Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Лекция

Тема:

Изучение вариации статистических данных

Содержание

1. Понятие вариации и ее значение

2. Статистические показатели вариации

3. Дисперсия, ее виды и свойства

1. Понятие вариации и ее значение

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако, только основываясь на средней нельзя сказать нечего о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней. Так в некоторых случаях отдельные значения весьма близки к средней, в этом случае значение средней хорошо характеризуют совокупность. В других случаях отдельные значения далеки от средней (выбросы) и тогда средняя не будет отражать всю совокупность. Поэтому построение средней необходимо дополнять изучением показателей вариации.

Различие значений признака у единиц совокупности называется вариацией признака.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием различных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Пример: вариация оценок на экзамене в вузе порождается, в частности, различными способностями студентов, временем, затрачиваемым ими на самостоятельную работу, различием социально-бытовых условий и т.д. Именно вариация и предопределяет необходимость статистики. Если бы все студенты получали одинаковые оценки, то необходимость в статистическом исследовании отпала бы.

Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Вариация во времени предполагает изменение значений признака в различные периоды или моменты времени.

Измерение вариации дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков, а так же установить какие факторы и в какой мере влияют на изучаемые признаки.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, о типичности средней, об устойчивости индивидуальных значений признака, о взаимосвязях между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений.

На основе показателей вариации разрабатываются другие статистические показатели - это показатели тесноты связи между явлениями и показатели точности выборочного наблюдения.

Общая теория статистики измеряет вариацию, опираясь на математическую статистику.

2. Статистические показатели вариации

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели вариации:

1) Размах вариации:

Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака, например, каковы колебания цены на данный товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок времени.

Однако этот показатель не дает представления о характере вариационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и может сильно меняться, если добавить или исключить крайние варианты (когда эти значения аномальны для данной совокупности). В этих случаях размах вариации дает искаженную амплитуду колебания против нормальных ее размеров. Поэтому следует очистить совокупность от аномальных наблюдений, прежде чем определять размах вариации.

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся:

2) Среднее линейное отклонение - дает обобщающую характеристику степени колеблемости признака в совокупности.

(простая),

(взвешенная).

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дает абсолютную меру вариации. Показывает, на какую величину отклоняется признак в изучаемой совокупности от средней величины признака

3) Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:

(простая),

(взвешенная).

4) Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

(простая),

(взвешенная).

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Величина у часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. Отклонение, выраженное в , называется нормированным или стандартизированным.

Между средним линейным и средним квадратическим отклонением существует следующее отношение: , если фактическое распределение близко к нормальному. По свойству мажорантности средних величин .

Относительные показатели вариации

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях рассчитывают относительные показатели вариации.

1) Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений вокруг средней:

2) Линейный коэффициент вариации:

3) Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации применяется для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений близких к нормальному).

статистический вариация отклонение дисперсия

3. Дисперсия, ее виды и свойства

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а так же между группами. Различают следующие виды дисперсии:

1) Общая дисперсия изучает вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

2) Межгрупповая дисперсия отражает вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки:

,

где - средняя по i-ой группе,

- численность i-ой группы.

3) Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, обусловленную неучтенными факторами и не зависящая от признака-фактора, положенного в основание группировки:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме дисперсий внутригрупповой (средней из групповых дисперсий) и межгрупповой (дисперсии частных средних), т.е.

Существует закон сложения дисперсий:

Это равенство известно как правило сложения дисперсий, его автором является Вильгельм Лексис (1837-1914), немецкий статистик и экономист

Правило сложения дисперсии позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака:

,

Эмпирическое корреляционное отношение находится в пределах . Если , то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если , то результативный признак зависит от группировочного признака.

Для проверки существенности связи между группировочным признаком и вариацией исследуемого признака часто используется дисперсионное отношение или F-критерий Фишера:

v₁ и v₂ - число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом: v₁ = m-1; v₂ = N-m

m - число групп

N - число наблюдений

Полученное значение критерия, называемое фактическим (расчетным) сравнивают табличным (критическим) значением которое определяется по таблице в зависимости от степеней свободы.

Если F_факт F_табл наличие связи доказано.

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

3) Уменьшение всех значений признака в А раз уменьшает дисперсию в А² раз:

4) Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет > среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

Расчет дисперсии альтернативного признака

Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимно исключающих значения. Это альтернативные признаки. Им придается соответственно два количественных значения: варианты 1 и 0. Частостью варианты 1, которая обозначается p, является доля единиц, обладающих данным признаком. Разность 1-р = q является частостью варианты 0. Таким образом,

Средняя арифметическая альтернативного признака , т.к. p+q = 1. Дисперсия альтернативного признака

, т.к. 1-р = q

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.

Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p = q, дисперсия достигает своего максимума pq = 0,25.

Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.

Размещено на allbest.ru