Определение зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений средствами эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Барнауле

Кафедра

Математики и информатики

Контрольная работа

по эконометрике

Барнаул 2012г.



Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стъюдента ().

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения с помощью F- критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Для 13 клиентов спортивного отдела магазина зафиксировано время разговора с продавцом Х (мин.) и сумма покупки У(ден.ед.). Данные представлены в таблице 1.

Y	21	10	26	33	34	37	9	21	32	14
X	12	4	18	27	26	29	1	13	26	5

Требуется

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии

Построим линейную модель Yt=a+b*X.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные сортировка)

Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели

Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.



Таблица 2

Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R	0,99
R-квадрат	0,99
Нормированный R-квадрат	0,99
Стандартная ошибка	1,19
Наблюдения	10,00

Таблица 3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	944,75	944,75	666,10	0,00
Остаток	8	11,35	1,42
Итого	9	956,10

Таблица 4

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	8,12	0,71	11,41	0,00	6,48	9,76	6,48	9,76
Х	0,97	0,04	25,81	0,00	0,88	1,05	0,88	1,05

Таблица 5

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	9,09	-0,09
2	11,99	-1,99
3	12,96	1,04
4	19,73	1,27
5	20,70	0,30
6	25,54	0,46
7	33,28	-1,28
8	34,25	-1,25
9	33,28	0,72
10	36,18	0,82

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена и имеет вид

Yt=8,12+0,97*X.

Коэффициенты регрессии b=0,97, следовательно, при увеличении капиталовложений (Х) на 1 млн.руб., объем выпуска продукции (У) увеличивается в среднем на 0,97 ден.ед.

Свободный член =8,12

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков

Остатки модели содержится в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ.

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов и дисперсия остатков (таблица 3).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

1) Вызвать Мастер диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

2) Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1); значения У -остатки (таблица 5).



В результате получим график остатков.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1) В уравнении линейной модели слагаемое - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

2) Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

3) Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

4) Распределение случайного члена является нормальным

1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков: p=5

Ркр.=[(2(n-2))/3-1,96v((16n-29)/90)] (формула 4), при n=10 найдём Ркр.=[2,93]=2.

Схема критерия:

Сравним Р=5> Ркр.=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2) Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты который определены по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически.

С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить:

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Голфельда-Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных (n=10) выделяем первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым 4 наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов



Рис.6

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним 4 наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов

Рис.7

Рассчитаем статистику критерия:

Критическое значение при уровне значимости 5% и числах свободы

составляет Fкр.=19 (функция FРАСПОБР).

Схема критерия:

Сравним F=1,5<Fкр.=19, следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

3) Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты .

Таким образом

.

Схема критерия:

Полученное значение d=2,5>2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d'=4-d=1,5 и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88 и d2=1,32 (по таблице d-статистики Дарбина-Уотсона), d'=1,5 лежит в интервале от d2 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

Проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

линейный регрессия распределение аппроксимация



С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков , следовательно, =-0.30.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение .

Схема критерия:

Так как |r(1)|=0,30< =0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

5. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S - критерия

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим Emax=1,27, Emin=-1,99.

Рис.8



Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет (таблица 2).

Тогда .

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n=10 составляет (2,76; 3,57).

Схема критерия:

2,94 значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

6. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (=0,05)

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Для свободного коэффициента =8,12, определена статистика t(a)=11,41.

Для коэффициента b=0,97 определена статистика t(b)=25.81.

Критическое значение t(кр)=1,86 найдено для уровня значимости и числа степеней свободы k=10-1-1=8 (СТЪЮДРАСПОБР).



Схема критериев:

7. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( =0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели

Коэффициент детерминации R-квадрат определён программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет =0.988=98.8%.

Таким образом, уравнением регрессии (объемом капиталовложений) объясняется 98,8% дисперсии результативного признака (объема выпуска продукции), а на долю прочих факторов приходится лишь 1,2% ее дисперсии. Модель качественная.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F-критерия Фишера.

F-статистика определена программой РЕГРЕССИЯ и составляет F=666,10.

Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР. Критическое значение Fкр.=5,32 найдено для уровня значимости а=5% и чисел свободы k1=1,k2=8.

Схема критерия:



Поскольку F=666,1 > F=5,32, следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X.

Для того, чтобы найти относительную ошибку аппроксимации дополним таблицу 5 столбцом относительных погрешностей, которые вычисляются с помощью функции ABC(таблица 6). По столбцу относит. погрешностей найдём среднее значение ,с помощью функции СРЗНАЧ.

Таблица 6

Схема проверки:

Сравним: 4,97<5%, следовательно, модель точная.

Вывод: на основании предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать адекватной, точной. Использовать такую модель в реальных условиях целесообразно.



8. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости =0,01 , если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения

Рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования

Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели Se=1.19;

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение 16,1 (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

Найдем размах доверительного интервала для среднего значения:

1,86



Границами прогнозного интервала будут

=30,570-2,32=28,25

=30,570+2,32=32,89

Вывод: с надёжностью 90% можно утверждать, что если объём капиталовложений составит 23,2 млн. руб., то ожидаемый средний объём выпуска продукции будет от 28,2 до 32,9 млн.руб..

9. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм(точечная)-покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда.. построим линию модели: тип - линейная, параметры - показывать уравнение на диаграмме.

В опции Исходные данные добавим ряды:

Имя - прогноз; значения X-x*;значения Y-y*;

Имя - нижняя граница; X-x*;Y-U нижн;

Имя - верхняя граница; X-x*;Y-U верх.



10. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии

Гиперболическая модель не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Его можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).



С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим

Таким образом, а=28,003; b=-23,718, следовательно, уравнение гиперболической модели

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоритические значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных () ряд теоретических значений ().



Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию тренда и выведем на диаграмму уравнений модели.

Таким образом, уравнение степенной модели .

Показательная модель тоже стандартная (экспонециальная).

Построим ее с помощью Мастер диаграмм.



Уравнение показательной модели .

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения уравнению для каждого уравнения исходных данных ; ошибки модели и относительно погрешности (таблицы 8-10).

Среднюю относительную погрешность найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс детерминации вычислим по формуле , для чего подготовим числитель дроби - функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель - функция КВАДРОТКЛ для столбца У.



Таблица 8 (гиперболическая модель)

Таблица 9 (степенная модель)

Таблица 10 (показательная модель)

Составим сводную таблицу характеристик качества построенных моделей



Столбец средних относительных погрешностей показывает, что наиболее точной является линейная модель, ее погрешность - наименьшая. 4,96%<5%, следовательно модель точная.

По величине индекса детерминации лучшая модель - линейная (индекс детерминации наибольший). 98,8 %, таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции на 98,27% объясняется по уравнению линейной модели вариацией объема капиталовложений.

Для нелинейных моделей коэффициенты эластичности определяются соотношением , согласно которому :

Для степенной модели коэффициент эластичности Э=b представляет собой постоянную величину;

Для показательной модели коэффициент эластичности и зависит от значения фактора X;

Для гиперболической модели коэффициент эластичности и также зависит от значения фактора X.

Для построенной степенной модели , получим Э=1,05. Следовательно, согласно этой модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к увеличению объема выпуска продукции на 1,05%.

Для показательной и гиперболической моделей результаты расчета коэффициентов эластичности приведены в таблице:



Таким образом, согласно показательной модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к росту среднего объема выпуска продукции на величину от 0,04% до 3,01%. Согласно гиперболической модели при увеличении объема капиталовложений на 1 % происходит рост среднего объема выпуска продукции в пределах от -22,87% до 0,84%.

Наиболее подходящей является показательная модель, так как наблюдаемый рост коэффициентов эластичности соответствует реальной ситуации: чем больше объем капиталовложений, тем больше объем выпуска продукции.



Список использованной литературы

1. М.А. Кайгородова, М.Л. Поддубная. Эконометрика. Методические указания по выполнению лабораторной и контрольной работ. - Барнаул: Изд. во АлтГТУ, 2012. - 31 с.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 192 с.

3. Эконометрика: учебник под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

Размещено на Allbest.ru

...