Исследование гетероскедастичности остатков с помощью теста Гольдфельда-Квандта. Расчет коэффициентов корреляции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Имеются данные о технической вооруженности труда х (тыс. руб/чел.) и затрат на рубль товарной продукции у (коп.) для 24 однотипных предприятий (табл. 57).

Таблица 1

Номер предприятия	Техническая вооруженность труда, тыс. руб./чел.	Затраты на рубль, коп.	Номер предприятия	Техническая вооруженность труда, тыс. руб./чел.	Затраты на рубль, коп.
1	76	30,10	13	87	26,45
2	77	31,10	14	88	25,45
3	78	32,10	15	89	22,3
4	79	29,60	16	89	21,11
5	80	19,16	17	90	21,03
6	82	19,54	18	91	20,95
7	82	29,87	19	91	20,99
8	83	29,67	20	92	19,65
9	83	29,65	21	93	18,47
10	84	29,71	22	93	18,51
11	85	27,54	23	94	18,48
12	86	28,45	24	96	18,55

Задания:

1. Построить линейную модель y = b₀ + b₁x, параметры которой оценить методом наименьших квадратов.

2. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции, найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл.

3. Проверить значимость уравнения регрессии на 5%-м уровне по F-критерию, проверить значимость коэффициента регрессии по t-статистике.

Решение: По данным таблицы 1 построим точечную диаграмму и отобразим на ней линию тренда.



Поле корреляции

Таблица 2

N	X	Y	X*Y	X*X	Y*Y
1	76	30,1	2287,6	5776	906,01
2	77	31,1	2394,7	5929	967,21
3	78	32,1	2503,8	6084	1030,41
4	79	29,6	2338,4	6241	876,16
5	80	19,16	1532,8	6400	367,1056
6	82	19,54	1602,28	6724	381,8116
7	82	29,87	2449,34	6724	892,2169
8	83	29,67	2462,61	6889	880,3089
9	83	29,65	2460,95	6889	879,1225
10	84	29,71	2495,64	7056	882,6841
11	85	27,54	2340,9	7225	758,4516
12	86	28,45	2446,7	7396	809,4025
13	87	26,45	2301,15	7569	699,6025
14	88	25,45	2239,6	7744	647,7025
15	89	22,3	1984,7	7921	497,29
16	89	21,11	1878,79	7921	445,6321
17	90	21,03	1892,7	8100	442,2609
18	91	20,95	1906,45	8281	438,9025
19	91	20,99	1910,09	8281	440,5801
20	92	19,65	1807,8	8464	386,1225
21	93	18,47	1717,71	8649	341,1409
22	93	18,51	1721,43	8649	342,6201
23	94	18,48	1737,12	8836	341,5104
24	96	18,55	1780,8	9216	344,1025
Сумма	2068	588,43	50194,06	178964	14998,36
Среднее	86,1667	24,5179	2091,419	7456,833	624,9317
Дисперсия	32,1389	23,8035	b1	-0,6599
Cov(x,y)	-21,208		b0	81,378

Итак, уравнение регрессии у по х:

= -0,6599x + 81,378

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении среднего технической вооруженности труда на 1 тыс. руб./чел. затраты уменьшаться в среднем на 0,6599 руб.

По исходным данным вычислим коэффициент корреляции.

т.е. связь между переменными достаточно тесная.

Таблица 3

N	X	Y	Yрег	Yi-Yрег	(Yi-Yср)^2	(Yрег-Yср)^2	(Xi-Xcp)^2
1	76	30,1	31,226	-1,126	31,160	44,993	103,361
2	77	31,1	30,566	0,534	43,324	36,576	84,028
3	78	32,1	29,906	2,194	57,488	29,029	66,694
4	79	29,6	29,246	0,354	25,828	22,354	51,361
5	80	19,16	28,586	-9,426	28,707	16,549	38,028
6	82	19,54	27,266	-7,726	24,780	7,553	17,361
7	82	29,87	27,266	2,604	28,645	7,553	17,361
8	83	29,67	26,606	3,064	26,544	4,361	10,028
9	83	29,65	26,606	3,044	26,338	4,361	10,028
10	84	29,71	25,946	3,764	26,958	2,041	4,694
11	85	27,54	25,287	2,254	9,133	0,591	1,361
12	86	28,45	24,627	3,823	15,461	0,012	0,028
13	87	26,45	23,967	2,483	3,733	0,304	0,694
14	88	25,45	23,307	2,143	0,869	1,467	3,361
15	89	22,3	22,647	-0,347	4,919	3,501	8,028
16	89	21,11	22,647	-1,537	11,614	3,501	8,028
17	90	21,03	21,987	-0,957	12,166	6,406	14,694
18	91	20,95	21,327	-0,377	12,730	10,181	23,361
19	91	20,99	21,327	-0,337	12,446	10,181	23,361
20	92	19,65	20,667	-1,017	23,697	14,828	34,028
21	93	18,47	20,007	-1,537	36,577	20,346	46,694
22	93	18,51	20,007	-1,497	36,095	20,346	46,694
23	94	18,48	19,347	-0,867	36,456	26,734	61,361
24	96	18,55	18,028	0,522	35,616	42,124	96,694
Сумма	2068	588,43	588,399	0,031	571,283	335,891	771,333
Среднее	86,167	24,518	24,517	0,001	23,803	13,995	32,139
b1	-0,6599
b0	81,378

Оценим на уровне значимости = 0,05 значимость уравнения регрессии у по х.

1-й способ. Используя данные табл. 3 вычислим необходимые суммы:

=571,283

Q_R==335,891

Q_e = Q Q_R = 235,392

По статистическим таблицам F-распределения F_0,05;2;22 = 3,44. Так как

F > F_0,05;2;22, то уравнение регрессии значимо.

2-й способ. Учитывая, что b₁ = -0,6599,



=771,333

= =10,7

t = = -5,60283

По таблице t-распределения t_0,95;22 = 2,07. Так как t > t_0,95;26, то коэффициент регрессии b₁, а значит, и уравнение парной линейной регрессии значимо.

Задача 2

корреляция дисперсионный модель квадрат

По совокупности 33 предприятий торговли изучается линейная зависимость между ценой товара А (тыс. руб.) х и прибылью торгового предприятия (млн руб.) у.

При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

= 59000,

= 80000.

Задания.

1. Поясните, какой показатель корреляции можно определить по вышеприведенным данным:

2. Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значения F-критерия Фишера.

3. Сравните фактическое значение F-критерия с табличным. Сделайте выводы.

Решение

1. Оценим исходные данные задачи. Величина называется остаточная сумма квадратов (Q_e), а полная сумма квадратов (Q). Исходя из условия задачи, можно рассчитать коэффициент детерминации, а затем индекс корреляции. Тогда,

= 0,263.

R = = 0,512

2. Для дисперсионного анализа воспользуемся табл. 4. Результаты расчетов приведем в табл. 5.

Таблица 4

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Объясненная		m - 1
Остаточная		n - m
Общая		n - 1

Таблица 5

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы	Fфакт
Объясненная	QR = 21000	m - 1 = 1	21000	11,034
Остаточная	Qe = 59000	33 - 2 = 31	1903,226
Общая	Q = 80000	33 - 1 = 32



3. По статистическим таблицам, представленным в приложении 1 найдем F_0,05;1;31 = 4,17. Так как наблюдаемое значение статистики Фишера F_факт больше табличного (F_факт > F_0,05;1;31), то полученная модель является адекватной.

Задача 3

По 20 машиностроительным заводам строилась линейная модель зависимости рентабельности продукции (%) у, от производительности труда (ед. в день) х.

Для первых 8 заводов (заводы проранжированы по х) результаты оказались следующими (табл. 6):

= 5,56 + 0,733х R² = 0,653 F = 11,3.

Таблица 6

у	7	8	9	9	10	11	12	15
х	2	6	3	3	5	6	8	8

Для последних 8 заводов результаты следующие (табл. 7):

= 19 + 0,892х; R² = 0,763; F = 19,3:

Таблица 7

у	23	22	24	25	27	31	33	35
х	14	16	16	17	17	18	18	19

Задание:

С помощью теста Гольдфельда-Квандта исследуйте гетероскедастичность остатков. Сделайте выводы.

Решение:

Тест ГолфредаКвандта

Упорядочим п наблюдений по мере возрастания переменной х. Исключим из рассмотрения С = 4 центральных наблюдений (условие (п С)/2 = (20 - 4)/2 = 8 > р = 1 выполняется). Разделим совокупность из (п С) = (20 - 4) = 16 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х по 8 наблюдений) и определим по каждой из групп уравнения регрессии. Для первой группы оно составит = 5,56 + 0,733х. Для второй группы: = 19 + 0,892х. Определим остаточные суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂)

Таблица 8

N	X	Y	Yрег = 5,56+0,733x	e=Y-Yрег	e^2
1	2	7	7,026	-0,026	0,000676
2	3	9	7,759	1,241	1,540081
3	3	9	7,759	1,241	1,540081
4	5	10	9,225	0,775	0,600625
5	6	8	9,958	-1,958	3,833764
6	6	11	9,958	1,042	1,085764
7	8	12	11,424	0,576	0,331776
8	8	15	11,424	3,576	12,787776
				S1	21,720543
N	X	Y	Yрег = -19+0,892x	e=Y-Yрег	e^2
9	14	23	-6,512	29,512	870,95814
10	16	22	-4,728	26,728	714,38598
11	16	24	-4,728	28,728	825,29798
12	17	25	-3,836	28,836	831,5149
13	17	27	-3,836	30,836	950,8589
14	18	31	-2,944	33,944	1152,1951
15	18	33	-2,944	35,944	1291,9711
16	19	35	-2,052	37,052	1372,8507
				S2	8010,0329

Найдем отношение R = S₁/S₂, где S₁ < S₂.

= 0,002712.

Сравним эту величину с табличным значением F-критерия с числом степеней свободы 4 для каждой остаточной суммы квадратов F_0,05;4;4 = 6,39. Так как R < F_0,05;8,8, делаем вывод о отсутствии гетероскедастичности остатков.

Задача 4

По данным, представленным в табл. 60, изучается зависимость чистого дохода у (млрд долл.) крупнейших компаний США в 20ХХ г. от использованного капитала х₁ (млрд долл.) и численности служащих х₂ (тыс. чел.).

Таблица 9

№ п/п	y	x1	x2	№ п/п	y	x1	x2
1	6,6	83,6	222,0	11	4,2	32,5	225,4
2	3,0	6,5	32,0	12	2,7	25,4	675,0
3	6,5	50,4	82,0	13	1,6	6,4	43,8
4	3,3	15,4	45,2	14	2,4	12,5	102,3
5	0,1	29,6	299,3	15	3,3	14,3	105,0
6	3,6	13,3	41,6	16	1,8	6,5	49,1
7	1,5	5,9	17,8	17	2,4	22,7	50,4
8	5,5	27,1	151,0	18	1,6	15,8	480,0
9	2,4	11,2	82,3	19	1,4	9,3	71,0
10	3,0	16,4	103,0	20	0,9	18,9	43,0

Задания:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, а также стандартизированные коэффициенты регрессии; сделать вывод о силе связи результата и фактора.

3. Рассчитать парные, частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

4. Проверить значимость уравнения регрессии на 5%-м уровне по F-критерию, проверить значимость коэффициентов регрессии по t-статистике.

Решение:

1. По данным табл. 9 найдем уравнение регрессии у по х₁, х₂. Расчеты произведем в Exce, промежуточные вычисления представим в табл. 10.

Таблица 10

№ п/п	y	x1	x2	yх1	yх2	х1^2	х2^2	x1x2	у^2
1	6,6	83,6	222	551,76	1465,2	6988,96	49284	18559,2	43,56
2	3	6,5	32	19,5	96	42,25	1024	208	9
3	6,5	50,4	82	327,6	533	2540,16	6724	4132,8	42,25
4	3,3	15,4	45,2	50,82	149,16	237,16	2043,04	696,08	10,89
5	0,1	29,6	299,3	2,96	29,93	876,16	89580,49	8859,28	0,01
6	3,6	13,3	41,6	47,88	149,76	176,89	1730,56	553,28	12,96
7	1,5	5,9	17,8	8,85	26,7	34,81	316,84	105,02	2,25
8	5,5	27,1	151	149,05	830,5	734,41	22801	4092,1	30,25
9	2,4	11,2	82,3	26,88	197,52	125,44	6773,29	921,76	5,76
10	3	16,4	103	49,2	309	268,96	10609	1689,2	9
11	4,2	32,5	225,4	136,5	946,68	1056,25	50805,16	7325,5	17,64
12	2,7	25,4	675	68,58	1822,5	645,16	455625	17145	7,29
13	1,6	6,4	43,8	10,24	70,08	40,96	1918,44	280,32	2,56
14	2,4	12,5	102,3	30	245,52	156,25	10465,29	1278,75	5,76
15	3,3	14,3	105	47,19	346,5	204,49	11025	1501,5	10,89
16	1,8	6,5	49,1	11,7	88,38	42,25	2410,81	319,15	3,24
17	2,4	22,7	50,4	54,48	120,96	515,29	2540,16	1144,08	5,76
18	1,6	15,8	480	25,28	768	249,64	230400	7584	2,56
19	1,4	9,3	71	13,02	99,4	86,49	5041	660,3	1,96
20	0,9	18,9	43	17,01	38,7	357,21	1849	812,7	0,81
Сумма	57,8	423,7	2921,2	1648,5	8333,49	15379,19	962966,1	77868,02	224,4

Система уравнений для расчета коэффициентов регрессии примет вид:

Решив систему уравнений методом Гаусса, получили следующие значения коэффициентов регрессии b₀ = 1,706234; b₁ = 0,072088; b₂ =-0,00235.

Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:

у = 1,706234 + 0,072088х₁ - 0,00235х₂.

Коэффициент регрессии b₁ показывает, что при увеличении на 1 млрд. дол. капитала (х₁) чистый доход (у) в среднем увеличится на 0,072088 млрд. дол. при постоянном значении численности служащих (х₂). Если же увеличится численность служащих (х₂) на 1 тыс.чел., а капитал (х₁) в среднем не изменится, то чистый доход (у) уменьшится в среднем на 0,00235 млрд. дол.

2. Рассчитаем коэффициенты и E_j для рассматриваемого примера.

Предварительно найдем значения среднеквадратичного отклонения для переменных задачи, используя данные табл. 10.

= 17,89288;

= 163,7522;

= 1,693488.

Тогда,

= 0,76166 = -0,22723.

= 0,528437 = -0,11877

С увеличением капитала на 1 % от среднего уровня чистый доход на 52,8% от своего среднего уровня при фиксированном значении численности служащих. С увеличением численности служащих на 1 % от своего среднего уровня чистый доход уменьшится на 11,9% от своего среднего уровня при фиксированном значении капитала.

3. Определим парные коэффициенты корреляции, используя данные табл. 10.

= 0,69965;

= -0,01961;

= 0,272737.

Парный коэффициент между доходом (у) и капиталом (х₁) равен 0,69965. Парный коэффициент между доходом (у) и численностью служащих (х₂) равен -0,01961.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции:

= 0,732921;

= -0,30613.

Рассчитаем коэффициент множественной корреляции по формуле



Коэффициент множественной корреляции больше значений парных коэффициентов корреляции. Совокупность факторов оказывает большее совместное влияние на результативный признак.

Для линейных моделей коэффициент множественной детерминации равен квадрату коэффициента множественной корреляции, тогда R² = 0,733042² = 0,537351.

4. Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_набл воспользуемся формулой

= 9,87.

По таблицам F-критерия прил. 1 F_0,05;2;22 = 3,44. Так как F > F_0,05;2;17, то уравнение регрессии значимо.

Чтобы оценить значимость параметров регрессии b₁ и b₂ необходимо найти значения t-статистики. Используя предыдущие расчеты, найдем частные F-критерии Фишера.

= 19,73076;

= 1,75791.

Для линейных моделей частный F-критерий Фишера связан с t-критерием Стьюдента следующим соотношением:



.

Выполнив расчеты, получим

= 4,441932;

= 1,325862.

По таблицам t-распределения прил. 1 t_0,95;22 = 2,07. Тогда,

t₁ = 4,441932> t_0,95;47 = 2,07 - параметр b₁ адекватен;

t₂ = 1,325862< t_0,95;47 = 2,07 - параметр b₂ неадекватен.

Задача 5

При изучении уровня потребления мяса (кг на душу населения) у в зависимости от дохода (руб. на одного члена семьи) х₁ и в соотношении с уровнем потребления рыбы (кг на душу населения) х₂ результаты оказались следующими (по 50 семьям):

Уравнение регрессии	= 40 + 0,32х1 0,9х2
Стандартные ошибки параметров	12 0,56 0,25
Множественный коэффициент корреляции	0,92

Задания:

1. Используя t-критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения.

2. Рассчитайте F-критерий Фишера.

3. Оцените по частным F-критериям Фишера целесообразность включения в модель:

а) фактора х₁ после фактора х₂;

б) фактора х₂ после фактора х₁.

Решение:

1. Чтобы найти t-критерий Стьюдента воспользуемся формулой (38).

= 3,33; = 0,57 = 3,6

Для оценки адекватность параметров регрессии воспользуемся значениями t_набл. По таблицам t-распределения прил. 1 t_0,95;47 = 2,01. Тогда,

t₀ = 3,33 > t_0,95;47 = 2,01 - параметр b₀ адекватен;

t₁ = 0,57 < t_0,95;47 = 2,01 - параметр b₁ неадекватен;

t₂ = 3,6 > t_0,95;47 = 2,01 - параметр b₂ адекватен.

2. Коэффициент детерминации R² в линейных моделях равен квадрату множественного коэффициента корреляции R.

Отсюда R² = 0,92² = 0,8464.

Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_набл воспользуемся формулой

= 129,4948.

По таблицам F-критерия прил. 1 F_0,05;2;47 = 3,21. Так как F > F_0,05;2;47, то в целом уравнение регрессии значимо.

3. Чтобы оценить целесообразность включения в модель дополнительных переменных, необходимо найти частный F-критерий Фишера. Для линейных моделей частный F-критерий Фишера связан с t-критерием Стьюдента следующим соотношением:



.

Для целесообразности включения фактора х₁ после фактора х₂ рассчитаем F_x1:

= (-12)² = 144.

Так как F = 144 > F_0,05;2;47 = 3,21, то включение в модель фактора х₁ после фактора х₂ статистически оправдано.

Для целесообразности включения фактора х₂ после фактора х₁ рассчитаем F_x2:

= 0,56² = 0,3136.

Так как F = 0,3136< F_0,05;2;47 = 3,21, то включение в модель фактора х₂ после фактора х₁ статистически не оправдано.

Размещено на Allbest.ru

...