Применение пределов в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский Государственный Политехнический университет

Кафедра математики

Применение пределов в экономике

Выполнил: студент 1 курса ИИЭиГО-10

Игуменов Илья Максимович

Руководитель:

Бенгина Татьяна Алексеевна

Самара 2020

Введение

Понятие предела несомненно занимает ключевое место в математике. Оно является основным понятием математического анализа, без которого невозможны многие экономические расчеты. Представление о понятии предела является очень древним, основанным на эмпирических исследованиях, а современная теория - результат систематизации и эволюции этих представлений. Такие математики древности, как Евклид и Аристотель, выдвигали идею существования предела. Но лишь спустя несколько столетий Ньютон обратил внимание на эту идею и ввел термин limes (предел).

Цель моей работы - выяснить, в каких экономических расчетах применяется понятие предела

Мы поставили перед собой следующие задачи:

1) Выяснить, каким образом применяется пределы при подсчете сложных процентов

2) Определить, каким образом находить рыночную цену при помощи пределов

3) Выявить способ, при помощи которого пределы позволяют находить эластичность спроса и предложения

Число a называется пределом последовательности , если по мере возрастания номера n член yn неограниченно приближается к a:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение пределов в экономике

Теория пределов часто используется в различных экономических вычислениях, например, в подсчитывании сложных процентов.

В основном практических расчетах применяют дискретные проценты (начисляемые с определённой периодичностью). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях возникает необходимость в применении непрерывных процентов (например, в доказательствах расчётов, в которых происходят непрерывные процессы). Рассмотрим формулу сложных процентов

,

где P - первоначальная сумма; i - ставка процентов (десятичная дробь); S - сумма, которая образовалась к концу срока ссуды в конце n-го года.

Пример. Найти прибыль от 30000 долларов, положенных на депозит на 3 года под 10 % годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу. Решение. Используем формулу для вычисления сложных процентов:

долл.

В данном случае прибыль будет равна: 39930 - 30000 = 9930 долл. Ответ: 9930 долл. Зачастую в финансовой практике возникают задачи, обратные определению наращенной суммы: по заданной сумме, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды. Имеем:

,

где S - заданная сумма; n - время; P - полученная ссуда.

Следовательно, при очень больших сроках платежа сумма последнего будет крайне незначительна. В финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм почти не используются, однако при выборе и обосновании инвестиционных решений они необходимы (многие экономические явления по своей природе непрерывны). Разновидность формулы сложных процентов в случае, когда проценты начисляются m раз в году:

,

где m - число периодов начисления в году, i - годовая ставка.

Логично, что чем больше m, тем меньше n между моментами начисления процентов. В пределе при m >? имеем:

.

Так как , то .

Чтобы было возможно отличать ставки непрерывных и дискретных процентов, непрерывную ставку обозначим d, тогда .

Пределы так же применяются при использовании производной в экономике. Если функция u=u(t) - объем произведенной продукции за время t, то производная u›(t0) есть производительность труда в момент времени t0. Если y=f(x) - издержки производства при производстве xединиц продукции, то производная y›=f›(x0) выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной продукции. Также существуют другие величины, характеризующие предельные процессы выручки, дохода, продукта, полезности, производительность и т.д.

Если предельные издержки и цена продукции равны, то в таких случаях говорят, что выпуск продукции является оптимальным для производителя.

,

где ?y - изменение денежных единиц, ?x - изменение выпуска продукции, p - цена продукции.

Рассмотрим соотношение между предельным и средним доходами. Пусть p - цена, а q-количество продукции, тогда r = pq, где r - суммарный доход.

Рассмотрим монопольный рынок (на цену влияет одна фирма (иногда несколько): пусть p=aq+b - кривая спроса, тогда r=(aq+b) q=aq2+bq - суммарный доход,  - средний доход,  - предельный доход. В таких условиях действует следующая закономерность: чем большее количество продукции продано, тем предельный доход ниже, а значит и средний доход уменьшается.

В условиях свободного конкурентного рынка товары продают по фиксированной цене (p=b), тогда r = bq - суммарный доход,  - предельный доход,  - средний доход. Значит, при совершенной конкуренции предельный и средний доходы совпадают.

От 0 до  эластичный спрос, от  до  - неэластичный спрос.

Эластичностью функции Ex(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при ?x>0:

.

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении переменной x на 1 % (другими словами, эластичность показывает, на сколько процентов в среднем произойдет изменение спроса при изменении цены на 1 %). Если модуль найденной эластичности больше единицы, то спрос эластичный (); если меньше либо равен единице, тогда спрос называют неэластичным (); если равен единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью .

При p = p(q) - произвольной кривой спроса, предельный доход () равен:

= ,

или иначе

так как Ep(q) < 0.

C возрастанием цены р суммарный доход от продажи продукции увеличивается (при эластичном спросе (, то )) или уменьшается (при неэластичном спросе (, то )).

Пример: даны функции спроса  и предложения s = p + 0,5, где p - цена товара, q - количество покупаемого товара (спрос), а s - количество предлагаемого товара (предложение). Найти рыночную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение. Рыночную цену найдем с помощью равенства q иs:

(ден. ед.).

Эластичность спроса и предложения найдем по формуле

-

эластичность спроса,  - эластичность предложения.

Т.к. p = 2, то , а . Значит, спрос и предложение на этот товар при рыночной цене являются неэластичными: при увеличении цены на 1 % спрос уменьшится на 0,3 %, а предложение возрастет на 0,8 %.

Выводы

В ходе работы мы выяснили:

1) Каким образом применяется пределы при подсчете сложных процентов

2) Каким образом находить рыночную цену при помощи пределов

3) Каким образом при помощи пределов находить эластичность спроса и предложения

Заключение

В ходе работы показана актуальность теории пределов при нахождении показателей в различных экономических ситуациях. Следовательно, теория пределов играет важную роль не только в математике, но и в экономике.

Источники

экономический предел математический

1.Галаян Д.В., Онищенко Л.И., Гулай Т.А. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ // Международный студенческий научный вестник. - 2016. - № 3-3.;

2.URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=15014 (дата обращения: 16.11.2020).

Размещено на Allbest.ru