Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Российский государстенный университет имени А.Н.Косыгина»

Контрольная работа

По теме: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

По дисциплине «статистика»

Выполнила: студентка гр. «ЛКШ-117з»

Гусейнова А.М.

Москва 2018

Задание 1

Для данной выборки

1) Написать вариационный ряд, найти медиану;

2) Построить эмпирическую функцию распределения;

3) Найти выборочную среднюю , исправленную дисперсию S²;

4) Исходя из нормального закона распределения случайной величины, указать 95-процентный доверительный интервал для М(Х), приняв а) ; б) - стандартное отклонение;

5) Указать 95-процентный доверительный интервал для .

Таблица 1

Выборка

5,00	4,75	3,75	4,50	4,50	4,75	4,75	4,25	5,25	4,75	4,50

Решение:

Подсчитываем число единиц выборочной совокупности, которые имеют значение варианты и получаем дискретный вариационный ряд распределения:

Таблица 2

Вариационный ряд

Значение варианты	Частота	Частость	Накопленная частость
37,8	1	0,091	0,091
38,2	2	0,182	0,273
38,4	4	0,364	0,636
38,6	1	0,091	0,727
38,8	2	0,182	0,909
39,2	1	0,091	1,000
Итого	= 11	1,000	-

Также в таблице вариационного ряда рассчитываем относительные частоты (частости), как отношение частот к общему числу единиц совокупности и рассчитываем накопленные частости, как сумму всех предшествующих частостей.

По накопленным частостям составляем эмпирическую функцию распределения:

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Таблица 3

Ранжированный ряд

37,8	38,2	38,2	38,4	38,4	38,4	38,4	38,6	38,8	38,8	39,2

38,4

По обе стороны от Ме = 38,4 в ранжированном ряду находится по 5 единиц совокупности.

Вывод. В рассматриваемой совокупности половина значений признака не менее 38,4, а другая половина - не более 38,4.

Также о том, что Ме = 38,4 говорят накопленные частоты (таблица 2). У данной варианты накопленная частота 0,636 впервые превышает половину единиц совокупности. Т.е. 0,5 или 50%.

Находим выборочную среднюю по вариационному ряду:

(37,8Ч1+38,2Ч2+38,4Ч4+38,6Ч1+38,8Ч2+39,2Ч1) =

= 423,2 / 11 = 38,473

(37,8²Ч1+38,2²Ч2+38,4²Ч4+38,6²Ч1+38,8²Ч2+39,2²Ч1) = 16283,276 / 11 = 1480,276

Рассчитываем дисперсию:

Рассчитываем исправленную дисперсию:

Рассчитываем исправленное среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

Находим интервальную оценку математического ожидания нормального распределения при известном стандартном отклонении .

По таблице значений функции Лапласа находим коэффициент доверия при доверительной вероятности Р = 95%:

и(Р = 0,95) = 1,96

Доверительный интервал:

38,26638,680

Вывод. С вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что интервал (38,266; 38,680) накроет неизвестное математическое ожидание случайной величины.

Находим интервальную оценку математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

В качестве среднего квадратического отклонения берем оценку исправленного стандартного отклонения:

По таблице значений распределения Стьюдента находим критическое значений при доверительной вероятности Р = 95% и с числом степеней свободы (п - 1) = 11 - 1 = 10:

t(Р = 0,95) = 2,228

Доверительный интервал:

38,22338,722

Вывод. С вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что интервал (38,223; 38,722) накроет неизвестное математическое ожидание случайной величины.

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения.

При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе степеней свободы (п - 1) = 11 - 1 = 10 находим табличное значение:

q = 0,596

Нижняя граница оценки:

Верхняя граница оценки:

= 0,372 + 0,372Ч0,596 = 0,593

Интервальная оценка с вероятностью 95% для среднего квадратического отклонения имеет вид:

Для дисперсии

Задание 2

Результаты наблюдений над случайной величиной Х оказались лежащими на отрезке a = 200, b = 500. Частоты попадания в интервалы:

512233734332913122

Построить: гистограмму частот, эмпирическую функцию распределения, найти медиану.

Найти выборочное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение S.

Указать 95-процентные доверительные интервалы для M(X), .

С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном (с параметрами ) законе распределения (уровень значимости б = 0,02).

Решение:

При построении интервального ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:

, где

х_max и х_min - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности;

k- число групп интервального ряда.

Количество интервалов (групп) k = 10.

Расчет величины интервалов:

Путем последовательного прибавления величины интервала h к нижней границе, получаем следующие границы интервалов ряда распределения:

200-230230-260260-290290-320320-350

350-380380-410410-440440-470470-500

1. Построим гистограмму

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям). Гистограмма представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 Гисограмма распределения

2. Построим эмпирическую функцию распределения

Рассчитываем относительные частоты (частости), как отношение частот к общему числу единиц совокупности и рассчитываем накопленные частости, как сумму всех предшествующих частостей.

Расчет представлен в таблице 4.

По накопленным частостям составляем эмпирическую функцию распределения.

График функции распределения представлен на рисунке 2.

Таблица 4

Расчет накопленной относительной частоты

Интервалы	Частота	Частость	Накопленная частость	Накопленная частота
200-230	5	0,025	0,025	5
230-260	12	0,060	0,085	17
260-290	23	0,115	0,200	40
290-320	37	0,185	0,385	77
320-350	34	0,170	0,555	111
350-380	33	0,165	0,720	144
380-410	29	0,145	0,865	173
410-440	13	0,065	0,930	186
440-470	12	0,060	0,990	198
470-500	2	0,010	1,000	200
Итого	200	1,000



Рисунок 2 График эмпирической функции распределения

3. Найдем медиану

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, где

- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала;

- сумма всех частот ряда;

- частота медианного интервала;

- сумма частот, накопившихся до начала медианного интервала.

Медианным интервалом является интервал 320-350, так как именно в этом интервале накопленная частота S =111 впервые превышает величину, равную половине совокупности (0,5?200 = 100).

Расчет медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности половина значений признака не менее 340,29, а другая половина не более 340,29.

4. Найдем выборочное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение S

В качестве значений признака в интервальном ряду принимаем середину интервалов:

Находим выборочную среднюю:

Рассчитываем дисперсию:

Рассчитываем исправленную дисперсию:

Рассчитываем исправленное среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

Таблица 5

Вспомогательная таблица для расчета показателей распределения

Интервалы	Частота	Середина интервала
200-230	5	215	1075	81090,11
230-260	12	245	2940	113724,27
260-290	23	275	6325	104328,52
290-320	37	305	11285	51615,83
320-350	34	335	11390	1836,77
350-380	33	365	12045	16929,74
380-410	29	395	11455	80388,65
410-440	13	425	5525	88803,29
440-470	12	455	5460	152280,27
470-500	2	485	970	40698,05
Итого	200		68470	731695,50

дисперсия вариационный медиана распределение

5. Найдем интервальную оценку математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

В качестве среднего квадратического отклонения берем оценку исправленного стандартного отклонения:

По таблице значений распределения Стьюдента находим критическое значений при доверительной вероятности Р = 95% и с числом степеней свободы (п - 1) = 200 - 1 = 199:

t(Р = 0,95) = 1,972

Доверительный интервал:

333,89350,81

Вывод. С вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что интервал (333,89; 350,81) накроет неизвестное математическое ожидание случайной величины.

6. Найдем интервальную оценку среднего квадратического отклонения

При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе степеней свободы (п - 1) = 200 - 1 = 199 находим табличное значение:

q = 0,090

Нижняя граница оценки:

Верхняя граница оценки:

= 60,637 + 60,637Ч0,090 = 66,094

Интервальная оценка с вероятностью 95% для среднего квадратического отклонения имеет вид:

Для дисперсии

7. Проверим с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном (с параметрами ) законе распределения

Проверяем гипотезу о нормальном распределении СВ Х с математическим ожиданием = 342,35 и средним квадратическим отклонением с помощью критерия ² Пирсона.

Распределение непрерывной случайной величины Х называют нормальным, если описывается следующей кривой:

, где

- ордината кривой нормального распределения (теоретические частоты);

e = 2,7182 - основание натурального логарифма;

- нормированное отклонение.

Для расчета теоретических частот необходимо определить вероятности попадания в интервал. Для этого используем функцию Лапласа:

Первый интервал имеет частоту 5, последний интервал - частоту 2. Объединяем эти интервалы с соседними. Получаем интервал «До 260» с частотой 5 + 12 = 17 и интервал «свыше 440» с частотой 12 + 2 = 14.

Теоретические частоты рассчитываем как произведение числа наблюдений на соответствующие вероятности.



Расчет представлен в таблице 6.

Левую границу первого интервала и правую границу последнего интервала равными ---Ґ--и +Ґ--соответственно.

Расчет критерия Пирсона:

3,320

Таблица 6

Расчет критерия Пирсона для проверки нормального распределения

Номер группы	Интервалы	Частота эмпирическая	Граница	Аргумент функции Лапласа	Значение функции Лапласа	Вероятность попадания в интервал	Теоретическая частота
			Нижняя	Верхняя
1	До 260	17	- ?	260	- ?	-1,36	-1,0000	-0,8256	0,0872	17,44	0,011
2	260-290	23	260	290	-1,36	-0,86	-0,8256	-0,6120	0,1068	21,35	0,127
3	290-320	37	290	320	-0,86	-0,37	-0,6120	-0,2876	0,1622	32,45	0,639
4	320-350	34	320	350	-0,37	0,13	-0,2876	0,1004	0,1940	38,80	0,593
5	350-380	33	350	380	0,13	0,62	0,1004	0,4653	0,1825	36,49	0,335
6	380-410	29	380	410	0,62	1,12	0,4653	0,7354	0,1350	27,01	0,147
7	410-440	13	410	440	1,12	1,61	0,7354	0,8927	0,0786	15,73	0,473
8	440 и более	14	440	?	1,61	?	0,8927	1,0000	0,0537	10,73	0,996
Итого		200							1,0000	200,00	3,320

Так как новое число интервалов k* равно 10 - 2 = 8, то число степеней свободы v равно k* - 2 - 1 = 8 - 3 = 5.

Соответствующее критическое значение статистики Пирсона на уровне значимости б = 0,02 равно 13,39 (нашли по таблице значений распределения Пирсона).

Сравниваем табличное и расчетное значение.

Вывод. Так как , то гипотеза о нормальности данного распределения принимается, т.е. с вероятностью 98% случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.

Рисунок 3 Гистограмма распределения и кривая нормального распределения

Задание 3

В сериях по п = 960 испытаний получены частоты появления события А - т₁ = 370, т₂ = 335 и т₃ = 440.

А) Какие из них соответствуют гипотезе о вероятности Р(А) = р = 0,4 (уровень значимости б = 0,02).

Б) Взяв за основу результаты первой серии испытаний, определить 95-процентный доверительный интервал для оценки вероятности Р(А).

Решение:

Выдвигаем нулевую гипотезу:

Альтернативная гипотеза:

Рассчитываем частости появления события А в сериях испытаний:

Находим значения критерия для проверки гипотез для каждой частости:

Критическая область состоит из двух интервалов:

и

Принимая доверительную вероятность = 1 - 2Ч0,02 = 0,96 по таблице значений функции Лапласа находим значение критических точек:

= -2,054 и = 2,054

Доверительный интервал:

и

Вывод. Для 1-й серии испытаний экспериментальное значение критерия не попадает в критическую область. Следовательно, нулевую гипотезу принимаем, считаем вероятность появления события А равной 0,4.

Для 2-й и 3-й серии испытаний фактические значения критериев и попадают в критическую область. Нулевые гипотезы с вероятность допустить ошибку в 2% отклоняем, принимаем гипотезу . В данных сериях испытаний нельзя считать с вероятность появления события А равной 0,4.

Построим 95-процентный доверительный интервал для вероятности .

По таблице значений функции Лапласа находим при доверительной вероятности критическое значение:

Число испытаний п = 960 велико. Нижние и верхние границы составят:



0,3546 0,4162

Вывод. С вероятностью 95% интервал (0,3546; 0,4162) накроет неизвестную вероятность р.

Задание 4

При проверки гипотезы о вероятностях р₁ = 0,15, р₂ = 0,35, р₃ = 0,45, р₄ = 0,05 получены соответственно частоты п₁ = 240, п₂ = 550, п₃ = 650 и п₄ = 60.

А) С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу с уровнем значимости б = 0,05.

Что изменится, если

Б) увеличить частоты в 2 раза;

В) уменьшить частоты в 2 раза?

Решение:

Общее число наблюдений:

п = 240 + 550 + 650 + 60 = 1500

Теоретические частоты:

0,15Ч1500 = 225

0,35Ч1500 = 525

0,45Ч1500 = 675

0,05Ч1500 = 75

Рассчитываем значение критерия Пирсона:

Так как число групп k равно 4, то число степеней свободы v равно k - 1 = 3. Соответствующее критическое значение статистики Пирсона на уровне значимости б = 0,05 равно 7,815 (нашли по таблице значений распределения Пирсона).

Сравниваем табличное и расчетное значение.

Вывод. Так как , то гипотезу о том, что распределение имеет теоретические частоты 0,15, 0,35, 0,45 и 0,05 не отвергаем.

При увеличении всех частот в 2 раза значение критерия Пирсона также увеличится в 2 раза.

Эмпирические частоты:

240Ч2 = 480

550Ч2 = 1100

650Ч2 = 1300

60Ч2 = 120

Общее число единиц совокупности:

480 + 1100 + 1300 + 120 = 3000

Теоретические частоты:

0,15Ч3000 = 450

0,35Ч3000 = 1050

0,45Ч3000 = 1350

0,05Ч3000 = 150

Рассчитываем значение критерия Пирсона:

Вывод. Так как , то гипотезу о том, что распределение имеет теоретические частоты 0,15, 0,35, 0,45 и 0,05 отвергаем.

При уменьшении частот в 2 раза значение критерия Пирсона также снизится в 2 раза.

Вывод. Так как , то с вероятностью 95% гипотезу о том, что распределение имеет теоретические частоты 0,15, 0,35, 0,45 и 0,05 не отвергаем.

Размещено на Allbest.ru

...