Расчет средних величин, показателей вариации, проведение корреляционно-регрессионного анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

На сегодняшний день можно сказать, что ни одна современная экономика не способна благополучно существовать и развиваться, если она не имеет за собой приличную статистическую базу, ведь статистика как наука способна довольно успешно регулировать экономику, особым образов в нее не внедряясь и не возбуждая какие - либо негативные реакции. Независимо от уровня и стадии экономического развития, характера политической системы, статистика на протяжении сотен лет своего существования всегда выступала как необходимый и эффективный инструмент государственного управления и одновременно как наука, исследующая количественную сторону массовых явлений.

Однако статистика значительно отличается от огромного числа прикладных наук, как технических, так и гуманитарных, прежде всего статистика говорит языком цифр, описывает количественные изменения и побуждает человека преобразовать такие изменения в качественные. Развитие общественного производства, внутренней и внешней торговли, торговых и международных экономических отношений увеличило потребность в статистической информации. Данный повод позволил расширить сферу деятельности статистики, вело к совершенствованию ее приемов и методов, явилось стимулом для дальнейшего формирования учета и статистики.

Основные задачи статистики:

1. доведение обработанной информации до органов управления всех уровней;

2. сбор, обработка, анализ и хранение информации;

3. ознакомление широкой общественности и населения с динамикой и дислокацией социально-экономических явлений в стране путем издания статистических сборников, справочников, обзоров, публикаций в печатных и электронных СМИ;

4. международное сопоставление уровня социально-экономического развития разных стран.

Таким образом, статистика играет важную роль в жизни общества. Проблема статистического анализа является актуальной, общественно значимой, потому что статистика имеет прямую связь с экономической теорией и другими социальными и математическими науками. Экономическая теория служит для определения основных экономических законов и категорий, а статистика, в свою очередь, является их доказательным инструментом. Статистика обладает некоторыми функциями: аналитическая, учетная, распределительная, стимулирующая, контрольная, функция сравнения, оценочная и функция прогнозная.

Данная курсовая работа состоит из трех частей - средние величины и показатели вариации, корреляционный анализ, регрессионный анализ. В каждой из этих частей будет подробно рассмотрена теория, необходимые расчеты, и сделан грамотный, обоснованный вывод.

Целью написания работы является расчет средних величин, показателей вариации, а также проведение корреляционно-регрессионного анализа. Основными задачами исследования в работе являются:

1. Теоретическое обоснование сущности, общих понятий и методов расчета средних величин;

2. Исследование системы показателей и информационной базы корреляционно-регрессионного анализа;

3. Выполнение расчетов.

1. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Задание 1.1

По статистическим данным необходимо определить среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации. Каждое из данных значений было увеличено на номер классного журнала (5). Дисперсия до одного знака после запятой; среднеквадратическое - до двух; коэффициент вариации - до одного в процентах.

Дано (х):	8;	10;	7;	9;	12;	8;	13;	8;	15.

Определим среднее значение:

Моду рассчитываем как наиболее часто встречающееся значение ряда.

Для расчета медианы необходимо расположить ряд в порядке возрастания: 7; 8; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 15.

Так как нам даны 9 чисел, что есть нечетное количество, медианой будет являться число 9, так как оно занимает центральное положение среди совокупности упорядоченных по возрастанию чисел.

Далее вычисляем дисперсию:

= 7,(6)

Вычислим среднеквадратическое отклонение:

Следовательно коэффициент вариации составит:



Задание 1.2

По данным статистики в отчетном периоде по сравнению с базисным доход от реализации продукции предприятия увеличился на 24%, стоимость основных фондов увеличилась на 13%. Определить изменение фондоотдачи.

Фондоотдача - это тип финансового коэффициента, который характеризует эффективность использования основных средств компании. Фондоотдача показывает какой объем выручки приходится на единицу стоимости основных средств.

вариация корреляционный регрессионный анализ

,

соответственно изменение фондоотдачи:

= 9,73%

Фондоотдача увеличилась на 9,73%

Задание 1.3

Объем оборота (У) и число работников (m) приведены в таблице 1. Необходимо определить среднее значение, моду и медиану.

Исходные данные

У	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
m	6	17	25	28	14	10

Далее мы должны определить среднее значение моду и медиану. Результаты промежуточных вычислений приведены в таблице 1.1

Промежуточные вычисления

У	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
m	6	17	25	28	14	10
У?	90	110	130	150	170	190
m*У?	540	1870	3250	4200	2380	1900
У?/2	45	55	65	75	85	95
Накопл. частота	6	23	48	76	90	100

Общее число работников составляет человек

Среднее значение:

x?=

Далее определим моду и медиану, для этого необходимо определить медианный интервал. Медианным интервалом будет являться интервал 140-160, так как накопленная частота на этом промежутке превысит значение

. (76>50)

Вычислим моду:



Вычислим медиану:

Задание 1.4

По данным таблицы требуется определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии, а также коэффициент детерминации. В таблице: Х-объем оборота предприятий, млн. руб., mг - число государственных предприятий; mч - частных; mо - общее число (таблица 2). Каждое значение Хi было увеличено на номер классного журнала (5).

Исходные данные по объему оборота предприятий

Хi	mгi	mчi	moi
6,0-6,2		3	3
6,2-6,4		4	4
6,4-6,6		17	17
6,6-6,8	11	15	26
6,8-7,0	13	6	19
7,0-7,2	18	5	23
7,2-7,4	6		6
7,4-7,6	2		2
Сумма	50	50	100

Результат в 84% говорит нам о том, что значимость модели довольно высока, так как линейная зависимость между его составляющими находится на высоком уровне.

Задание 1.5

Необходимо определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из трех групп (таблица 3).

Исходные данные

1 - группа

Хi	1	2	8
mi	30	15	5

2 - группа

Хi	1	6
mi	10	15

3 - группа

Хi	3	8
mi	20	5



6

2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Задание 2.1

Определить коэффициент корреляции между У и Х.

Х: 3,5; 4,6; 5,8; 4,2; 5,2;

УХ: 28,35; 43,24; 65,54; 28,98; 50,44.

Оценить значимость коэффициента корреляции при уровне 0,05.

Расчеты и ответы до двух знаков. Сперва определить У, затем У и Х увеличить на свой номер классного журнала (5).

Результаты:

1) коэффициент корреляции;

2) расчетное и табличное значения критерия Стьюдента и вывод.

Решение:

Определим У, увеличим Х и У на номер журнала.

Результаты вычислений

У	13,1	14,4	16,3	11,9	14,7
Х	8,5	9,6	10,8	9,2	10,2
ХУ	111,35	138,24	176,04	109,48	149,94
(Хi-Х?)І	1,3456	0,0036	1,2996	0,2116	0,2916
(Уi-У?)І	0,9604	0,1024	4,9284	4,7524	0,3844

1)

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , что говорит нам о том, что коэффициент корреляции статистически значим.

Задание 2.2

Определить коэффициент корреляции между количеством деталей (у) и стоимостью их изготовления (х). Оценить его значимость. Увеличить значения х; y согласно своему номеру в классовом журнале (5).

Исходные данные:

Х: 18 22 13 20 15 14

У: 17 20 11 18 14 10

Аналогично предыдущему заданию, рассчитаем коэффициент корреляции и расчетное значение критерия Стьюдента, а так же его значимость. Результаты промежуточных вычислений приведены в таблице 4.2

Результаты промежуточных вычислений

							Сумма
Х	21	25	16	23	18	17	120
У	20	23	14	21	17	13	108
ХУ	420	575	224	483	306	221	2229
(Хi-Х?)І	1	25	16	9	4	9	64
(Уi-У?)І	4	25	16	9	1	25	80

1. Поиск среднего значения

X?=

У?=

371,5

2. Определить дисперсии

уІХ =

уІУ=

3. Рассчитать коэффициент корреляции

rxy =

4. Определить расчетное значение критерия Стьюдента (t-критерия).

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то коэффициент корреляции статистически значим.

Задание 2.3

В результате тестирования 7 студентов они получили баллы по теории вероятностей и статистики по сто балльной системе:

Теория вероятностей: 65 90 42 47 84 58 50

Статистика: 51 85 36 63 72 80 40.

Определить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и его значимость. Это нулевой вариант. Каждое значение (балл) увеличить на свой номер классного журнала (5). Расчеты и результат до двух знаков.

Результаты:

1.Коэффициент ранговой корреляции.

2.Расчетное и табличное значения критерия Стьюдента при уровне значимости равным 0,05 и выводы.

Решение:

Для вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмена ранжируем полученные студентами баллы по двум предметам. Затем определим квадрат разницы рангов по двум дисциплинам для каждого студента. После изменения значения баллов в соответствии с номером в классовом журнале приведу результаты вычислений в таблице 4.3.

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена

№ студента	1	2	3	4	5	6	7
Теория вероятностей	68	93	45	50	87	61	53
Статистика	54	88	39	66	75	83	43
Ранг (Rтв)	5	7	1	2	6	4	3
Ранг (Rст)	3	7	1	4	5	6	2
dІ	4	0	0	4	1	4	1

Степень свободы f = 7 - 2 =5 ; n = 7

- ранги студентов по количеству набранных баллов по теории вероятностей и статистике соответственно

Величина коэффициента Спирмена указывает на высокую тесноту связи между баллами, набранными по теории вероятностей и по статистике.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Далее рассчитаем значение коэффициента Стьюдента. Для его расчета необходимы дополнительные расчеты, представленные в таблице 4.4

Расчет коэффициента корреляции Стьюдента

№ студента	1	2	3	4	5	6	7	Сумма
Теория вероятностей (x)	70	95	47	52	89	63	55	471
Статистика (y)	56	90	41	68	77	85	45	462
хi-x?	2,27	27,7	-20,3	-15,3	21,7	-4,3	-12,3
yi-y?	-10,00	24,00	-25,00	2,00	11,00	19,00	-21,00
(хi-x?)(yi-y?)	-27,14	665,14	507,14	-30,571	238,86	-81,43	258	1530
(хi-x?)І	7,36	768,08	411,51	233,65	471,5	18,36	150,93	2061,4
(yi-yЇ)І	100	576	625	4	121	361	441	2228

х? =

Кху =

уІх =

уІy =

Коэффициент корреляции:

Определим расчетное значение критерия Стьюдента:

Табличным значением такого результата является

Полученный результат меньше табличного, соответственно коэффициент корреляции не имеет значимости.

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Задание 3.1

Построить нелинейную обратную модель связи себестоимости единицы продукции (у) со стоимостью основных фондов (х). Определить характеристики модели. Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала (5). Исходные данные:

у: 21; 16; 15; 14; 13; 12,5; 11; 11,5; 10; 8

х: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

Характеристики модели:

1) модель (коэффициенты до 4-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное значение критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели;

5) вывод о значимости коэффициентов модели;

6) доверительные интервалы коэффициентов модели (до 4-х знаков).

Решение:

Первым делом имеющиеся у нас данные увеличим на номер своего классного журнала (5).

Затем построим таблицу с промежуточным вычислением. Произведем замену . В результате получим линейное уравнение .

Промежуточные расчеты коэффициентов модели

№	y	x	X	yX
1	26	1	1	26	1	28,32	1,74	60,84
2	21	2	0,5	10,5	0,25	21,87	0,02	7,84
3	20	3	0,33	6,6	0,11	19,68	1,74	3,24
4	19	4	0,25	4,75	0,06	18,65	1,82	0,64
5	18	5	0,2	3,6	0,04	18	1	0,04
6	17,5	6	0,17	2,975	0,03	17,61	0,79	0,49
7	16	7	0,14	2,24	0,02	17,23	0,05	4,84
8	16,5	8	0,13	2,145	0,02	17,1	0,16	2,89
9	15	9	0,11	1,65	0,01	16,84	0,7	10,24
10	13	10	0,1	1,3	0,01	16,71	7,34	27,04
Итого	182	55	2,93	61,76	1,55	192,01	15,36	118,1
Среднее	18,2	5,5	0,293	6,17	0,155	19,2	1,536	11,81

1) Зная данные значения, можно вычислить коэффициент a0 и коэффициент а1, для модели, которую необходимо поcтроить:

b = = = 12,4323

показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения.

а = а1 =18,3-12,43230,293 = 14,6573 - формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

По имеющимся данным можно построить модель. Она будет иметь следующий вид:

= 14,6573 +

Определим коэффициент детерминации:



Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

2) Используя эти данные можно вычислить индекс детерминации (R):

R= = 0,94.

Рассчитаем стандартную ошибку модели (2)), а также расчетное значение критерия Фишера(3),4))

2)

3) Sy= = = 1,3393

4) Критерий Фишера (F) :

= = 58,67

По таблице Фишера определим критическое значение F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы . .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, так как .

5) Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью критерия - t Стьюдента, а также с помощью расчетов доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы: и уровня значимости составляет .

Задание 3.2

Построить полулогарифмическую модель вида: y=a0+a1lnx по данным:

У: 10; 13,4; 15,4; 16,5; 18,6; 19,1

Х: 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала (5).

Характеристики модели:

1) модель (коэффициенты до 2-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное и табличное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели.

Решение:

Построим таблицу с промежуточными решениями, для того, чтобы облегчить нахождение необходимых коэффициентов, увеличив все значения yна номер классного журнала (5)

Промежуточные решения

№	y	x	X	yX
1	15	1	0	0	0	14,97	0,0009	30,25
2	18,4	2	0,69	12,69	0,48	18,44	0,0016	4,41
3	20,4	3	1,1	22,44	1,21	20,5	0,01	0,01
4	21,5	4	1,39	29,88	1,93	21,96	0,21	1
5	23,6	5	1,61	37,99	2,59	23,07	0,28	9,61
6	24,1	6	1,79	43,14	3,2	23,97	0,02	12,96
Сумма	123	21	6,58	146,14	9,41	122,91	0,52	58,24
Средн	20,5	3,5	1,1	24,35	1,57	20,49	0,09	9,7

1)

Произведем замену . В результате получим линейное уравнение

.

Используя данную таблицу определим а0 и а1, а также выразим необходимые значения для построения модели:

Получим следующее уравнение обратной модели:

2) По уже рассчитанным значениям приступаем к определению индекса детерминации:

99% показывает высокую и прямую связь между индексами x и y, также то, что вариация Y на 99% обусловлена вариацией показателя X и на 1% - влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.

2) Определим стандартную ошибку:



3) Проведем оценку значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

По таблице Фишера определяем критическое значение F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы . .

Так как наблюдаемое значение критерия больше табличного , а значит, с вероятностью 0,95 уравнение регрессии будет признаваться статистически значимым.

Задача 3.3

Реальные статистические данные о рождаемости в Пензенской области приведены в таблице 3.1.

Динамика коэффициента рождаемости в Пензенской области

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Коэффициент рождаемости	7,5	7,5	8,0	8,4	8,6	8,4
Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Коэффициент рождаемости	8,6	9,7	10,2	10,3	10,2	10,1
Год	2012	2013	2014	2015	2016
Коэффициент рождаемости	10,8	10,6	10,8	10,7	10,2

Построить трендовую линейную регрессионную модель. Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. Спрогнозировать коэффициент рождаемости в 2017г. В электронную таблицу вместо года ставить 1,2,...

Решение:

1) Построим линейную модель У(t) = а0 + аit, параметры которой оценим МНК

Промежуточные расчеты

Год	t	у	t-t?	(t-t?)І	у-у?	(t-t?)(y-y?)	ур	у-у?	(у-у?)І		(y-yЇ)І
2000	1	7,5	-8	64	-1,947	15,576	7,692	-0,192	0,03694	2,56	3,791
2001	2	7,5	-7	49	-1,947	13,629	7,912	-0,412	0,16933	5,49	3,791
2002	3	8	-6	36	-1,447	8,6824	8,131	-0,131	0,01713	1,64	2,094
2003	4	8,4	-5	25	-1,047	5,2353	8,350	0,050	0,00248	0,59	1,096
2004	5	8,6	-4	16	-0,847	3,3882	8,570	0,030	0,00092	0,35	0,718
2005	6	8,4	-3	9	-1,047	3,1412	8,789	-0,389	0,15132	4,63	1,096
2006	7	8,6	-2	4	-0,847	1,6941	9,008	-0,408	0,16671	4,75	0,718
2007	8	9,7	-1	1	0,2529	-0,253	9,228	0,472	0,22307	4,87	0,064
2008	9	10,2	0	0	0,7529	0	9,447	0,753	0,56686	7,38	0,567
2009	10	10,3	1	1	0,8529	0,8529	9,666	0,634	0,40145	6,15	0,728
2010	11	10,2	2	4	0,7529	1,5059	9,886	0,314	0,09872	3,08	0,567
2011	12	10,1	3	9	0,6529	1,9588	10,105	-0,005	0,00003	0,05	0,426
2012	13	10,8	4	16	1,3529	5,4118	10,325	0,476	0,22610	4,40	1,83
2013	14	10,6	5	25	1,1529	5,7647	10,544	0,056	0,00315	0,53	1,329
2014	15	10,8	6	36	1,3529	8,1176	10,763	0,037	0,00135	0,34	1,83
2015	16	10,7	7	49	1,2529	8,7706	10,983	-0,283	0,07986	2,64	1,57
2016	17	10,2	8	64	0,7529	6,0235	11,202	-1,002	1,00400	9,82	0,567
У	153	161	0	408	0	89,5	160,6	0	3,14943	59,281	22,78
Ср. знач	9	9,4471

 , соответственно

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция роста, причем величина роста ежегодно составляет в среднем 0,219 единиц.

2) Определим коэффициент детерминации:

0,8617

т.е. в 86,17 % случаев изменения х приводят к изменению y

Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 13.83% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

3) Определим стандартную ошибку:

4) Оценим значимость модели с помощью критерия Фишера:

.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=15, Fтабл = 4.54

Поскольку фактическое значение F>Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

4) Ошибка аппроксимации:

.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 3.49%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

6) Спрогнозируем коэффициент рождаемости в 2017 :

.

Задача 3.4

Реальные статистические данные о курсе валют приведены в таблице 3.2. Построить линейную и нелинейные регрессионные модели вида: у = ао + а1t; lnу = ао + а1t; у = 1/(ао + а1t). Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. В электронную таблицу вместо года записывать 1,2,… По стандартной ошибке выбрать лучшую модель и спрогнозировать цену одного доллара в декабре 2017 года.

Курс рубля к доллару

Месяц и год	январь 2017	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август 2017
Цена одного доллара	59,6	58,5	58,0	56,4	57,0	57,9	59,7	59,6

Построим линейную модель , параметры которой оценим МНК

Данные для расчета линейного уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара,руб
Январь	1	59,6	-3,5	1,3	-4,55	12,25	58,08	1,52	2,3	2,55
Февраль	2	58,5	-2,5	0,2	-0,5	6,25	58,15	0,35	0,12	0,6
Март	3	58	-1,5	-0,3	0,45	2,25	58,23	-0,23	0,05	0,4
Апрель	4	56,4	-0,5	-1,9	0,95	0,25	58,3	-1,9	3,61	3,37
Май	5	57	0,5	-1,3	-0,65	0,25	58,38	-1,38	1,9	2,42
Июнь	6	57,9	1,5	-0,4	-0,6	2,25	58,45	-0,55	0,3	0,95
Июль	7	59,7	2,5	1,4	3,5	6,25	58,53	1,17	1,37	1,96
Август	8	59,6	3,5	1,3	4,55	12,25	58,6	1	1	1,68
Итого	36	466,7	0	0,3	3,15	42	466,7	-0,02	10,65	13,93
Сред.знач	4,5	58,3

Линейная модель имеет вид

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция роста курса доллара, причем величина прироста ежегодно составляет в среднем 0,075 руб.

Определим

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1,74%. Поскольку ошибка меньше 5%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию изменения коэффициент рождаемости.

1) Определим стандартную ошибку модели по формуле



.

Определим коэффициент детерминации

Расчеты для коэффициента детерминации

t	Курс доллара,руб
1	59,6	58,08	1,52	2,3	1,3	1,69
2	58,5	58,15	0,35	0,12	0,2	0,04
3	58	58,23	-0,23	0,05	-0,3	0,09
4	56,4	58,3	-1,9	3,61	-1,9	3,61
5	57	58,38	-1,38	1,9	-1,3	1,69
6	57,9	58,45	-0,55	0,3	-0,4	0,16
7	59,7	58,53	1,17	1,37	1,4	1,96
8	59,6	58,6	1	1	1,3	1,69
Итого	466,7	466,7	-0,02	10,65	0,3	10,93
Ср. знач.	58,3

Таким образом на 2,6% вариация курса доллара обусловлена зависимостью от времени, на 97,4% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:



При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет .[10]

Так как , то делается вывод о наличии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от воздействия фактора риска

Построим уравнение нелинейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

Введем замену . В результате получим линейное уравнение .

Данные для расчета уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара,руб.		t2
Январь	1	59,6	4,09	1	4,09	58,62	0,97	1,59	0,02
Февраль	2	58,5	4,07	4	8,14	59,26	0,58	0,03	0,01
Март	3	58	4,06	9	12,18	59,92	3,68	0,11	0,03
Апрель	4	56,4	4,03	16	16,13	60,58	17,49	3,75	0,07
Май	5	57	4,04	25	20,22	61,25	18,08	1,79	0,07
Июнь	6	57,9	4,06	36	24,35	61,93	16,24	0,19	0,07
Июль	7	59,7	4,09	49	28,63	62,61	8,50	1,86	0,05
Август	8	59,6	4,09	64	32,70	63,31	13,74	1,59	0,06
Итого	36	466,7	32,53	204	146,43	487,48	79,29	10,92	0,39



Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 4,88%. Поскольку ошибка меньше 5%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса доллара.

Построим уравнение нелинейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

Данные для расчета уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара,руб		X	X2
Январь	1	59,6	0,02	1,00	1,00	0,02	59,21	0,15	1,59	0,01
Февраль	2	58,5	0,02	0,50	0,25	0,01	60,57	4,28	0,03	0,04
Март	3	58	0,02	0,33	0,11	0,01	62,00	15,97	0,11	0,07
Апрель	4	56,4	0,02	0,25	0,06	0,00	63,49	50,30	3,75	0,13
Май	5	57	0,02	0,20	0,04	0,00	65,06	64,99	1,79	0,14
Июнь	6	57,9	0,02	0,17	0,03	0,00	66,71	77,64	0,19	0,15
Июль	7	59,7	0,02	0,14	0,02	0,00	68,45	76,50	1,86	0,15
Август	8	59,6	0,02	0,13	0,02	0,00	70,27	113,94	1,59	0,18
Итого	36	466,7	0,14	2,72	1,53	0,05	515,76	403,77	10,92	0,86

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 10,75%. Поскольку ошибка выше 10%, то данное уравнение некачественно описывает тенденцию курса доллара.

По величине средней ошибки наиболее качественно описывает зависимость линейная модель, используем ее для построения прогноза курса доллара на декабрь 2017 года:

Курс доллара в декабре 2017 года по прогнозу составит 58,9 рублей

Задача 3.5

По статистическим данным таблицы 3.3 определить средние величины, структурные средние и показатели вариации. Построить линейную модель связи показателя со временем и оценить ее качество.

Курсы иностранных валют по отношению к российскому рублю (на конец года; рублей за единицу иностранной валюты)

Страна	Наименование валюты	2010	2011	2012	2013	2014	2015
5.Беларусь	Белорусский рубль	10,16	38,56	35,34	34,31	38,80	38,95

Решение:

Так как данные представлены на конец каждого года, то средний курс определим по формуле средней хронологической простой:

- количество лет

В данном примере мода отсутствует, поскольку каждое значение встречается всего один раз.

Расставим ряд данных по возрастанию:

10,16; 34,31; 35,34; 38,56; 38,80; 38,95

Медиана равна:

Рассчитаем дисперсию по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Таким образом, среднегодовой курс белорусского рубля составил 34,31 руб. Дисперсия составила 644. Медиана показывает, что курс половины лет не превышал 36,95 руб., а другой половины - не менее того же курса. Коэффициент вариации, равный 73,94%, так как он больше 33,3%, то указывает на однородность совокупности.

Построим уравнение линейного тренда коэффициента изменения курса, которое имеет вид:

Данные для расчета линейного уравнения тренда

Год	t	Курс бел.руб,руб,
2000	1	10,16	-2,5	6,25	-22,52	56,3	20,68	-10,52	19,6
2001	2	38,56	-1,5	2,25	5,88	-13,23	24,68	13,88	2,86
2002	3	35,34	-0,5	0,25	2,66	1,33	28,68	6,66	20,6
2003	4	34,31	0,5	0,25	1,63	0,81	32,68	1,63	25,8
2004	5	38,80	1,5	2,25	6,12	9,18	36,68	2,12	5,43
2005	6	38,95	2,5	6,25	6,27	15,67	40,68	-1,73	8,8
Итого	21	196,12	0	17,5	0,04	70,06	184,08	12,04	83,09
Cред.знач	3,5	32,68

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Определим

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 13,8%. Поскольку ошибка выше 10%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса евро.

Определим коэффициент детерминации

Расчеты для коэффициента детерминации

t	у			еt2
1	10,16	20,68	-10,52	62,41	-22,52	507,15
2	38,56	24,68	13,88	1,42	5,88	34,57
3	35,34	28,68	6,66	68,89	2,66	7,07
4	34,31	32,68	1,63	134,79	1,63	2,65
5	38,80	36,68	2,12	13,76	6,12	37,45
6	38,95	40,68	-1,73	49,28	6,27	39,31
Итого	196,12	184,08	12,04	330,55	0,04	628,2
Ср. знач.	32,68

Таким образом на 48 % вариация курса белорусского рубля обусловлена зависимостью от времени, на 52% - влиянием прочих...