Построение математической модели с помощью МаthCAD

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Применение численных методов в математическом моделировании

1.1 Обзор числовых методов в математическом моделировании

1.2 Методы Рунге-Кутта

1.3 Аппроксимация и интерполяция данных

2. Постановка и алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Анализ исходных данных

2.4 Графическая схема алгоритма решения

Заключение

Литература

Приложения:

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Е

Введение

Рациональное и умелое использование богатейших возможностей ЭВМ является одной из серьезных проблем настоящего периода развития общества, и актуальность решения этой проблемы растет по мере увеличения парка ЭВМ и совершенствования их технического и программного оснащения. Эффективный путь решения указанной проблемы состоит в глубоком освоении и широком использовании на практике языков программирования высокого уровня, позволяющих записывать алгоритмы решаемых задач в довольно естественном для пользователя виде и затем использовать средства системного программного обеспечения ЭВМ для доводки про грамм до машинной реализации.

Применение математических моделей и расчет их на ЭВМ позволяет получить новые результаты или новые свойства какого-либо объекта исследования, причем эти объекты могут быть очень сложными -- например, погодные условия в какой-либо области земного шара. Это очень удобно в случае невозможности использования самого объекта. Используя всю мощь современную вычислительную технику можно моделировать очень сложные физические процессы. Вручную выполнить такие расчеты невозможно, т.к. это займет огромное количество времени. Именно автоматизации таких расчетов на ЭВМ позволяет проводить моделирование таких процессов. В данной работе рассматривается довольно простая колебательная система, однако автоматизация этого расчета позволит сэкономить значительное количество времени.

Данная курсовая работа предполагает использование пакета МаthCAD для построения математической модели динамической системы, на которую воздействует гармоническая возмущающая сила, сила жесткости пружины и сила сопротивления демпфера.

Цели и задачи курсовой работы:

- углубление и расширение теоретических знаний в данной предметной области;

- приобретение навыков самостоятельного решения прикладной инженерной задачи с использованием компьютерных систем;

- умение формулировать выводы по проделанным исследованиям;

- получение навыков сбора, анализа, обобщения информации по данной предметной области, работы с источниками литературы;

- приобретение навыков подготовки доклада по проделанной работе, подготовка ответов на вопросы комиссии.

1. Применение численных методов в математическом моделировании

1.1 Обзор числовых методов в математическом моделировании

С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

Дифференциальные уравнения (ДУ) - это соотношения между независимыми переменными, искомыми функциями от этих переменных и производными или дифференциалами искомых функций.

ДУ разделяются на два класса:

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

(1.1)

Уравнения с частными производными (УЧП).

Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Проинтегрировать ДУ - это значит найти такую функцию , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Полагая , получим ОДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной

Если уравнение однозначно разрешимо относительно , то уравнение запишем в виде

.

Такую форму записи ОДУ называют формой Коши.

Проинтегрировав уравнение получим

.

Отсюда следует, что ОДУ может иметь бесчисленное множество решений, причем эта ситуация является общей. Для выделения конкретного решения необходимо задать дополнительные условия, выделяющие это решение из всего множества решений. Такими условиями являются начальные условия

.

Числа , называются начальными условиями, а задача отыскания решения ОДУ, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

ОДУ второго порядка

,

сводиться заменой к системе двух уравнений первого порядка

Существуют численные методы решения дифференциальных уравнений, например, метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера.

Найдем приближенно решения уравнения

на интервале , удовлетворяющее начальному условию , . Разделим отрезок точками , , , …, на n равных частей (). Обозначим . тогда

Пусть есть несколько приближенное решение уравнения.

, , …, .

Обозначим , , …, . В каждой из точек интервала , , , …, в дифференциальном уравнении производную заменим отношением конечных разностей

,

.

Для начальной точки интервала получим

,

.

или

.

В этом равенстве неизвестно только , следовательно, находим

.

Для точки аналогично найдем

.

Таким же образом находим приближенные значения решения в остальных точках.[5]

1.2 Методы Рунге-Кутта

Допустим, что функция имеет непрерывные частные производные до m-го порядка включительно, тогда решение задачи Коши для уравнения будет обладать непрерывными производными до -го порядка включительно и если значение при известно, то справедливо равенство:

где .

Значения входящих сюда производных вычисляется из дифференциального уравнения последовательным дифференцированием

,

, …

Подставляя значения выражения производных, можно вычислить значение . Однако такой расчет требует вычислений, сложность которых возрастает с увеличением порядка производных. Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил значение в виде

,

;

, ,

;

Рассмотрим вопрос о выборе параметров , , . Для простоты ограничимся случаем . Введем обозначение

.

Причем

.

Учитывая выражения для производных найдем

,

,

.

Теперь получим

,

,

,

,

.

Эта система шести уравнений с восемью неизвестными имеет бесчисленное множество решений. Наиболее употребляемое решение

, , , , , , ,

порождает расчетные формулы

,

,

,

.

Оценка погрешности на каждом шаге интегрирования уравнения по методу Рунге-Кутта имеет порядок . Полную оценку погрешности можно произвести аналогично тому, как это было сделано выше для метода Эйлера.

1.3 Аппроксимация и интерполяция данных

В инженерной практике часто необходимо получить аналитическую функциональную зависимость по результатам эксперимента, заданным табличной функцией. Этот процесс называется приближением или аппроксимацией.

Аппроксимация - замена данной функции f(x), функцией f'(x) так, чтобы отклонение f'(x) от f(x) было наименьшим. Интерполяция - замена исходной таблично заданной функции f(x) функцией f'(x) так, чтобы f'(x) точно проходила через точки исходной функции f(x).Интерполяция еще называется точечной аппроксимацией.

Экстраполяция - аппроксимация функции вне заданной области изменения аргумента. Основной мерой отклонения функции аппроксимации от заданной функции является сумма квадратов между значениями аппроксимирующей и исходной функции.

Для выполнения аппроксимации по методу наименьших квадратов в MathCAD существуют две функции: linfit и genfit.

Linfit - аппроксимирует исходную функцию линейной комбинацией произвольных функций.

Genfit - аппроксимирует исходную функцию нелинейной комбинацией произвольных функций.

Пример: подобрать аналитическую зависимость данных, используя в качестве вектора F(x) суперпозицию функции .

Задается вектор F(x):

Получить вектор коэффициентов перед функциями, следующим образом;

a:=linfit(VX,VY,F)

a=

- получить аппроксимирующую функцию на любом аргументе, умножением функции F(x) на вектор a.

t:=0.1,0.11..9.5

g:=a*F(x)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.1 График исходной и аппроксимирующей функций

В данной курсовой работе используем функцию linfit для получения аппроксимирующей зависимости результатов исследования. Весь цикл аппроксимирующей зависимости с отображенными графиками можно видеть в приложении 1.

2. Постановка и алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

1. С использованием системы MathCAD получить параметры заданной графически аналитической функции закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника. Построить график исходной табличной и результирующей аналитической функций.

2. Рассчитать длины звеньев шарнирного кривошипно-коромыслового четырехзвенника с использованием метода интерполирования.

3. Проверить, соответствуют ли вычисленные значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями и условиям существования механизма и ограничениям:

д и a d

4. Рассчитать значение функции погрешности (), построить графики зависимости () и ()+(), сделать выводы по полученным результатам.

2.2 Описание математической модели

Рисунок 4.1 Схема шарнирного четырехзвенника

В общем случае при синтезе плоского шарнирного четырехзвенника требуется подобрать пять параметров: относительные длины звеньев a, b, c (d=1) и начальные углы и таким образом, чтобы проектируемый механизм обеспечивал определенный закон преобразования движения =f(), 0m, и максимальный угол давления шатуна на звено CD был меньше допустимого значения д.

В основу методики решения сформулированной задачи положен метод синтеза механизмов на основе приближающих функций, разработанный П.Л. Чебышевым и получивший развитие в работах Н.И. Левитского [1].

По методике интерполирования углы и задаются в качестве исходных данных, а параметры механизма вычисляются по формулам:

a = 1 / p1 c = - 1 / p0

(1)

где параметры pj (j=0,1,2) есть неизвестные в системе линейных уравнений вида:

(2)

где, в соответствии с заданием? (ц) вычисляется по заданной аналитической зависимости вида:

Значения k1 и k2 необходимо найти по методу аппроксимации.

Углы 1, 2, 3 вычисляются по формулам:

Угол давления определяется по формуле:

= arcsin [( b2 + c2 - l2 ) / (2 • b• c) ,

где l2 = a2 + 1 - 2a • cos(). (6)

Полученный угол давления при = 0 является максимальным и должен удовлетворять условиям

д (7)

Для определения погрешности воспользуемся формулой:

Q / (2• b• c • cos()),

Где: Q = - 2a• c • [ p0• f0() + p1• f1() + p2• f2() - F()] (8)

Здесь функции f0() , f1() , f2() , F() определяются по следующим формулам:



2.3 Анализ исходных данных

Исходными данными для работы являются:

звено AD (стойка) имеет длину d=1;

углы и , определяющие взаимное расположение звеньев AB и CD относительно стойки, заданы в таблице 1;

вид функции закона движения коромысла, заданный графически;

допустимое значение угла давления шатуна на коромысло д;

пределы изменения угла ( 0 2).

2.4 Графическая схема алгоритма решения

Графическую схему алгоритма решения начинаем с блока 1, где вводим исходные данные, далее в блоке 2 проводим интерполяцию и построение интерполирующей зависимости. В блоке 3 производим расчет параметров ц1,ц2,щ1, в блоке 4 производим расчет параметров , , , в блоке 5 производим расчет параметров , , , в блоке 6 производим расчет параметров c, b, a. Далее в блоке 7 определяем угол давления V, в блоке 8 определяем погрешность . В блоке 9 строим графики ,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1 Графическая схема алгоритма.

Заключение

При проведении исследований закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника были построены графики исходной табличной и результирующей аналитической функций, также были найдены длины звеньев шарнирного кривошипно-коромыслового четырехзвенника. Значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями и соответствуют условиям существования механизма и ограничениям: д и a d

Исследование проводилось для того чтобы оценить зависимость усилия в шатуне от значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями и .

Цель исследования выявить какое усилие в шатуне при определенных условиях существования механизма и ограничениях:

д и a d. Усилие в шатуне равно:V=0.932[рад.] и меньше заданного Vд=1.2[рад.], a=0.279(м) d=1(м).

моделирование интерполяция алгоритмический

Литература

1. Трохова Т.А. “Основные приемы работы в системе MathCAD” версии 6.0. М/к 2286. Гомель ГГТУ 1998г.

2. Новиков А.А. “Решение инженерно-экономических задач в среде MathCAD “. М/к 2477. Гомель, ГГТУ, 2000г.

3. Маркова Л.В., Мастяница В.С. “Расчеты в среде MathCAD 7.0.” Мн.1999г.

4. Турчак Л.И. “Основы численных методов МathCAD”, 1987г.

5. “Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике”. / Под ред. Яблонского А.А. / М. Высшая школа, 1985г.

6. Тарасик В.П. “Математическое моделирование технических систем”. Мн. 1997г.

Размещено на Allbest.ru

...