Теорія прийняття рішень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти та науки України

Державний вищий навчальний заклад

"Київський національний економічний університет ім. Вадима Гетьмана"

Звіт

Теорія прийняття рішень

Омельчук А.М.

Київ - 2019

Задача 1. Побудова і аналіз когнітивних карт як засобів підтримання прийняття рішень

1. Побудувати когнітивну карту для аналізу перспектив розвитку комп'ютерного ринку на період 2-3 найближчих роки.

Які експертні процедури виявлення концептів та причинно-наслідкових зв'язків застосовуються для побудови знакового графу для досліджуваної проблеми?

Визначити позитивні та негативні зворотні зв'язки в побудованому знаковому графі; проаналізувати їхній вплив на властивості стабільності економічної системи.

Побудуємо когнітивну модель, яка дозволить проаналізувати поведінку комп'ютерного ринку під час зміни різних факторів, що впливають на нього. У даній праці виділено фактори, які за допомогою PEST аналізу було розділено на чотири групи.

Політичні:

? геополітичне положення;

? курс валют;

? витрати на митне оформлення (ввезення);

? наявність програм підтримки державою комп'ютерного ринку;

? простота реєстрації підприємства і видачі ліцензії;

? труднощі, пов'язані з отриманням кредиту.

Економічні:

? актуальність продукту (товарів) і його попит;

? новизна продукту і його життєвий цикл;

? динаміка зміни цін;

? рівень конкуренції на ринку;

? рівень рентабельності продукту;

? можливість довгострокового капіталовкладення;

? вартість ПО, провайдерських послуг, витрати на оплату персоналу, зберігання товару тощо.

Соціальні: ? рівень довіри до торгівельної марки;

? менталітет жителів країни;

? аудиторія користувачів;

? доходи населення;

? рівень безробіття.

Технічні:

? якість техніки;

? рівень інформатизації;

? рівень розвиненості платіжних систем;

? безпека платежів;

? якість ПО;

? якісна служба доставки;

? рекламна кампанія.

Кожен із зазначених факторів певним чином пов'язаний з іншими (одним або декількома). Для відображення зв'язку між ними будується таблиця зв'язків. Значення в таблиці відображає, як фактор, що знаходиться у рядку, що містить цю клітинку впливає на фактор у стовпці. Число у клітинці слід інтерпретувати наступним чином. Наприклад, якщо маємо 0,8, то при зміні фактора у рядочку на 10 %, фактор у стовпці зміниться на 8 %.



Отримана модель показує, що збільшення доходів населення призведе до збільшення значень факторів "актуальність продукту", "рівень конкуренції", "рівень рентабельності", "довгострокове капіталовкладення", а також зменшення показників факторів "складнощі із отриманням кредиту" та "рівень безробіття". Наступна зміна цих факторів призведе до ще більшого зростання "рівня конкуренції" і "рентабельності продукту" і до ще більшого зменшення значення фактору "складнощі із здобуттям кредиту". На даному прикладі видно, що когнітивне моделювання дуже відрізняється від інших видів економіко-математичного моделювання. Воно дозволяє оцінити систему в цілому і показати поетапне зростання або спадання деяких показників. Так, рівень рентабельності зросте сукупно на 9,2 % + 3,45 % = 11,3 %.

Задача 2. Побудова і аналіз дерева рішень

2. Фермер може вирощувати або кукурудзу, або соєві боби. Імовірність того, що ціни на майбутній урожай цих культур збільшаться, залишаться на тому ж рівні або знизяться, дорівнює відповідно 0.25; 0.30 і 0.45. Якщо ціни зростуть, врожай кукурудзи дасть 30 тис.грн. чистого доходу, а врожай соєвих бобів - 10 тис.грн. Якщо ціни залишаться незмінними. фермер лише покриє свої витрати. Але якщо ціни знизяться, врожай кукурудзи і соєвих бобів призведе до збитків в 35 і 5 тис.грн. відповідно. Представити дану задачу у вигляді дерева рішень. Визначити, яку культуру доцільніше вирощувати.

Вибираємо боби, очікуваний дохід 250 грн.

Задача 3. Теорія корисності

1. Особа має функцію корисності u(x)= і вона вибирає нове місце роботи, виходячи з двох альтернатив. У першому випадку її невизначений прибуток може становити 1,0 грошових одиниць з ймовірністю 0,5 або 3,0 гр.од. з тією ж ймовірністю. У другому місці їй пропонується детермінований прибуток у 2,0 гр.од.

Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?

1 варіант роботи з прибутком 1 гр.од.

1 варіант роботи з прибутком 3. гр.од.

2 варіант роботи з прибутком 2.гр.од.

Середній очікуваний прибуток:

Оскільки середньо очікуваний прибуток нижчий ніж в будь-якому з варіантів роботи, тому особа може вибрати будь-який варіант

Задача 4. Метод аналізу ієрархій

Завдання 1.

Відділ кадрів фірми звузив пошук майбутнього співробітника до трьох кандидатур: Анастасії (А), Віктора (В) та Степана (С). Кінцевий відбір базується на трьох критеріях: співбесіді (1), досвіді роботи (2) та рекомендації (3). Відділ кадрів використовує матрицю А для порівнянь трьох критеріїв. Після проведеної співбесіди з трьома кандидатами, збору даних щодо досвіду їх роботи і рекомендаціям, побудовані матриці . Якого із трьох кандидатів слід прийняти на роботу? Оцінити узгодженість порівнянь.

;

;

Узгодженість судження оцінюється індексом однорідності (індексом узгодженості) або відношенням однорідності (відношенням узгодженості) відповідно до таких формулами:

M (uo) - середнє значення індексу однорідності випадковим чином складеної матриці парних порівнянь, яке засноване на експериментальних даних. Значення є таблична величина, вхідним параметром виступає розмірність матриці (таблиця).

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
M(ио)	0	0	0.58	0.9	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

В якості допустимого використовується значення OO ? 0.1. Якщо для матриці парних порівнянь OO> 0.1, то це свідчить про істотне порушення логіки суджень, допущене експертом при заповненні матриці, тому експерту пропонується переглянути дані, використані для побудови матриці, щоб поліпшити однорідність.

Алгоритм ієрархічного синтезу.

1. Визначимо вектори пріоритетів Wi щодо останнього рівня ієрархії. Для цього будуємо матриці парних порівнянь [Ei] і обчислюємо для кожної з матриць максимальні власні значення (для оцінки однорідності суджень) і головні власні вектора (пріоритети).

2. Аналогічним чином обробляємо матриці парних порівнянь для вищого рівня. Дані матриці побудовані для того, щоб визначити перевагу елементів певного ієрархічного рівня щодо елементів вищого.

	1	2	3
1	1	2	1/4
2	1/2	1	1/5
3	4	5	1

Головний власний вектор можна обчислити наближено.

Підсумуємо елементи кожного рядка і знайдемо суму всіх елементів матриці:

S=3.25+1.7+10=14.95

Нормалізує вектор Ws розподілом кожної координати на величину S, одержуємо наближене значення головного власного вектора:

Наближене значення максимального власного значення можна знайти за формулою лmax=ETAW:

=

При такому обчисленні головного власного вектора і максимального власного значення може виявитися, що узгоджена в дійсності матриця є неузгодженою за обчисленнями і навпаки.

Нормований власний вектор: W=(0.217; 0.114; 0.669)

лmax=3.076

ОС=0.038/0.58=0.0655

Матриця для 1

	A	B	C
A	1	3	4
B	1/3	1	1/5
C	1/4	5	1

Власний вектор: V=(2.1; 0.4; 1)

Головний власний вектор можна обчислити наближено.

Підсумуємо елементи кожного рядка і знайдемо суму всіх елементів матриці:

S=8+1.533+6.25=15.783

Нормалізує вектор Ws розподілом кожної координати на величину S, одержуємо наближене значення головного власного вектора:

Наближене значення максимального власного значення можна знайти за формулою лmax=ETAW:

=

Нормований власний вектор: W=(0.507; 0.0971; 0.396)

лmax=3.736

ОС=0.368/0.58=0.634

Матриця для 2

	A	B	C
A	1	1/3	2
B	3	1	1/2
C	1/2	2	1

Власний вектор: VB=0.9; 1.1; 1

Головний власний вектор можна обчислити наближено.

Підсумуємо елементи кожного рядка і знайдемо суму всіх елементів матриці:

S=3.333+4.5+3.5=11.333

Нормалізує вектор Ws розподілом кожної координати на величину S, одержуємо наближене значення головного власного вектора:

Наближене значення максимального власного значення можна знайти за формулою лmax=ETAW:

=

Нормований власний вектор: WB=0.294; 0.397; 0.309

лmax=3.728

ОС=0.364/0.58=0.628

Матриця для 3

	A	B	C
A	1	Ѕ	1
B	2	1	1/2
C	1	2	1

Власний вектор: V=0.6; 0.8; 1

Головний власний вектор можна обчислити наближено.

Підсумуємо елементи кожного рядка і знайдемо суму всіх елементів матриці:

S=2.5+3.5+4=10

Нормалізує вектор Ws розподілом кожної координати на величину S, одержуємо наближене значення головного власного вектора:

Наближене значення максимального власного значення можна знайти за формулою лmax=ETAW:

=

Нормований власний вектор: W=0.25; 0.35; 0.4

лmax=3.225

ОС=0.113/0.58=0.195

Виходячи з обчислень варто на роботу взяти Анастасію.

Задача 5. Теоретичні питання дисципліни

1. Сформулювати сутність проблеми раціонального вибору.

Теорія раціонального вибору - загальний термін для різних підходів теорії дії в економічних та соціальних науках. Ці підходи описують раціональну поведінку діючих суб'єктів (акторів).

Основні припущення класичної теорії раціонального вибору вбачаються вже в працях Фукідіда:

Держави - головні актори міжнародної політики;

Дії держав раціональні;

Зовнішні дії з боку природи, як правило, безладні, але існують винятки;

Основні цілі держав: могутність і безпека.

Поряд з цим теорія раціонального вибору орієнтується на класичну політичну економію Адама Сміта, посилається на "розуміючу соціологію" Макса Вебера та ідеї Ганса Моргентау. Робиться спроба пояснити складні соціальні дії на абстрактних моделях. Раніше представники теорії раціонального вибору бачили перспективи її застосування в можливості встановлення універсальних соціальних законів за аналогією з ньютонівської механікою, проте сучасні дослідники, визнаючи гідності математичних моделей для теоретичних побудов, також вказують на пріоритет причинних пояснень. когнітивний економічний раціональний

2. В яких основних умовах приймаються рішення, згідно з теорією?

3. Пояснити сенс формальної постановки задачі прийняття рішень.

Задача прийняття рішень(ЗПР) с це така задача, яка може бути сформульована в термінах цілі, засоби, результати. Математична модель ЗПР являє собою формальний опис елементів які її складають (цілі, засоби, результати), а також звнязки між засобами і результатами. Треба звернути увагу, що в математичній моделі ЗПР повинен повністю описуватись весь набір засобів (явно/неявно).

4. Дати характеристику задачам прийняття рішень за рівнем структурованості проблем.

Класифікація ЗПР здійснюється в двох аспектах: 1) Класифікація по опису засобів, результатів та звнязків між ними. 2) Класифікація по опису цілі ЗПР. Визначимо три множини: 1. X с множина альтернатив, тобто засобів, що ми вибираємо. 2. S с множина станів зовнішнього середовища, яка характеризує прояв невизначеності в процесі прийняття рішення. 3. Z с множина наслідків, результат розвнязку ЗПР. Відображення X Ч S > Z с відображає звнязок між засобами і рішеннями.

5. Привести приклад постановки та напрямків розв'язання задачі прийняття рішень. Виділити складові ситуації прийняття рішень.

Припустимо, що при розробці моделі авто нас цікавить два показники: ціна та максимальна швидкість. Маємо можливість вибирати потужність двигуна, кузов, варіанти окремих агрегатів, при цьому кожному фіксованому набору компонент буде відповідати ціна та максим. швидкість автомобіля, який ми отримаємо. Визначимо множини X с набори агрегатів авто, S с один стан середовища, Z с конкретні моделі автомобіля, що отримуються, V с максимальна швидкість, C с ціна. Ставиться задача максимізувати швидкість та мінімізувати ціну.

6. Які українські науковці мають значні досягнення в моделюванні економічних систем?

В. Бодров, І. Лукінов, І. Розпутенко

Задача 6. Прийняття рішень на базі методів ігрового моделювання

1. Розв'язати задачу ігрового моделювання графічно

Дві конкуруючі фірми (гравці) реалізують на ринок продукцію, що швидко псується. Кожен із гравців хоче зайняти сегменти ринку (стратегії). Відомі прибуток (виграш) або збиток (програш) для кожного сегмента ринку, які наведені в платіжній матриці:

Знайти оптимальні стратегії й ціну гри кожного гравця і дати економічну інтерпретацію розв'язку.

1. Перевіряємо, чи має платіжна матриця седловую точку. Якщо так, то виписуємо рішення гри в чистих стратегіях.

Вважаємо, що гравець I вибирає свою стратегію так, щоб отримати максимальний свій виграш, а гравець II вибирає свою стратегію так, щоб мінімізувати виграш гравця I.

гравці	B1	B2	a = min(Ai)
A1	1	2	1
A2	3	5	3
A3	4	1	1
A4	-3	4	-3
A5	-2	1	-2
b = max(Bi)	4	5

Знаходимо гарантований виграш, який визначається нижньою ціною гри a = max (ai) = 3, яка вказує на максимальну чисту стратегію A2.

Верхня ціна гри b = min (bj) = 4.

Що свідчить про відсутність сідлової точки, так як a ? b, тоді ціна гри знаходиться в межах 3 ? y ? 4. Знаходимо рішення гри в змішаних стратегіях. Пояснюється це тим, що гравці не можуть оголосити противнику свої чисті стратегії: їм слід приховувати свої дії. Гру можна вирішити, якщо дозволити гравцям вибирати свої стратегії випадковим чином (змішувати чисті стратегії).

2. Перевіряємо платіжну матрицю на домінуючі рядки і домінуючі стовпці.

Іноді на підставі простого розгляду матриці гри можна сказати, що деякі чисті стратегії можуть увійти в оптимальну змішану стратегію лише з нульовою ймовірністю.

Кажуть, що i-я стратегія 1-го гравця домінує його k-ю стратегію, якщо aij ? akj для всіх j Е NИ хоча б для одного j aij> akj. В цьому випадку говорять також, що i-я стратегія (або рядок) - домінуюча, k-я - домінованих.

Кажуть, що j-я стратегія 2-го гравця домінує його l-ю стратегію, якщо для всіх j Е M aij ? ailі хоча б для одного i aij <ail. В цьому випадку j-ю стратегію (стовпець) називають домінуючою, l-ю - домінованих.

Стратегія A2 домінує над стратегією A1 (всі елементи рядка 2 більше або дорівнюють значенням 1-ої рядка), отже, виключаємо 1-у рядок матриці. Імовірність p1 = 0.

Стратегія A1 домінує над стратегією A5 (всі елементи рядка 1 більше або дорівнюють значенням 5-ої рядка), отже, виключаємо 5-у рядок матриці. Імовірність p5 = 0.

Стратегія A2 домінує над стратегією A4 (всі елементи рядка 2 більше або дорівнюють значенням 4-ої рядка), отже, виключаємо 4-ї рядок матриці. Імовірність p4 = 0.

3	5
4	1

У платіжної матриці відсутні домінуючі стовпці.

Ми звели гру 5 x 2 до гри 2 x 2.

Так як гравці вибирають свої чисті стратегії випадковим чином, то виграш гравця I буде випадковою величиною. В цьому випадку гравець I повинен вибрати свої змішані стратегії так, щоб отримати максимальний середній виграш.

Аналогічно, гравець II повинен вибрати свої змішані стратегії так, щоб мінімізувати математичне очікування гравця I.

3. Знаходимо рішення гри в змішаних стратегіях.

Запишемо систему рівнянь.

Для гравця I

3p1 + 4p2 = y

5p1 + p2 = y

p1 + p2 = 1

Для гравця II

3q1 + 5q2 = y

4q1 + q2 = y

q1 + q2 = 1

Вирішуючи ці системи методом Гаусса (рішення див. Нижче), знаходимо:

y = 32/5

p1 = 3/5 (імовірність застосування 1-ої стратегії).

p2 = 2/5 (імовірність застосування 2-ий стратегії).

Оптимальна змішана стратегія гравця I: P = (3/5; 2/5)

q1 = 4/5 (імовірність застосування 1-ої стратегії).

q2 = 1/5 (імовірність застосування 2-ий стратегії).

Оптимальна змішана стратегія гравця II: Q = (4/5; 1/5)

Ціна гри:

y = 32/5

Також рішення можна знайти за наступними формулами:

2.Розв'язати задачу ігрового моделювання як гру з природою (по різним критеріям прийняття рішень):

Банк має можливість виділення 10 млн.грн. на формування портфеля цінних паперів. Цінні папери можна придбати у компаній К 1,К 2 і К 3. Номінальна вартість акцій компанії К 1 становить 3 млн. грн., компанії К 2 - 2 млн.грн., компанії К 3 - 5 млн.грн. На кінець року ринок цінних паперів може опинитися в одному із двох станів: стагнації (С 1) або рецесії (С 2). Експерти встановили, що дивіденди компанії К 1 для стану С 1 на кінець року становитимуть 10% номінальної вартості акції, а для стану С 2 - 15%; для компанії К 2 - відповідно 8 і 12%; для компанії К 3 - 14 і 8%. Використовуючи ігровий підхід і критерії Вальда, Севіджа і Гурвиця для прийняття рішень в умовах невизначеності, дати рекомендації банку по формуванню такої структури портфеля цінних паперів, яка забезпечуватиме йому найбільшу можливу суму прибутку. Самостійно вибрати і обґрунтувати величину коефіцієнту песимізму в критерії Гурвиця.

Розрахуємо матрицю ефективності можливих портфелів банку при різних станах ранка.

Портфель акцій		К 1	К 2	К 3	Итого прибыль
1 портфель: по 1 по акції всіх компаній	С 0	0,3	0,16	0,7	1,16
С 1	0,45	0,24	0,4	1,09
2 портфель: 5 акцій компанії К 2	С 0	0	0,8	0	0,8
С 1	0	1,2	0	1,2
3 портфель: 2 акції компанії К 3	С 0	0	0	1,4	1,4
С 1	0	0	0,8	0,8
4 портфель: 2 акції К 1 і 2 акції К 2	С 0	0,6	0,32	0	0,92
С 1	0,9	0,48	0	1,38

Уявімо рішення задачі у вигляді гри: кожен портфель являє собою стратегію гравця А (Банк), а можливі стану ринку є стратегії гравця В (Природа).

Тоді матриця гри набуде вигляду:

	В 1	В 2
А 1	1,16	1,09
А 2	0,8	1,2
А 3	1,4	0,8
А 4	0,92	1,38

Стратегія А 2 є домінованих (її домінує стратегія А 4), тому її можна відкинути як свідомо невигідну. Таким чином, отримуємо наступну матрицю:

	В 1	В 2
А 1	1,16	1,09
А 3	1,4	0,8
А 4	0,92	1,38

Зробимо оцінку портфелів за критерієм Вальда, розрахувавши мінімальні виграші гравця А при кожній чистої стратегії за формулою:

Оптимальною за критерієм Вальда є та стратегія, яка має максимальний з мінімальних виграшів, т. Е. Стратегія А 1.

Розрахуємо оцінку портфелів за критерієм Гурвіца (k = 0,7).

Задача 7. Прийняття рішень за умов невизначеності

Нехай функціонал оцінювання відображає обсяги виручки, що може отримати банк від реалізації акцій чотирьох компаній в залежності від станів економічного середовища (у млн. грн.)

Варіант	Стани економічного середовища
Рішення	1	2	3
х 1	6,0	6,2	5,5
х 2	7,5	7,1	7,0
х 3	7,4	7,5	8,0
х 4	7,0	5,8	6,0

Відомо, що стани економічного середовища можуть реалізуватись, відповідно, з ймовірностями: р 1=0,3; р 2=0,5; р 3=0,2.

Виберіть оптимальне рішення згідно критеріїв:

а) мінімальної семіваріації;

б) мінімального коефіцієнта семіваріації.

Вказівка. Вважати, що оптимальне рішення знаходиться серед рішень, що утворюють множину Парето.

Задача 8. Експертні методи прийняття рішень

Визначити ступінь узгодженості думок п'яти експертів за результатами ранжирування ними семи об'єктів капіталовкладень, використовуючи коефіцієнт конкордації Кендалла.

Номер объекта экспертизы	Оценка эксперта	Сумма рангов	Отклонение от среднего	Квадрат отклонения
	1	2	3	4	5
1	4	6	4	4	3	21	1	1
2	3	3	2	3	4	15	-5	25
3	2	2	1	2	2	9	11	121
4	6	5	6	5	6	28	8	64
5	1	1	3	1	1	7	-13	169
6	5	4	5	6	5	25	5	25
7	7	7	7	7	7	35	15	225

Етап 1. Створення експертної комісії.

Число факторів n = 5, Число експертів m = 7

Етап 2. Збір думок фахівців шляхом анкетного опитування.

Оцінку ступеня значимості параметрів експерти виробляють шляхом присвоєння їм рангового номера. Фактору, якому експерт дає найвищу оцінку, присвоюється ранг 1. Якщо експерт визнає кілька факторів рівнозначними, то їм присвоюється однаковий ранговий номер. На основі даних анкетного опитування складається зведена матриця рангів.

Етап 3. Складання зведеної матриці рангів.

№ п.п. / експерти	1	2	3	4	5	6	7
1	4	3	2	6	1	5	7
2	6	3	2	5	1	4	7
3	4	2	1	6	3	5	7
4	4	3	2	5	1	6	7
5	3	4	2	6	1	5	7

Так як в матриці є пов'язані ранги (однаковий ранговий номер) в оцінках 1-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводитися без зміни думки експерта, тобто між ранговими номерами повинні зберегтися відповідні співвідношення (більше, менше або дорівнює). Також не рекомендується ставити ранг вище 1 і нижче значення рівного кількості параметрів (в даному випадку n = 5). Переформування рангів проводиться в табл.

Номер місця в порядковому місці	Розміщення факторів по оцінці експертів	Нові ранги
1	3	1
2	4	3
3	4	3
4	4	3
5	6	5

Так як в матриці є пов'язані ранги в оцінках 2-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводиться в табл.

Номер місця в упорядкованому місці	Розміщення факторів по оцінці експертів	Нові ранги
1	2	1
2	3	3
3	3	3
4	3	3
5	4	5

Так як в матриці є пов'язані ранги в оцінках 3-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводиться в табл

Номери місць в упорядкованому ряду	Розташування факторів за оцінкою експерта	Нові ранги
1	1	1
2	2	3.5
3	2	3.5
4	2	3.5
5	2	3.5

Так як в матриці є пов'язані ранги в оцінках 4-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводиться в табл

Номери місць в упорядкованому ряду	Розташування факторів за оцінкою експерта	Нові ранги
1	5	1.5
2	5	1.5
3	6	4
4	6	4
5	6	4

Так як в матриці є пов'язані ранги в оцінках 5-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводиться в табл

Номери місць в упорядкованому ряду	Розташування факторів за оцінкою експерта	Нові ранги
1	1	2.5
2	1	2.5
3	1	2.5
4	1	2.5
5	3	5

Так як в матриці є пов'язані ранги в оцінках 6-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводиться в табл

Номери місць в упорядкованому ряду	Розташування факторів за оцінкою експерта	Нові ранги
1	4	1
2	5	3
3	5	3
4	5	3
5	6	5

Так як в матриці є пов'язані ранги в оцінках 7-го експерта, зробимо їх переформування. Переформування рангів проводиться в табл

Номери місць в упорядкованому ряду	Розташування факторів за оцінкою експерта	Нові ранги
1	7	3
2	7	3
3	7	3
4	7	3
5	7	3

На підставі переформування рангів будується нова матриця рангів.

№ п.п. / Експерти	1	2	3	4	5	6	7
1	3	3	3.5	4	2.5	3	3
2	5	3	3.5	1.5	2.5	1	3
3	3	1	1	4	5	3	3
4	3	3	3.5	1.5	2.5	5	3
5	1	5	3.5	4	2.5	3	3

Матрица рангов

Фактори / експерти	1	2	3	4	5	6	7	Сумма рангов	d	d2
x1	3	3	3.5	4	2.5	3	3	22	1	1
x2	5	3	3.5	1.5	2.5	1	3	19.5	-1.5	2.25
x3	3	1	1	4	5	3	3	20	-1	1
x4	3	3	3.5	1.5	2.5	5	3	21.5	0.5	0.25
x5	1	5	3.5	4	2.5	3	3	22	1	1
?	15	15	15	15	15	15	15	105		5.5

Де

Перевірка правильності складання матриці на основі обчислення контрольної суми:



Сума по стовпчиках матриці рівні між собою і контрольної суми, значить, матриця складена правильно.

Етап 4. Аналіз значущості досліджуваних факторів.

В даному прикладі чинники за значимістю розподілилися наступним чином (табл.).

Розташування факторів за значимістю

Фактори	Сумма рангов
x2	19.5
x3	20
x4	21.5
x1	22
x5	22

Етап 5. Оцінка середнього ступеня узгодженості думок всіх експертів.

Скористаємося коефіцієнтом конкордації для випадку, коли є пов'язані ранги (однакові значення рангів в оцінках одного експерта):

де S = 5.5, n = 5, m = 7

Li - число зв'язок (видів повторюваних елементів) в оцінках i-го експерта, tl - кількість елементів в l-й зв'язці для i-го експерта (кількість повторюваних елементів).

T1 = [(33-3)]/12 = 2

T2 = [(33-3)]/12 = 2

T3 = [(43-4)]/12 = 5

T4 = [(33-3) + (23-2)]/12 = 2.5

T5 = [(43-4)]/12 = 5

T6 = [(33-3)]/12 = 2

T7 = [(53-5)]/12 = 10

?Ti = 2 + 2 + 5 + 2.5 + 5 + 2 + 10 = 28.5

W = 0. 0189 говорить про наявність слабкого ступеня узгодженості думок експертів.

Етап 7. Підготовка рішення експертної комісії.

На основі отримання суми рангів (табл.) Можна обчислити показники вагомості розглянутих параметрів. Матрицю опитування перетворимо в матрицю перетворених рангів за формулою sij = xmax - xij.

де xmax = 7

Матриця перетворених рангів

№ п.п. / експерти	1	2	3	4	5	6	7	?	Вес л
1	3	4	5	1	6	2	0	21	0.2
2	1	4	5	2	6	3	0	21	0.2
3	3	5	6	1	4	2	0	21	0.2
4	3	4	5	2	6	1	0	21	0.2
5	4	3	5	1	6	2	0	21	0.2
Ітого								105	1

Задача 9. Метод ELECTRE прийняття багатоцільових рішень

Розв'язується задача вибору місця будівництва аеропорту за трьома критеріями С 1,С 2,С 3. Ваги критеріїв відповідно становлять: w1=2; w2=3; w3=1. Розкид оцінок варіантів по критеріям наведено в таблиці:

Критерій	Найгірше значення	Найкраще значення
С 1: Вартість будівництва	200 млн. у.о.	120 млн. у.о.
С 2: Час проїзду від центру міста	100 хв.	30 хв.
С 3: Кількість людей, що потерпає від шумового впливу	70 тис.	10 тис.

Розглядаються чотири альтернативи вибору місця будівництва:

А ($150 млн, 60 мин., 10 тыс.);

С ($140 млн, 50 мин., 20 тыс);

В ($120 млн, 40 мин., 15 тыс.);

D ($150 млн, 50 мин., 25 тыс.).

Реалізувати алгоритм побудови багатокритеріального вибору альтернатив методом ELECTRE: 1. Побудувати матриці індексів узгодженості та неузгодженості. 2. Задати перші порогові значення рівнів узгодженості та неузгодженості. 3. Проаналізувати відношення між альтернативами. Визначити ядро множини алтернатив. 4. Змінити порогові значення рівнів узгодженості та неузгодженості. 5. Виконавши ітеративну процедуру пошуку, побудувати послідовність ядер на множині альтернатив.

Задача 10. Задача визначення оптимального плану економічної діяльності

Потрібно визначити план випуску чотирьох видів продукції ПІ, П 2, ПЗ, П 4, для виготовлення яких необхідні ресурси трьох типів: трудові, матеріальних-ні, фінансові. Норми витрати ресурсу, кількість кожного виду ресурсу вказані в таблиці. Виходячи з вимог попиту, задані нижні і верхні граничні межі випуску кожного виду продукції. На основі наведених вихідних даних скласти математичну модель для визначення плану випуску продукції з метою отримання максимального прибутку.

Ресурси	Вид продукції	Запаси
	П 1	П 2	ПЗ	П 4
Трудові	1	2	3	4	40
Матеріальні	6	5	4	3	110
Фінансові	4	6	8	12	100
Межі: нижня	12	5	2	3	-
верхня	-	-	-	3	-
Прибуток	60	70	120	130

Знайти оптимальний план. Дати економічну інтерпретацію розв'язку початкової та двоїстої задач.

Позначимо через х 1, х 2, х 3, х 4 - кількість продукції, що випускається видів П 1, П 2, П 3, П 4, яке треба знайти.

Тепер складаємо обмеження. З табл.2.2.1 видно, що для випуску одиниці продукції П 1 потрібно одна одиниця трудових ресурсів, П 2, П 3, П 4 - відповідно 2, 3, 4 одиниць трудових ресурсів. Тоді реквізит трудовий ресурс для випуску всіх видів продукції буде дорівнює х 1 + 2х 2 + 3х 3 + 4х 4.

Очевидно, що реквізит ресурс не може перевищувати наявний, тобто для трудового ресурсу справедливо нерівність

х 1 + 2х 2 + 3х 3 + 4х 4 = 40,

де 40 - наявний ресурс

Якщо скласти аналогічні залежності для інших видів ресурсів і додати гранично допустимі значення для випуску кожного виду продукції, то отримаємо систему:

(1)

У цій системі нерівності, що встановлюють залежно для ресурсів - обмеження, а гранично допустимі значення змінних - граничні умови. В обмеженнях ліві частини нерівності - потрібні ресурси, а праві - наявні.

Якщо в нерівності ввести додаткові змінні у 1і0, у 2і0, у 3і0, то можна записати

(2)

У цій системі додаткові змінні - це різниця між розташовуваним ресурсом і потрібною і, отже, рівні невикористовуваних ресурсу, тобто це резерви кожного виду ресурсів.

Очевидно, що система (2), що містить три рівняння і сім змінних, має незліченну безліч рішень, тобто різних варіантів плану. Всі ці можливі варіанти, що задовольняють системі (1), є допустимими планами.

Якщо отримати оптимальне рішення дуже важливо, то мати допустиме рішення - необхідно.

Розглянемо нерівність ах Ј b. Якщо від нерівності ми хочемо перейти до рівняння, то введемо додаткову змінну у і запишемо ах + у = b, тобто отримаємо одне рівняння з двома невідомими.

У загальну постановку задачі оптимізації входять нерівності виду

(I = 1 ... т), де п - число невідомих; т - число нерівностей. Якщо в кожне нерівність додати невід'ємне невідоме y1 і 0

(I = 1 ... m), то від системи нерівностей можна перейти до системи рівнянь

У цій системі загальне число невідомих N = n + m, де п - число основних невідомих xj; т - число додаткових невідомих yi, яке дорівнює числу рівнянь.

Можливі три варіанти співвідношення величин N та т.

1. Число невідомих менше, ніж число рівнянь: N <m.

наприклад,

тобто N = 1, m = 2. Очевидно, ця система рішення не має, тобто немає таких значень х 1, які задовольняли б обом рівнянням. У цьому випадку говорять, що система умов несовместна. Значить, якщо число невідомих N менше числа рівнянь т, то система рішення не має і є несумісною.

2. Число невідомих дорівнює числу рівнянь: N = m.

Неважко знайти, що вирішенням цієї системи будуть значення х 1 = 2, х 2 = 1. Таким чином, лінійна система, в якій число невідомих N дорівнює числу рівнянь т, має одне рішення.

Наявність (2) або відсутність рішень (1) при різних співвідношеннях числа змінних N і числа рівнянь т справедливо тільки для лінійно-незалежних рівнянь, які не можуть бути отримані множенням, діленням, складанням, відніманням вихідних рівнянь.

Наприклад, нехай є рівняння 2х = 10, з якого можна отримати кілька: х = 5; 4х = 20; 6х = 30 і т.д. Всі ці рівняння будуть лінійно залежними, і нових відомостей про залежності для змінної не містять. Тому в цьому прикладі m = 1 (а не 4).

є тільки два лінійно незалежних рівняння, так рівняння (в) є результат підсумовування (а) і (б), а рівняння (г) є результат ділення (в) на 5.

3. Число невідомих більше числа рівнянь: N> m. наприклад,

2х 1 + х 2 = 2. Очевидно, що всі значення х 1 і х 2, що лежать на прямій (рис.) цього рівняння, є його рішенням. Значить це рівняння має незліченну кількість рішень. Отже, якщо в системі число невідомих N більше числа рівнянь m, то така система має безліч рішень.

У разі, коли система має більше одного можливого рішення, може бути поставлена задача оптимізації. При цьому суть такого завдання, як ми вже знаємо, полягає в тому, щоб з усіх допустимих рішень, які відповідають обмеженням і граничним умовам, вибрати таке, яке надає ЦФ оптимальне, тобто максимальне або мінімальне значення.

Якщо всі обмеження і ЦФ лінійні, завдання оптимізації, як нам відомо, є завданням ЛП.

Згадаймо побудова лінійних залежностей. Почнемо з рівнянь

Лінійне рівняння з двома змінними може бути записано a1x1 + a2x2 = b. Щоб побудувати це рівняння, знайдемо точки перетину з осями координат. При х 1 = 0 отримуємо a2x2 = b, звідки х 2 = b / a2. При х 2 = 0 отримуємо a1x1 = b, звідки х 1 = b / a1 (рис)

Розділимо тепер ліву і праву частини рівняння на b і перепишемо рівняння

Або або

яке називають рівнянням прямої в відрізках. Таке уявлення рівняння зручно для побудови прямої, так як величини a1 і a2 - це відрізки, що відсікаються прямій на тих осях, які вказані в чисельнику. Наприклад, 2х 1 + х 2 = 2 або в формі рівняння у відрізках

тобто a1 = 1, a2 = 2 (рис).

Тепер згадаємо нерівності. Якщо лінійне рівняння з двома змінних 2х 1 + х 2 = 2 може бути представлено прямий на площині, то нерівність a1x1 + a2x2 Ј b зображується як напівплощина.

Так нерівність 2х 1 + х 2 Ј 2 являє собою заштрихованную напівплощина, координати всіх точок якої, тобто х 1 і х 2 задовольняють заданому рівності. Значить, ці значення становлять область допустимих рішень (ОДР).

Розглянемо побудову системи лінійних нерівностей:

або у формі, аналогічній рівнянням у відрізках:



Вирішення цієї системи нерівностей - координати всіх точок, що належать ОДР, тобто АВСД. Так як в ОДР незліченна безліч точок, значить розглянута задача має безліч допустимих рішень.

Чи не будь-яка система лінійних нерівностей має ОДР, тобто допустимі рішення.

До сих пір розглядали лінійні рівняння і нерівності з двома змінними. Якщо перейти до лінійних залежностей з трьома змінними, то тоді вони будуть описувати площину в тривимірному просторі; лінійне нерівність характеризує півпростору, а система лінійних нерівностей - багатогранник як ОДР в тривимірному просторі.

Зі збільшенням числа змінних вище трьох, геометрична інтерпретація неможлива, але система нерівностей - ОДР в k-вимірному просторі.

При цьому мірність простору визначають як: якщо обмеження задані нерівностями, то k = п, де п - число змінних; якщо обмеження у вигляді рівнянь, то k = n-т, де т - число рівнянь.

Якщо ми хочемо знайти оптимальне рішення, то повинні прийняти ЦФ. Припустимо, ми хочемо, щоб рішення було оптимальним в сенсі максимізації випуску в цілому. Тоді ЦФ:

max L = x1 + x2.

Покладемо L рівній якого-небудь числа (будь-якого), наприклад 2, і побудуємо рівняння ЦФ:

Так як нам потрібно знайти оптимальне рішення, при якому досягається maxL, будемо переміщувати лінію ЦФ в напрямку збільшення L. Очевидно, що оптимальним рішенням будуть координати точки С, рівні. При цьому L = L *.

Звідси можна зробити виключно важливий висновок: оптимальне рішення - координати вершини ОДР.

З цього висновку слід метод вирішення завдань ЛЗ, який полягає в наступному.

1. Знайти вершини ОДР як точки перетину обмежень.

2. Визначити послідовно значення ЦФ в вершинах.

3. Вершина, в якій ЦФ набуває оптимальне (max або min) значення, є оптимальною вершиною.

4. Координати оптимальної вершини є оптимальні значення шуканих змінних.

Размещено на Allbest.ru

...