Мережні методи кореляційного аналізу складних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мережні методи кореляційного аналізу складних систем

Шокотько Людмила Миколаївна викладач кафедри економіки та цифрового бізнесу, завідувач навчально-наукової лабораторії комп'ютерних технологій, Державний Університет економіки і технологій, м. Кривий Ріг

Супрун Анатолій Анатолійович кандидат економічних наук, доцент, декан факультету інформаційних технологій, Державний Університет економіки і технологій, м. Кривий Ріг

Анотація

Нові можливості теоретичного осмислення реальних економічних процесів, що мають загальнозначимий характер для типологічно однорідних умов (економічних систем у поєднанні з етапами та можливостями їх розвитку) дає квантова теорія. Її використання для моделювання складних соціально-економічних процесів принципово розширює межі наукового знання і створює багатий теоретичний і методологічний апарат дослідження систем і процесів усіх видів і класів, вводить нове розуміння незалежності і структури причинно-наслідкових зв'язків.

Акумуляція та перерозподіл фінансових ресурсів між сегментами економіки підвищують її конкурентноспроможність і стійкість відносно впливу дестабілізуючих факторів зовнішнього та внутрішнього середовища. Цю функцію виконує фінансовий ринок, що зумовлює актуальність дослідження та прогнозування його динаміки. При цьому, враховуючи надзвичайно високий рівень складності фінансового сектора економіки, різнобічність і багатоплановість ієрархій досліджуваних об'єктів, каузальних зв'язків і часових співвідношень між ними, доцільним напрямом підвищення якості моделей дослідження динаміки ринку є моделювання взаємодії його структурних елементів.

Поширеними сучасними методами дослідження складних систем, зокрема фондових ринків, являються методи, основою яких є безпосередньо аналіз на основі визначення кореляційних зв'язків в системі - автокореляційний аналіз, R/S-аналізта його модифікації, аналіз детрендованих флуктуацій тощо [1,2].

Досліджені основи даних методів показують їх ефективність в визначенні кореляційних властивостей складних систем, зокрема, фінансово- економічних (фондового, валютного ринку) на підставі аналізу часових рядів, що характеризують динаміку їх складових елементів, проте вони не вичерпують дослідження всіх можливих характеристик корельованих систем, тому в роботі доцільно дослідити та використовувати більш сучасні методи, які ґрунтуються на теорії випадкових матриць (ТВМ).

Саме на дослідженні ступеню кореляційних зв'язків в економічній системі базується мережний метод кореляційного аналізу на базі теорії випадкових матриць.

Ключові слова: матриця Лапласа, матриця суміжності, ряди економічної динаміки, складні системи, теорія випадкових матриць

Abstract

Shokotko Liudmyla Mykolaivna Assistant of Department of Economics and Digital Business, head of the educational and scientific laboratory of computer technologies, State University of Economics and Technology, Kryvyi Rih

Suprun Anatolii Anatolievich Phd, Associate Professor, Head of Information technologies Department, State University of Economics and Technology, Kryvyi Rih

NETWORK PARADIGM OF COMPLEX SYSTEMS RESEARCH

Quantum theory provides new opportunities for theoretical understanding of real economic processes, which have a universal character for typologically homogeneous conditions (economic systems in combination with the stages and possibilities of their development). Its use for modeling complex socioeconomic processes fundamentally expands the boundaries of scientific knowledge and creates a rich theoretical and methodological apparatus for the study of systems and processes of all types and classes, introduces a new understanding of independence and the structure of cause-and-effect relationships.

Accumulation and redistribution of financial resources between segments of the economy increase its competitiveness and resilience to the impact of destabilizing factors of the external and internal environment. This function is performed by the financial market, which determines the relevance of the study and forecasting its dynamics. At the same time, considering the extremely high level of complexity of the financial sector of the economy, versatility and multifaceted hierarchies of the studied objects, causal relationships and temporal relationships between them, the appropriate direction to improve the quality of market dynamics models is modelling of the interaction of its structural elements.

Common modern methods of complex systems studying, in particular stock markets, are methods based on direct analysis based on the definition of correlations in the system - autocorrelation analysis, R/S analysis and its modifications, analysis of detrend fluctuations, etc.

The studied bases of these methods show their effectiveness in studying the correlation properties of complex systems, in particular, financial and economic (stock, currency market) based on the analysis of time series characterizing the dynamics of their constituent elements, but they do not exhaust all possible characteristics of correlated systems, so in the work it is expedient to investigate and use more modern methods, which are based on the theory of random matrixes (TVM).

The network method of correlation analysis based on the theory of random matrices is based on the study of the degree of correlations in the economic system.

Keywords: Laplacian matrix, Adiacency matrix, series of economic dynamics, complex systems, random matrix theory

Постановка проблеми

Одним з ключових факторів в дослідженні та аналізі складних систем, зокрема фондових ринків, є пошук та оцінка взаємозв'язків між окремими елементами даних систем. Тому досить актуальною є проблема знаходження ефективних методів аналізу складних систем на основі дослідження кореляцій.

Протягом останніх років відбулися відчутні зміни в розумінні фундаментальних закономірностей економічних систем. Зокрема, при дослідженні поведінки складних систем на основі дослідження їх взаємозв'язків використовуються методи аналізу нестаціонарних часових рядів: кореляційний та автокореляційний аналіз, R/S-аналіз та його модифікації, стандартний аналіз флуктуацій та більш детальний аналіз детрендованих флуктуацій тощо. Кожен з цих методів надає характеристику складних систем, зокрема, в галузі економічного аналізу.

Автокореляційний аналіз визначає кореляцію функції (ряду) з самою собою зміщеною на певну величину незалежної змінної. Метод заснований на визначенні кореляцій між послідовними значеннями, тому використовується для знаходження закономірностей в рядах, таких як періодичність та персистентність ряду.

R/S-аналіз є сукупністю статистичних прийомів та методів аналізу часових рядів, що дозволяють визначити деякі їх важливі характеристики, такі як наявність неперіодичних циклів, довготермінової пам'яті у часових рядах. Запропонований Херстом алгоритм R/S-аналізу обчислює середнє значення показника Херста, при 0.5 < Н < 1 ряд є додатно корельованим, або трендостійким [1,2].

Стандартний аналіз флуктуацій часових рядів є методом, подібним до R/S-аналізу, його особливість полягає в використанні другого F2(s), а не першого моменту функції. За результатами аналізу також можна дослідити ступінь корельованості ряду та наявність тренду в його динаміці.

Аналіз детрендованих флуктуацій широко використовується в аналізі та є достатньо точним для визначення (моно-) фрактальних скейлінгових властивостей і довгочасових кореляцій для нестаціонарних часових рядів.

Досліджені основи даних методів показують їх ефективність в дослідженні кореляційних властивостей складних систем, зокрема, фінансово-економічних (фондового, валютного ринку) на підставі аналізу часових рядів, що характеризують динаміку їх складових елементів. Проте вони не вичерпують дослідження всіх можливих характеристик корельованих систем, тому в роботі доцільно дослідити та використовувати більш сучасні методи, які ґрунтуються на теорії випадкових матриць (ТВМ).

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Тема дослідження набула поширення в в досліджувались в теоретико-методологічних аспектах в працях роботах таких науковців, як: В.М. Соловйов, Н.М. Іванущак, В.В. Пасічник. Серед іноземних вчених мережні методи та мережні характеристики досліджують Л. Фріман, Ф. Бонасич, Дж. Чжан, Г. Чжан, М. Смолл, В. Плероу, Б. Росенов, В. Лабатью, Ю. Янг, Ю. Лі та інші.

Мета статті - дослідження методів мережної парадигми кореляційного аналізу та прогнозування, їх практичної спрямованості у галузі розвитку конвергентних наук для ефективного управління складністю сучасних соціально-економічних систем, зокрема, фондових, валютних, товарних ринків, тощо.

Виклад основного матеріалу

мережна парадигма кореляційний аналіз прогнозування

Вивчення статистичних властивостей матриць з незалежними випадковими елементами - випадкових матриць - має багату історію, що розпочалася п'ятдесят років тому у ядерній фізиці при вивченні енергетичних рівнів складних ядер. Теорія випадкових матриць [3] була розвинена в цьому контексті Вігнером (Wigner), Дайсоном (Dyson), Метою (Mehta) та іншими для пояснення статистики рівнів енергії складних квантових систем [2].

Дослідники постулювали, що функція Гамільтона, яка описує важкі ядра, може бути задана матрицею H з незалежними випадковими елементами H_tj, отриманими з розподілу імовірності. Відштовхуючись від цього припущення, було зроблено низку передбачень стосовно систем різноманітної природи, які згодом було підтверджено експериментально.

Головна ідея методу ТВМ полягає у порівнянні відомих статистичних властивостей матриць з незалежними випадковими елементами - випадкових матриць із властивостями матриць, що характеризують властивості (структуру, динаміку, взаємодію) реального об'єкту чи системи [2]. Відхилення від універсальних властивостей ТВМ відображають системну специфіку, невипадкові властивості досліджуваної системи, забезпечуючи ключові підходи до розуміння базової взаємодії її складових.

Останні дослідження, що використовували методи ТВМ до аналізу властивостей матриці взаємних кореляцій реальних систем, показують, що близько 98% власних значень матриці співпадають зі значеннями, отримуваними з використанням ТВМ, таким чином пропонуючи задовільний рівень у вимірюваних крос-кореляціях. Також було знайдено, що існують відхилення від передбачень за допомогою ТВМ у близько 2% найбільших власних значень, які переважно і визначають особливості топології та динаміки досліджуваної системи [4].

Основним об'єктом досліджень у теорії випадкових матриць є матриця крос-кореляцій C, побудована на основі часових рядів спостережень за складовими економічної системи. Найбільше власне значення C представляє вплив всієї складної системи (наприклад, фондового ринку в цілому), діє на всі елементи цієї системи. Власні значення, що відхиляються від ТВМ, показують існування взаємних кореляцій між однотипними елементами (однакових за змістом, локалізованих територіально та ін.).

Стосовно фондового ринку шляхом комп'ютерного моделювання було виявлено, що найбільше власне значення матриці кореляцій C відображує вплив усього ринку, що є спільним для всіх акцій [3-5]. Аналіз власних значень, що відхиляються від ТВМ, свідчить про існування взаємних кореляцій між акціями, що належать до одного сектору чи галузі, між найбільш капіталізованими акціями, а також між акціями фірм, що мають бізнес у певному географічному регіоні (локалізовані територіально).

Обчислюючи скалярний добуток власних векторів від одного періоду часу до наступного, можна побачити, що власні вектори, що відхиляються від ТВМ, мають різні ступені стабільності у часі, визначеному кількісно величиною скалярного добутку. Найбільші два-три власних вектори стійкі протягом тривалих періодів часу, у той час як для іншої частини власних векторів, що відхиляються, стабільність у часі зменшується, як тільки відповідні власні значення наближаються до верхньої межі ТВМ.

Використання ТВМ в дослідженні складних економічних систем дає можливість з'ясувати загальну структуру міжкомпонентних зв'язків системи, виявити загальну динаміку розвитку складної системи в цілому. Також, окрім загальних характеристик всієї системи, можна визначити, яка частина системи є найбільш (або найменш) глобалізованою, яка ланка системи найбільше підлягає впливам.

Для отримання можливості проведення більш повного аналізу складних систем важливим етапом є перетворення вхідних даних зі звичайних часових рядів до матриці суміжності. Досить поширеним методом є побудова рекурентних карт, проте Recurrence Quantification Analysis (RQA) та інші методи, що виходять з рекурентної матриці, цілком задовольняють відображення властивостей матриці, а не властивості мережі [6]. Наприклад, часовий порядок рядів і стовпців рекурентної матриці важливий, а для матриці суміжності результат від перестановок рядів і стовпців інваріантний. Зважаючи на дані нюанси, замість поширеного методу RQA доцільно використовувати альтернативний метод побудови складної мережі зі збереженням інформації, необхідної для дослідження.

Залежно від характеру вхідних даних для побудови мережі створено дві схеми: перша (була створена в 2006 р. М. Смоллом та Ц.Чжаном [7]) використовує метод побудови складних мереж з псевдоперіодичних часових рядів і досить проста за умови повної наявності вхідних для побудови мережі даних, друга - надає загальний спосіб побудови складних мереж з ряду будь- яких часових послідовностей шляхом заповнення фрагментів, яких не вистачає в часових рядах, так званого “вбудовування даних”. Головне призначення таких методів полягає у тому, щоб точно відтворити інформацію, яка зберігається у часовому ряді, в альтернативній математичній структурі.

Розгляд часових рядів як мереж забезпечує абсолютно новий арсенал нелінійної статистики та інші заходи, які можна застосувати при аналізі цих даних. Він також може висвітлювати, наприклад, поведінку складної мережі, якщо оригінальна динамічна складна система зазнає біфуркації мережі [4].

Утворення матриці кореляцій для мережі складної системи дозволяє виявити тип складної системи і надає можливості аналізу багатьох її характеристик. Фактично ми отримуємо граф цієї мережі, для якого можливе обрахування топологічних та спектральних властивостей.

Топологія вивчає модальні співвідношення просторових образів, закони зв'язності, взаємного розташування і слідування точок, ліній та їх сукупностей незалежно від мір їх величин. Для розрахунків глобальних параметрів мережі використовують число вузлів, число ребер, геодезичну відстань між вузлами, середню відстань від одного вузла до іншого, середню наближеність (усереднене значення близькості центральної точки графа до кожної вершини), щільність - відношення числа ребер в мережі до максимально можливої кількості ребер для даного числа вузлів; кількість тріад, діаметр мережі (найбільшу геодезичну відстань) та ін. [2].

Спектральні міри базуються на алгебраїчних інваріантах графу - його спектрах. Із спектром матриці суміжності графу пов'язані деякі важливі характеристики, які надають інформацію про мережу: величина спектрального розриву, енергія графу, спектральний радіус. Ще одним важливим видом спектру графу є спектр, отриманий із матриці Лапласа. Властивості матриці Лапласа значно інформативніші, ніж властивост матриці суміжності. В свою чергу із спектру лапласіана знаходять алгебраїчну зв'язність, ефективний опір та ін.

Спектральне відношення (eigenratio) характеризує стабільність синхронізованих станів у динамічній мережі. Це відношення найбільшого і другого найменшого власних значень матриці Лапласа. Чим воно менше, тим стабільнішою є синхронізація мережі [4].

Завдяки множині топологічних і спектральних характеристик мережі, з'являється набір нових інструментів для аналізу та прогнозування динаміки системи. Таким чином, методи теорії складних мережеподібних систем дозволяють проводити всебічний аналіз динамічних систем, відображаючи їх в альтернативну мережну структуру. Мережна парадигма стала домінуючою при дослідженні складних систем, оскільки дозволяє ввести не існуючі для часового ряду нові кількісні міри складності.

Кореляційний аналіз мережними методами відобразимо у вигляді схеми, представленої на рис. 1.

Спочатку по сукупності часових рядів будується карта кореляцій, далі можливо два види аналізу: класичний RMT-аналіз та мережний аналіз. Для здійснення мережного аналізу корельованої системи будуються взаємозв'язки між компонентами: система представляється у вигляді мережі (графу), де окремі акції є вершинами, а їх кореляції - ребрами, що з'єднують ці вершини. По отриманій мережі будуються матриці суміжності та Лапласа, розраховуються спектри, за якими безпосередньо проводиться мережний спектральний аналіз [5].

Рис.1. Схема кореляційного аналізу сукупності часових рядів

В практичному дослідженні кореляційних ефектів в складних системах методом теорії випадкових матриць були використані фондові індекси України та США як складні системи різного ступеня складності.

Для проведення дослідження в середовищі MATLAB завантажуємо вихідні матриці; для кожного індексу розраховуємо матриці крос-кореляцій та будуємо карту кореляцій для візуалізації. В результаті утворено матрицю розмірності N*N, де N - кількість рядків (фірм), що знаходяться в матриці.

Карту кореляцій буде використано у подальшому для визначення матриці суміжності.

Дослідимо статистичні властивості матриці С шляхом порівняння із властивостями випадкової матриці. Знайдемо розподіл ймовірності елементів матриці С. Для цього виконаємо відповідну функцію “Розподіл імовірностей” з кількістю інтервалів 50. Таким чином знаходимо щільність ймовірності розподілу значень матриці крос-кореляцій. Для порівняння отримання розподілу ймовірності з випадковою матрицею утворюємо випадкову матрицю, перемішавши елементи початкової матриці, і таким чином порушивши усі зв'язки, що існували на ринку, та знаходимо розподіл імовірностей для перемішаної матриці (рис. 2).

Рис. 2. Графіки розподілу ймовірності для матриці крос-кореляцій вихідної та перемішаної (Shuffled) баз фондового ринку США (А) і України Б)

Як видно із рисунка 2, розподіл ймовірності значень матриці крос- кореляцій вихідного ряду зміщений далеко вправо порівняно з розподілом для перемішаної матриці, що свідчить про наявність кореляцій (а отже, і тісних зв'язків) між вартістю акцій фірм, що котируються на аналізованих фондових ринках. Отже, шляхом досліджень властивостей матриці крос-кореляцій для початкової бази можна отримати значущу інформацію про цей ринок та його складові.

Знайдемо розподіл власних значень матриці крос-кореляцій та проведемо роботу з ними. Існує найбільше власне значення, що суттєво більше за інші. Компоненти власного вектора показують, на які фірми (компанії) найбільш впливає ринок загалом. Друге найбільше власне значення показує вплив акцій окремих фірм на вартість індексу.

Розглянемо динаміку спектру власних значень, компоненти власних векторів яких являються характеристиками локалізованих станів для обраного X. Порівняємо розподіл власних значень із розподілом P_rm (Я). Знайдемо обернене відношення участі (Inverse Participation Ratio - IPR - ОВУ) для матриці власних значень та векторів матриці крос-кореляцій початкової та випадкової (або перемішаної - shuffled) матриць (рис. 3).

Рис. 3. Графіки ОВУ для вихідного та перемішаного рядів для фондових індексів А) США, Б) України у подвійному логарифмічному масштабі

З рисунка 3 добре видно, що графік ОВУ для перемішаного ряду добре локалізований, в той час як ОВУ для вихідного ряду дещо розтягнутий вздовж осі абсцис. Це свідчить про наявність інформації стосовно частки вкладень акцій кожної фірми (кожного досліджуваного об'єкта) у значення індексу в матриці крос-кореляцій. Про розмір вкладення можна говорити, аналізуючи саме власні вектори найбільших значень, що виходять за межі Prm [ 4, 7].

Проаналізуємо віконні значення характеристик RMT-аналізу для фондових індексів, які почали досліджуватись нещодавно. До таких характеристик належить середнє значення коефіцієнту кореляції <C> у вікні

Рис. 4. Порівняння динаміки середнього значення <C>, ОВУ та Xmax для фондових індексів А) США, Б) України

З рис. 4 бачимо, що динаміка аналізованих мір досить подібна між собою. Для індексу S&P 500 (рис. 4. А) динаміка характеристик тотожна у відносному масштабі, що свідчить про пропорційність динаміки кореляцій, зв'язків з попередньою динамікою та найбільших власних значень. При різких змінах динаміки індексу аналізовані характеристики значно зменшуються, і навпаки - якщо напрям динаміки вихідного ряду стабільний, то зазначені міри зростають. Для українського індексу UX (рис. 4.Б) динаміка середнього значення коефіцієнту кореляції відхиляється від динаміки ОВУ та Xmax, можна побачити, що в критичні моменти для індексу коефіцієнт кореляції різко знижується, а власні значення та ОВУ навпаки - зростають, що для даного індексу може свідчити про менший зв'язок між кореляцією та іншими аналізованими характеристиками, ніж для більш стабільного фондового індексу США (рис. 4.А).

Таким чином, з проведеного аналізу фондових індексів можна зробити висновок, що при наявності сукупності часових рядів, що є даними діяльності економічних об'єктів однієї області, можна провести дослідження стосовно структури вказаної області та взаємодії об'єктів всередині неї. Дослідження проводяться на основі теорії випадкових матриць, що дозволяє отримувати інформацію шляхом аналізу матриці крос-кореляцій, побудованої для сукупної бази акцій різних фірм.

Висновки

Мережний аналіз, який дає можливість дослідження топологічних та спектральних характеристик системи, надає більш повну інформацію про взаємовпливи в системі.

Топологія добре характеризує структуру динаміки фондових індексів в різні періоди, при тому дані міри характеризують локальну та глобальну структуру аналізованих фондових індексів. Для аналізованих рядів характерне спадання в кризові періоди ступеня вершини, наближеності, щільності зв'язків, кластерності та зростання середньої відстані між вузлами, посередництва, ексцентричності вершини. Слід зауважити, що в ході аналізу дані характеристики краще описують динаміку більш складної та масштабної мережі індексу S&P 500, ніж індексу UX, що може бути наслідком більш слабкої зв'язності та високого ступеня впливів окремих акцій на динаміку останнього.

Спектральний аналіз базується на аналізі матриці суміжності та матриці Лапласа та має високу інформативність в дослідженнях. В кризові періоди для аналізованих індексів спадають спектральний розрив, алгебраїчна зв'язність, спектральний радіус, центральність та ін., зростає енергія графу та ефективний опір. Для використаних індексів характерна подібна між собою динаміка даних мір, і, так само як в дослідженні топологічних характеристик, більш інформативні результати мають характеристики для S&P 500.

Порівняльний аналіз для фондових індексів різної структури показує більшу ефективність даних характеристик в дослідженні масштабних складних структур за тривалий проміжок часу. Зіставлення аналізованих в роботі методів дозволяє зробити висновок про те, що класичний RMT-аналіз досить точно показує вплив колективних ефектів на динаміку системи, проте для більш повного аналізу кореляцій в системі та їх впливу на динаміку топологічних та спектральних показників, слід застосовувати мережний метод на базі ТВМ.

Проведене дослідження не вичерпує поставлену проблему і передбачає направлення подальших зусиль на вивчення ефективності застосування не використаних в роботі мережних характеристик для аналізу кореляцій в динаміці фондових індексів.

Література

1. Newman M. The Structure and Dynamics of Networks / M. Newman, D. Watts, - L. Barabasi - Princeton University Press. - 2006. - 456 p

2. Синергетичні та еконофізичні методи дослідження динамічних та структурних характеристик економічних систем: [Монографія] / В.Д. Дербенцев , О.А. Сердюк,

A. М. Соловйов, О.Д. Шарапов - Черкаси: Брама-Україна, 2010. - 300 с.

3. V. Plerou (2002). Random matrix approach to cross correlations in financial data./ Plerou V., Gopikrishnan P., Rosenow B., Guhr T., Stanley H.E. - Phys.Rev.E 2002, v.65, Iss 6. - pp. 126-142.

4. Соловйов В.М. Дослідження топологічних та спектральних властивостей фондових індексів засобами аналізу складних мереж / Соловйов В.М., Соловйова К.В. // Моделирование и информационные технологии в исследовании социально-экономических систем: теория и практика / Под ред. В.С. Пономаренко - Харьков, 2014.- С. 469-487.

5. Шокотько Л. М. Використання теорії випадкових матриць для дослідження кореляційних ефектів складних систем / Л. М. Шокотько // Науковий вісник Міжнародного гуманітарного університету. Серія: Економіка і менеджмент. - Вип. 9. С.127-132 - Одеса, МГУ,- 2015.

6. Donner R.V. Recurrence-based time series analysis by means of complex network methods / R.V. Donner, M. Small, J.F. Donges, N. Marwan et.al. // [Електронний ресурс] - Режим доступу: arXiv:1010.6032v1 [nlin.CD] 25 Oct 2010.

7. J. Zhang. Complex network from pseudoperiodic time series: Topology versus dynamics / J. Zhang, M. Small. - Physical Review Letters, 96:238701, 2006

References:

1. Newman, M., Watts, D., & Barabasi, A.-L. (2006). The Structure and Dynamics of Networks. Princeton University Press

2. Derbentsev, V.D., Serdiuk, O.A., Soloviev, V.M., & Sharapov, O.D. (2010). Synerhetichni ta ekonofizychni metody doslidzhennia dynamichnykh ta strukturnykh kharakterystyk ekonomichnykh system [ Synergistic and econophysical methods of studying dynamic and structural characteristics of economic systems]. Cherkasy: Brama [in Ukrainian].

3. Plerou, V., Stanley, H.E., Gopikrishnan, P., Rosenow, B., & Guhr, T. (2002). Random matrix approach to cross correlations in financial data. Phys.Rev. E 65,066126 - Retrieved from

https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.65.066126

4. Soloviov, V.M., & Soloviova, K.V. (2014). Doslidzhennia topolohichnykh ta spektralnykh vlastivostei fondovykh indeksiv zasobamy analizu skladnykh merezh [Study of topological and spectral properties of stock indices by means of complex network analysis]. V.S. Ponomarenko (Eds.), Modelirovanie i informacionnie tekhnolohii v issledovanii socialno- ekonomicheskikh system: teoriia i praktika - Modeling and information technologies in the study of socio-economic systems: theory and practice, (pp. 469-487). Kharkiv [in Ukrainian].

5. Shokotko, L.M. (2015). Vikorystannia teorii vipadkovykh matryts dlia doslidzhennia koreliatsiinykh efektiv skladnykh system [Using the theory of random matrices to study the correlation effects of complex systems] Naukovii visnyk Mizhnarodnoho humanitarnoho universytetu. ser. Ekonomika i menedzhment - Scientific Bulletin of the International Humanitarian University. Series: Economics and management, issue 9, 127-132 [in Ukrainian]

6. Donner, R.V., Small, M., Donges, J.F., Marwan, N., Zou, Y., Xiang, R., & Kurths, J. (2010). Recurrence-based time series analysis by means of complex network methods. Retrieved from https://arxiv.org/pdf/1010.6032.pdf

7. Zhang. J., & Small, M. (2006). Complex network from pseudoperiodic time series: Topology versus dynamics. Physical Review Letters, 96:238701

Размещено на Allbest.ru