В последние три столетия необходимость решения различных задач естествознания, в основном физики и ее технических приложений, вызвала бурное развитие математических методов анализа (прежде всего дифференциального и интегрального исчисления, линейной и векторной алгебры, теории вероятностей).

Проникновение математики в экономику (как и в социологию, историю, психологию и другие гуманитарные науки) в большей степени связано с тем, что, как оказалось, анализ многих социально-экономических процессов не может быть выполнен без использования математических моделей. Применение математики в экономической науке - объективный этап ее развития, связанный с существованием устойчивых закономерностей и возможностью формализованного описания многих (хотя и не всех) экономических процессов.

И. Экланд, автор одной из первых книг по математической экономике, переведенной на русский язык, высказал такое мнение: "…экономика стремится стать математической, потому что со времен Декарта математизация стала идеалом строгости для всякой науки"

Убеждение о значении математики разделяли многие выдающиеся мыслители. Например, Леонардо да Винчи: " Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства." "Нет никакой достоверности там, где не находит приложения одна из математических наук, или там где применяются науки, не связанные с математическими. "

Из истории экономико-математического моделирования.

Применение математических методов, в том числе и методов математического моделирования, в экономике в целом имеет длительную историю. В качестве примера приведем характеристику математического метода исследования основателем классической школы буржуазной политической экономии У. Петти (1623 - 1687). В предисловии к "Политической арифметике"У. Петти указывал, что его способ исследования "не обычный, ибо вместо того, чтобы употреблять слова только в сравнительной и превосходной степени и прибегать к умозрительным аргументам, я вступил на путь выражения своих мнений на языке чисел, весов и мер, что я уже давно стремился пойти по этому пути, чтобы показать пример политической арифметики".

Позже математика как метод анализа макроэкономических процессов была использована лейб - медиком короля Людовика XV доктором Ф. Кенэ, который в 1758 опубликовал "Экономическую таблицу". В этой работе сделана первая попытка построить схему взаимосвязи трех основных классов (производители-фермеры, землевладельцы и ремесленники). Идеи Ф. Кене позже получили развитие в схемах К. Маркса и в моделях народнохозяйственного баланса.

В конце XVIII в. Английский ученый Т. Мальтус в работе "Опыт о законе народонаселения " использовал математику при обосновании концепции, согласно которой численность населения строго ограничена средствами существования. Предполагая, что продовольственные ресурсы растут благодаря усилиям, предпринимаемым людьми из-за инстинктивного стремления к продолжению рода, он пришел к выводу, что, тем не менее, рост средств существования отстает от роста населения. Для подкрепления своей аргументации он утверждал, что рост численности населения определяется геометрической прогрессией, а рост производства продовольствия - арифметической. По Мальтусу, рост народонаселения может быть остановлен либо нравственными причинами (воздержание), либо несчастьями (голод, войны, эпидемии).

Математическое моделирование заявило о себе как о действенном методе анализа социально-экономических процессов в XVIII в. Первое логически последовательное изложение математической модели экономики было выведено французским математиком А. - О. Курно в книге "Исследование математических принципов теории богатства". В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. А. - О. Курно ввел понятие функции спроса от цены, сформулировал основы математического аппарата теории фирмы, показал, что максимум прибыли достигается при условии равенства предельных издержек предельному доходу.

А. - О. Курно заложил основы не только теории фирмы и монополии, но и дуополии (рыночной ситуации, при которой на рынке соперничают 2 продавца). В модели дуополии Курно, которая описывается разностными уравнениями, используется гипотеза о том, что каждая конкурирующая фирма принимает свое решение о выпуске продукции из условия максимально возможной прибыли при предполагаемых действиях конкурента. Книга А. - О. Курно осталась незамеченной, так же как и работы некоторых других исследователей того времени (Ж. Дюпюи, Г. Госсена, П-Ф. Ферхюльста), применявших при анализе социальных процессов аппарат дифференциального исчисления.

Сейчас Курно называют предтечей математического направления в экономической теории.

Во второй половине XIX века математическое моделирование стало активно развиваться в экономике. В опубликованных тогда книгах У. Джевонса "Теория политической экономии", К. Менгера "Основания политической экономии" и Л. Вальраса "Элементы чистой политической экономии" были заложены основы современной экономической теории. К началу XX в. усилиями Дж.Б. Кларка (США), В. Парето (Швейцария), А. Маршалла и Ф. Эджворта (Великобритания) и др. классическая экономическая наука была переведена на строгий математический язык. Поэтому начало XX в. можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике как науке.

Удивительный исторический факт: в том же 1838 г., когда была опубликована ставшая впоследствии знаменитой работа А. - О. Курно бельгийский математик П. - Ф. Ферхюльст опубликовал статью "Замечания о законе, согласно которому происходит рост населения". В ней он построил дифференциальное уравнение, названное им позже логистическим, для прогнозирования численности населения. Введенный им в уравнение Мальтуса дополнительный отрицательный член, пропорциональный квадрату численности населения, отражает линейное уменьшение темпа прироста численности при увеличении последней.

Работа Ферхюльста, как и Курно, не была по достоинству воспринята современниками. Однако, позже выяснилось, что построенное им уравнение логистического роста носит универсальный характер: оно описывает динамические процессы в самых разных областях науки. Модифицированное уравнение Ферхюльста, в правую часть которого введена отрицательная константа, описывает в математической биологии процесс внутривидовой конкуренции с учетом постоянного отлова части особей. Оказалось, это уравнение описывает также динамику выпуска продукции однопродуктовой фирмы и монополии в соответствующих нелинейных динамических моделях, отражающих производственные, инвестиционные и амортизационные процессы.

С усложнением проблем экономики и управления в XX в. совершенствовались математические методы их анализа. Это в конечном итоге привело к развитию таких разделов, как линейное и нелинейное программирование, теория игр и др. В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем, опирающаяся на системный подход. Использование принципа системности, без кот. невозможно эффективное управление, включает, наряду содержательным анализом изучаемых процессов, применение метода математического моделирования.

Развитие математических методов исследования экономики осуществлялось в XX в. представителями разных стран, в том числе и России. Многие результаты, полученные российскими математиками-экономистами, стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ Е.Е. Слуцким модели поведения потребителя; открытие Н.Д. Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924гг., на основе кот. была построена широко известная ныне модель В.В. Леонтьева. Особое значение имеет вклад Л.В. Канторовича в развитие линейного программирования - направления, оказавшего большое влияние на развитие экономической науки. Линейное программирование заявило о себе в 1939г., когда вышла в свет небольшая брошюра Л.В. Канторовича.

Благодаря исследованиям, выполненным на основе математического моделирования в Центральном экономико-математическом институте РАН и других ведущих научных центрах России, были получены значительные результаты в области анализа социально-экономических процессов. Тем не менее, метод математического моделирования до сих пор применяется в научных разработках.

Окружность Аполлония