Определение погрешностей в статистике

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОТВЕТЫ К ЗАЧЕТУ

1. Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений. Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели. Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета.

2. Инструментальная погрешность - погрешность средства измерения, обусловленная несовершенством средства измерения. Такая погрешность составляет половину цены деления шкалы.

3. Субъективная погрешность - это погрешность, возникающая из-за низкой степени квалификации оператора средства измерений, а также из-за погрешности зрительных органов человека, т. е. причиной возникновения субъективной погрешности является человеческий фактор.

4. Основная погрешность - погрешность, возникающая в нормальных условиях применения средства измерения (температура, влажность, напряжение питания и др.), которые нормируются и указываются в стандартах или технических условиях.

5. Дополнительная погрешность - составляющая погрешности СИ, дополнительно возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от ее нормального значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значения. Другими словами - это погрешность измерительного прибора, вызванная отклонением условий его работы от нормальных.

6. Влияющая величина - физическая величина, непосредственно не измеряемая средством измерения, но оказывающая влияние на него или объект измерений таким образом, что это приводит к искажению результата измерения.

7. Рабочие условия измерений - это условия измерений, при которых значения влияющих величин находятся в пределах рабочих областей.

8. Нормальные условия измерений (нормальные условия) - это условия измерения, характеризуемые совокупностью значений или областей значений влияющих величин, при которых изменением результата измерений пренебрегают вследствие малости.

9. Приведенная погрешность -- погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона.

10. Статическая погрешность -- это неопределенность в оценке истинного значения измеряемой величины, которая возникает из-за того, что несколько повторных измерений тем же самым инструментом дали различающиеся результаты.

11. Динамическая погрешность - это погрешность СИ, возникающая при измерении изменяющейся в процессе измерений физической величины.

12. Аддитивная погрешность - погрешность измерения, при которой при всех значениях входной измеряемой величины Х значения выходной величины Y изменяются на одну и ту же величину, большую или меньшую от номинального значения.

13. Мультипликативная погрешность (lat - получаемая путем умножения) - погрешность, величина которой изменяется прямо пропорционально измеряемой величине.

14. Погрешность линейности - это закономерное отклонение реальной характеристики от номинальной. ИЛИ: погрешность, появляющаяся тогда, когда отличие реальной функции преобразования от номинальной вызвано нелинейными эффектами

15. Единство измерений -- состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах, а погрешности известны с заданной вероятностью и не выходят за установленные пределы.

16. Влияющие величины подразделяются на следующие группы:

• климатические (температура окружающей среды, относительная влажность, атмосферное давление);

• электрические и магнитные (колебания электрического тока, напряжение в электрической сети, частота переменного тока, магнитное поле и др.);

• внешние нагрузки (вибрации, ударные нагрузки, внешние касания деталей приборов, ионизирующее излучение, газовый состав атмосферы и т. д.).

17. Систематическая погрешность - это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности могут быть связаны, например, с неправильной установкой измерительного прибора или с неточной его регулировкой. Они появляются также, если пренебречь влиянием каких-либо внешних факторов (например, температуры).

18. Случайная погрешность - величина, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Она вызывается причинами, которые не могут быть определены при измерении и на которые нельзя оказать влияния. Присутствие случайных погрешностей можно обнаружить лишь при повторном измерении той же величины с одинаковой тщательностью. Если при повторении получаются одинаковые числовые значения, то это указывает не на отсутствие случайных погрешностей, а на недостаточную точность и чувствительность метода или средства измерений.

19. Класс точности -- обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также рядом других свойств, влияющих на точность осуществляемых с их помощью измерений.

20. Пример динамической погрешности:



21. Основные единицы СИ

Производные единицы СИ:

Единицы, не входящие в СИ:



22. Классификация погрешностей измерений может осуществляться по разным классификационным признакам (основаниям), например:

• по источникам возникновения (например, инструментальные погрешности, субъективные погрешности),

• по степени интегративности (интегральная погрешность и составляющие погрешности, например инструментальную погрешность можно рассматривать как составляющую интегральной погрешности измерения);

• по характеру проявления или изменения от измерения к измерению (случайные, систематические и грубые),

• по значимости (значимые, пренебрежимо малые),

• по причинам, связанным с режимом измерения (статические и динамические),

• по уровню имеющейся информации (определенные и неопределенные),

• по формам выражения (абсолютные и относительные погрешности),

• по формам используемых оценок (среднее квадратическое значение, доверительные границы погрешности и др.).

23. Класс точности средств измерений - обобщенная характеристика данного типа средств измерений, как правило, отражающая уровень их точности, выражаемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность.

24. К основным видам средств измерений относят следующие:

• Эталон

• Мера

• Измерительный преобразователь

• Измерительный прибор

• Измерительная установка

• Измерительная система

25. Виды эталонов:

• Первичный эталон -- это эталон, воспроизводящий единицу физической величины с наивысшей точностью, возможной в данной области измерений на современном уровне научно-технических достижений. Первичный эталон может быть национальным (государственным) и международным.

• Вторичный эталон -- эталон, получающий размер единицы непосредственно от первичного эталона данной единицы.

• Эталон сравнения -- эталон, применяемый для сличений эталонов, которые по тем или иным причинам не могут быть непосредственно сличены друг с другом.

• Исходный эталон -- эталон, обладающий наивысшими метрологическими свойствами (в данной лаборатории, организации, на предприятии), от которого передают размер единицы подчинённым эталонам и имеющимся средствам измерений.

• Рабочий эталон -- эталон, предназначенный для передачи размера единицы рабочим средствам измерений.

• Государственный первичный эталон -- первичный эталон, признанный решением уполномоченного на то государственного органа в качестве исходного на территории государства.

• Международный эталон -- эталон, принятый по международному соглашению в качестве международной основы для согласования с ним размеров единиц, воспроизводимых и хранимых национальными эталонами.

26. Стандартизация -- деятельность по разработке, опубликованию и применению стандартов, по установлению норм, правил и характеристик в целях обеспечения безопасности продукции, работ и услуг для окружающей среды, жизни, здоровья и имущества, технической и информационной совместимости, взаимозаменяемости и качества продукции, работ и услуг в соответствии с уровнем развития науки, техники и технологии, единства измерений, экономии всех видов ресурсов, безопасности хозяйственных объектов с учётом риска возникновения природных и техногенных катастроф и других чрезвычайных ситуаций, обороноспособности и мобилизационной готовности страны.

27. Дополнительные единицы системы СИ:

28. Виды измерений:

29. Физическая величина -- свойство, общее в качественном отношении для множества объектов и индивидуальное в количественном отношении для каждого из них.

Размер физической величины - это количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, процессу или явлению.

Значение физической величины - это выражение физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц измерения.

Единица измерения физической величины - физическая величина фиксированного размера, которой присвоено числовое значение, равное единицы, и применяемая для количественного выражения однородных с ней физических величин.

30. Погрешность результата измерения - отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

31. Погрешность средства измерения - разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.

32. Погрешность параллакса - погрешность, возникающая из-за видимого изменения относительных положений отметок шкалы вследствие перемещения глаза наблюдателя. Погрешность обусловлена в том, что взгляд наблюдателя, линия визирования не являются нормалью к поверхности.

33. Пример возникновения субъективной погрешности: Человеческий фактор. Например запоздалая реакция, проблемы со зрением, торопливость, малый опыт обращения с оборудованием.

34. В ПФЭ каждый фактор варьируется на двух уровнях. Число возможных комбинаций уровней факторов будет:

N=2^k, (3.14), где k- число факторов.

Таким образом, эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней факторов, называют полным факторным экспериментом.

Условия эксперимента удобно представлять в виде таблицы, называемой матрицей планирования или планом эксперимента, который включает «собственно план» и вспомогательные столбцы, служащие для обработки уже проведённого эксперимента.

При большом числе опытов и факторов удобно пользоваться следующим правилом для составления матрицы планирования ПФЭ: в первом столбце х₁ знаки «плюс» и «минус» меняются поочередно; во втором х₂ - через два; в третьем - через четыре; в четвертом - через восемь и т.д. Матрица планирования эксперимента 2³ с эффектами взаимодействия имеет вид:

35. Уравнение регрессии - это формула статистической связи между зависимыми и независимыми переменными. Если это уравнение линейное, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных - множественной регрессией. Это математическая формула, применяемая к независимым переменным, чтобы лучше спрогнозировать зависимую переменную, которую необходимо смоделировать.

Y = B0 + B1X1 + B2X2 + … + BNXN

36. Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции) g(x), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.

В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В случае если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция - нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую наиболее близко ко всем заданным узлам. Таким образом, критерием близости функции является g(xi)=yi.

В качестве функции g(x) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом.

В случае если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В случае если между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами, а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).

Любая линейная функция может быть записана уравнением

Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой.

С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение:

Решение поставленной задачи сводится к нахождению экстремума указанной функции двух переменных. С этой целью находим частные производные функции функции по коэффициентам a и b и приравниваем их к нулю.

37. Нахождение коэффициентов факторов в ПФЭ: Наиболее приемлемым способом отбора факторов являются пошаговые процедуры. Среди таких процедур наиболее популярны:

• Метод включения

• Метод исключения

Метод исключения решает проблему отбора фактором путем пошагового исключения наименее значимого фактора на основе сравнения модели полученной на данном шаге с моделью полученной на предыдущем шаге. Первоначально рассматривается полный набор факторов, процедура завершается тогда, когда исключение любого фактора из числа оставшихся приводит к существенному ухудшению построенной модели.

Метод включения решает проблему отбора фактором путем пошагового включения каждого фактора на основе сравнения качества модели полученной на данном шаге с моделью полученной на предыдущем шаге. Качество модели оценивается путем анализа величины скорректированного коэффициента множественной детерминации.

Коэффициенты линейной модели в нормированных координатах вычисляются по формулам:

Коэффициенты линейной модели в естественных (ненормированных) координатах вычисляются по формулам:

38. Нахождение приведенной погрешности по классу точности:

Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора):



Д = ±ДG/G_норм · 100%

Где ДG - абсолютная погрешность, G_норм - нормирующее значение измеряемой величины.

Ее принимают равной:

а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;

б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;

в) длине шкалы, если шкала неравномерная.

37. Для определения коэффициентов при взаимодействии факторов пользуются правилом умножения столбцов матрицы планирования.

38. Чтобы найти число взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться формулой числа сочетаний !( )! ! m k m k С m k ? =, где k - число факторов; m - число элементов во взаимодействии.

39. Виды метода наименьших квадратов (МНК):

Суть метода - сумма квадратов отклонений фактических значений функции У от значений, найденных по уравнению регрессии, должна быть наименьшей.

Виды МНК:

• Матричный

• Точечный

• Интегральный



погрешность наименьший квадрат величина

40. Прямое измерение -- это измерение, при котором искомое значение физической величины находится непосредственно из опытных данных в результате сравнения измеряемой величины с эталонами. Например, измерение длины линейкой, температуры - термометром, массы - взвешиванием.

41. Косвенные измерения - это измерения, при которых определение искомого значения физической величины производится на основании результатов прямых измерении других физических величин, функционально связанных с искомой величиной. К косвенным измерениям относятся, например, измерения объема или плотности твердых тел, определение скорости тел по измерениям отрезков пути и промежутков времени и т.п.

42. При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

• Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.

• Оцените точность результата косвенных измерений по формулам

Размещено на http://www.allbest.ru/

средних значениях величин.

Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Д (или д).

• Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

• Результат измерения запишите в виде:

N = ѓ (Їx, Їy, Їz,...) ± Дѓ.

? Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений

е = Дѓ · 100%.

43. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

Аппроксимация - это определение параметров аналитической функции, описывающей набор точек, полученных в результате эксперимента.

ИЛИ: Аппроксимация - замена одной функции другой, близкой к первичной и достаточно просто вычисляемой.

44. Базисная функция -- функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. Базисная функция может также называться базисным вектором, если базис определен в линейном пространстве. Наборы базисных функций обладают тем свойством, что все функции из данного функционального пространства (с учётом некоторых ограничений) могут быть представлены как их линейная комбинация. Например, любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд Тейлора. Если в качестве базисных выбраны синусоидальные функции, то разложение по ним есть преобразование Фурье и т. д.

45. Матричный способ МНК:

46. Пусть в результате изменений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f: x x1 x2 …. xn

f(x) y1 y2 …. Yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. То есть найти функцию заданного вида y=F(x) (*), которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения как можно ближе к табличным значениям y1, y2, …, yn.

Практический вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице строится точечный график функции f, а затем проводится кривая по возможности наилучшим образом приближающая характер расположения точек.

По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции. Формула (*) называется уравнением регрессии y на x. Продолжение - https://studopedia.ru/8_9560_vopros-priblizhenie-funktsiy-metod-naimenshih-kvadratov.html

47. Метод наименьших квадратов (МНК) -- математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции.

Краткая инструкция по методу наименьших квадратов для чайников: определяем вид предполагаемой зависимости (чаще всего берется линейная регрессия вида y(x) = ax + b), выписываем систему уравнений для нахождения параметров a, b. По экспериментальным данным проводим вычисления и подставляем значения в систему, решаем систему любым удобным методом (для размерности 2-3 можно и вручную). Получается искомое уравнение.

48. Аппроксимация проводится с целью установления уравнения связи между входными и выходными параметрами.

Аппроксимацию условно можно разделить на три части:

I часть - построение графика по опытным данным и установление по виду графика возможных видов уравнений связи для их описания;

II часть - определение коэффициентов предполагаемого уравнения связи (или нескольких уравнений);

III часть - оценка надежности полученного уравнения; при наличии нескольких уравнений оценивается надежность каждого уравнения и выбирается более точное.

Для определения коэффициентов уравнений связи можно использовать следующие методы: Графический - используется в случае линейного уравнения или уравнения, приведенного к линейному виду (линеаризованного) - является самым грубым. Свободный коэффициент определяется как отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат, а коэффициент при Х - как тангенс угла наклона прямой к положительной оси абсцисс.

Метод избранных точек - предполагает выбор двух (по числу коэффициентов уравнения) опытных точек, через которые проходит прямая, и решение системы из двух уравнений. Система уравнений составляется путем подстановки выбранных опытных значений X и Y в исходное уравнение. Метод средних (метод уравновешенной погрешности) - предполагает использование всех опытных данных. Полученная при постановке опытных значений система из n уравнений делится на столько примерно равных частей, сколько коэффициентов. В каждой части уравнения почленно складываются.

Метод наименьших квадратов - основан на условии минимальности суммы квадратов разности опытных значений и соответствующих им расчетных значений.

49. Алгоритм ПФЭ:

Прежде всего, предполагается, что уже определены параметры оптимизации и полная группа факторов, которые оказывают влияние на эти параметры. Следующий этап -- оценка границ областей определения каждого из факторов. При оценке границ необходимо учитывать те ограничения, о которых мы уже говорили. Это принципиальные ограничения для значений факторов, ограничения технико-экономического характера и технологические ограничения. Кроме того, при оценке границ факторов должна использоваться априорная информация.

В качестве априорной информации, которая может помочь в получении представления о характере функции отклика, о силе влияния факторов и т.п., могут использоваться результаты однофакторных экспериментов (в нашем случае -- сценарии инвестиционного проекта, качественный анализ рисков, результаты анализа чувствительности и т.д.).

Выбор основного уровня факторов. Из анализа априорной информации (в частности, сценариев инвестиционного проекта) можно определить комбинацию (или несколько комбинаций) уровней факторов, которые можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Эту комбинацию называют основным (нулевым) уровнем.

Координаты этой точки могут зависеть от целей эксперимента. Если целью эксперимента является нахождение экстремальных условий, то координаты нулевого уровня должны быть близки к оптимальным условиям, если же цель заключается в построении регрессионной модели (как в случае риск-менеджмента), то в качестве нулевого уровня часто берут центральную точку интервала.

Построение плана эксперимента после выбора нулевого уровня сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно этого уровня.

Выбор интервала варьирования. Теперь наша цель состоит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. (ЭТО НЕ ВСЕ, ТАМ СЛИШКОМ БОЛЬШОЙ АЛГОРИТМ)

50. Точечный МНК:

51. Интегральный МНК:

52. Погрешности измерений:

Выделяют следующие виды погрешностей:

• абсолютная погрешность;

• относительна погрешность;

• приведенная погрешность;

• основная погрешность;

• дополнительная погрешность;

• систематическая погрешность;

• случайная погрешность;

• инструментальная погрешность;

• методическая погрешность;

• личная погрешность;

• статическая погрешность; ? динамическая погрешность.

Погрешности измерений

Погрешность - это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Истинное значение ФВ может быть установлено лишь путем проведения бесконечного числа измерений, что невозможно реализовать на практике. Истинное значение измеряемой величины является недостижимым, а для анализа погрешностей в качестве значения ближайшего к истинному, используют действительное значение измеряемой величины, значение получают с использованием самых совершенных методом измерений и самых высокоточных средств измерений. Таким образом, погрешность измерений представляет собой отклонение от действительного значения ?=Xд - Хизм

Погрешность сопровождает все измерения и связана с несовершенством метода, средства измерения, условия измерения (когда они отличаются от н.у.).

В зависимости от принципов действия прибора те или иные факторы оказывают влияние. Различают погрешности СИ и результата измерений за счет влияния внешних условий, особенностей измеряемой величины, несовершенства СИ.

Погрешность результата измерений включает в себя погрешность и средства измерений, также влияние условий проведения измерений, свойств объекта и измеряемой величины ?ри=?си+?ву+?св.о+?сив.

53. Измерение - нахождение значения величины опытным путем с помощью технических средств. ИЛИ: Измерение -- совокупность действий для определения отношения одной (измеряемой) величины к другой однородной величине, принятой всеми участниками за единицу, хранящуюся в техническом средстве (средстве измерений).

Физическая величина -- измеряемое качество, признак или свойство материального объекта или явления, общее в качественном отношении для класса материальных объектов или процессов, явлений, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Единица физической величины -- это такая физическая величина, которой по соглашению присвоено числовое значение, равное единице.



54. Нормативно-правовые основы измерений (метрологии):

• Конституционная норма по вопросам метрологии (ст.71 Конституции РФ)

• Законы РФ «Об обеспечении единства измерений» и «О техническом регулировании»

• Постановления правительства РФ по отдельным вопросам метрологической деятельности

• Нормативные документы Росстандарта: ГОСТ Р, РД, МИ, ПР, РМГ

• Рекомендации государственных научных метрологических центров Росстандарта

55. Единство измерений -- состояние измерений, при котором их результаты выражены в допущенных к применению в Российской Федерации единицах величин, а показатели точности измерений не выходят за установленные границы.

В 1954 году организуется Комитет стандартов, мер и измерительных приборов при Совете Министров СССР (Госстандарт), который в последующем был преобразован в Государственный Комитет Российской Федерации по стандартизации и метрологии (Госстандарт России) - вплоть до 90-х годов прошлого столетия. В настоящее время федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики, нормативно-техническому регулированию в области обеспечения измерений, является Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии Росстандарт.

56. Совокупные измерения - измерения, в которых значения нескольких одновременно измеряемых однородных величин находят решением системы уравнений, которые связывают разные комбинации этих величин, измеряемые прямо или косвенно.

57. Совместные измерения -- проводимые одновременно измерения двух или нескольких разнородных величин для определения зависимости между ними.

58. Пути снижения значений погрешностей:

• Многократные измерения

• Усреднение результатов многократных измерений

• Фильтрация

• Комплексирование

• Косвенные измерения

• Совершенствование прибора

• Совершенствование методики измерения

59. Обозначение классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений, приводятся в нормативно-технических документах. В этой же документации должна быть ссылка на стандарт или технические условия, в которых установлен класс точности для этого типа средств измерения.

Размещено на Allbest.ru

...