Применение пределов в экономике
Применение пределов при решении различных видов задач по экономике. Расчет сложных процентов, предельных и средних доходов. Предел функции в точке и на бесконечности. Исследование заданной последовательности на монотонность согласно теореме Вейерштрасса.
Рубрика | Экономика и экономическая теория |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 13.04.2022 |
Размер файла | 292,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Применение пределов в экономике
Содержание
Введение
1. История развития
2. Предел числовой последовательности
2.1 Предел функции в точке
2.2 Предел функции на бесконечности
3. Предел числовой последовательности
4. Экономика
5. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е
Заключение
Список литературы
Введение
Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).
Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.
Понятие предела несомненно занимает ключевое место в математике. Оно является основным понятием математического анализа, без которого невозможны многие экономические расчеты. Представление о понятии предела является очень древним, основанным на эмпирических исследованиях, а современная теория - результат систематизации и эволюции этих представлений. Такие математики древности, как Евклид и Аристотель, выдвигали идею существования предела. Но лишь спустя несколько столетий Ньютон обратил внимание на эту идею и ввел термин limes (предел).
Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.
1. История развития
Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642-1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707-1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781-1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789-1857) в 1821 году.
Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.
При изучении некоторых экономических дисциплин на своём опыте пришлось отметить, что понятие "предельный" часто сбивает с толку. Скорее всего из-за того, что в быту у него несколько другой смысл - максимальный, крайний, превысить который нельзя. Как, например, предельная нагрузка, предельная усталость и т.д. А вот в экономике это понятие определяет несколько другое качество.
Прежде всего данный термин связан с математическим определением "предела", который был введён для учёта очень малых изменений. И вот анализ хозяйственной деятельности как раз показывает, что мы принимаем решения в таком пределе (сколько продать или изготовить деталей, 105 или 106).
Предельной величиной является изменение одного показателя в результате увеличения другого на единицу.
2. Предел числовой последовательности
Понятие предела последовательности или функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.
Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :
2.1 Предел функции в точке
Определение предела функции по Коши
Число называется пределом функции в точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при .
Определение предела функции по Гейне
Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к Теорема
При функция может иметь только один предел.
2.2 Предел функции на бесконечности
Рассмотрим функцию , заданную на .
Определение
Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство .
3. Предел числовой последовательности
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Число называется пределом последовательности и обозначается
,
Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :
Целой частью некоторого числа называется наибольшее целое число, не превосходящее
4. Экономика
Теория пределов часто используется в различных экономических вычислениях, например, в подсчитывании сложных процентов.
В основном практических расчетах применяют дискретные проценты (начисляемые с определённой периодичностью). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях возникает необходимость в применении непрерывных процентов (например, в доказательствах расчётов, в которых происходят непрерывные процессы). Рассмотрим формулу сложных процентов
S = P(1 + i)п,
где P - первоначальная сумма; i - ставка процентов (десятичная дробь); S - сумма, которая образовалась к концу срока ссуды в конце n-го года.
Пример. Найти прибыль от 30000 долларов, положенных на депозит на 3 года под 10 % годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.
Решение. Используем формулу для вычисления сложных процентов:
В данном случае прибыль будет равна:
39930 - 30000 = 9930 долл.
Зачастую в финансовой практике возникают задачи, обратные определению наращенной суммы: по заданной сумме, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды. Имеем:
где S - заданная сумма; n - время; P - полученная ссуда.
Следовательно, при очень больших сроках платежа сумма последнего будет крайне незначительна. В финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм почти не используются, однако при выборе и обосновании инвестиционных решений они необходимы (многие экономические явления по своей природе непрерывны). Разновидность формулы сложных процентов в случае, когда проценты начисляются m раз в году:
где m - число периодов начисления в году, i - годовая ставка.
Логично, что чем больше m, тем меньше n между моментами начисления процентов. В пределе при m имеем:
Так как
Пределы так же применяются при использовании производной в экономике. Если функция u=u(t) - объем произведенной продукции за время t, то производная u>(t0) есть производительность труда в момент времени t0. Если y=fx) - издержки производства при производстве хединиц продукции, то производная y>=f>(x0) выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной продукции. Также существуют другие величины, характеризующие предельные процессы выручки, дохода, продукта, полезности, производительность и т.д.
Если предельные издержки и цена продукции равны, то в таких случаях говорят, что выпуск продукции является оптимальным для производителя.
Рассмотрим соотношение между предельным и средним доходами. Пусть p - цена, а q-количество продукции, тогда r = pq, где r - суммарный доход.
Рассмотрим монопольный рынок (на цену влияет одна фирма (иногда несколько): пусть p=aq+b - кривая спроса, тогда r=(aq+b) q=aq2+bq - суммарный доход В таких условиях действует следующая закономерность: чем большее количество продукции продано, тем предельный доход ниже, а значит и средний доход уменьшается.
Рис. 1
Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится функция y = fx) при изменении переменной x на 1 % (другими словами, эластичность показывает, на сколько процентов в среднем произойдет изменение спроса при изменении цены на 1 %). Если модуль найденной эластичности больше единицы, то спрос эластичный (E (у)| > 1); если меньше либо равен единице, тогда спрос называют неэластичным (|Ex (у)| < 1); если равен единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью E (у)| = 1.
В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x)называют предельными издержками.
Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.
Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.
Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную
В экономике рассматриваются несколько основных показателей.
Предельная полезность - дополнительная полезность, получаемая при увеличении потребляемого блага на единицу. [MU]
Предельный продукт труда - дополнительный продукт, произведённый за счет дополнительной единицы ресурса. [MPL]
Предельные издержки - дополнительные затраты на производство еще одной единицы продукции. [MC]
Предельный доход - прирост дохода от продажи одной дополнительной единицы продукции. [MR]
Предельная прибыль появляется за счет производства и продажи еще одной единицы товара, это разница между предельным доходом и предельными издержками.
Рис. 2
Когда предельные выгоды равны предельным затратам, такое производство или потребление является лучшим, оптимальным. А метод нахождения такого соотношения называется предельным анализом.
Таким образом, термин "предельный" в микроэкономике определяет дополнительное изменение величины.
На графиках и в формулах эти величины для отличия от экономических средних обозначаются с первой латинской буквой М. Например, MP и AP, соответственно, предельный продукт и средний продукт.
5. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е
Теорема Вейерштрасса
Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).
Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.
Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Пример
Задание. Доказать, что последовательность сходится.
Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального :
Исследуем заданную последовательность на монотонность:
,
а значит последовательность монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится.
Пример
Задание. Исследовать последовательность , заданную рекуррентно, на сходимость.
Решение. Предположим, что заданная последовательность сходится, тогда существует , а тогда и
Решая полученное уравнение относительно , получаем:
Так как предел неотрицательных чисел не может быть отрицательным, то делаем вывод, что. Итак, если предел последовательности существует, то он равен 4.
Далее докажем, что:
1) ;
2) является монотонно убывающей последовательностью.
Первое утверждение докажем с помощью метода математической индукции:
1 шаг. Проверяем выполнения равенства для . Выполняется.
2 шаг. Делаем индуктивное предположение, что для данное неравенство имеет место, то есть
3 шаг. Проверяем выполнение неравенства для :
А это означает, что неравенство выполняется для любого натурального . Итак, первое утверждение доказано.
Теперь покажем, что последовательность является монотонно убывающей. Рассмотрим разность
Для получаем, что , то есть последовательность монотонно убывает.
Таким образом, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность является сходящейся.
Ответ. Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность , , заданная рекуррентно, является сходящейся.
предел экономика бесконечность последовательность
Заключение
Понятие предела несомненно занимает ключевое место в математике. Оно является основным понятием математического анализа, без которого невозможны многие экономические расчеты. Представление о понятии предела является очень древним, основанным на эмпирических исследованиях, а современная теория - результат систематизации и эволюции этих представлений.
Если каждому значению x из множества X поставлено в соответствие вполне определённое значение y из множества Y , то говорят, f (x).что на множестве X задана функция y При этом x называется независимой переменной, или аргументом, а y зависимой переменной или функцией, буква f означает закон соответствия.
Множество X называется областью определения функции, а множество областью значений функции.Y Наиболее часто в экономике используются следующие функции:
1. Функция полезности (функция предпочтений) - зависимость полезности, т. е. результата некоторого действия от уровня интенсивности этого действия.
2. Производственная функция - зависимость результата производствен- ной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска - зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек - зависимость издержек производства от объёма выпуска продукции.
5. Функция спроса, потребления, предложения - зависимость объёма спроса, потребления, предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. п.)
Список литературы
1. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование математической подготовки студентов аграрных вузов // Инновационные векторы современного образования 2012. С. 11-16.
2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции. Ответственный за выпуск Башкатова Т.А.. 2014. С. 329-332.
3. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 1 (9). С. 6-10.
4. Галаян Д.В., Онищенко Л.И., Гулай Т.А. Применение пределов в экономических расчетах // Международный студенческий научный вестник. - 2016. - № 3-3.;
5. Жилина Е.В. Элементы математического анализа в экономике [Текст]: метод. указания / Е.В. Жилина. - Ухта: УГТУ, 2015. - 29 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изменение выпуска и спроса на ресурсы при возрастании цены продукции. Реакция производителя на изменение цен ресурсов. Расчет предельных продуктов в оптимальной точке и максимального потока. Расчет оптимального распределения средств между предприятиями.
контрольная работа [490,7 K], добавлен 11.11.2013Исследование понятия, видов и классификации доходов и расходов населения. Анализ структуры доходов и расходов населения в Республике Казахстан. Прожиточный минимум и покупательная способность доходов. Неравномерность распределения доходов и расходов.
курсовая работа [146,8 K], добавлен 25.12.2012Формы, виды и способы статистического наблюдения. Применение индексов в экономике. Статистика численности и состава населения. Статистика естественного движения и статистика миграции населения. Применение методов измерения уровня концентрации в экономике.
курс лекций [640,3 K], добавлен 06.04.2011Понятие средних величин и их значение в экономике. Классификация видов средних величин и их краткая характеристика. Средняя гармоническая и арифметическая, способы их расчета. Примеры применения средних величин в практической работе экономистов.
курсовая работа [205,4 K], добавлен 17.09.2014Классификация групп потребителей посредством АВС-анализа. Применение межотраслевого балансового метода для расчетов полных затрат. Решение задач определенной области валовой продукции по заданной конечности. Методика построения кольцевых маршрутов.
курсовая работа [847,6 K], добавлен 29.07.2012Исследование сущности понятия "биржа", ее классификации, функции, роль в экономике. Характеристика их видов (товарной, фондовой и валютной). Налогообложение и государственный контроль над операциями с ценными бумагами. Спекуляция на фондовой бирже РФ.
курсовая работа [566,9 K], добавлен 04.01.2015Понятие, сущность и содержание бартера в экономике. Основные подходы к бартерным отношениям в экономической теории. Технология организации сложных бартерных сделок в современной экономике. Снижение роли бартера российской экономике в 2000-2008 гг.
курсовая работа [144,4 K], добавлен 29.12.2016Понятие дохода населения, его структура и основные показатели. Принципы распределения доходов в обществе. Проблемы неравенства доходов, методы его измерения, причины и влияющие факторы. Анализ степени распределенности доходов в экономике Казахстана.
курсовая работа [46,0 K], добавлен 04.02.2010Статистический анализ производства и себестоимости. Использование формул средних величин в решении задач, вычисление дисперсии, среднего квадратичного отклонения, коэффициента вариации, предельной ошибки выборки. Практическое применение индексного метода.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 26.06.2009Этапы становления и государственная поддержка малого и среднего предпринимательства в экономике Российской Федерации, анализ его слабых и сильных сторон. Формирование экспортного потенциала страны, возникновение малых и средних ТНК в мировом хозяйстве.
дипломная работа [451,2 K], добавлен 28.07.2011Распределение доходов в рыночной экономике. Доход населения: понятие, структура и показатели. Принципы распределения доходов в обществе. Проблемы неравенства доходов в обществе. Распределение доходов и проблема справедливости в экономике России.
курсовая работа [699,9 K], добавлен 16.01.2008Сущность учения меркантилистов и их взгляды на роль государства в экономике. Взгляды Антуана де Монкретьена. Экономические идеи Томаса Мана. Применение идей меркантилизма и камерализма о роли государства в экономике сегодня.
курсовая работа [46,1 K], добавлен 18.12.2003Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции регрессии. Практическое применение интерполирования. Применение процедуры линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии. Построение квадратичной модели полулогарифмической функции.
курсовая работа [291,1 K], добавлен 23.03.2015История эволюции представлений о роли государства в экономике (теория меркантилистов, кейсианская, монетаристская и классическая теория). Особенности государственного регулирования Российской экономики: переход к рыночной системе, обозначение пределов.
контрольная работа [87,7 K], добавлен 14.01.2011Труды представителей различных школ экономической мысли. Доходы как результат перераспределения совокупного общественного продукта. Инструмент государственного перераспределения доходов. Проблемы справедливости в рыночной экономике, неравенство доходов.
курсовая работа [250,3 K], добавлен 24.06.2010Основные признаки малого предпринимательства, его функции и роль в рыночной экономике. Перспективы дальнейшего развития малого бизнеса в Российской Федерации. Анализ процесса свободного экономического хозяйствования в различных сферах деятельности.
курсовая работа [38,8 K], добавлен 07.12.2013Функции потребления и сбережения в экономике Российской Федерации. Рыночный механизм использования доходов и накоплений. Совокупный спрос и предложение. Парадокс бережливости. Автономные и индуцированные инвестиции. Классический и кейнсианский подходы.
курсовая работа [50,4 K], добавлен 29.10.2014Определение понятия верхнего и нижнего пределов цены, сфер и факторов их формирования. Характеристика эластичного спроса. Применение метода балльных оценок при вычислении розничной цены отечественного сотового телефона, рентабельность его изготовления.
контрольная работа [21,6 K], добавлен 26.02.2012Применение методов экспертных оценок в решении задач управления производством. Сущность метода Дельфи. Экономические методы диагностики: сравнение, группировка, балансовый и графические методы. Виды бенчмаркетинга, его применение для оценки качества.
контрольная работа [24,4 K], добавлен 10.12.2010Функции государства в рыночной экономике. Современные методы государственного регулирования. Прогнозирование экономики. Экономическое программирование. Государственный сектор в рыночной экономике. Государственные ассигнования на науку.
реферат [14,0 K], добавлен 06.03.2007