Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра «Математика, информатика и общегуманитарные дисциплины»

РЕФЕРАТ

на тему: «Функция полезности. Оптимизация полезности»

Студент: Журавлева А.В.

Форма обучения: очная Программа: бакалавриат

Преподаватель: к.ф.-м.н., доцент, Филонова Е.С.

Орёл 2016



Содержание

полезность потребитель выбор предпочтение

Введение

1. Предпочтения потребителей и функция полезности

2. Основные характеристики функции полезности

3. Оптимизация полезности

3.1 Кардиналистский подход

3.2 Ординалистский подход

3.3 Задача потребительского выбора

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Экономическая наука имеет интерес к тому, как ведет себя потребитель, приобретая товары на рынке. Какие мотивы им движут, и что влияет на его поведение. При этом потребитель старается максимально удовлетворить свои потребности при минимальных затратах, и тем самым максимизировать полезность.

Знания закономерностей потребительского выбора дают возможность определить положение кривых безразличия и бюджетных линий и прогнозировать изменение объема продаж в зависимости от изменения цен.

Сторонников теории предельной полезности можно разделить на две большие группы: на тех, кто считает, что можно подсчитать полезность в абсолютных величинах (кардиналистская теория полезности), и тех, кто считает, что этого сделать нельзя, достаточно знать относительную шкалу предпочтений (ординалистская теория).

Актуальность данной темы состоит в том, что сейчас в экономике используются оптимизационные методы нахождения максимальной полезности, которая имеет значение не только для потребителя, но и для экономических единиц, которые опираются на потребительский спрос. Это связано с тем, что потребитель, приобретая товары, приносит прибыль предприятию или фирме.

Цель работы:

- на основе изучения понятия полезности решить задачу оптимального выбора потребителя.

Задачи:

1) изучить понятие общей, средней и предельной полезности;

2) рассмотреть основные характеристики функции полезности;

3) рассмотреть задачу оптимального выбора потребителя и применить инструменты максимизации полезности в конкретной задаче.



1. Предпочтения потребителей и функция полезности

Потребитель, осуществляя свой выбор среди различных наборов благ при заданных ценах и имеющемся у него в бюджете, стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. При этом он действует рационально, полностью информирован и предпочитает текущее потребление будущему.

Полезность блага - способность экономического блага удовлетворять одну или несколько человеческих потребностей. Она определяется назначением блага и возможностью его использования. Полезность - субъективное понятие, в основе которого лежат оценки покупателей и продавцов. На ее величину влияет степень редкости товара: чем меньше запас товара, тем больше его цена.

Общая (совокупная) полезность (TU) - это удовлетворение, получаемое от потребления конкретного набора благ конкретным потребителем. Предельная полезность (MU) - это приращение удовлетворения от потребления каждой дополнительной единицы блага.

Потребляемые последовательно части какого-либо блага обладают убывающей полезностью для потребителя. При этом предполагается, что вкусы потребителей постоянны, а функция потребления непрерывна (и, следовательно, дифференцируема в каждой точке).

Если дальнейшее потребление приносит вред (предельная полезность блага отрицательна), то общая полезность снижается.

Функция полезности является мерой соотношения между объемами потребляемых благ и уровнем полезности. В математическом выражении функция полезности представляет собой зависимость между количественно выраженной удовлетворенностью потребителя использованными благами (товарами) и объемами потребления этих благ. Ее можно выразить как целевую функцию полезности:

где - полезность набора благ; (,, …,) - объемы потребления благ.

Зависимость полезности от объема потребления блага при фиксированных объемах потребления других благ называется кривой полезности ( ) (рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Рисунок 1 Кривая полезности



2. Основные характеристики функции полезности

Рассмотрим основные характеристики функции полезности.

Средняя полезность - полезность в расчете на единицу продукта, определяется как результат деления общей полезности на количество единиц данного блага:

Вид зависимости значения ( ) от объема потребления i-го блага при постоянных объемах потребления других благ характеризует предельная полезность i-го блага:

.

Предельная полезность представляет собой прирост полезности набора благ ( ) при увеличении объема потребления i-го блага на единицу.

Еще одной характеристикой функции полезности является коэффициент эластичности (частная эластичность) - величина, равная отношению предельной полезности к средней:

Коэффициент полной эластичности функции:

Коэффициент эластичности характеризует относительное изменение функции, т.е. показывает, на сколько процентов изменится функция U при изменении на 1% i-того блага.

100%

Количественной характеристикой интенсивности эффекта замены (а значит и формы кривых безразличия) служит предельная норма замены благ i и j: =

Предельная норма замены показывает, на сколько единиц можно сократить потребление блага, чтобы при единичном увеличении потребления блага полезность набора благ не изменилась. Во сколько раз предельная полезность блага-заменителя превышает предельную полезность замещаемого блага, во столько же раз сокращение объема его потребления превзойдет прирост потребления блага-заменителя.



3. Оптимизация полезности

В теории предельной полезности существуют два подхода к измерению полезности: кардиналистский и ординалистский. Исторически кардинализм предшествует ординализму.

Обе существующие теории позволяют определить такой объем потребления, при котором достигается максимизация полезности. Экономисты называют такой набор благ равновесным или потребительским оптимумом. В основе любого правила максимизации полезности лежит здравый смысл: если невозможно увеличить полезность, меняя комбинацию благ в наборе, значит данный набор является наилучшим.

Для нахождения оптимальной полезности используют задачу потребительского выбора. Она заключается в выборе такого потребительского набора ( ^?, ^?), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

3.1 Кардиналистский подход

Кардиналистский (количественный) подход к измерению полезности предполагает абсолютно точное, количественное определение величины полезности.

Он опирается на законы Госсена. Закон убывающей предельной полезности (первый закон Госсена) гласит: по мере увеличения количества потребляемого товара его предельная полезность имеет тенденцию к сокращению.

Второй закон Госсена: взвешенные предельные полезности всех потребляемых благ должны быть равны между собой. Это условие равновесия покупателя, то есть ситуация, когда потребитель получает максимальную полезность.

В процессе одновременного потребления нескольких благ рациональный потребитель должен стремиться получить одинаковую полезность от каждого блага. На рынке разные блага стоят по-разному. Поэтому кардиналисты в основу поведения потребителя ввели понятие ( ) взвешенной предельной полезности (соотношение предельной полезности блага с его ценой).

Совершенно очевидно, что потребитель будет приобретать в первую очередь те товары, которые обладают большей полезностью, до тех пор, пока предельные полезности потребляемых им продуктов не сравняются. Когда же предельные полезности всех потребляемых им товаров сравняются, сложится как раз необходимая ему одному структура расходов. Сам же потребитель будет находиться в состоянии равновесия. Значит, условием равновесия потребителя считается равенство предельных полезностей приобретаемых им продуктов. Правило максимизации полезности в соответствии со сказанным заключается в таком распределении денежного дохода потребителя, при котором последний рубль, затраченный на приобретение каждого вида продуктов, приносит одинаковую добавочную (предельную) полезность.

Вывести потребителя из состояния равновесия смогут только изменения потребительских предпочтений, цены на продукты и размеры доходов.

3.2 Ординалистский подход

Экономисты этого подхода не пытались измерять полезность количественно, рассматривая поведение потребителя в процессе потребления продуктового набора.

В рамках порядкового подхода от потребителя требуется только ранжировать наборы благ по степени предпочтения.

Порядковый подход базируется на следующих аксиомах:

1. Полной (совершенной) упорядоченности. Предполагает способность человека однозначно ответить на вопрос, какой из предложенных потребительских наборов, А или В, является для него более предпочтительным. При этом обязательным будет выбор одного из трех вариантов ответа: либо набор А предпочтительней набора В (А > B), либо набор B предпочтительней набора A (A < B), либо наборы A и B имеют одинаковую полезность для потребителя (A=B).

2.Транзитивности. Согласно этой аксиоме для любых трех

потребительских корзин (наборов) А, В и С, если потребитель предпочитает набор A в большей степени, чем набор B, и набор B в большей степени чем набор C, то он однозначно предпочитает потребительских набор A в большей степени, чем набор C. То есть если A > B и B > C значит A > C.

3. Ненасыщения. Для любого набора A всегда существует набор B, более предпочтительный для потребителя. Это означает, что у потребителя нет порога насыщения и он всегда предпочитает иметь большее количество товаров меньшему. При этом, если количество хотя бы одного из товаров, входящих в потребительскую корзину возрастет, уровень его удовлетворения увеличится.

4. Независимости потребителя. Удовлетворение потребителя зависит только от количества потребляемых им благ и не зависит от количества благ, потребляемых другими потребителями.

При порядковом подходе для исследования поведения потребителей пользуются понятиями кривой и карты безразличия.

Кривая безразличия является геометрическим местом точек, каждая из которых представляет такую комбинацию двух товаров, что потребителю безразлично, какую из них выбрать, т.е. величина полезности неизменна во всех точках кривой (рис.2):

Форма кривой безразличия отдельного потребителя определяется исключительно его вкусами и предпочтениями и не зависит от доходов или цен на потребляемые товары. Совокупность кривых безразличия, описывающих поведение одного потребителя, составляет его карту безразличия.

Рисунок 2 Кривые безразличия

Свойства кривых безразличия:

• Кривые безразличия не могут пересекаться;

• Функция U(Y) является возрастающей, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления вех других благ увеличивает значение данной функции.

• Кривые безразличия имеют отрицательный наклон (выпуклы вниз), при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении по каждой оси.

Таким образом, кривые безразличия отображают полезность продуктовых наборов, но не учитывают ограничения при покупке товаров.

Линия бюджетного ограничения - линия, точки которой отражают доступные для потребителя наборы продуктов, исходя из стоимости товаров и доходов покупателя. Выбор потребителя осуществляется посредством совмещения линий бюджетного ограничения с картой кривых безразличия.

Эта идея будет рассмотрена подробнее в следующем пункте.



3.3 Задача потребительского выбора

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора ^? = ( ^?, ^?, …, ^? ), который максимизирует его функцию полезности

при заданном бюджетном ограничении.

Карта безразличия описывает шкалу личных предпочтений в отношении различных сочетаний товаров и услуг. Но предпочтения не объясняют полностью поведение потребителя. На индивидуальный выбор влияют также бюджетные ограничения, которые при известных ценах на различные товары и услуги ограничивают потребление.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на все товары и услуги не могут превышать денежный доход. При этом вектор, состоящий из n цен в денежном выражении = (,, …, ), где - цена товара j, и денежный доход M, будут считаться заданными положительными параметрами. В таком случае бюджетное ограничение, отражающее то обстоятельство, что общий расход не может превышать доход, будет иметь вид:

(,) ?, т. е. ??,

где - расход на приобретение товара j. Допустимым множеством для потребителя является множество B:

(,) = { |? },

т.е. не пустое компактное (замкнутое и ограниченное) выпуклое подмножество пространства товаров. Граница, вдоль которой (,) = называется бюджетной линией. В случае n = 2, это - прямая, при n = 3 - плоскость, и в общем случае - гиперплоскость. Таким образом, классическая задача потребительского выбора заключается в выборе такого набора из допустимого множества B, который является "самым предпочтительным", т.е. для всех остальных наборов x, принадлежащих B, справедливо соотношение x* ? x.

В терминах функции полезности задача формулируется следующим образом:

( ) >

(,) ?,

? 0

или в развернутой форме:

(,, …,) >

??.

= (,, …,) ?

Здесь мы имеем задачу нелинейного программирования, в которой искомыми переменными являются уровни потребления каждого из n товаров = (,, …,). В качестве целевой функции выступает функция полезности ( ), которая считается непрерывно дифференцируемой, и, исходя из свойств функции полезности, имеет положительные первые частные производные и отрицательно определенную матрицу Гессе вторых частных производных. Ограничением в форме неравенства является бюджетное ограничение, на котором функция ограничения линейна при заданных ценах = (,, …, ). Константой является доход M. В силу того, что целевая функция непрерывна, а допустимое множество компактно, по теореме Вейерштрасса решение этой задачи существует, а так как целевая функция строго вогнута и допустимое множество выпукло, то решение является единственным.

Для наглядности рассмотрим пример, где нам необходимо приобрести только два вида продукта. Тогда искомыми величинами будет вектор = (,) ?, при этом вектор цен = (,) и доход M считаются заданными. Задача потребительского выбора имеет вид:

Набор ^? = ( ^?,^?), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.

Заметим, что решение данной задачи не изменится, если все цены и доход увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз л. Это равнозначно умножению на положительное число л обеих частей ограничения + ?, что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход не входят в функцию полезности в явном виде, задача остается такая же, что и была первоначально.

В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования, и для ее решения применяется теорема Лагранжа, если ограничения представлены в виде равенства, или теорема Куна-Таккера, если ограничения выражены неравенствами.

Докажем, что ограничение всегда будет выполняться как ограничение равенства. Если на каком-то потребительском наборе (, ) бюджетное ограничение + ? будет выполняться в виде строгого неравенства, то это значит, что мы можем увеличить потребление какоголибо из товаров и тем самым увеличить значение функции полезности. Следовательно, набор ( ^?, ^?), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, то есть + =. Графически это означает, что решение ( ^?, ^?) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (рис. 3), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт: 0, и ,Размещено на http://www.allbest.ru/

2

0.

Таким образом, если ограничение выполняется как равенство, то задача будет решаться как задача на условный экстремум с ограничением в виде равенства:

(,) >

+=

? 0,? 0

Для решения задачи составим функцию Лагранжа:

(,) =(,) + (+? ),

где л - вектор множителей Лагранжа, в данном случае состоящий из одной координаты, т.е. он является одномерным. В соответствии с теоремой Лагранжа находим первые частные производные данной функции по искомым переменным и по введенной искусственно переменной л, и приравниваем их нулю:

м¶L¶U_'

_п¶Размещено на http://www.allbest.ru/

2

_x1 (x*,l*)= _¶Размещено на http://www.allbest.ru/

2

_x1 (x₁, x₂ )+lp₁ =U₁ +lp₁ = 0

п

п¶L¶U_'

н(Размещено на http://www.allbest.ru/

2

x*,l*)=(Размещено на http://www.allbest.ru/

2

x_1,x₂ )+lp₂ =U ₂ +lp₂ = 0

п¶x₂¶x₂

пx1 > 0, x ₂ > 0.

п

о

Решение данной системы и даст нам решение нашей задачи. Выразив из первого и второго уравнений системы множитель Лагранжа и, приравняв правые части полученных равенств, получим систему, решение которой несложно найти:

Решением данной системы будет точка локального экстремума ( ^?, ^?). Заметим, что в точке локального рыночного равновесия отношение частных производных функции полезности есть отношение цен:

.Размещено на http://www.allbest.ru/

2

(1)

Отношение частных производных равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия ( ^?, ^?). Из только что изложенного следует, что данная предельная норма замены (1) равна отношению рыночных цен на продукты. Данный факт играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение ( ^?, ^?) можно интерпретировать, как точку касания линии безразличия функции полезности ( ^?, ^?) с бюджетной прямой + = (рис.3).

Рисунок 3 Бюджетное ограничение и кривая безразличия

Это определяется тем, что отношение Размещено на http://www.allbest.ru/

2

= ? показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение ? Размещено на http://www.allbest.ru/

2

представляет тангенс угла наклона бюджетной линии. Тангенс является отрицательным отношением цен двух товаров. Величина этого отношения указывает норму замещения товаров при неизменной общей сумме затрачиваемых денег. Так как в точке локального рыночного равновесия они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Соотношение:

, (2)

означает, что отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений ? ^? и ? ^? объемов товара в точке локального рыночного ( ^?, ^?) равновесия приближенно равно отношению рыночных цен.

Рассмотрим пример задачи потребительского выбора.

Пример. Найти оптимальный набор потребителя ( ^?,^?) с бюджетом

= 12 и функцией полезности =+ при ценах = 2 и = 3.

Решение:

Имеем:

(,) =>

2+ 3? 12

, ? 0.

Перейдем к задаче на условный экстремум:

(,) =>

2+ 3= 12

, ? 0.

Функция Лагранжа будет иметь вид:

(,,) = (?) +(2+ 3? 12).

Найдем первые частные производные функции Лагранжа по (,,) и приравняем их к нулю:

? Размещено на http://www.allbest.ru/

2

=+ 2= 0

?

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

=+ 3= 0

?

?

? Размещено на http://www.allbest.ru/

2

= 2+ 3? 12 = 0.

Воспользовавшись формулой:

=,

получим

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

= , = .

Подставляя полученное выражение в бюджетное ограничение

2+ 3= 12,

находим 2+ 3 =Размещено на http://www.allbest.ru/

2

12, 4= 12,= 3,= 2.

Итак, оптимальное решение

( ^?,^?) = (3,2),=^? ?^? = 2 ? 3 = 6.

Таким образом, максимальная полезность 6 достигается при использовании 3 единиц первого товара и 2 единиц второго.

Проверим полученное решение с помощью средств Excel. Для этого воспользуемся надстройкой «Поиск решений» (рис. 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Рисунок 4 Проверка решения в программе Excel



Заключение

В рамках данной работы было изучено понятие полезности, ее основные характеристики, рассмотрена задача оптимизации полезности.

В заключении можно сделать следующие выводы.

Предпочтения потребителя субъективны. Рациональное поведение потребителя состоит в том, что при ограниченных доходах он стремится достичь максимально возможной степени удовлетворения. Каждая дополнительная единица товара приносит потребителю дополнительную полезность, которая называется «предельной полезностью» данного блага. Ценность блага увеличивается, когда человек располагает меньшим его количество и наоборот. В этом состоит правило убывающей полезности.

Каждая точка на бюджетной линии показывает, какое количество единиц товаров может приобрести покупатель одновременно при определенном доходе и неизменных ценах. Кривая безразличия отражает предпочтения потребителя, т.е. какие сочетания одних и тех же товаров он для себя считает наиболее полезными. Каждая точка этой кривой, таким образом, показывает все возможные комбинации единиц товара, дающие потребителю одинаковое удовлетворение.

Особый интерес представляет точка касания кривой безразличия и бюджетного ограничения. Эта точка отражает наилучшее сочетание двух товаров в наборе, так как приносит потребителю максимальную суммарную полезность при данном объеме его дохода.

Для оптимизации функции полезности используют задачу потребительского выбора, которая заключается в выборе «самого предпочтительного» набора из допустимого множества. Для решения данной задачи используется функция Лагранжа: (,) =(,) +(+ ? +? ). Её решением станет точка экстремума, являющаяся точкой касания линии безразличия и бюджетной прямой. Таким образом, задача потребительского выбора помогает найти оптимальный набор потребителя.

Совокупность точек касания кривых безразличия разного уровня с соответствующими бюджетными линиями позволяет получить кривую спроса на соответствующие товары, которая в свою очередь важна для производителей, обеспокоенных вопросом об оптимальном количестве производимой продукции.

Таким образом, функция полезности - важная категория экономической теории, которая позволяет ближе подойти к решению вопроса о достижении рыночного равновесия, проявляющегося в наличии баланса между производством и потреблением.



Список использованной литературы

1. Александрова И.А., Гончаренко В.М. Методы оптимальных решений. Руководство к решению задач: учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финуниверситет, 2012. 114 с.

2. Гармаш А. Н. Экономико-математические методы в примерах и задачах: Учеб. пос. / А.Н.Гармаш, И.В.Орлова, Н.В.Концевая и др.; Под ред. А.Н.Гармаша - М.: Вуз. уч.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. 416 с.

3. Гончаренко В.М. Методы оптимальных решений в экономике и финансах: учебник / под. ред. В.М. Гончаренко, В.Ю. Попова. 2-е изд., стер. М.: КНОРУС, 2014. 400 с.

4. Мастяева И. Н. Методы оптимальных решений: Учебник / Мастяева И.Н., Горемыкина Г.И., Семенихина О.Н. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2016. 384 с.

5. Нуреев Р. М. Курс микроэкономики: Учебник / Р.М. Нуреев. 3-e изд., испр. и доп. М.: Норма: НИЦ ИНФРА-М, 2014. 624 с.

6. Соловьев В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие. М.: Финансовый университет, 2012. 364 с.

Размещено на Allbest.ru

...