіонального продукту в Україні (2005-2009 рр.), тенденції розвитку та прогноз на 2010 р. Сутність регіональної статистики, її основні завдання. Розвиток регіональних рахунків. Розрахунок ряду динаміки, її середні показники.
курсовая работа [148,1 K], добавлен 08.04.2012Понятие и предмет статистики, теоретические основы и категории, взаимосвязь с другими науками. Объект и метод изучения статистики. Основные задачи, принципы организации и функции государственной статистики в РФ. Примеры статистической закономерности.
лекция [17,3 K], добавлен 02.03.2012Сутність теорії ймовірності як математичної науки. Динамічні та статистичні закономірності. Значення вибіркового методу у вивченні правових явищ. Показники генеральної і вибіркової сукупності. Вибіркове спостереження повторного та безповторного відбору.
курсовая работа [70,6 K], добавлен 10.02.2011Понятие статистики, ее назначение, уровни, предмет и система. Теоретические основы статистики как отрасли экономической науки, ее категории. Особенности статистической методологии. Современная организация статистики в Российской Федерации и её задачи.
реферат [33,2 K], добавлен 27.01.2011Развитие статистической науки. Предмет статистики, задачи и методология. Структура статистической науки. Организация статистики в Российской Федерации. Общегосударственная и ведомственная статистика. Информационный фонд.
реферат [23,4 K], добавлен 09.10.2006Розробка варiацiйного ряду та статистичного розподiлу вибiрки, формування полiгону частот. Визначення вибiркового середнього, дисперсiї, квадратичного вiдхилення, моди та медіани. Розрахунок довiрчих iнтервалів, якi покривають математичне сподівання.
контрольная работа [109,5 K], добавлен 31.12.2015Отримання вибіркових даних. Розрахунок похідних показників. Групування даних та розрахунок описової статистики і перевірка однорідності вибіркової сукупності. Поширення вибіркових результатів на генеральну сукупність. Оцінка достатності обсягу вибірки.
курсовая работа [695,3 K], добавлен 13.12.2010Задачи статистики и основыне принципы ее организации в рыночной экономике. Федеральная служба государственной статистики, ее функции и основные публикации. Система показателей (порядок расчета) демографической статистики рождаемости, смертности, миграция.
реферат [29,1 K], добавлен 17.12.2009Статистика внешнеэкономических связей (ВЭС) как отрасль экономической статистики. Особенности статистики внешней торговли, предмет ее наблюдения и изучения. Товары и услуги, составляющие экспорт и импорт любой страны, - объект учета в статистике ВЭС.
презентация [86,0 K], добавлен 05.12.2013Социально-экономическая статистика как общественная наука. Ее сущность и основные методы, применяемые в ней. Проблемы интеграции отечественной статистики в международную статистику. Задачи социально-экономической статистики в условиях рыночной экономики.
лекция [17,4 K], добавлен 14.03.2010Задачи и структура статистики политической и общественной жизни, источники данных. Роль органов государственной статистики, история их деятельности в РФ. Анализ показателей статистики политической и общественной жизни. Характеристика общественного мнения.
реферат [29,0 K], добавлен 25.09.2011Статистика имеет древние корни и многовековую историю развития. Первое направление развития статистики - государствоведение или описательная школа. Второе направление - школа политических арифметиков. История возникновения и развития статистики в России.
реферат [27,4 K], добавлен 10.05.2008
