Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью модели Марковица

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГОУ ВПО «АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Кафедра алгебры и геометрии

КУРСОВАЯ РАБОТА

Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью модели Марковица

Выполнила

Соловей Екатерина Александровна

студентка 3-го курса

ст.пр. Калашникова С.И.

Майкоп, 2011

Введение

В последнее время многие коммерческие банки имеют достаточно большой объем свободных средств, которые возможно как инвестировать в различные виды деятельности, так и направить на приобретение ценных бумаг. При осуществлении инвестирования в ценные бумаги банк, как и любой другой инвестор, сталкивается с различными целями инвестирования.

Именно портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого может быть достигнуто требуемое соотношение всех инвестиционных целей, которое недостижимо с позиции отдельно взятой ценной бумаги, и возможно только при их комбинации.

Портфели ценных бумаг коммерческих банков являются частью взаимосвязанной системы портфелей более высокого уровня. Функционирование всей системы портфелей подчинено интересам обеспечения устойчивости и рентабельности института, обеспечения устойчивости всей финансовой системы.

Этими факторами обусловлен выбор темы данной работы - Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью метода Марковица.

Работа состоит из двух глав, в которых подробно разобраны вопросы, имеющие непосредственное отношение к теме работы. В первой главе освящены основные принципы линейного программирования в экономическом анализе, выделены основные методы решения задач линейного программирования, в частности, решение целочисленных задач линейного программирования методом Гомори и решены задачи целочисленного линейного программирования. В второй главе рассмотрены история создания инвестиционного портфеля, модель Марковица, а также задача построения оптимального портфеля для российского фондового рынка.



1. Линейное программирование в экономическом анализе

1.1 Линейное программирование

Линейное программирование -- раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда -- необходимость разработки новых методов.

Формы записи задачи линейного программирования:

Общей задачей линейного программирования называют задачу

- произвольные (1.6)

где - заданные действительные числа; (1.1) - целевая функция; (1.2) - (1.6) -ограничения; - план задачи.

Чтобы задача (1.7) - (1.8) имела решение, система её ограничений (1.8) должна быть совместной. Это возможно, если r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r=n система имеет единственное решение, которое будет при оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n. В этом случае система векторов содержит базис -- максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более . Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n - r переменных будут свободными, их обозначают СП. Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые m векторов Этому базису соответствуют базисные переменные , а свободными будут переменные .

Если свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом).

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

· математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;

· для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

· максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

· систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

· требование не отрицательности переменных.

1.2 Метод линейного программирования в экономическом анализе

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.



1.3 Решение задач линейного программирования

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

при условиях

где - заданные постоянные величины и k ? m.

Функция (1.10) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (1.10) -- (1.13), а условия (1.11) -- (1.13) -- ограничениями данной задачи.

Совокупность чисел Х=(х₁,x₂,...,х_n), удовлетворяющих ограничениям задачи (1.11) -- (1.13), называется допустимым решением (или планом).

План, Х^*=(х₁^*, x₂^* , ..., х_n^*) при котором целевая функция задачи (1.10) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Значение целевой функции (1.10) при плане X будем обозначать через F(X). Следовательно, X* -- оптимальный план задачи, если для любого X выполняется неравенство F (X) ? F (X*) [соответственно F(X) ? F(X*)].

Указанные выше три формы задачи линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из трех задач.

Чтобы перейти от одной формы записи задачи линейного программирования к другой, нужно в общем случае уметь, во-первых, сводить задачу минимизации функции к задаче максимизации, во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам и наоборот, в-третьих, заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

В том случае, когда требуется найти минимум функции F=c₁x₁+ c₂x₂…+ c_nx_n можно перейти к нахождению максимума функции F₁ =-F=-c₁x₁-c₂x₂ …- c_nx_n, поскольку min F = max (--F).

Ограничение - неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид «?», можно преобразовать в ограничение-равенство добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение - неравенство вида «?» -- в ограничение-равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной. Таким образом, ограничение-неравенство

преобразуется в ограничение-равенство

а ограничение-неравенство

-- в ограничение-равенство

В то же время каждое уравнение системы ограничений

- можно записать в виде неравенств:

Число вводимых дополнительных неотрицательных переменные при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.

Отметим, наконец, что если переменная x_k не подчинена условию неотрицательности, то ее следует заменить двумя неотрицательными переменными u_k и v_k, приняв x_k= u_k - v_k .



1.4 Целочисленные задачи линейного программирования

линейное программирование инвестиционный портфель модель марковица

Экстремальная задача, переменные которой принимают лишь целочисленные значения, называется задачей целочисленного программирования.

Определение оптимального плана задачи целочисленного программирования.

Рассмотрим задачи целочисленного программирования, в которых как целевая функция, так и функции в системе ограничений являются линейными. В связи с этим сформулируем основную задачу линейного программирования, в которой переменные могут принимать только целые значения. В общем виде эту задачу можно записать так: найти максимум функции

Если найти решение задачи (1.14) -- (1.17) симплексным методом, то оно может оказаться как целочисленным, так и нет (примером задачи линейного программирования, решение которой всегда является целочисленным, служит транспортная задача). В общем же случае для определения оптимального плана задачи (1.14) -- (1.17) требуются специальные методы. В настоящее время существует несколько таких методов, из которых наиболее известным является метод Гомори, в основе которого лежит симплексный метод.

Метод Гомори.

Нахождение решения задачи целочисленного программирования методом Гомори начинают с определения симплексным методом оптимального плана задачи (1.14) -- (1.17) без учета целочисленности переменных. После того, как этот план найден, просматривают его компоненты. Если среди компонент нет дробных чисел, то найденный план является оптимальным планом задачи целочисленного программирования (1.14) -- (1.17). Если же в оптимальном плане задачи (1.14) -- (1.17) переменная принимает дробное значение, то к системе уравнений (1.15) добавляют неравенство

В неравенстве (1.18) и - преобразованные исходные величины a_ij и b_i, значения которых взяты из симплекс-таблицы, а и - дробные части чисел (под дробной частью некоторого числа а понимается наименьшее неотрицательное число bтакое, что разность между а и b есть целое). Если в оптимальном плане задачи (1.14) -- (1.16) дробные значения принимают несколько переменных, то дополнительное неравенство (1.18) определяется наибольшей дробной частью.

Если в найденном плане задачи (1.14) -- (1.16), (1.18) переменные принимают дробные значения, то снова добавляют одно дополнительное ограничение и процесс вычислений повторяют. Проводя конечное число итераций, либо получают оптимальный план задачи целочисленного программирования (1.14) -- (1.17), либо устанавливают ее неразрешимость.

Если требование целочисленности (1.17) относится лишь к некоторым переменным, то такие задачи называются частично целочисленными. Их решение также находят последовательным решением задач, каждая из которых получается из предыдущей с помощью введения дополнительного ограничения.

2. Модель Марковица оптимизации портфеля ценных бумаг

2.1 История создания инвестиционного портфеля

Под инвестированием в широком смысле понимается любой процесс, имеющий целью сохранение и увеличение стоимости денежных или других средств. Средства, предназначенные для инвестирования, представляют собой инвестиционный капитал. С течением времени тот капитал может принимать различные или конкретные формы. Инвестирование почти всегда подразумевает преобразование исходной формы капитала, например, денежной в другие: в здания, оборудование и т.п. Тот или иной конкретный вид инвестиционного капитала называется инвестиционным активом. Денежный вклад в банке, ценные бумаги, драгоценные металлы и камни, коллекции художественных ценностей, недвижимость, различные виды интеллектуальной собственности - все это примеры инвестиционных активов.

Инвестиционный процесс представляет собой принятием инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляется инвестиции, объемов и сроков инвестирования. Следующая процедура, включающая пять этапов, составляет основу инвестиционного процесса:

1. Выбор инвестиционной политики.

2. Анализ рынка ценных бумаг.

3. Формирование портфеля ценных бумаг.

4. Пересмотра портфеля ценных бумаг.

5. Оценка эффективности портфеля ценных бумаг.

Сущность портфельного инвестирования подразумевает распределение инвестиционного потенциала между различными группами активов, т.к. невозможно найти ценную бумагу, которая была бы одновременно высокодоходной, высоконадежной и высоколиквидной. Каждая отдельная бумага может обладать максимум двумя из этих качеств. В зависимости от того, какие цели и задачи изначально стоят при формировании того или иного портфеля, выбирается определенное процентное соотношение между различными типами активов, составляющими портфель инвестора. Грамотно учесть потребности инвестора и сформировать портфель активов, сочетающий в себе разумный риск и приемлемую доходность - вот основная задача менеджера любого финансового учреждения.

Целью своей работы я ставлю знакомство с портфельной теорией на основе модели Марковица, вероятностной модели рынка, а также изучение понятия диверсификации.

Проблема формирования и управления инвестиционным портфелем стала перед инвесторами давно. Начало современной теории инвестиций можно определить достаточно точно. Это 1952 г., когда появилась статья Гарри Марковица под названием «Выбор портфеля». В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, и были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. Основной заслугой работы Марковица явилась предложенная теоретико-вероятностная формализация понятия доходности и риска. После написания своей первой статьи Марковиц постоянно занимался усовершенствованием и развитием этой модели. В 1959 г. Выходит первая монография, посвященная изложению предложенного подхода. В 1990 г., в год присуждения ему Нобелевской премии по экономике, выходит книга, подводящая итог почти сорокалетнему периоду работы по теории выбора инвестиционного портфеля.

Первая работа Марковица не привлекла особого внимания, по крайней мере, со стороны теоретиков-экономистов и практиков. Для 50-х гг. применение теории вероятностей к финансовой теории было само по себе делом необычным. К тому же неразвитость вычислительной техники и сложность предложенных Марковицем алгоритмов не позволили осуществить фактическую реализацию его идей. В 1963 г. учеником Марковица Уильямом Шарпом была предложена так называемая однофакторная модель рынка капиталов, в которой впервые появились ставшие знаменитыми впоследствии «альфа» и «бета» характеристики акций. На основе однофакторной модели Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, которой сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. К 70-м гг. развитие вычислительной техники, а также совершенствование статистической техники оценивания показателей «альфа» и «бета» отдельных ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Сегодня модель Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестируемого капитала по различным типам активов: акциям, облигациям, недвижимости и т.д. Однофакторная модель Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестируемый в определенный сегмент рынка активов, распределяется между конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (т.е. по конкретным акциям, облигациям и т.д.).

Влияние «портфельной теории» Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х и начале 60-х гг. работ Джеймса Тобина по аналогичным темам. Следует отметить некоторые различия между подходами Марковица и Тобина. Подход Марковица лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку он акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбираемых активов. К тому же модель Марковица касалась в основном портфеля акций, т.е. рисковых активов. Тобин также предложил включить в анализ безрисковые активы, например государственные облигации. Его подход является, по существу, макроэкономическим, поскольку основным объектом его изучения является распределение совокупного капитала в экономике по двум его формам: наличной (денежной) и неналичной (в виде ценных бумаг).

В подходе Тобина основной темой становится анализ факторов, заставляющих инвесторов формировать портфели активов, а не держать капитал в какой-либо одной, например налично-денежной, форме. Кроме того, Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковица. Возможно, поэтому Тобин получил Нобелевскую премию на девять лет раньше (1981 г.), чем Марковиц (1990 г.).

К середине 60-х г. заканчивается первый этап развития современной теории инвестиций в том виде, который придали ей Марковиц и Тобин. С 1964 г. Появляются три работы открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ (Capital Asset Price Model).

САРМ является самой значительной и влиятельной современной финансовой теорией. Практические руководства по финансовому менеджменту в части выбора стратегии долгосрочного инвестирования и по сей день основываются исключительно на САРМ.

В целом к 80-м гг. инвестиционная теория, синтезирующая портфельную теорию Марковица-Тобина и САРМ, получает широкое применение.

Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную, т.е. доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы по альтернативам инвестирования распределены нормально.

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск, что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций. В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

Имеется некоторый рынок активов. Совокупность активов, орошающихся на рынке, обозначим через А. Отдельный актив будем обозначать строчной буквой а.

Мы можем перенумеровать активы:

и вместо символа актива использовать его номер (индекс).

Множество всевозможных состояний рынка мы обозначим через S, а отдельное состояние будем обозначать строчной буквой j или буквой с индексом

и т.п.

Множество состояний может быть в принципе любым, в том числе и бес конечным. Однако для упрощения изложения мы будем считать его конечным.

Каждому состоянию s припишем некоторую вероятность -- неотрицательное число р(s). При этом будем считать выполнимым следующее условие:

т. е. сумма вероятностей всех состояний равна 1.

На языке теории вероятностей это означает, что пара <S, р>, состоящая из множества S и вероятностей меры p, образует дискретное вероятностное пространство. Мера p дает вероятности лишь отдельных (элементарных) состояний. Ее можно продолжить на произвольные множества состояний.

Так, для любого можно определить:

Смысл этого равенства заключается в следующем. Для каждого подмножества состояний тот факт, что текущее состояние рынка принадлежит этому подмножеству, означает некоторое «событие». Приведенная формула определяет вероятность этого события через вероятность «элементарных событий», т. е. отдельных состояний.

Заметим, что если A=, т. е. событие А -- «невозможное», то его вероятность равна 0. С другой стороны, «событие» S-- или «достоверное» событие -- обладает вероятностью 1.

Построение вероятностного пространства <S, Р>, где Р -- вероятная мера, определенная на произвольных множествах событий, -- первый этап в построении вероятностной модели рынка. Следующим этапом является формализация понятия доходности и риска.

В модели Марковица это делается следующим образом. Каждому активу a ставится в соответствие случайная величина , представляющая доходность этого актива для выбранного инвестиционного горизонта Т. Ее конкретное значение или реализация -- это значение доходности , которое инвестор может вычислить по прошествии инвестиционного периода.

R - множество вещественных чисел.

Более традиционная запись имеет вид:

.

На практике редко используется описание случайной величины исходя из ее формального определения. Чаще прибегают к такой важной ее характеристике, как ее распределение. Распределение для дискретной (т.е., принимающей конечное число значений) случайной величины строится следующим образом. Сначала перечисляются всевозможные ее значения:

а затем для каждого из этих значений () определяется его вероятность:

.

Таким образом, распределение дискретной случайной величины можно задать таблицей вида:

Значения: r	…
Вероятность: p	…

С точки зрения теории вероятностей в распределении содержится «вся» необходимая информация о случайной величине. Неудобство состоит в том, что распределение является функцией, в дискретном случае задаваемой таблично. Непосредственное использование распределений (таблиц) при сравнении активов затруднительно, поскольку в реальности число «различимых» значений доходности может быть достаточно большим.

На практике вместо распределений часто используются лишь важнейшие количественные характеристики случайной величины -- ее математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

Если R -- случайная величина, заданная на дискретном вероятностном пространстве <S, р>, то ее математическим ожиданием называется число, определяемое выражением:

.

Эта формула использует исходное определение случайной величины. Однако математическое ожидание можно вычислить непосредственно по ее распределению. Так, для случайной величины, распределение которой описывается в табл. 1, соответствующая формула имеет вид:

.

Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины -- оно представляет собой число, вокруг которого «группируются» значения случайной величины.

В теории Марковица математическое ожидание есть формальный аналог понятия «ожидаемой доходности».

Следующей важнейшей характеристикой случайных величин является дисперсия, которая характеризует «степень отклонения» (разброс) случайной величины от ее среднего значения. Ее также называют (особенно в финансовой литературе) вариацией. Дисперсия задается выражением:

.



Иными словами, это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсию можно вычислять исходя из основного определения случайной величины, в этом случае вместо случайной величины R рассматривается случайная величина , являющаяся функцией от исходной величины R. Дисперсию можно вычислить и по распределению случайной величины:

.

Здесь -- математическое ожидание случайной величины R.

Из определения дисперсии видно, что она имеет размерность квадрата размерности величины R. Для того чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику той же размерности, вместо дисперсии часто используют среднеквадратичное или стандартное отклонение:

.

В модели Марковица дисперсия или, что, по существу, то же самое, стандартное отклонение служит мерой риска актива. При этом принимается важное соглашение, состоящее в том, что инвестор при принятии инвестиционных решений основывается лишь на упомянутых двух характеристиках активов и их портфелей: ожидаемой доходности, представляемой математическим ожиданием, и риске, представляемом дисперсией. Такой подход получил в англоязычной финансовой литературе название “mean -- variance approach» (mean -- среднее, variance -- вариация, дисперсия). Следует отчетливо понимать, что упомянутое соглашение есть постулат портфельной теории Марковица.

Выбор двух количественных характеристик или критериев -- ожидаемой доходности и риска -- делает задачу выбора оптимальной стратегии инвестирования двукритериальной. Если эта стратегия состоит в инвестировании всего капитала лишь в актив одного вида, то необходимо, чтобы он был наилучшим сразу по двум этим критериям, т.е. обладал наибольшей доходностью и наименьшим риском.

Допустим, что инвестора удовлетворяет любая доходность, но совершенно не устраивает большой риск имеющихся активов. В этом случае инвестор вместо выбора одного актива, скорее всего, составит портфель из них, стремясь по возможности «диверсифицировать» (перераспределить) риск с целью уменьшения его количественной оценки. Степень возможности такой диверсификации зависит от характеристики, служащей мерой связи (в вероятностном статистическом смысле) между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ковариации. Для любых двух случайных величин и , определенных на вероятностном пространстве <S, p>, эта характеристика определяется следующим образом:

.

Заметим, что в случае совпадения случайных величин, т.е. , ковариация превращается в дисперсию:

.

На ковариацию «оказывают влияние» не только связь между величинами и , но и их дисперсии. Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами, прибегают к нормированию ковариации. Такая нормированная величина называется коэффициентом корреляции:



.

В отличие от ковариации, которая может принимать любые значения, коэффициент корреляции по абсолютной величине всегда меньше 1:

.

При этом для совпадающих случайных величин коэффициент корреляции равен в точности 1:

.

Как ковариация, так и корреляция являются симметричными функциями от случайных величин, т. е.

и

Параметрическая модель рынка, или рынок по Марковицу описывается тройкой:

,

где -- конечный набор активов, составляющих рынок,

-- вектор ожидаемых доходностей, т. е. -- математическое ожидание случайной величины , представляющей доходность актива за выбранный инвестиционный период Т, а

- ковариационная матрица порядка n,

где -- ковариация случайных величин и причем в случае i=j:

,

т. е. диагональные элементы задают дисперсию (риск) активов.

Марковиц разработал очень важное для современной теории портфеля ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны, это так называемый рыночный (систематический) риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой - собственный (или несистематический) риск для каждой конкретной цепной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг.

Модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что, конечно, не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.

Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n -- число разновидностей ценных бумаг;

а_j -- фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги

j -- ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины:

y_j -- средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как

Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, х_i -- это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора -- достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск -- это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией

прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М -- обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (2.1) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.



Заключение

Внимание, которое уделяется портфельным инвестициям, вполне соответствует радикальным изменениям, произошедшим во второй половине двадцатого столетия в экономике промышленно развитых стран.

Обстоятельства, в которых находятся инвесторы, различны, поэтому портфели ценных бумаг должны составляться с учетом таких различий. При этом определяющими факторами являются допустимый уровень риска и период инвестирования, которые зависят от предпочтений конкретного инвестора. Необходимо учесть и другие факторы, включая вопросы налогообложения и законодательного регулирования.

В данной работе изучены основные принципы линейного программирования, решены задачи целочисленного программирования с помощью метода Гомори. Рассмотрена модель Марковица оптимизации портфеля ценных бумаг на примере акций 4-х российских компаний, на основе их котировок построен оптимальный портфель как аналитически, так и используя встроенный в пакет Excel надстройки «Поиск решений».



Список литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом, спец. вузов. / И.Л. Акулич -- М.: Высш. шк., 1986.-- 319 с, ил.

2. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи / Э.М. Галеев - М.: Эдиториал УРСС, 2000 г. , 320 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман- М.: Высш. шк 2004г., 480 с.

4. Колемаев В. А., Соловьев В. И., Гатауллин Т. М., Малыхин В. И. и др. Математические методы и модели исследования операций: Учебник для вузов / Под ред. В. А. Колемаева. -- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. -- 592 с.



Приложение

Цена и доходность акций за один год с 20.05.2009 по 20.05.2010

	GAZP		DLSV		SNGS		ROSN
	цена	доходность	цена	доходность	цена	доходность	цена	доходность
1	183,24		46,1		25,524		20,15
2	170,15	-7,14%	45,93	-0,37%	24,069	-5,70%	19,34	-4,02%
3	174,17	2,36%	47,53	3,48%	24,5	1,79%	19,56	1,14%
4	170,67	-2,01%	49,6	4,36%	24,374	-0,51%	20,03	2,40%
5	170,15	-0,30%	49,2	-0,81%	23,856	-2,13%	19,67	-1,80%
6	171,2	0,62%	48,82	-0,77%	24,17	1,32%	19,99	1,63%
7	172,56	0,79%	47,99	-1,70%	24,902	3,03%	21,12	5,65%
8	178,1	3,21%	47,9	-0,19%	25,847	3,79%	20,36	-3,60%
9	191,5	7,52%	48,98	2,25%	26,646	3,09%	20,76	1,96%
10	190,5	-0,52%	49,99	2,06%	25,833	-3,05%	20,15	-2,94%
11	175,1	-8,08%	48,5	-2,98%	24,7	-4,39%	19,58	-2,83%
12	177,03	1,10%	47,41	-2,25%	25,14	1,79%	19,86	1,43%
13	173,63	-1,92%	46,86	-1,16%	24,95	-0,77%	19,59	-1,38%
14	179,04	3,12%	47,12	0,55%	24,71	-0,96%	19,60	0,08%
15	177,51	-0,85%	46,83	-0,60%	25,16	1,85%	20,04	2,25%
16	178,20	0,39%	46,91	0,16%	25,00	-0,65%	20,24	1,00%
17	174,19	-2,25%	47,03	0,26%	24,56	-1,75%	19,65	-2,94%
18	173,65	-0,31%	47,04	0,01%	25,21	2,65%	19,77	0,64%
19	176,36	1,56%	47,41	0,78%	23,81	-5,58%	20,15	1,89%
20	179,55	1,81%	47,00	-0,85%	24,84	4,35%	19,89	-1,27%
21	178,85	-0,39%	46,77	-0,50%	24,81	-0,11%	19,72	-0,85%
22	176,23	-1,47%	47,32	1,18%	25,19	1,54%	19,86	0,67%
23	179,13	1,65%	47,21	-0,22%	25,18	-0,05%	19,92	0,33%
24	178,14	-0,55%	46,78	-0,91%	24,75	-1,72%	20,44	2,59%
25	173,95	-2,35%	47,53	1,60%	25,39	2,59%	20,20	-1,17%
26	181,32	4,24%	46,80	-1,54%	24,78	-2,40%	20,64	2,19%
27	177,10	-2,33%	47,69	1,89%	24,73	-0,22%	20,47	-0,82%
28	181,67	2,58%	47,69	0,00%	25,27	2,21%	20,10	-1,83%
29	179,90	-0,97%	47,40	-0,60%	24,98	-1,17%	20,24	0,69%
30	178,21	-0,94%	47,31	-0,20%	24,51	-1,88%	19,75	-2,42%
31	177,41	-0,45%	47,02	-0,60%	25,27	3,13%	20,29	2,74%
32	182,42	2,83%	47,56	1,15%	24,67	-2,40%	19,72	-2,78%
33	174,16	-4,53%	46,98	-1,24%	25,35	2,77%	19,64	-0,45%
34	180,63	3,71%	47,23	0,55%	24,52	-3,27%	20,08	2,28%
35	182,40	0,98%	47,00	-0,50%	24,60	0,30%	19,95	-0,64%
36	182,79	0,22%	46,96	-0,08%	24,64	0,19%	21,15	5,98%
37	173,91	-4,86%	46,85	-0,23%	24,85	0,85%	21,45	1,43%
38	182,35	4,86%	47,54	1,46%	24,74	-0,46%	21,82	1,74%
39	173,39	-4,91%	47,53	-0,01%	24,62	-0,49%	20,29	-7,03%
40	175,96	1,48%	47,49	-0,09%	24,91	1,21%	20,61	1,56%
41	179,02	1,74%	47,23	-0,55%	24,83	-0,34%	19,81	-3,85%
42	180,10	0,60%	46,93	-0,64%	25,22	1,58%	20,60	3,99%
43	178,67	-0,80%	47,13	0,43%	24,86	-1,42%	19,99	-2,96%
44	180,60	1,08%	47,54	0,87%	25,03	0,66%	19,45	-2,71%
45	173,34	-4,02%	47,08	-0,96%	25,13	0,41%	19,43	-0,13%
46	178,69	3,09%	46,86	-0,48%	24,88	-0,98%	19,90	2,45%
47	177,07	-0,91%	47,12	0,56%	25,22	1,34%	19,41	-2,47%
48	177,69	0,35%	47,36	0,50%	25,18	-0,13%	19,83	2,14%
49	176,76	-0,53%	47,40	0,09%	24,87	-1,26%	20,21	1,92%
50	176,50	-0,15%

Подобные документы

• Моделирование оптимального инвестиционного портфеля

  Нахождение оптимального портфеля ценных бумаг. Обзор методов решения поставленной задачи. Построение математической модели. Задача конусного программирования. Зависимость вектора распределения начального капитала от одного из начальных параметров.
  
  дипломная работа [1,5 M], добавлен 11.02.2017
  

• Математические модели оценки инвестиционного риска

  Виды инвестиционного риска. Понятия доходности и риска ценной бумаги. Однофакторная модель рынка капитала. Модель размещения средств с анализом риска убытков Ф. Фабоцци. Практическое применении модели Г. Марковица для оптимизации фондового портфеля.
  
  презентация [109,0 K], добавлен 04.01.2015
  

• Модели портфельного инвестирования

  Расчет портфеля ценных бумаг методом Марковица, формулы и алгоритмы расчета. Построение портфелей ценных бумаг с различными параметрами, их сравнение и анализ. Альтернативный метод формирования инвестиционных портфелей, риск-нейтральный портфель.
  
  дипломная работа [1,5 M], добавлен 11.02.2017
  

• Построение модели раскроя материала при помощи линейного программирования

  Понятие задач оптимизации, которые сводятся к нахождению экстремума целевой функции. Функции линейного программирования – наиболее широко применяющегося математического средства решения экономических задач. Пример решения задачи о раскрое материала.
  
  контрольная работа [60,3 K], добавлен 17.02.2012
  

• Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)

  Характеристика и описание метода линейного программирования, основные области его применения и ограничения использования. Решение экономических задач, особенности формирования оптимизационной модели, расчет и анализ результатов оптимизации прибыли.
  
  курсовая работа [99,0 K], добавлен 23.03.2010
  

• Портфель ценных бумаг

  Сущность портфельного подхода при решении задачи распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг. Варианты составления портфеля равными долями и оптимального портфеля. Влияние корреляции ценных бумаг разного вида.
  
  презентация [196,6 K], добавлен 01.11.2013
  

• Решение задач линейного программирования

  Решение задачи линейного программирования графическим способом. Определение экстремальной точки. Проверка плана на оптимальность. Правило прямоугольников. Анализ и корректировка результатов решения задач линейного программирования симплексным методом.
  
  контрольная работа [40,0 K], добавлен 04.05.2014
  

• Решения задач линейного программирования геометрическим методом

  Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования. Характеристика графических методов решения задачи линейного программирования, сущность их геометрической интерпретации и основные этапы.
  
  курсовая работа [609,5 K], добавлен 17.02.2010
  

• Экономико-математические методы и прикладные модели

  Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
  
  курсовая работа [30,5 K], добавлен 14.04.2004
  

• Решение задач линейного программирования

  Математическая формулировка задачи линейного программирования. Применение симплекс-метода решения задач. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Применение методов линейного программирования к экстремальным задачам экономики.
  
  курсовая работа [106,0 K], добавлен 05.10.2014
  

• Экономико-математические методы и модели

  Моделирование экономических систем: основные понятия и определения. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования.
  
  лекция [124,5 K], добавлен 15.06.2004
  

• Экономико-математические модели задач о смесях

  Задача оптимального составления смесей при производстве бензина различных сортов. Модели формирования шихты при выплавке чугуна и смешивания волокон. Решение задач линейного программирования с помощью различных приемов и математического программирования.
  
  курсовая работа [94,6 K], добавлен 17.11.2016
  

• Запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования

  Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.
  
  дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014
  

• Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

  Цель работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования. Математическая постановка задачи линейного программирования. Общий вид задачи линейного программирования.
  
  реферат [193,4 K], добавлен 28.12.2008
  

• Применение линейного программирования для решения задач оптимизации

  Транспортная задача линейного программирования, закрытая модель. Создание матрицы перевозок. Вычисление значения целевой функции. Ввод зависимостей из математической модели. Установление параметров задачи. Отчет по результатам транспортной задачи.
  
  контрольная работа [202,1 K], добавлен 17.02.2010
  

• Исследование операций в экономике

  Графическое решение задач линейного программирования. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Возможности практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении экономических задач.
  
  курсовая работа [105,5 K], добавлен 02.10.2014
  

• Использование линейного программирования для решения задач оптимизации

  Виды задач линейного программирования и формулировка задачи. Сущность оптимизации как раздела математики и характеристика основных методов решения задач. Понятие симплекс-метода, реальные прикладные задачи. Алгоритм и этапы решения транспортной задачи.
  
  курсовая работа [268,0 K], добавлен 17.02.2010
  

• Применение графического метода и симплекс-метода для решения задач линейного программирования

  Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Решение задачи двойственной к исходной. Определение оптимального плана закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.
  
  контрольная работа [398,2 K], добавлен 15.08.2012
  

• Задачи линейного программирования

  Способы решения задач линейного программирования с вещественными числами симплекс-методом. Общие задачи, формы записи, максимизация и минимизация функции методом искусственного базиса. Пути поиска и исключения из базиса искусственных переменных.
  
  контрольная работа [130,6 K], добавлен 09.02.2013
  

• Исследование операций

  Составление математической модели, целевой функции, построение системы ограничений и симплекс-таблиц для решения задач линейного программирования. Решение транспортной задачи: определение опорного и оптимального плана, проверка методом потенциалов.
  
  курсовая работа [54,1 K], добавлен 05.03.2010
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам