Экономико-математические методы и прикладные модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

ЗАДАЧА 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка - «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

Обозначим через x1 и x2 количество напитка «Лимонад» и «Тоник» соответственно (в литрах). Составим математическую модель задачи.

max f () = 0,10x1 + 0,30x2

при условии выполнения ограничений:

x1 ?0, x2 ?0.

Решаем задачу графическим методом:

Областью допустимых решений системы является многоугольник ОАВС.

Построим линию уровня 0,10 x1 + 0,30 x2 и вектор .

При перемещении линии уровня в направлении вектора значении функции возрастает. Наибольшее значение достигается в точке B.

B = (Ч 100)

B =

- 4 x2 = - 800

x2 = 200

x1 + 4·200 = 1600

x1 = 800

B (800; 200);

f max()=0,10*800+0,30*200=80+60=140

Ответ: Прибыль будет максимальной, при производимости 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х1 = 800, х2 = 200).

Если задачу решать на min, то f(min)=?, т.е. не имеет конечного оптимума, т.к. область допустимых значений не ограничена снизу.

Проверим правильность расчетов с помощью средств MS Excel:

1. Вводим зависимость для целевой функции и ограничений:

2. Из меню Сервис выбираем Поиск решения.

Назначаем целевую функцию, вводим ограничения и на вкладке Параметры устанавливаем Линейная модель и Неотрицательные значения.

3. Щелкнули Выполнить.

Значит, требуется изготовить 800 л. напитка «Лимонад» и 200 л. напитка «Тоник», что обеспечит получение прибыли 140 ден. ед.

При решении задачи на min линию уровня следует сдвигать в противоположную сторону от вектора . Наименьшее значение будет достигнуто в точке О (0;0). Значит x1 = 0, x2 = 0, . Это значит, что не надо ничего выпускать и прибыль будет равна 0.

ЗАДАЧА 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	3	6	4	2000
Сырье 1	20	15	20	15000
Сырье 2	10	15	20	7400
Оборудование	0	3	5	1500
Цена изделия	6	10	9

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;

оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем условные обозначения:

х1 - норма расхода ресурсов на одно изделие I вида

х2 - норма расхода ресурсов на одно изделие II вида

х3 - норма расхода ресурсов на одно изделие III вида

Целевая функция имеет вид:

max f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3

Ограничения задачи имеют вид:

3 х1 + 6 х2 + 4 х32000

20 х1 + 15 х2 + 20 х315000

10 х1 + 15 х2 + 20 х37400

3 х2 +5 х31500

х1,2,30

Оптимальный план найдем через поиск решения в надстройках Microsoft Excel.

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из 15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц. Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

y1 - двойственная оценка ресурса «Труд»

y2 - двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y3 - двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y4 - двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

min g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4.

Необходимо найти такие «цены» на типы ресурсов (yi), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y1 + 20 y2 +10 y3 6;

6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y410;

4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y49.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности:

= 0, тогда

y1(3 х1+ 6 х2+4 х3 - 2000) = 0;

y2(20 х1 + 15 х2 + 20 х3 - 15000) = 0;

y3(10 х1 + 15 х2 + 20 х3 - 7400) = 0;

y4(3 х2 + 5 х3 - 1500) = 0.

()* = (520;0;110)

Подставим оптимальные значения вектора в полученное выражение:

y1(3*520+ 6*0+4*110 - 2000) = 0;

y2(20*520 + 15*0 + 20*110 - 15000) = 0;

y3(10*520 + 15*0 + 20 *110 - 7400) = 0;

y4(3 *0 + 5*110 - 1500) = 0.

Отсюда получим:

y1(2 000-2 000) = 0;

y2 (12 600-15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y2 = 0;

y3 (7400-7400) = 0;

y4 (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y4 = 0.

Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

, если >0, то

В нашей задаче х1=520 > 0 и х3 = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х1(3 y1 + 20 y2 +10 y3 - 6) = 0;

х2(6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4 -10) = 0;

х3 (4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y4 -9) = 0.

Решая систему уравнений

3*у1 + 20*у2+10у3-6=0

у2 = 0

4*у1 + 20*у2 + 20 у3 + 5*у4-9=0

у4 = 0,

получим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0.

Необходимо проверить выполнение первой теоремы двойственности

g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4 = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3 = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения - Отчет по устойчивости в Excel.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора : ()* = (1,5;0;0,15;0)

3 y1 + 20 y2 +10 y363*1,5 + 20*0+10*0,156 6=6;

6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4106*1,5+15*0+15*0,15+3*010 11,25>10;

4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y494*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*09 9=9.

Затраты на 2 вид продукции превышает цену (11,25>10). Это же видно
и в отчете по устойчивости, значение х2 (нормированная стоимость)
равно -1,25. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу продукции больше, чем цена изделия. Эта продукция не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

20002000

74007400

1260015000

5501500

Запасы по первому и третьему виду ресурсов были использованы полностью, а по второму и четвертому виду недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно.

Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению f(). Оно определяется:

f() =

=24

=24*1,5=36

f(x)= 4110 + 36 = 4146 (ед.)

Из расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единицы, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.

При этом структура плана не изменилась - изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y1 = 1,5

3 х1 + 6 х2 + 4 х32000 + 24

у2=0

20 х1 + 15 х2 +20 х3 ?15000

y3 = 0,15

10 х1 + 15 х2 + 20 х37400

y4 = 00 х1 + 3 х2 + 5 х31500

Решим систему уравнений:

3 х1 + 4 х3 = 2024

10 х1 + 20 х3 = 7400,

откуда х1 = 544,

х3 = .

Таким образом, новый оптимальный план () = (544; 0; 98).

= 24*6 = 144, т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед.

Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

8 y1 + 4 y2 + 20 y3 + 6 y4=11

подставим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

12+3=11

15=11, т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

линейный программирование задача двойственность

ЗАДАЧА 3

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

Номер наблюдения (t = 1,2,…,9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
33	35	40	41	45	47	45	51	53

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания б = 0.4 и б = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S - критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

Решение

1) Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число () (Таблица 1).

; ,

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

Таблица 1 - Расчетная таблица для применения метода Ирвина

	t	Y
	1	33	-4	16	-10,33	106,78	-
	2	35	-3	9	-8,33	69,44	2	0,04
	3	40	-2	4	-3,33	11,11	5	0,11
	4	41	-1	1	-2,33	5,44	1	0,02
	5	45	0	0	1,67	2,78	4	0,09
	6	47	1	1	3,67	13,44	2	0,04
	7	45	2	4	1,67	2,78	2	0,04
	8	51	3	9	7,67	58,78	6	0,13
	9	53	4	16	9,67	93,44	2	0,04
сумма	45	390	0	60	0,00	364,00
среднее	5	43,33

=43,33 Sy=45,5

Все полученные данные сравнили с табличными значениями, не превышает их, т.е. аномальных наблюдений нет.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК

Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel.

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 - Результаты регрессионного анализа

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	31,33	1,18	26,60
t	2,40	0,21	11,47

Во втором столбце таблицы 8 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от tt (время) имеет вид Yt = 31,33+2,40t (Рис. 1)

Таблица 3 - Вывод остатков

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	33,73	-0,73
2	36,13	-1,13
3	38,53	1,47
4	40,93	0,07
5	43,33	1,67
6	45,73	1,27
7	48,13	-3,13
8	50,53	0,47
9	52,93	0,07

Рис. 1 -График подбора

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона по формуле:

, используются данные таблицы 4.

Таблица 4 - Расчетная таблица для применения d-критерия Дарбина-Уотсона»

Наблюдение
1	-0,73	0,538	-	-	-
2	-1,13	1,284	-0,40	-0,73	0,54
3	1,47	2,151	2,60	-1,13	1,28
4	0,07	0,004	-1,40	1,47	2,15
5	1,67	2,778	1,60	0,07	0,00
6	1,27	1,604	-0,40	1,67	2,78
7	-3,13	9,818	-4,40	1,27	1,60
8	0,47	0,218	3,60	-3,13	9,82
9	0,07	0,004	-0,40	0,47	0,22
Сумма	0	18,40			18,40

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1 (рис. 2). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

Рис. 2 - Анализ независимости с помощью критерия Дарбина - Уотсона

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) - 1, 96 - (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 6 (рисунок 3).



Рис. 3 - График остатков

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

- минимальный уровень ряда остатков,

- среднеквадратическое отклонение,

,

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4) Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания б.

Yp (t) = а0 (t -1) + а1(t -1) * к,

где к - количество шагов прогнозирования.

a1(t) = а1 (t -1) + а2 * E(t), E(t) = Y(t0 - Yp(t),

а0(t) = a0 (t -1) + а1 (t - 1) + (1 - в2) *E(t).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов:

Таблица 5 - Расчетная таблица для получения оценок параметров

	t	Y(t)	tІ	Y(t)*t
	1	3	1	3
	2	33	4	66
	3	35	9	105
	4	40	16	160
	5	41	25	205
Итого:	15	152	55	539
Среднее значение:	3	30.4	11	107.8

a1(0) =3,0; a0(0) = 38,8 - 3,0 * 3 = 29,8.

При б = 0,4; k = 1; в =1 - 0,4 = 0,6.

Получим:

Таблица 6 - Расчетная таблица для построения модели Брауна с параметром сглаживания б = 0,4

t	Y(t)	a0(t)	a1(t)	Yp(t)	E(t)	EІ(t)	ТП	(E(t)-E(t-1))2		E(t)/Y(t) щ
		29.80	3.00				-	-	-
1	33	32.83	3.03	32.80	0.20	0.04	-		0.01
2	35	35.73	2.89	35.86	-0.86	0.75	1	1.132	0.02
3	40	38.84	3.11	38.62	1.38	1.91	0	5.038	0.03
4	41	41.80	2.96	41.96	-0.96	0.91	1	5.455	0.02
5	45	44.80	3.00	44.76	0.24	0.06	1	1.418	0.01
6	47	47.67	2.87	47.80	-0.80	0.64	1	1.076	0.02
7	45	49.66	1.98	50.54	-5.54	30.74	0	22.497	0.12
8	51	51.54	1.88	51.64	-0.64	0.41	1	24.038	0.01
9	53	53.35	1.81	53.42	-0.42	0.18	-	0.049	0.01
Итого:						35,63	5	60.703	0.25

При б = 0,7; k = 1, в = 1 - 0,7 = 0,3 получаем:

Таблица 7 - Расчетная таблица для построения модели Брауна с параметром сглаживания б = 0,4

t	Y(t)	a0(t)	a1(t)	Yp (t)	E{t)	E2(t)	ТП	(E(t)-E(t -1))2	¦E(t)/Y(t)¦
		29.80	3.00				-	-
1	33	32.90	3.10	32.80	0.20	0.04	-		0.01
2	35	35.51	2.61	36.00	-1.00	0.99	1	0.906	0.03
3	40	39.04	3.53	38.12	1.88	3.54	0	6.504	0.05
4	41	41.80	2.76	42.57	-1.57	2.47	1	1.145	0.04
5	45	44.78	2.98	44.56	0.44	0.19	1	5.206	0.01
6	47	47.38	2.61	47.75	-0.75	0.57	1	0.142	0.02
7	45	47.55	0.16	49.99	-4.99	24.91	1	592.403	0.11
8 8	51	49.32	1.78	47.71	3.29	10.85	0	197.643	0.06
9	53	52.03	2.71	51.10	1.90	3.63	-	52.128	0.04
Итого:						47.19	5	856.077	0.36

Лучшее значение параметра сглаживания б = 0,4, так как меньше Eотн

Eотн = 0,25/9* 100% = 3% при б = 0,4

Eотн = 0,36/9* 100% = 4% при б = 0,7.

5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

Модель Брауна с параметром сглаживания б = 0,4

Т.к. 6>2, то проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат.

б) d1 = 1,08 ; d2 = 1,36 ;

Т.к. 1,08<1,70, то с вероятностью 95% гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Т.к. 3,38 принадлежит 2, 7; 3, 7 гипотеза о нормальном распределении ряда остатков верна.

6) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 8 - Расчет относительной ошибки аппроксимации

	t	Y	Предсказанное Y
	1	33	33,73	-0,73	0,02
	2	35	36,13	-1,13	0,03
	3	40	38,53	1,47	0,04
	4	41	40,93	0,07	0,00
	5	45	43,33	1,67	0,04
	6	47	45,73	1,27	0,03
	7	45	48,13	-3,13	0,07
	8	51	50,53	0,47	0,01
	9	53	52,93	0,07	0,00
Сумма	45	390			0,23
Среднее	5	43,33

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

По модели Брауна с параметром сглаживания б = 0,4 относительная ошибка аппроксимации равна 9%.

Eотн = 0,83/9* 100% = 9%

7) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Линейная модель

Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР.

t = 1,12

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где

,

.

Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (табл. 9).

Таблица 9 - Таблица прогноза по линейной модели

n +k	U (k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =2,24	55,53	Прогноз + U(1)	57,58	53,09
11	U(2) =2,37	57,73	Прогноз - U(2)	60,11	55,36

Модель Брауна с параметром б=0,4.:

Yp (10) = 53,35+1,81=55,17; Yp (11) = 53,35+1,81 * 2 = 56,98.

u(1) = 3,12; u(2) = 3,3.

Таблица 10 - Таблица прогноза по модели Брауна

n +k	U (k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =7,04	55,17	Прогноз + U(1)	58,29	52,05
11	U(2) =7,45	56,98	Прогноз - U(2)	60,28	53,68

8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

График по линейной модели

Рис. 4 - График по линейной модели

Рис. 5 - График для модели Брауна с параметром сглаживания б=0,4

ЗАДАЧА 4

Необходимо решить транспортную задачу: минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на складе.

Таблица тарифов на перевозку продукции и объемов запасов на складе и заказов. Матрица планирования

Склад/Магазин	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы на складе
А1	2	3	1,5	2	1	50
А2	5	6	4	5	0	80
А3	3	2	2,5	3	3,5	50
А4	1	3,5	1	0	1,5	60
Объем заказа	30	50	50	40	25

Решение.

Экономико-математическая модель

В каждой клетке заданы удельные транспортные затраты на перевозку продукции {cij}. Слева указаны мощности поставщиков - складов {ai}, а сверху - объемы заказов потребителей - магазинов {bi}. Обозначим через xij количество единиц продукции, запланированных к доставке от i-го склада к j-му магазину. Требуется найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями {xij}- объем доставки продукции с минимальными затратами.

Целевая функция (общие затраты на перевозку):

Исходная транспортная задача не является закрытой, так как запасы на складе выше потребностей

Ограничения по ресурсам:

Х11 + Х12 + Х13 + Х14 + Х15 ? А1 ? 50

Х21 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 ? А2 ? 80

Х31 + Х32 + Х33 + Х34 + Х35 ? А3 ? 50

Х41 + Х42 + Х43 + Х44 + Х45 ? А4 ? 60

Ограничения по заказам:

Х11 + Х21 + Х31 + Х41 = В1 = 30

Х12 + Х22 + Х32 + Х42 = В1 = 50

Х13 + Х23 + Х33 + Х43 = В1 = 50

Х14 + Х24 + Х34 + Х44 = В1 = 40

Х15 + Х25 + Х35 + Х45 = В1 = 25

Откроем 3-й чистый лист Excel

Вводим исходные данные.

В ячейки G3,…,G6 введем значения мощностей поставщиков a1…a4 соответственно; В ячейки B7,…F7 введем значения мощностей потребителей b1…b5 соответственно; В ячейки B3,…F6 введем значения матрицы транспортных затрат c11…c45 соответственно (рис. 6).

Рис. 6

Создаём матрицы планирования.

Для этого резервируем изменяемые ячейки: в блок ячеек В12:F17 вводится «1»

Вводим граничные условия.

Для этого необходимо выполнить следующие операции:

- курсор в ячейку G11;

- щелкнуть знак «?»;

- выделить необходимые для суммирования ячейки В11:F11;

- нажать ENTER - подтверждение ввода формулы для суммирования.

Аналогичные действия выполняем для ячеек G12, G13, G14.

Далее необходимо выполнить следующие операции:

- курсор в В15;

- щелкнуть знак «?». При этом автоматически выделяется весь столбец В12: В17;

- нажать ENTER - подтверждение суммирования показателей выделенного столбца.

Последовательность этих действий выполнить для ячеек С15, D15, Е15, F15 (рис. 7).

Рис. 7

Назначение целевой функции.

Для вычисления значения целевой функции, необходимо зарезервировать ячейку и ввести формулу для ее вычисления:

- введем курсор в ячейку D17. В данную ячейку будет помещаться значение целевой функции после решения задачи;

- щелкнем Мастер функций (значок ѓх);

- в окне Категория выбрать Математические;

- в окне Функция при помощи спинера выбрать СУММОПРОИЗВ;

- ОК;

- в окне СУММОПРОИЗВ указать адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией.

Для этого:

- в поле Массив 1 указать адреса В3: F8;

- в поле Массив 2 указать адреса В12: F17 ;

- ОК - подтверждение окончания ввода адресов массивов.

Вводим зависимости из математической модели.

Для осуществления этого этапа необходимо выполнить следующий перечень операций:

щулкнуть Сервис - поиск решения;

курсор подвести в поле Установить целевую ячейку;

ввести адрес $D$17. Таким образом производится указание ячейки, куда при решение задачи помещается значение целевой функции;

установить направление изменения целевой функции, равное «минимальному значению»;

ввести адреса изменяемых ячеек В11: F14. Для этого:

- щелкнуть в поле изменяя ячейки;

- ввести адреса $B$11:$F$14;

Теперь введем ограничения. Для этого:

- щелкнем Добавить ограничения; - в поле ссылка на ячейку ввести адрес $B$11:$F$14;

- в среднем поле ввести « >= ». Для этого щелкнуть спинер и выбрать необходимый знак «> = ».

- в поле Ограничение ввести 0;

- щелкнуть ОК, т.е. осуществить подтверждение введенного условия.

- щелкнуть Добавить ограничение;

- в поле ссылка на ячейку ввести адреса $B$15:$F$15;

- в среднем поле ввести « = ». Для этого щелкнуть спинер и выбрать необходимый знак « = ».

- в поле Ограничение ввести адреса $B$7:$F$7;

- щелкнуть ОК.

- щелкнуть Добавить ограничение;

- в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $G$11:$G14;

- в поле знака выбрать знак « <= »;

- в поле Ограничение ввести адреса $G$3:$G$6;

- щелкнуть ОК. Подтверждение введенного условия (рис. 8)

Рис. 8

Далее необходимо установить параметры для решение задачи. Для этого необходимо:

- щелкнем Параметры;

- установим Линейная модель;

- выбираем Неотрицательные значения;

- ОК (рис. 9).

Рис. 9

После этого осуществится вход в поле Поиска решений;

- нажать Выполнить.

После выполнения всех вышеуказанных действий на экран выводится окно Результаты поиска решений (рис. 10).

Рис. 10

- ОК.

В матрице назначений содержаться минимальные расходыфирмы по доставке продукции. Значение целевой функции содержится в ячейке D17 и для нашей задачи равно 240 (рис. 11).

Рис. 11

Вывод: Минимальные расходы на доставку продукции заказчиком со склада фирмы составляют 240 у.е.

Размещено на Allbest.ru

...