Моделирование коротких экономических волн и устранение рыночного хаоса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование коротких экономических волн и устранение рыночного хаоса

В процессе экономического развития страны важную роль играет не только анализ долгосрочных тенденций, но и управление краткосрочными колебаниями, поскольку зачастую такие флуктуации приводят к серьезным отклонениям от оптимального тренда, что негативно сказывается на состоянии экономики. Данная работа посвящена задаче моделирования краткосрочных циклов, а также проблеме подавления рыночного хаоса с целью предотвращения кризисных явлений.

В рамках теории экономических циклов рассмотрим короткие волны с периодом от 2 до 5 лет, которые принято называть волнами (циклами) Китчина [4]. Современные экономисты связывают циклы Китчина с задержками в получении информации фирмами и последующим изменением материальных запасов. В данной статье нас интересует не природа коротких волн, а управление их динамикой.

В качестве примера воспользуемся макроэкономической статистикой США [2], на основании которой построим графики и с их помощью выделим короткие волны.

На рисунке 1 представлены темпы прироста производства в США. Из графика видно наличие двух 5-летних бизнес-циклов в период с 1970 по 1980 годы.

Рис. 1. Прирост производства в США

Динамика производства тесно связана с инвестициями в экономику. Рисунок 2 показывает темпы прироста инвестиций в американскую экономику.

Рис. 2. Прирост инвестиций в США

График для инвестиций тоже демонстрирует наличие двух коротких волн с 5-летним периодом на протяжении с 1970 по 1980 годы. Но после 1980 года для показателей производства и инвестиций цикличность исчезает и со временем не восстанавливается, а доминирует хаотичная динамика.

Рис. 3. Прирост сбережений в США

На рисунке 3 изображены темпы прироста сбережений в США. Из графика видно наличие шести 2-летних циклов в период с 1970 по 1985 годы, а затем наблюдается хаотичное поведение.

Построенные графики позволяют сделать вывод, что не действует основной постулат классической либеральной теории экономики, согласно которому в рыночной экономике происходит саморегулирование и «невидимая рука рынка» самостоятельно восстанавливает и стабилизирует рынок. Таким образом, требуется внешнее воздействие для преодоления рыночного хаоса, что соответствует кейнсианской теории. Анализ этого воздействия производится с помощью математического моделирования.

Для моделирования коротких волн Китчина будем применять классическую систему Калдора [2]:

Здесь I - инвестиции, S - сбережения, - доходы производства в момент времени , - основной капитал в момент времени , - степень обесценивания капитала , - коэффициент пропорциональности, определяющий скорость, с которой доход реагирует на изменение соотношения между инвестициями и сбережениями. Первое уравнение этой системы описывает динамику дохода, который увеличивается, когда инвестиции превышают сбережения, и уменьшается, когда инвестиции становятся меньше сбережений. Второе уравнение описывает рост фондового капитала.

В научных исследованиях довольно часто используют непрерывную модель Калдора в виде системы дифференциальных уравнений. Мы остановили свой выбор на дискретной модели в виде системы разностных уравнений, поскольку в реальности почти все экономические показатели рассчитываются на определенные моменты времени.

Н. Калдор в своей модели бизнес-цикла считал, что рассмотрение инвестиций и сбережений в форме линейных функций не соответствует действительности, и предлагал считать их нелинейными функциями от дохода и капитала, причем для функции инвестиций предполагается S-образная форма. В этой связи мы, как в работах [1,7,8], будем использовать логистические или тригонометрические функции. В статье [1] рассматриваются следующие функции сбережения и инвестиций

; (1)

Здесь - склонность к сбережению , - стоимость регулирования капитала до требуемого уровня, - ожидаемый уровень дохода, - поправочный коэффициент, - ставка дисконтирования.

В работах [7,8] используются функции сбережения и инвестиций следующего вида

; (2)

В дальнейшем для дохода и капитала будем использовать следующие обозначения

Сначала рассмотрим случай логистической функции [1]. Тогда модель Калдора принимает следующий вид

(3)

Из статьи [1] возьмем значения параметров . Для модели (3) в результате компьютерного эксперимента для значений с помощью приближенных методов был найден цикл с периодом 5, имеющий следующие координаты:

.

Рис. 4. Цикл с периодом 5 для модели Калдора (3)

Рис. 5. Смоделированные пятилетние циклы: a) дохода; b) капитала

Возьмем начальные значения дохода и капитала

, (4)

которые до сотых близки к начальной точке найденного цикла. Решив систему (3) с начальными условиями (4), получаем графики для дохода и капитала, а также графики для инвестиций и сбережений в силу формул (1).

Рис. 6. Смоделированные графики для: a) дохода; b) капитала; c) инвестиций; d) сбережений

Рисунок 6 демонстрирует неустойчивость найденного пятилетнего цикла. Из графиков видно, что в начале существуют две волны с пятилетним периодом, но затем цикличность нарушается и исчезает, причем со временем усиливается хаос. Нетрудно заметить аналогию в поведении графиков из рисунков 6а, 6с и рисунков 1, 2 соответственно (коэффициенты корреляции между обнаруженными и смоделированными циклами соответственно равны 0,715 и 0,763). Взаимосвязь графиков рисунков 6а и 1 обусловлена тем, что объемы доходов, как правило, пропорциональны объемам производства. Таким образом, рассматриваемая модель Калдора (3) при тщательном подборе параметров позволяет генерировать макроэкономические процессы, вполне адекватные рыночным реалиям.

Любая страна заинтересована в устойчивой и стабильной экономике. Поэтому серьезнейшее внимание уделяется антикризисным мерам, направленным против возникновения хаотичных и кризисных явлений в экономике. Сконструируем инструментарий, который позволяет подавлять хаос и тем самым избегать кризисов, а также обеспечивает стабилизацию экономических процессов. Для этого воспользуемся методами теории хаоса, которая очень активно развивается в последние три десятилетия.

Запишем модель (3) в векторной форме

,

где

В соответствии с теорией управления хаосом введем функцию управления и рассмотрим модифицированную систему

. (5)

Далее будем использовать результаты работы [6], в которой получен эффективный и удобный для практики метод стабилизации дискретных систем. Вычислив частные производные от правой части системы (3), получаем матрицу Якоби

Затем в результате линеаризации системы (3) в окрестности найденного 5-цикла с координатами переходим к линейной системе

.

Преобразовав эту систему способом Пирагаса [7], получаем

. (6)

Стабилизация полученной системы (6) осуществляется путем удачного подбора матриц

.

В соответствии с результатами работы [6] следует использовать периодичную матрицу

,

где , - единичная матрица, , .

Если в системе (6) прибавить и вычесть , то эта система принимает вид (5), где функцию управления выполняет

(7)

Графики решения системы (5) с управлением (7) и начальными данными (4) приведены на рисунке 7. С учетом формул (1) на этом же рисунке представлены графики инвестиций и сбережений. Эти графики демонстрируют возможности подавления хаоса и последующей стабилизации экономических процессов.

Рис. 7. Стабилизация: a) дохода; b) капитала; c) инвестиций; d) сбережений

Из рисунка 7 видно, что за счет функции управления (7) происходит быстрое преодоление хаотических явлений и в дальнейшем экономические процессы переходят в стабильный режим периодических колебаний. Таким образом, за малое количество итераций (т.е. за короткий срок) полностью восстанавливаются 5-летние бизнес-циклы. Отсюда следует вывод, что для предотвращения рыночного хаоса и кризиса необходимо своевременно осуществлять корректирующие меры.

Рассмотрим вопрос о сроках и объемах проведения корректирующих мероприятий. Формула (7) позволяет рассчитывать затраты на стабилизацию дохода и капитала. На рисунке 8 показана динамика требуемых затрат при осуществлении управленческих операций.

Рис. 8. Графики операций управления по стабилизации: a) дохода; b) капитала

Из рисунка 8 видно, что корректирующее воздействие имеет точечный характер и требуется в основном на промежутке от 10 до 15 лет, а затем оно становится нулевым. Отрицательные значения указывают на необходимость снижения дохода и капитала соответственно. Положительные показатели являются сигналом к повышению объемов дохода и капитала.

Динамикой дохода и капитала можно управлять за счет управления инвестициями и сбережениями. Действительно, в модели Калдора доход и капитал линейно зависит от инвестиций и сбережений. Выразим из системы Калдора показатели инвестиций и сбережений

.

Поскольку вместо уравнений используются уравнения с управлением , то вместо получаем , где управление инвестициями

,

а управление сбережениями

.

Графики проведения управленческих операций с инвестициями и сбережениями, которые необходимы для устойчивости и стабильности дохода и капитала, изображены на рисунке 9.

Рис. 9. Графики операций управления для: c) инвестиций; d) сбережений

Отрицательные значения указывают на необходимость снижения инвестиций и сбережений соответственно, а положительные показатели являются сигналом к повышению объемов инвестиций и сбережений. Из рисунка 9 видно, в какие моменты времени и в каких размерах надо увеличивать или уменьшать инвестиции и сбережения, чтобы доход и капитал демонстрировали стабильную динамику, избегая хаоса и кризиса. Таким образом, мы получили инструментарий, который позволяет подавлять рыночный хаос и обеспечивает стабилизацию экономических процессов.

У монетарных властей одним из главных рычагов регулирования инвестициями и сбережениями является ключевая ставка. Повышение этой ставки делает привлекательными банковские депозиты, способствуя росту сбережений, и одновременно поднимает стоимость заимствования, делая невыгодным использование кредитов для инвестирования в экономику. Наоборот, понижение ключевой ставки активизирует рост инвестиций за счет привлечения банковских кредитов и снижает интерес к сбережениям в силу малой доходности депозитов. Кроме того, инвестиции можно увеличивать за счет использования средств из золотовалютных резервов и государственных фондов, а свертывание инвестиций и сокращение бюджетных расходов способствует накоплению государственных резервных фондов.

Перейдем к рассмотрению варианта использования функции арктангенс, как в работах [7, 8]. В этом случае модель Калдора имеет вид

(8)

Как и в [1,7,8], возьмем значения параметров . Для модели (8) в результате компьютерного эксперимента для значений с помощью приближенных методов был найден неустойчивый цикл с периодом 2, имеющий следующие координаты:

.

Решив систему (8) с начальными условиями

, (9)

получаем графики для дохода и капитала. Рисунок 10 демонстрирует неустойчивость динамики дохода и капитала. Из графиков видно, что в течение продолжительного периода существуют волны с двухлетним периодом, но затем цикличность нарушается и наступает хаотичная фаза.

Рис. 10. Смоделированные графики для: a) дохода; b) капитала

На основании формул (2) получается график для сбережений.

Рис. 11. Смоделированный график для сбережений

Сравнение рисунков 3 и 11 указывает на аналогию в поведении графиков для сбережений (коэффициент корреляции между обнаруженными и смоделированными циклами равен 0,895). Следовательно, рассматриваемую модель Калдора (8) при соответствующем подборе параметров можно использовать для моделирования сценариев возможных изменений в сфере сбережений.

Хаотичное движение, возникшее на графиках рисунков 10 и 11, будем устранять с помощью метода, разработанного в пункте V. Для этого снова рассмотрим систему с управлением (5), где функция управления задается формулой (7), а вектор-функция

Вычислив частные производные этой вектор-функции, получаем матрицу Якоби

.

В формуле (7) используем эту матрицу, а также согласно [6] периодичную матрицу

,

где , - единичная матрица, , .

Графики решения системы (5) с управлением (7) и начальными данными (9) приведены на рисунке 12. С учетом формул (2) на этом же рисунке представлены графики инвестиций и сбережений.

Рис. 12. Смоделированная стабилизация: a) дохода; b) капитала; c) инвестиций; d) сбережений

На рисунке 13 показана динамика требуемых затрат при осуществлении управленческих операций.

Рис. 13. Графики операций управления по стабилизации: a) дохода; b) капитала; c) инвестиций; d) сбережений

Эти графики демонстрируют возможность преодоления рыночного хаоса и последующий выход экономических процессов на устойчивый периодичный уровень.

Таким образом, в данной статье разработан метод моделирования коротких волн Китчина с помощью дискретной системы Калдора. Этот метод можно усовершенствовать за счет введения новых параметров и использования различных нелинейных функций в модели Калдора. Сконструирован инструментарий, который за короткий срок подавляет рыночный хаос и выводит экономику на стабильный уровень. Главным достоинством является то, что этот инструментарий рассчитывает точные сроки и размеры управленческих антикризисных операций, которые можно применять в практической деятельности по стабилизации макроэкономических процессов.

Библиографический список

экономический рыночный управление

1. Binter R., Vasha L. Local Stability and Bifurcations in Kaldor Model / R. Binter, L. Vasha // Acta Oeconomica Pragensia. - 2005. - Vol. 13. №1. - P. 10-20.

2. Bureau of Economic Analysis. National Economic: [Электронный ресурс] URL: http://www.bea.gov/national (дата обращения 12.01.2017)

3. Kaldor N. A Model of the Trade Cycle / N. Kaldor // Economic Journal. - 1940. - Vol. 50. №197. - P. 78-92.

4. Kitcin J. Cycles and Trends in Economic Factors / J. Kitcin // Review of Economics and Statistics. - 1923. - V. 5 (1). - P. 10-16.

5. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback / K. Pyragas // Physics Letters A. - 1992. - Vol. 170. - P. 421-428.

6. Леонов Г.А., Звягинцева К.А. Стабилизация по Пирагасу дискретных систем запаздывающей обратной связью с периодическим импульсным коэффициентом усиления / Г.А. Леонов, К.А. Звягинцева // Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. - 2015. - Том 2 (60). Вып. 3. - С. 342-353.

7. Ряшко Л.Б., Сысолятина А.А. Анализ стохастических аттракторов дискретной модели Калдора / Л.Б. Ряшко, А.А. Сысолятина // XVI International Conference «Dynamical system modeling and stability investigation», Kiev, Ukraine, May 29-31. 2013. P.224.

8. Ряшко Л.Б., Сысолятина А.А. Бифуркации и стохастическая чувствительность бизнес-циклов / Л.Б. Ряшко, А.А. Сысолятина // III Информационная школа молодого ученого: сб. научных трудов/ЦНБ УрО РАН, Екатеринбург. - 2013. - С. 324-328.

Размещено на Allbest.ru