Анализ временных рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Творческое задание № 3 Анализ временных рядов

Рассмотрим динамику цен на первичном рынке жилья по кварталам (табл. 1).

Таблица 1

Исходные данные, тыс. руб./кв.м.

модель сглаживание ряд скользящий

Задание:

1. Постройте графическое изображение ряда.

2. По графику определите наличие тенденции, периодической составляющей и длину периода, случайной составляющей.

3. Выполните сглаживание уровней исходного ряда методом скользящей средней и постройте аддитивную и мультипликативную модели ряда.

4. Оцените точность построенных моделей. Сравните результаты. Выберите лучшую модель. Дайте обоснование ваших выводов.

5. Вычислите прогнозные значения уровней ряда для цикла, следующего за последним и достройте график ряда (пунктирной или цветной) линией с учетом вычисленных значений.

По всем пунктам формулировать выводы.

Решение:

1. Представим ряд динамики на графике.

Рис. 1 Динамика цен, тыс. руб./кв.м.

2. По графику рисунке 1 явно прослеживается периодичность, длиной в год. Также можно заметить тенденцию к росту цен.

3. Проведем сглаживание уровней исходного ряда методом скользящей средней по формуле:

Таблица 2

Сглаживание ряда

Приведем сглаженный ряд в соответствие с фактическими моментами времени, для этого найдем средние значения их двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (табл. 2).

Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда предполагает нахождение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Аддитивная модель: , мультипликативная модель: .

Построим аддитивную модель ряда.

Для этого найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S.

Таблица 3

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Найдем средние за каждый квартал (по все годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна нулю.

Имеем для данной модели:

0,3292 + 0,2208 + (-0,0958) + (-0,2792) = 0,1750

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

, где .

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,2854 + 0,1771 + (-0,1396) + (-0,3229) = 0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: ;

2 квартал: ;

3 квартал: ;

4 квартал: .

Вычтем значение сезонной компоненты из каждого уровня исходного временного ряда, чтобы устранить ее влияние. Получим: T + E = Y - S. Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Компонента Т данной модели определяется с помощью линейного тренда ряда (Т + Е):

Параметры модели найдем по МНК:

; .

Вспомогательные расчеты проведем в таблице.

Таблица 4

Расчет линейного тренда уровней временного ряда

По данным таблицы 4, получаем:

; .

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т (табл.4) и занесем данные в таблицу 5.

Таблица 5

Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

Таким образом, мы рассчитали количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за четыре года по аддитивной модели. Так, например, расчеты за 4 квартал 2016 г. (16-й уровень ряда) показывают, что если бы ряд содержал только трендовую составляющую (тенденцию уровней - ежеквартальное увеличение цен на 0,32525 тыс. руб./кв.м.), то цены за квадратный метр на первичном рынке жилья составили бы 53,9393 тыс. руб./кв.м. Прибавляя сезонную компоненту, равную за 4 квартал -0,3229 тыс.руб./кв.м. мы получаем уровень ряда 53,6164 тыс. руб./кв.м. Однако из-за воздействия случайной составляющей (о причинах которой мы можем предполагать), равной -0,3164 тыс. руб./кв.м., фактические цены в 4 квартале 2016 г. Составили 53,3 тыс. руб./кв.м.

Построим мультипликативную модель ряда.

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S_i. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна числе периодов в цикле, т.е. 4 (4 квартала в цикле - в году).

Таблица 6

Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Имеем для данной модели:

1,0061 + 1,0042 + 0,9982 + 0,9947 = 4,0033

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

, где .

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

1,0053 + 1,0034 + 0,9974 + 0,9939 = 4

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: ;

2 квартал: ;

3 квартал: ;

4 квартал: .

Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T • E = Y / S. Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Компонента Т данной модели определяется с помощью линейного тренда ряда (Т • Е):

Параметры модели найдем по МНК:

; .

Вспомогательные расчеты проведем в таблице.

Таблица 7

Расчет линейного тренда уровней временного ряда

По данным таблицы 7, получаем:

; .

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т (табл.4) и занесем данные в таблицу 5.

Таблица 8

Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

Таким образом, мы рассчитали количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за четыре года по мультипликативной модели. Так, например, расчеты за 4 квартал 2016 г. (16-й уровень ряда) показывают, что, если бы ряд содержал только трендовую составляющую (тенденцию уровней - ежеквартальное увеличение цен на 0,3245 тыс. руб./кв.м.), то цены за квадратный метр на первичном рынке жилья составили бы 53,9393 тыс. руб./кв.м. Умножая на сезонную компоненту, равную за 4 квартал 0,9939 мы получаем уровень ряда 53,6099 тыс. руб./кв.м. Однако из-за воздействия случайной составляющей (о причинах которой мы можем предполагать), равной 0,9942, фактические цены в 4 квартале 2016 г. Составили 53,3 тыс. руб./кв.м.

4. Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. И коэффициент детерминации:

Вспомогательные расчеты проведем в таблице.

Таблица 9

Вспомогательные расчеты оценки качества моделей

По данным таблицы 9 находим коэффициент детерминации аддитивной модели:

и мультипликативной модели:

Таким образом, аддитивная модель объясняет зависимость от времени уровня цен на 90,63%, а мультипликативная - на 57,24%. Значит для прогноза следует выбрать аддитивную модель.

5. Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда:

Прогноз будет делать на 17-20 периоды. Затем к полученным данным прибавим сезонную компоненту.

Таблица 10

Прогнозные значения

Представим данные на графике.

Рис. 2

Размещено на Allbest.ru