Для этого проанализируем графики корреляционной и частной корреляционной функции, представленные на рисунках 21 и 22.

Рис 21. Коррелограмма ряда дивидендов

Рис 2. Частная коррелограмма ряда дивидендов

По рисункам 21 и 22 видно, что, во-первых, коэффициент автокорреляции и частной автокорреляции оказались значимыми на лаге больше третьего, во-вторых, коррелограмма затухает по синусоиде. Все это является индикатором наличия сезонности в данных.

Наконец, проведем HEGY тест на наличие сезонных единичных корней (приложение, рис. 47).

Таблица 17. HEGY тест ряда дивидендов до сглаживания

Поскольку наблюдаемое значение статистики сезонного единичного корня (с шагом в 4 квартала) по модулю больше критического, то нулевая гипотеза о наличие сезонного единичного корня не отвергается на 5% уровне значимости. Следовательно, ряд является нестационарным по сезонной компоненте. Таким образом, необходимо устранить сезонность в данных, иначе это может привести к неправильным результатам. Для этого воспользуемся методом скользящего среднего, вычисляемого по формуле (34).

Где 2p - длина интервала сглаживания (в данном случае четыре квартала), t - длина временного ряда.

Проведем новый HEGY тест для сглаженного временного ряда (приложение, рис. 48).

Таблица 18. HEGY тест ряда дивидендов после сглаживания

По таблице 18 видно, что теперь наблюдаемая статистика меньше критической, следовательно, можно признать ряд стационарным по сезонной компоненте.

3. На следующем этапе необходимо рассмотреть несколько ARIMA (p;d;q) моделей и выявить наилучшую из них для дальнейшего анализа.

Поскольку исходный ряд был изначально стационарным, то порядок интегрируемости d = 0. Для того, чтобы сделать предположение о значениях параметров p и q, необходимо проанализировать графики автокорреляционную и частную автокорреляционную функции (рис. 23 и 24).

Рис 23. Автокорреляционная функция сглаженного ряда дивидендов

Рис 24. Частная автокорреляционная функция сглаженного ряда дивидендов

рынок недвижимость макроэкономический

Поскольку, ACF имеет форму затухающей синусоиды, а PACF имеет выбросы на первых двух лагах, то можно сделать предположение, что это модель AR(2). Так как ACF имеет выброс на 1 лаге, а PACF экспоненциально затухает, меняя знак, то делаем предположение, что это модель MA(1). Таким образом, предположительно наилучшей моделью окажется модель ARIMA (2;0;1).

Теперь сравним несколько ARMA моделей и на основе информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца (BIC), тестов на нормальность и автокорреляцию остатков, а также характеристик прогноза моделей, выявим наилучшую для дальнейшего анализа.

При выборе моделей для анализа мы следовали негласному правилу известному как “принцип экономии” [11], заключающийся в минимизации числа параметров модели.

Однако, с ростом шага их точность уменьшается, что снижает надежность полученных оценок модели. Рассмотрим различные ARIMA модели (приложение, рис. 49 - 63).

Таблица 19. Сравнение различных ARIMA моделей

По таблице 19 видно, что автокорреляцией остатков не обладают модели ARIMA (1;0;1), ARIMA (2;0;1) и ARIMA (1;0;1) + линейный тренд. Однако, предпочтительнее оказывается модель ARIMA (1;0;1), поскольку она обладает наименьшими значениями информационных критериев и параметрами прогнозирования. Стоит также отметить, что остатки этой модели не подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, полученная модель ARIMA (1;0;1) задается следующим уравнением (35).

Все коэффициенты данного уравнения значимы на 5% уровне.

4. Теперь на основании полученных оценок коэффициентов ( необходимо рассчитать стоимость акций по формуле (36).

+

Где , i- ставка дисконтирования.

5. На следующем этапе оценим методом OLS регрессию, задающуюся уравнением (37).

Параметр = 33,96753 (приложение, рис. 64).

6. На последнем этапе проверим следующую нулевую гипотезу H₀: . Вероятностное распределение данной статистики сводится к распределению (0,05;2). Таким образом, все рассчитанные показатели представлены в таблице 20.

Таблица 20. Параметры двух OLS моделей зависимости цены акции от дивидендов

Поскольку наблюдаемое значение меньше критического, то нулевая гипотеза не отвергается. Следовательно, согласно тесту Веста, “пузырь” в ценах акций строительной компании “ЛСР” отсутствует.

3.4 Прогнозирование стоимости квадратного метра на первичном рынке

Далее был построен прогноз модели влияния макроэкономических показателей на стоимость квадратного метра квартир в Москве с помощью нейронных сетей в статистическом пакете SPSS. Входными данными послужили ежеквартальные показатели базового уровня инфляции (inflation), курса доллара (dollar) и цены нефти Brent (oil), а в качестве выходных данных была рассмотрена цена квадратного метра на первичном рынке Москвы (price) на временном промежутке с 1 квартала 2009 года по 4 квартал 2018 года. Были выбраны данные макроэкономические показатели, поскольку согласно таблице 5 именно они значимо влияют на ценообразование квартиры и не обладают мультиколлинеарностью. Прогноз будет построен на два последующих года с шагом в один квартал.

В качестве нейронной сети был выбран многослойный персептрон, архитектура которого представлена на рисунке 25.

Рис 25. Архитектура многослойного персептрона

Нейронная сеть многослойный персептрон выбрана по причине наличия алгоритма обучения, а именно алгоритма обратного распространения ошибки, с помощью которого существует возможность настройки параметров сети в режиме реального времени. Цель обучения нейронной сети заключается в минимизации отклонений выходов значений сети от известных значений. Данный процесс описывается формулой (38).

Где M - количество наблюдений в обучающей выборке; - значение n-го выхода сети на наблюдении m в обучающей выборке; - значение зависимой переменной.

Однако из-за сложной структуры функции ошибок нейронной сети алгоритм обратного распространения ошибки может гарантировать лишь нахождение локального минимума. Поэтому для поиска минимума ошибки рассматриваются нейронные сети с разными значениями весов для обучающей, тестовой и контрольной выборки, разным количеством скрытых слоев, а также варьируются значения количества нейронов на каждом слое. Стоит отметить, что при увеличении количества слоев нейронной сети, метод обратного распространения ошибка начинает снижать свои результаты. Поэтому установлено, что данный алгоритм может работать эффективно на двух и менее скрытых слоях. В качестве функции активации была выбрана функция гиперболического тангенса, представленная функцией (39).

)

Где y - выходные данные, - параметр, влияющий на наклон сигмоидной функции.

Сравнивая функцию гиперболического тангенса с сигмоидой, у последней можно выделить ряд недостатков, по причине которых данная функция не была рассмотрена в данном исследовании. Во-первых, выход сигмоиды не центрирован относительно нуля, что может влиять на динамику градиентного спуска. Так, если нейрон получает только положительные значения, то в зависимости от градиента всего выражения градиенты весов могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это приводит к зигзагообразной динамики обновления весов. У гиперболического тангенса такого недостатка нет из-за его центрированности относительно нуля. Во-вторых, следующим недостатком сигмоиды как и гиперболического тангенса является ее насыщение на концах области значения функции, вследствие чего значение градиента на этих участках становится близко к нулю. А процесс обратного распространения ошибки включает в себя одну из операций, заключающуюся в умножении локального градиента на общий градиент. Поэтому, если значение локального градиента будет стремится к нулю, то это будет обнулять и общий градиент. В итоге, сигнал не будет проходить через нейрон.

Кроме того, поскольку область значения гиперболического тангенса представляет собой следующий интервал (-1;1), то предварительно необходимо произвести нормализацию и корректировку данных в пакете SPSS, которая выполняется по закону, описывающимся формулой (40).

Где min - минимальное значение переменной x; max - максимальное значение переменной x; - значение параметра поправки.

Были рассмотрены нейронные сети с различными весами обучающей, тестовой и контрольной выборки. Характеристики сетей представлены в таблице.

Таблица 21. Характеристики нейронной сети многослойный персептрон с функцией активации гиперболического тангенса

По таблице 21 видно, что наименьшими и наиболее стабильными (уравненными) относительными ошибками обладают сети со следующими распределениями весов между выборками: 62,5-15-22,5; 72,5-7,5-20 и 70-10-20 (выделены желтым цветом).

Таблица 22. Важность показателей независимых переменных в модели

Так, по-моему, мнению наилучшей нейронной сетью является сеть с 72,5% обучающей выборки, которая показала относительную ошибку в 0,366% на обучающей выборке, 0,38% на тестовой выборке и 0,344% на контрольной выборке.

Рис 26. Различные модели нейронных сетей для стоимости квадратного метра на первичном рынке недвижимости г. Москвыв период с 2009 по 2020 годы

По рисунку 26 видно, что все три нейросетевые модели прогнозируют незначительное увеличение цен к концу 2020 года. Анализируя таблицу 23, приходим к выводу, что к концу 2020 года цен на квадратный метр квартиры на первичном рынке установится в промежутке от 117914 до 123147 рублей. В среднем с начала 2019 года цены должны вырасти на 0,52% - 2,28%. Такой малый рост вполне обоснован в виду достаточно стабильной экономической обстановки в стране.

Таблица 23. Показатели прогноза цены нейросетевых моделей

Заключение