Методы прогнозирования и принятия решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

"Методы прогнозирования и принятия решений"

Задание 1.

Решение хорошо структурированных многокритериальных оптимизационных задач принятия решений

Типовая задача:

Вы хотите выбрать себе партнера в бизнесе и при этом у вас есть возможность выбрать его из пяти фирм, имеющих следующие показатели деятельности:

Фирма (номер фирмы)	Имидж, бал.	Среднемесячная прибыль, у.е.
1	6	25000
2	4	15000
3	9	18000
4	7	25000
5	8	23000

Стремясь выбрать фирмы с наибольшими значениями имиджа и прибыли, определить наиболее предпочтительные фирмы для совместной деятельности:

· руководствуясь принципом Парето;

· руководствуясь способом последовательных уступок, при условии, что наиболее важным показателем является - прибыль и допустимо ухудшить этот показатель на величину не более чем 10% от максимально возможного его значения.

Решение:

Математически задачу выбора наиболее предпочтительные фирмы можно записать следующим образом:

А) Построим график зависимости среднемесячной прибыли от имиджа:

Множеству оптимальных по Парето решений (x, y)D соответствуют в области значений частных критериев (при N=2) такие граничные точки, из которых:

· в задачах минимизации обоих частных критериев нельзя сдвинуться на "юг", "запад" или "юго-запад", чтобы при этом остаться в том же множестве ;

· в задачах максимизации обоих частных критериев нельзя сдвинуться на "север", "восток" или "северо-восток", оставаясь в том же множестве ;

· в задачах минимизации первого из них и максимизации второго нельзя сдвинуться на "север", "запад" или "северо-запад", чтобы при этом остаться в том же множестве ;

· в задачах максимизации первого из них и минимизации второго нельзя сдвинуться на "юг", "восток" или "юго-восток", оставаясь в том же множестве .

В нашем случае оба критерия на максимум, поэтому Парето оптимальными решениями будут решения расположенные на северо-восточной границе, изображенной на рисунке красной линией.

Таким образом, Парето оптимальными решениями являются Фирма № 4, Фирма № 5, Фирма №3.

Б) Метод последовательных уступок.

Находим максимальное значение прибыли:

Фирма (номер фирмы)	Имидж, бал.	Среднемесячная прибыль, у.е.
1	6	25000
2	4	15000
3	9	18000
4	7	25000
5	8	23000
Максимум		25000

Найдем величину уступка по прибыли:

Тогда модель оптимизации пример вид:

Согласно средней прибыли условию не удовлетворяют фирмы 2 и 3. Поэтому убираем их из анализа.

Среди оставшихся фирм находим максимальное значение имиджа.

Фирма (номер фирмы)	Имидж, бал.	Среднемесячная прибыль, у.е.
1	6	25000
2	4	15000
3	9	18000
4	7	25000
5	8	23000
Максимум	8

Максимальное значение имиджа:

соответствует фирме № 5.

Ответ:

Наиболее предпочтительные фирмы для совместной деятельности:

· руководствуясь принципом Парето являются фирмы 3, 4, 5;

· руководствуясь способом последовательных уступок, при условии, что наиболее важным показателем является - прибыль и допустимо ухудшить этот показатель на величину не более чем 10% от максимально возможного его значения является фирма 5.

Задание 2.

Решение слабо структурированных многокритериальных задач принятия решений с применением метода анализа иерархий

Типовая задача:

Задача состоит в выборе дома для дачи, при условии, что основными критериями выбора служит:

*0удобство транспортных маршрутов;

*1окрестности; *2размер дома;

*3размер двора;

*4финансовые условия.

Описание вариантов альтернатив домов, подлежащих выбору, представлены в таблице 1.

Шкала сравнительных оценок, используемых при составлении матриц парных сравнений приведена в таблице 2.

Таблица 1 Описание альтернативных вариантов домов.

Дом А.
Это - самый большой дом, вокруг хорошие окрестности, интенсивное движение транспорта, налоги на дом не велики. Двор больше, чем у домов Б и В. Тем не менее общее состояние не очень хорошее, нужен основательный ремонт внутри помещений. Из-за того, что дом финансируется банком с высокой процентной ставкой, финансовые условия можно считать сложными. Дорога до работы занимает 40 мин.
Дом Б.
Немножко меньше дома А, расположен далеко от автобусной остановки, вокруг не интенсивное движение транспорта. Дом довольно мал, и в нем отсутствуют основные современные удобства. С другой стороны, общее состояние дома хорошее. Кроме того, на дом можно получить закладную с довольно низкой % ставкой - это означает, что финансовые условия достаточно удовлетворительны. Дорога до работы занимает 1 час.
Дом В.
Дом очень маленький, нет современных удобств. Расположен в живописной лесной местности. В окрестности - высокие налоги, но дом в хорошем состоянии и представляется безопасным. Не далеко железнодорожная станция. Двор больше, чем у дома Б, однако несравненно меньше обширного пространства вокруг дома А. Общее состояние дома - хорошее и в нем красивая отделка. Финансовые условия намного лучше, чем для дома А, но не так хороши, как для дома Б. Дорога до работы занимает 30 мин.

Таблица 2

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснения
1	Равная важность	Равный вклад двух видов деятельности (факторов) в цель.
3	Умеренное превосходство над другим.	Опыт и суждения дают легкое превосходство одного фактора над другим.
5	Существенное или сильное превосходство.	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному фактору над другим.
7	Значительное превосходство.	Одним факторам дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным.
9	Очень сильное превосходство.	Очевидность превосходства одного фактора над другим подтверждается наиболее сильно.
2, 4, 6, 8	Промежуточные решения между двумя соседними суждениями.	Применяются в компромиссном случае.
Обратные величины приведенных чисел.	Если при сравнении одного фактора с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго фактора с первым получим обратную величину (т.е. 1/3)

Решение:

Построим дерево иерархий:

Строим матрацу парных сравнений критериев по цели в виде обратно симметричной матрицы и считаем веса каждого критерия, как среднегеометрическое по каждой строке, а также считаем нормированные значения весов. прибыль имидж матрица

Для каждой матрицы парных сравнений рассчитывается собственный вектор весов по следующему алгоритму:

,

Фактически процесс расчетов представляет собой вычисление среднего геометрического каждой строки.

Затем проводится нормализация данного вектора с целью получения искомого вектора приоритетов по формуле:

.

Значение коэффициентов важности локальных критериев

	удобство транспортных маршрутов	окрестности	размер дома	размер двора	финансовые условия		w
удобство транспортных маршрутов	1	1	1/3	1/5	1/7	0,3942	0,0562
окрестности	1	1	1/3	1/7	1/5	0,3942	0,0562
размер дома	3	3	1	1/3	1	1,2457	0,1777
размер двора	5	7	3	1	5	3,4997	0,4993
финансовые условия	7	5	1	1/5	1	1,4758	0,2105

Попарные сравнения альтернатив по "удобство транспортных маршрутов":

	Дом А	Дом Б	Дом В		w
Дом А	1	7	1/3	1,3264	0,2897
Дом Б	1/7	1	1/9	0,2513	0,0549
Дом В	3	9	1	3,0000	0,6554

Попарные сравнения альтернатив по "окрестности":

	Дом А	Дом Б	Дом В		w
Дом А	1	9	5	3,5569	0,7514
Дом Б	1/9	1	1/3	0,3333	0,0704
Дом В	1/5	3	1	0,8434	0,1782

Попарные сравнения альтернатив по "Размер дома":

	Дом А	Дом Б	Дом В		w
Дом А	1	3	9	3,0000	0,6554
Дом Б	1/3	1	7	1,3264	0,2897
Дом В	1/9	1/7	1	0,2513	0,0549

Попарные сравнения альтернатив по "Размер двора":

	Дом А	Дом Б	Дом В		w
Дом А	1	5	5	2,9240	0,7007
Дом Б	1/5	1	1/3	0,4055	0,0972
Дом В	1/5	3	1	0,8434	0,2021

Попарные сравнения альтернатив по "Финансовые условия":

	Дом А	Дом Б	Дом В		w
Дом А	1	1/9	1/9	0,2311	0,0495
Дом Б	9	1	3	3,0000	0,6419
Дом В	9	1/3	1	1,4422	0,3086

Столбцы векторов приоритетов альтернатив по критериям объединяем в общую матрицу

Матрица весов альтернатив по всем критериям

Варианты	удобство транспортных маршрутов	окрестности	размер дома	размер двора	финансовые условия
Дом А	0,2897	0,7514	0,6554	0,7007	0,0495
Дом Б	0,0549	0,0704	0,2897	0,0972	0,6419
Дом В	0,6554	0,1782	0,0549	0,2021	0,3086

Умножаем полученную матрицу на столбец нормированных весов по цели матрично (по правилу строка на столбец):

Вектор весов альтернатив с точки зрения достижения поставленной цели

Варианты	Доля	Доля в процентах
Дом А	0,5353	53,53%
Дом Б	0,2422	24,22%
Дом В	0,2225	22,25%

Вывод: следует покупать ДОМ А, поскольку ему отдается 53,53% приоритета.

Задание 3.

Построение и анализ краткосрочных прогнозов на основе экстраполяционных методов (линейный метод Брауна).

Типовая задача:

Имеются среднемесячные значения цены обыкновенной корпоративной акции за пятнадцать месяцев, представленные в таблице 3.

Таблица 3. Среднемесячные цены обыкновенной корпоративной акции за последние пятнадцать месяцев.

Номер наблюдения	Цена акции (у.е.)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	25 25 34 39 42 37 45 44 55 52 67 63 73 67 70

Используя линейный метод Брауна (параметр сглаживания б= 0,4 и 0,1) дать прогноз цены акции на шестнадцатый месяц (период упреждения равен 1) и оценить точность прогноза по среднеквадратической ошибке (MSE) и средней абсолютной процентной ошибке (MAPE).

Решение:

Модель Брауна строится в несколько этапов.

1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а 0 и а 1 линейной модели

.

Получаем начальные значения параметров модели Брауна

a0(0)=a0= 18,600; a1(0)=a1= 4,800

которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL "ОТРЕЗОК" и "НАКЛОН" соответственно.

2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):

3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания б=0,4 (в=1-0,4=0,6)

Получим:

5) По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:

Для t=2:

6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

t		a0	a1
1	25	18,600	4,800	23,40	1,60	0,064	2,560
2	25	24,424	5,824	30,25	-5,25	0,210	27,542
3	34	26,889	2,465	29,35	4,65	0,137	21,580
4	39	32,328	5,438	37,77	1,23	0,032	1,523
5	42	38,556	6,228	44,78	-2,78	0,066	7,750
6	37	43,002	4,446	47,45	-10,45	0,282	109,174
7	45	40,762	-2,241	38,52	6,48	0,144	41,980
8	44	42,667	1,906	44,57	-0,57	0,013	0,329
9	55	44,206	1,539	45,75	9,25	0,168	85,647
10	52	51,668	7,462	59,13	-7,13	0,137	50,840
11	67	54,567	2,899	57,47	9,53	0,142	90,908
12	63	63,568	9,001	72,57	-9,57	0,152	91,551
13	73	66,445	2,877	69,32	3,68	0,050	13,531
14	67	71,676	5,231	76,91	-9,91	0,148	98,148
15	70	70,567	-1,109	69,46	0,54	0,008	0,295
Сумма						1,753	643,357

7) Вычислим среднюю абсолютную процентную ошибку (MAPE) для данного параметра сглаживания:

8) Вычислим среднеквадратическую ошибку (MSE):

Выполним аналогичный расчет при б=0,1 и в=0,9:

t		a0	a1
1	25	18,600	4,800	23,40	1,60	0,064	2,560
2	25	23,704	5,104	28,81	-3,81	0,152	14,501
3	34	28,084	4,380	32,46	1,54	0,045	2,356
4	39	32,757	4,672	37,43	1,57	0,040	2,469
5	42	37,727	4,971	42,70	-0,70	0,017	0,487
6	37	42,565	4,838	47,40	-10,40	0,281	108,231
7	45	45,427	2,861	48,29	-3,29	0,073	10,812
8	44	47,663	2,237	49,90	-5,90	0,134	34,811
9	55	48,779	1,116	49,89	5,11	0,093	26,064
10	52	50,865	2,086	52,95	-0,95	0,018	0,903
11	67	52,770	1,905	54,67	12,33	0,184	151,909
12	63	57,017	4,247	61,26	1,74	0,028	3,015
13	73	61,593	4,577	66,17	6,83	0,094	46,646
14	67	67,468	5,874	73,34	-6,34	0,095	40,225
15	70	72,137	4,669	76,81	-6,81	0,097	46,331
Сумма						1,415	491,321

Средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE) для данного параметра:

Вычислим среднеквадратическую ошибку (MSE):

Таким образом, судя по средней абсолютной процентной ошибке при б =0,4 и б =0,1, в первом случае 11,690%, а во втором случае 9,432%. Следовательно, б =0,1 - лучшее значение параметра сглаживания, т.к. абсолютная процентная ошибка меньше.

Выполним прогноз по модели Брауна при б=0,1:

Задание 4.

Построение и анализ среднесрочных прогнозов на основе экстраполяции линейным трендом.

Для типовой задачи 3 сделать среднесрочный прогноз на пять месяцев вперед (период упреждения равен 5). Качество прогноза определить по коэффициенту детерминации R2.

Решение:

Таблица 1

Среднемесячные цена обыкновенной корпоративной акции за последние пятнадцать месяцев

Номер наблюдения	Цена акции (у.е.)
1	25
2	25
3	34
4	39
5	42
6	37
7	45
8	44
9	55
10	52
11	67
12	63
13	73
14	67
15	70

Построим линейную модель

,

параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда) с использованием матричных функций:

Матрица X:

1	1
1	2
1	3
1	4
1	5
1	6
1	7
1	8
1	9
1	10
1	11
1	12
1	13
1	14
1	15

Матрица :

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Уравнение регрессии:

Выполним среднесрочный прогноз на пять месяцев вперед:

Качество прогноза определим по коэффициенту детерминации R2.

t
1	25	24,875	0,02	585,64
2	25	28,35	11,22	585,64
3	34	31,825	4,73	231,04
4	39	35,3	13,69	104,04
5	42	38,775	10,40	51,84
6	37	42,25	27,56	148,84
7	45	45,725	0,53	17,64
8	44	49,2	27,04	27,04
9	55	52,675	5,41	33,64
10	52	56,15	17,22	7,84
11	67	59,625	54,39	316,84
12	63	63,1	0,01	190,44
13	73	66,575	41,28	566,44
14	67	70,05	9,30	316,84
15	70	73,525	12,43	432,64
Сумма			235,23	3616,40

Следовательно, модель объясняет 93,5% случаев изменения цены акции в зависимости от времени. Можно сделать вывод, что модель качественна.

Построим график исходных данных и модельную кривую с прогнозными значениями:



Используя линейный метод Брауна (параметр сглаживания б =0,4), дать прогноз цены акции на шестнадцатый месяц (период упреждения равен 1) и оценить точность прогноза по среднеквадратической ошибке (MSE) и средней абсолютной процентной ошибке (MAPE).

1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а 0 и а 1 линейной модели

.

Получаем начальные значения параметров модели Брауна

a0(0)=a0= 18,600; a1(0)=a1= 4,800

которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL "ОТРЕЗОК" и "НАКЛОН" соответственно.

2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):

3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания б=0,4 (в=1-0,4=0,6)

Получим:

5) По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:

Для t=2:

6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

t		a0	a1
1	25	18,600	4,800	23,40	1,60	0,064	2,560
2	25	24,424	5,824	30,25	-5,25	0,210	27,542
3	34	26,889	2,465	29,35	4,65	0,137	21,580
4	39	32,328	5,438	37,77	1,23	0,032	1,523
5	42	38,556	6,228	44,78	-2,78	0,066	7,750
6	37	43,002	4,446	47,45	-10,45	0,282	109,174
7	45	40,762	-2,241	38,52	6,48	0,144	41,980
8	44	42,667	1,906	44,57	-0,57	0,013	0,329
9	55	44,206	1,539	45,75	9,25	0,168	85,647
10	52	51,668	7,462	59,13	-7,13	0,137	50,840
11	67	54,567	2,899	57,47	9,53	0,142	90,908
12	63	63,568	9,001	72,57	-9,57	0,152	91,551
13	73	66,445	2,877	69,32	3,68	0,050	13,531
14	67	71,676	5,231	76,91	-9,91	0,148	98,148
15	70	70,567	-1,109	69,46	0,54	0,008	0,295
Сумма						1,753	643,357

7) Вычислим среднюю абсолютную процентную ошибку (MAPE) для данного параметра сглаживания:

8) Вычислим среднеквадратическую ошибку (MSE):

Выполним прогноз по модели Брауна при б=0,4:



Размещено на Allbest.ru

...