Методика оценки средних величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ «ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ»

КАФЕДРА «ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Общая теория статистики»

Автор работы: Тимербулатова А.Д

Руководитель работы В.Н. Деркаченко

Пенза 2017

Введение

Современная экономическая система является динамично развивающейся, подверженной изменениям в результате влияния различных факторов. Оценить влияние тех или иных элементов на динамику отельных экономических показателей позволяет статистика с ее обширным инструментарием. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой на различных этапах общественного развития. Данные, учитывавшиеся повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне при определении русла экономической и социальной политики и характера внешнеполитической деятельности.

С учетом достижений экономической науки стал возможен расчет показателей, обобщенно характеризующих результаты воспроизводственного процесса на уровне общества: совокупного общественного продукта, национального дохода, валового национального продукта.

Всю перечисленную информацию в постоянно возрастающих объемах предоставляет обществу статистика, являющаяся необходимо принадлежностью государственного аппарата. Статистические данные, таким образом, способны сказать языком статистических показателей о многом в весьма яркой и убедительной форме.

В данной работе поставлены следующие задачи: изучить методику оценки средних величин, динамики показателей, изменения их под влиянием тех или иных факторов, измерения величины этого влияния.

Для достижения поставленных задач в данной работе используются показатели вариации, а также методы корреляционного и регрессионного анализа.

Работа включает в себя три раздела:

1. Средние величины и показатели вариации

2. Корреляционный анализ

3. Регрессионный анализ

1. Средние величины и показатели вариации

Задача 1.1

По статистическим данным: 23; 25; 22; 24; 27; 23; 28; 23; 30 определить среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации. Каждое значение увеличить на свой номер классного журнала. Дисперсия до одного знака после запятой; среднеквадратическое - до двух; коэффициент вариации - до одного в процентах.

Решение:

Среднее значение рассчитаем по формуле средней арифметической простой:

- значения признака

- объем совокупности

Мода - это значение признака, наиболее часто повторяющееся в совокупности. В данном случае максимальную частоту, равную 3, имеет значение 23, следовательно, мода равна:

Медиана - величина, которая делит ранжированный ряд пополам. Медиана в нечетном ряду равна серединному значению. Ранжируем ряд данных: 22, 23, 23, 23, 24, 25, 27, 28, 30. Медиана равна:

Рассчитаем дисперсию по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Таким образом, среднее значение в совокупности составило 25 со средним квадратическим отклонением 2,59. Дисперсия составила 6,7. Медиана показывает, что половина значений не превышает 24, а другая половина - не менее 24. Мода характеризует наиболее вероятное значение признака, равное 23. Коэффициент вариации, равный 16,4% и не превышающий 33,3%, указывает на однородность совокупности.

Задача 1.2

По данным статистики в отчетном периоде по сравнению с базисным доход от реализации продукции предприятия увеличился на 41%, стоимость основных фондов увеличилась на 30%. Определить изменение фондоотдачи. Значения дохода и стоимости основных фондов увеличить на свой номер классного журнала.

Решение:

Индекс дохода от реализации продукции составил:

Индекс стоимости основных фондов составил:

Рассчитаем индекс фондоотдачи по формуле:

Таким образом, фондоотдача возросла в отчетном периоде на 8,5%.

Задача 1.3

Объем оборота (У) и число работников (m) приведены в таблице1. Определить среднее значение, моду и медиану.

Таблица 1 - Исходные данные

У	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
m	6	17	25	28	14	10

Решение:

Составим вспомогательную таблицу 1.1.

Таблица 1.1. - расчетные данные

У	m	Середина интервала,		Накопленная частота
80 - 100	6	90	540	6
100 - 120	17	110	1870	23
120 - 140	25	130	3250	48
140 - 160	28	150	4200	76
160 - 180	14	170	2380	90
180 - 200	10	190	1900	100
Итого	100	-	14140	-

Средний оборот одного работника определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Мода - это значение признака, наиболее часто повторяющееся в совокупности.

Мода в интервальном ряду рассчитывается по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

- частоты соответственно, модального интервала, интервала предшествующего модальному, и интервала, последующего за модальным.

- ширина интервала

В данном распределении наибольшая частота, равная 28, соответствует интервалу (140 - 160), следовательно, он является модальным.

Таким образом, наиболее вероятный объем оборота каждого работника составляет 143,53 ден. ед.

Медиана - это значение признака, делящее ряд распределения на две равные части. Медиана (Ме) в интервальном ряду определяется по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- собственная частота медианного интервала

Медианным является первый интервал, имеющий накопленную частоту, превышающую половине объема выборки . В заданном распределении - это интервал (140 - 160) с накопленной частотой 76.

Таким образом, объем оборота половины работников не превышает 141,43 ден. ед., а другой половины - не менее 141,43 ден. ед.

Задача 1.4

По данным таблицы определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии, а также коэффициент детерминации. В таблице: Х-объем оборота предприятий, млн. руб., m_г - число государственных предприятий; m_ч - частных; m_{о -} общее число (таблица 2). Каждое значение Х_i увеличить на свой номер классного журнала.

Таблица 2 - Исходные данные по объему оборота предприятий

Хi	mгi	mчi	moi
21,0-21,2	-	3	3
21,2-21,4	-	4	4
21,4-21,6	-	17	17
21,6-21,8	11	15	26
21,8-22,0	13	6	19
22,0-22,2	18	5	23
22,2-22,4	6	-	6
22,4-22,6	2	-	2
Итого	50	50	100

Решение:

Составим расчетную таблицу 2.1

Таблица 2.1 - расчетные данные

Хi	Середина интервала, Хi	mгi			mчi			moi
21,0-21,2	21,1	-	0	0	3	63,3	1335,63	3	63,3	1335,63
21,2-21,4	21,3	-	0	0	4	85,2	1814,76	4	85,2	1814,76
21,4-21,6	21,5	-	0	0	17	365,5	7858,25	17	365,5	7858,25
21,6-21,8	21,7	11	238,7	5179,79	15	325,5	7063,35	26	564,2	12243,14
21,8-22,0	21,9	13	284,7	6234,93	6	131,4	2877,66	19	416,1	9112,59
22,0-22,2	22,1	18	397,8	8791,38	5	110,5	2442,05	23	508,3	11233,43
22,2-22,4	22,3	6	133,8	2983,74	-	0	0	6	133,8	2983,74
22,4-22,6	22,5	2	45	1012,5	-	0	0	2	45	1012,5
Итого	-	50	1100	24202,34	50	1081,4	23391,7	100	2181,4	47594,04

Рассчитаем общий средний оборот:

Общая дисперсия равна:

Рассчитаем среднюю и дисперсию для каждой группы.

Государственные предприятия:

Частные предприятия:

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Найдем межгрупповую дисперсию:

Правило сложения дисперсий:

Определим коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации показывает, что на 39% вариация оборота предприятия обусловлена формой собственности предприятия.

Задача 1.5

Определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из трех групп (таблица 3).

Таблица 3 - Исходные данные

1 - группа

Хi	1	2	8
mi	30	15	5

2 - группа

Хi	1	6
mi	10	15

3 - группа

Хi	3	8
mi	20	5

Решение:

Рассчитаем общее среднее и общую дисперсию.

Общая дисперсия равна:

Найдем среднее и дисперсию по каждой группе:

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Определим межгрупповую дисперсию:

Правило сложения дисперсий:

Значения совпадают, значит решение верное.

2. Корреляционный анализ

Задача 2.1

Определить коэффициент корреляции между У и Х.

Х: 3,5; 4,6; 5,8; 4,2; 5,2;

УХ:28,35; 43,24; 65,54; 28,98; 50,44.

Оценить значимость коэффициента корреляции при уровне 0,05. Расчеты и ответы до двух знаков. Вначале определить У, а затем У и Х увеличить на свой номер классного журнала. Результаты:

1) коэффициент корреляции;

2) расчетное и табличное значения критерия Стьюдента и вывод.

Решение:

Рассчитаем значения Y, как отношениеYX к X:

Х:	3,5	4,6	5,8	4,2	5,2
УХ:	28,35	43,24	65,54	29,98	50,44
У:	8,1	9,4	11,3	7,1	9,7

Данные с учетом номера по журналу:

Х:	23,5	24,6	25,8	24,2	25,2
У:	28,1	29,4	31,3	27,1	29,7

Составим таблицу для расчета коэффициента корреляции.

№ п/п
1	23,5	28,1	552,25	789,61	660,35
2	24,6	29,4	605,16	864,36	723,24
3	25,8	31,3	665,64	979,69	807,54
4	24,2	27,1	585,64	734,41	655,82
5	25,2	29,7	635,04	882,09	748,44
Итого	123,3	145,6	3043,73	4250,16	3595,3

Рассчитаем необходимые показатели:

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Величина коэффициента корреляции указывает на сильную тесноту связи между показателями X и Y, а его положительное значение характеризует прямую зависимость, т.е. с ростом одного показателя увеличивается и второй.

Определим расчетное значение критерия Стьюдента:

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то коэффициент корреляции статистически не значим.

Задача 2.2

Определить коэффициент корреляции между количеством деталей (у) и стоимостью их изготовления (х). Оценить его значимость.

Исходные данные:

х 38 42 33 40 35 34

у 37 40 31 38 34 30

Это нулевой вариант. Каждое значение х и у увеличить на свой номер классного журнала.

Результаты:

1. Коэффициент корреляции.

2.Расчетное и табличное значения критерия Стьюдента, вывод о значимости. ВСЕ РЕЗУЛЬТАТЫ до 2-х знаков после запятой.

Решение:

Составим таблицу для расчета коэффициента корреляции.

№ п/п	Стоимость изготовления,	Количество деталей,
1	38	37	1444	1369	1406
2	42	40	1764	1600	1680
3	33	31	1089	961	1023
4	40	38	1600	1444	1520
5	35	34	1225	1156	1190
6	34	30	1156	900	1020
Итого	222	210	8278	7430	7839

Рассчитаем необходимые показатели:

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Величина коэффициента корреляции указывает на очень высокую тесноту связи между стоимостью изготовления деталей и их количеством, а его положительное значение характеризует прямую зависимость, т.е. с ростом одного показателя увеличивается и второй.

Определим расчетное значение критерия Стьюдента:

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то коэффициент корреляции статистически значим.

Задача 2.3

В результате тестирования 7 студентов они получили баллы по теории вероятностей и статистики по сто балльной системе:

Теория вероятностей: 85 110 62 67 104 78 70

Статистика: 71 105 56 83 92 100 60.

Определить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и его значимость. Это нулевой вариант. Каждое значение (балл) увеличить на свой номер классного журнала. Расчеты и результат до двух знаков.

Результаты:

1. Коэффициент ранговой корреляции.

2. Расчетное и табличное значения критерия Стьюдента при уровне значимости равном 0,05 и выводы.

Решение:

Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле:

где - разность между i-ми парами рангов;

n- число ранжируемых значений переменной, т.е. сопоставляемых пар рангов.

Для расчета составим вспомогательную таблицу

№, п/п	Баллы по ТВ	Баллы по Стат			)
1	85	71	5	3	2	4
2	110	105	7	7	0	0
3	62	56	1	1	0	0
4	67	83	2	4	-2	4
5	104	92	6	5	1	1
6	78	100	4	6	-2	4
7	70	60	3	2	1	1
?	14

- ранги студентов по количеству набранных баллов по теории вероятностей и статистике соответственно

Величина коэффициента Спирмена указывает на высокую тесноту связи между баллами, набранными по теории вероятностей и по статистике, а его положительное значение характеризует прямую зависимость, т.е. с ростом одного показателя увеличивается и второй.

Значимость коэффициента ранговой корреляции определим с помощью критерия Стьюдента:

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то коэффициент ранговой корреляции Спирмена статистически значим.

3. Регрессионный анализ

Задача 3.1

Построить нелинейную обратную модель связи себестоимости единицы продукции (у) со стоимостью основных фондов (х).

Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала.

Исходные данные:

у: 41; 36; 35; 34; 33; 32,5; 31; 31,5; 30; 28

х: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

Характеристики модели: 1) модель (коэффициенты до 4-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели;

5) вывод о значимости коэффициентов модели;

6) доверительные интервалы коэффициентов модели (до 4-х знаков).

Решение:

1) Уравнение обратной модели имеет вид:

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Таблица 3.1

№	y	x	X	yX
1	41	1	1,00	41,00	1,00	41,82	0,67	60,84
2	36	2	0,50	18,00	0,25	35,72	0,08	7,84
3	35	3	0,33	11,55	0,11	33,69	1,72	3,24
4	34	4	0,25	8,5	0,06	32,68	1,74	0,64
5	33	5	0,20	6,6	0,04	32,07	0,86	0,04
6	32,5	6	0,17	5,53	0,03	31,66	0,71	0,49
7	31	7	0,14	4,34	0,02	31,37	0,14	4,84
8	31,5	8	0,13	4,09	0,02	31,15	0,12	2,89
9	30	9	0,11	3,3	0,01	30,98	0,96	10,24
10	28	10	0,10	2,8	0,01	30,85	8,12	27,04
Итого	332	55	2,93	105,71	1,55	331,99	15,12	118,46
Среднее	33,2	5,5	0,293	10,571	0,155	33,199,6	1,512	11,846

Получим следующее уравнение обратной модели:

2) Рассчитаем коэффициент детерминации:

Значение коэффициента детерминации указывает на то, что вариация себестоимости единицы продукции (Y) на 87,24% обусловлена вариацией стоимости основных фондов и на 12,76% - влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.

3) Среднюю квадратическую ошибку рассчитаем по формуле:

4) Проведем оценку значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

По таблице Фишера определим критическое значение F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы . .

Так как наблюдаемое значение критерия больше табличного , следовательно, с вероятностью 0,95 уравнение регрессии признается статистически значимым.

5) Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощь t - статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Рассчитаем остаточную дисперсию:

Определим стандартные ошибки:

Тогда:

Фактические значения t - статистики для параметров , превышают табличные:

поэтому параметр статистически значим, а параметр статистически не значим.

6) Рассчитаем доверительные интервалы для параметов регрессии a и b. Определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p=1-б=0,95 параметры и будут находиться в указанных границах. Так как точка ноль лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента статистически не значима, для коэффициента статистически значима.

Задача 3.2

Построить полулогарифмическую модель вида: y=a0+a1lnx по данным:

у 30; 33,4; 35,4; 36,5; 38,6; 39,1

х 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала.

Характеристики модели: 1) модель (коэффициенты до 2-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное и табличное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели.

Решение:

1) Построим уравнение полулогарифмической модели:

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Таблица 3.1

№	y	x	X	yX
1	30	1	0,0000	0,0000	0,0000	29,846	0,023716	30,25
2	33,4	2	0,6931	23,149	0,4805	33,413	0,000169	4,41
3	35,4	3	1,0986	38,890	1,2069	35,497	0,009409	0,01
4	36,5	4	1,3863	50,599	1,9218	36,976	0,226576	1
5	38,6	5	1,6094	62,122	2,5903	38,123	0,227529	9,61
6	39,1	6	1,7918	70,059	3,2104	39,059	0,001681	12,96
Итого	213	21	6,5792	244,819	9,4099	212,914	0,48908	58,24
Среднее	35,5	3,5	1,0965	40,803	1,5683	35,49	0,0815	9,707

Получим следующее уравнение обратной модели:

2) Рассчитаем коэффициент детерминации:

Значение коэффициента детерминации указывает на то, что вариация Y на 17% обусловлена вариацией показателя X и на 83% - влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.

3) Среднюю квадратическую ошибку рассчитаем по формуле:

4) Проведем оценку значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

По таблице Фишера определим критическое значение F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы . .

Так как наблюдаемое значение критерия больше табличного , следовательно, с вероятностью 0,95 уравнение регрессии признается статистически значимым.

Задача 3.3

Реальные статистические данные о рождаемости в Пензенской области приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 - Динамика коэффициента рождаемости в Пензенской области

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Коэффициент рождаемости	7,5	7,5	8,0	8,4	8,6	8,4
Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Коэффициент рождаемости	8,6	9,7	10,2	10,3	10,2	10,1
Год	2012	2013	2014	2015	2016
Коэффициент рождаемости	10,8	10,6	10,8	10,7	10,2

Построить трендовую линейную регрессионную модель. Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. Спрогнозировать коэффициент рождаемости в 2017г. В электронную таблицу вместо года ставить 1,2,…

Решение:

Построим уравнение линейного тренда коэффициента рождаемости, которое имеет вид:

где и найдем из системы нормальных уравнений.

Таблица 3.2 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

Год	t	Коэффициент рождаемости,	t2
2000	1	7,5	1	7,5	7,7	0,04	3,79	0,03
2001	2	7,5	4	15	7,9	0,17	3,79	0,05
2002	3	8	9	24	8,1	0,02	2,09	0,02
2003	4	8,4	16	33,6	8,3	0,00	1,10	0,01
2004	5	8,6	25	43	8,6	0,00	0,72	0,00
2005	6	8,4	36	50,4	8,8	0,15	1,10	0,05
2006	7	8,6	49	60,2	9,0	0,16	0,72	0,05
2007	8	9,7	64	77,6	9,2	0,23	0,06	0,05
2008	9	10,2	81	91,8	9,4	0,57	0,57	0,07
2009	10	10,3	100	103	9,7	0,41	0,73	0,06
2010	11	10,2	121	112,2	9,9	0,10	0,57	0,03
2011	12	10,1	144	121,2	10,1	0,00	0,43	0,00
2012	13	10,8	169	140,4	10,3	0,23	1,83	0,04
2013	14	10,6	196	148,4	10,5	0,00	1,33	0,01
2014	15	10,8	225	162	10,8	0,00	1,83	0,00
2015	16	10,7	256	171,2	11,0	0,08	1,57	0,03
2016	17	10,2	289	173,4	11,2	0,99	0,57	0,10
Итого	153	160,6	1785	1534,9	160,5	3,15	22,78	0,59

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция роста, причем величина роста ежегодно составляет в среднем 0,219 единиц.

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 3,5%. Поскольку ошибка меньше 5%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию изменения коэффициент рождаемости.

Среднюю квадратическую ошибку рассчитаем по формуле:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 86,2% вариация коэффициента рождаемости обусловлена зависимостью от времени, на 13,8% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:



При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

По уравнению тренда найдем прогноз величины коэффициента рождаемости на 2017 год:

Задача 3.4

Реальные статистические данные о курсе валют приведены в таблице 3.2. Построить линейную и нелинейные регрессионные модели вида: у = а_о + а₁t; lnу = а_о + а₁t; у =1/(а_о + а₁t). Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. В электронную таблицу вместо года записывать 1,2,…

По стандартной ошибке выбрать лучшую модель и спрогнозировать цену одного доллара в декабре 2017 года.

корреляционный регрессионный средняя величина

Таблица 3.2 - Курс рубля к доллару

Месяц и год	январь 2017	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август 2017
Цена одного доллара	59,6	58,5	58,0	56,4	57,0	57,9	59,7	59,6

Решение:

Построим уравнение линейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

где и найдем из системы нормальных уравнений.

Таблица 3.2.1 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара,руб.	t2
Январь	1	59,6	1	59,6	58,075	2,33	1,59	0,03
Февраль	2	58,5	4	117	58,15	0,12	0,03	0,01
Март	3	58	9	174	58,225	0,05	0,11	0,00
Апрель	4	56,4	16	225,6	58,3	3,61	3,75	0,03
Май	5	57	25	285	58,375	1,89	1,79	0,02
Июнь	6	57,9	36	347,4	58,45	0,30	0,19	0,01
Июль	7	59,7	49	417,9	58,525	1,38	1,86	0,02
Август	8	59,6	64	476,8	58,6	1,00	1,59	0,02
Итого	36	466,7	204	2103,3	466,7	10,68	10,92	0,14

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция роста курса доллара, причем величина прироста ежегодно составляет в среднем 0,075 руб.

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1,75%. Поскольку ошибка меньше 5%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса доллара.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 2,2% вариация курса доллара обусловлена зависимостью от времени, на 97,8% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:

При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Построим уравнение нелинейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

Введем замену

Таблица 3.2.2 - Данные для расчета уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара,руб.		t2
Январь	1	59,6	4,09	1	4,09	58,62	0,97	1,59	0,02
Февраль	2	58,5	4,07	4	8,14	59,26	0,58	0,03	0,01
Март	3	58	4,06	9	12,18	59,92	3,68	0,11	0,03
Апрель	4	56,4	4,03	16	16,13	60,58	17,49	3,75	0,07
Май	5	57	4,04	25	20,22	61,25	18,08	1,79	0,07
Июнь	6	57,9	4,06	36	24,35	61,93	16,24	0,19	0,07
Июль	7	59,7	4,09	49	28,63	62,61	8,50	1,86	0,05
Август	8	59,6	4,09	64	32,70	63,31	13,74	1,59	0,06
Итого	36	466,7	32,53	204	146,43	487,48	79,29	10,92	0,39

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 4,88%. Поскольку ошибка меньше 5%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса доллара.

Построим уравнение нелинейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

Введем замену

Таблица 3.2.3 - Данные для расчета уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара,руб.		X	X2
Январь	1	59,6	0,02	1,00	1,00	0,02	59,21	0,15	1,59	0,01
Февраль	2	58,5	0,02	0,50	0,25	0,01	60,57	4,28	0,03	0,04
Март	3	58	0,02	0,33	0,11	0,01	62,00	15,97	0,11	0,07
Апрель	4	56,4	0,02	0,25	0,06	0,00	63,49	50,30	3,75	0,13
Май	5	57	0,02	0,20	0,04	0,00	65,06	64,99	1,79	0,14
Июнь	6	57,9	0,02	0,17	0,03	0,00	66,71	77,64	0,19	0,15
Июль	7	59,7	0,02	0,14	0,02	0,00	68,45	76,50	1,86	0,15
Август	8	59,6	0,02	0,13	0,02	0,00	70,27	113,94	1,59	0,18
Итого	36	466,7	0,14	2,72	1,53	0,05	515,76	403,77	10,92	0,86

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 10,75%. Поскольку ошибка выше 10%, то данное уравнение некачественно описывает тенденцию курса доллара.

По величине средней ошибки наиболее качественно описывает зависимость линейная модель, используем ее для построения прогноза курса доллара на декабрь 2017 года:

Курс доллара в декабре 2017 года по прогнозу составит 58,9 рублей.

Задача 3.5

По статистическим данным таблицы 3.3 определить средние величины, структурные средние и показатели вариации. Построить линейную модель связи показателя со временем и оценить ее качество. Номер страны соответствует номеру студента по классному журналу.

Таблица 3.3 - КУРСЫ ИНОСТРАННЫХ ВАЛЮТ ПО ОТНОШЕНИЮ К РОССИЙСКОМУ РУБЛЮ (на конец года; рублей за единицу иностранной валюты)

Страна	Наименование валюты	2010	2011	2012	2013	2014	2015
20. Туркмения	Новый туркменский манат	10,70	11,29	10,65	11,48	19,74	21,44

Решение:

Поскольку данные представлены на конец каждого года, то средний курс определим по формуле средней хронологической простой:

- количество лет

Мода - это значение признака, наиболее часто повторяющееся в совокупности. В данном случае мода отсутствует, поскольку каждое значение встречается всего один раз.

Медиана - величина, которая делит ранжированный ряд пополам. Медиана в четном ряду равна среднему из серединных значений. Ранжируем ряд данных: 10,65; 10,70; 11,29; 11,48; 19,74; 21,44. Медиана равна:

Рассчитаем дисперсию по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Таким образом, среднегодовой курс евро составил 13,85 руб. средним квадратическим отклонением 70,25. Дисперсия составила 94,633. Медиана показывает, что курс половины лет не превышал 11,385 руб., а другой половины - не менее 11,385. Коэффициент вариации, равный 70,25% и превышающий 33,3%, указывает на неоднородность совокупности.

Построим уравнение линейного тренда коэффициента рождаемости, которое имеет вид:

где и найдем из системы нормальных уравнений.

Таблица 3.3.1 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

Год	t	Курс маната,руб.	t2
2010	1	10,70	1	10,70	4,94	33,17	12,39	0,54
2011	2	11,29	4	22,58	8,65	6,97	8,58	0,23
2012	3	10,65	9	31,95	12,36	2,92	12,74	0,86
2013	4	11,48	16	45,92	16,07	21,07	7,51	0,45
2014	5	19,74	25	98,7	19,78	0,002	30,47	0,002
2015	6	21,44	36	128,64	23,49	4,20	52,13	0,09
Итого	21	85,3	91	338,49	85,29	68,332	123,82	2,172

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция роста курса евро, причем величина прироста ежегодно составляет в среднем 3,71 руб.

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 36,2%. Поскольку ошибка выше 10%, то данное уравнение некачественно описывает тенденцию курса евро.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 55,2 % вариация курса евро обусловлена зависимостью от времени, на 44,8% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:

При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Задача 3.6

По статистическим данным Росстата (таблица 3.4) выполнить комплексный статистический анализ инвестиций в основной капитал.

Таблица 3.4 - Инвестиции в основной капитал, млн. руб.

Регион	2012	2013	2014
Чувашская республика	65255	60122	56446

Этапы:

- графическое представление информации и ее анализ;

- определение средних величин и показателей вариации;

- определение коэффициента корреляции между инвестициями и выбранным автором фактором по данным Росстата; оценка значимости коэффициента корреляции;

- определение показателей динамики инвестиций и их анализ;

- построение регрессионной модели связи инвестиций со временем (годами) и ее статистический анализ.

Решение:

Изобразим динамику инвестиций в основной капитал Чувашской республике в 2012 - 2014 гг. графически.

Рис. 1 - динамика инвестиций в основной капитал за период 2012 - 2014 гг.

Как показывает графическое изображение, величина инвестиций в основной капитал в Чувашской Республике в 2013 году возросла по сравнению в 2012 годом, а в 2014 году снизилась, как в сравнении с 2013 годом, так и с 2012 годом.

Рассчитаем средний объем инвестиций по формуле средней арифметической простой:



- количество лет

<...