Математическое моделирование экономических процессов

Размещено на http://www.allbest.ru

ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ РАБОТУ

(вариант задания № 54)

Данная расчетно-графическая работа (РГР) выполняется в соответствии с методическими указаниями «Математическое моделирование экономических процессов» к самостоятельной работе студентов по курсу «Методы и модели в экономике». РГР выполняется по вариантам, индивидуальным для каждого студента. Номер варианта задания используется при уточнении исходных данных на РГР.

В данной РГР рассматриваются математические модели экономического взаимодействия потребителей и продавцов-производителей на монотоварном рынке в условиях конкуренции. Варианты задания на расчетно-графическую работу различаются функцией спроса, которая в данных моделях полностью описывает поведение потребителей на рынке.

Перечень исходных данных для выполнения расчетов по РГР в соответствии с заданным вариантом задания:

1) - свободный член функции спроса;

2) +54=64 - модуль коэффициента функции спроса;

3) - предельные издержки выпуска продукции;

4) - постоянные издержки выпуска продукции;

5) - модуль свободного члена функции предложения;

6) - коэффициент функции предложения;

7) - начальное значение цены в моделях установления равновесной цены;

8) - количество итераций в паутинообразной модели и дискретной модели Эванса, а также максимальное время в непрерывной модели Эванса;

9) - скорость изменения цены при единичном превышении спроса над предложением в дискретной и непрерывной моделях Эванса;

10) - временной шаг в дискретной модели Эванса.



КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ПРИМЕНЯЕМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Проверка условий реализуемости вычислений:

1) условие существования конкурентного равновесия выполнено, так как 20/2=10<1000/64=15,625;

2) условие сходимости итерационного процесса выполнено, так как 2<64.

При выполнении РГР используется линейная функция спроса, имеющая следующий вид:

D= ?(p) =A-B·p=1000-64·p, 0<p<A/B=1000/64=15,625,

где D - количество товара, покупаемого на данном рынке за единицу времени при цене p за единицу товара.

Функция, обратная функции спроса, также линейна и имеет вид:

,

где - свободный член функции, обратной функции спроса,

- модуль коэффициента функции, обратной функции спроса.

Рассчитаем параметры a, b функции , обратной функции спроса: a = A/B=1000/51=19,60784; b = 1/B=1/51=0,019608.

Издержки производства X единиц товара определяются линейной функцией издержек

.

Рассчитаем вспомогательную величину , определенную формулой , следующим образом: X0 = (a-c)/b=847,00.

При выполнении РГР рассмотрен каждый из следующих случаев экономического взаимодействия потребителей и продавцов-производителей на монотоварном рынке: случай образования монополии, случай двух и случай многих участников рынка.

Приведем расчеты для случая монополии на рынке. Прибыль монополии при заданном выпуске X следующая:

П(Х) = b• Х• (Х0 - Х) -2• d = - 0,02 Х2 + 16,61 Х - 10

Стратегия поведения монополии на рынке - максимизация своей прибыли. Максимальная прибыль монополии в размере

3506,71,

достигается при выпуске ею продукции в объеме

830,5/2=423,5,

при этом на рынке складывается цена за единицу товара, равная

11,30 .

Доход монополии составит

4 787,21

а издержки выпуска монополии равны

1 280,50

.

Приведем расчеты для случая двух фирм на рынке. Прибыль каждой i-ой фирмы при выпуске и первой и второй фирм составит

Пi(X1,X2)=b·Xi·(X0-(X1+X2)) -d=0,02·Xi ·(830,5-(X1+X2)) -5, .

При выполнении РГР в рамках рассмотрения случая двух фирм на рынке рассмотрен каждый из следующих случаев экономического взаимодействия потребителей и продавцов-производителей на монотоварном рынке: две фирмы на рынке в ситуации картельного сговора, две конкурирующие фирмы в ситуации равновесия Курно, две конкурирующие фирмы в ситуации равновесия Стакельберга, две конкурирующие фирмы в ситуации неравновесия Стакельберга.

Приведем расчеты для случая двух фирм на рынке в ситуации картельного сговора. Предполагается, что картельный сговор заключается фирмами на равных условиях, то есть как выпуски, так и прибыли обеих фирм равны. Стратегия поведения фирм на рынке в ситуации картельного сговора - максимизация своей совместной прибыли. При этом общие выпуск, доход, издержки выпуска и прибыль фирм, а также цена за единицу товара равны аналогичным величинам для случая монополии на рынке:

423,5, 4787,21, 1280,50,

3506,81, 11,30,



а выпуск, доход, издержки выпуска и прибыль каждой i-ой фирмы рассчитываются как половина соответствующих величин для случая монополии на рынке:

211,75, 2 393,61, 640,25,

1 753,36.

Приведем расчеты для случая двух конкурирующих фирм в ситуации равновесия Курно. Равновесие Курно складывается в ситуации, когда обе фирмы в конкурентной борьбе применяют стратегию Курно. Тогда прибыль каждой i-ой фирмы составляет:

1 557,98

а выпуск каждой i-ой фирмы равен:

282,33

При этом на рынке складывается цена за единицу товара:

8,54.

Доход каждой i-ой фирмы составит:

2 409,98.



а издержки выпуска каждой i-ой фирмы равны:

852,00.

Общий выпуск фирм равен:

564,67.

общий доход фирм равен

4 819,97.

общие издержки выпуска фирм равны

1 704,00.

а общая прибыль фирм равна

3 115,97.

Приведем расчеты для случая двух конкурирующих фирм в ситуации равновесия Стакельберга. Равновесие Стакельберга складывается в ситуации, когда одна из двух фирм в конкурентной борьбе применяет стратегию Стакельберга, в то время как другая применяет стратегию Курно. Без ограничения общности будем считать, что первая фирма применяет стратегию Стакельберга, а вторая - стратегию Курно. Тогда прибыль первой и второй фирм составляет соответственно



1 753,36 и 874,18.

выпуск первой и второй фирм составляет соответственно

423,50 и 830,5/4=211,75

При этом на рынке складывается цена за единицу товара

7,15

Доход первой и второй фирмы составит соответственно

3 028,86 и 1 514,43.

а издержки выпуска первой и второй фирмы равны соответственно

1 275,50 и 640,25

Общий выпуск и общий доход фирм равны соответственно

635,25 и 4 543,28

общие издержки выпуска и общая прибыль фирм равны соответственно

1 915,75 и 2 627,53



Приведем расчеты для случая двух конкурирующих фирм в ситуации неравновесия Стакельберга. Неравновесие Стакельберга складывается в ситуации, когда обе фирмы в конкурентной борьбе применяют стратегию Стакельберга. Тогда прибыль каждой i-ой фирмы составляет

1 120,35.

а выпуск каждой i-ой фирмы равен

338,80.

При этом на рынке складывается цена за единицу товара

6,32

Доход каждой i-ой фирмы составит

2 141,75.

а издержки выпуска каждой i-ой фирмы равны

1 021,40.

Общий выпуск фирм равен

677,60.



общий доход фирм равен

4 283,49.

общие издержки выпуска фирм равны

2 042,80.

а общая прибыль фирм равна

2 240,69.

Приведенные результаты расчетов при наличии не более чем двух фирм на рынке сведем в следующую таблицу.

Ситуация	Выпуск	Доход
	первой фирмы	второй фирмы	Общий	первой фирмы	второй фирмы	Общий
Монополия	--	--	423,50	--	--	4 787,21р.
Картельный Сговор	211,75	211,75	423,50	2 393,61р.	2 393,61р.	4 787,21р.
Равновесие Курно	282,33	282,33	564,67	2 409,98р.	2 409,98р.	4 819,97р.
Равновесие Стакельберга	423,50	211,75	635,25	3 028,86р.	1 514,43р.	4 543,28р.
Неравновесие Стакельберга	338,80	338,80	677,60	2 141,75р.	2 141,75р.	4 283,49р.
Ситуация	Издержки	Прибыль	Цена
	первой фирмы	второй фирмы	Общие	первой фирмы	второй фирмы	общая
Монополия	--	--	1280,50р.	--	--	3 506,71р.	11,30р.
Картельный Сговор	640,25р.	640,25р.	280,50р.	1 753,36р.	1 753,36р.	3 506,71р.	11,30р.
Равновесие Курно	852,00р.	852,00р.	704,00р.	1 557,98р.	1 557,98р.	3 115,97р.	8,54р.
Равновесие Стакельберга	275,50р.	640,25р.	915,75р.	1 753,36р.	874,18р.	2 627,53р.	7,15р.
Неравновесие Стакельберга	021,40р.	021,40р.	042,80р.	1 120,35р.	1 120,35р.	2 240,69р.	6,32р.

Приведем расчеты для случая большого числа участников на конкурентном рынке с малой долей каждого из них на нем. При выполнении данной РГР предполагается, что состояние конкурентного равновесия на рынке возможно и осуществим переход в это состояние (установление равновесной цены). В данной РГР производятся расчеты по следующим трем моделям установления равновесной цены на монотоварном рынке: паутинообразной модели, дискретной и непрерывной модели Эванса. При этом используется линейная функция предложения, имеющая следующий вид:

, ,

где S - количество товара, поставляемого на данный рынок за единицу времени при цене p за единицу товара.

Рассчитаем равновесную цену следующим образом:

P0 =(A+б) /(B+в)=(1000+20)/(51+2)=19,245.

Найдем спрос и предложение при равновесной цене:

18,491.



Ниже приведен график функции спроса (сплошная линия) и функции предложения (пунктирная линия). Эти линии пересекаются в точке конкурентного равновесия .

Линии спроса и предложения, пересекающиеся в точке конкурентного равновесия

Приведем расчеты для двух моделей установления равновесной цены: паутинообразной модели и дискретной модели Эванса. В паутинообразной модели расчеты проводятся в рамках итерационного процесса

= (А+б- в• рПt-1 )/В=19,61 - 0,04 рПt-1,

где - значение цены на итерации № t в паутинообразной модели.

Проведение расчетов по дискретной модели Эванса заключается в реализации рекуррентного вычислительного процесса, описываемого рекуррентным соотношением для цены в момент времени t:

= рЭt-1+ г•?t•(( А+б) - (В+в)• рЭt-1) = 20,4 - 0,06 рЭt-1,

где - значение цены на итерации № t в дискретной модели Эванса.

Величина спроса и предложения в паутинообразной модели, а также величина спроса и предложения в дискретной модели Эванса на очередной итерации t рассчитывается как

=A-B·pПt =1000-51· pПt , =A-B· pЭt =1000 - 51· pЭt, ,

DП0 =А-В·р0 =1000 - 51· 12=388,

, , ,

соответственно.

Результаты расчетов по паутинообразной модели и дискретной модели Эванса сведем в следующую таблицу.

Номер итерации	Паутинообразная модель	Дискретная модель Эванса
	Цена	Спрос	Предложение	Цена	Спрос	Предложение
0	12,00р.	388,00	4,00	12,00р.	388,00	4,00
1	19,53р.	4,00	19,06	19,68р.	4,00	19,36
2	19,23р.	19,06	18,47	19,22р.	19,06	18,44
3	19,25р.	18,47	18,49	19,25р.	18,47	18,49
4	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
5	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
6	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
7	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
8	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
9	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
10	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49
	19,25р.	18,49	18,49	19,25р.	18,49	18,49

Построим график динамики изменения цены в паутинообразной модели:

Построим график динамики спроса и предложения в паутинообразной модели:

Построим график динамики изменения цены в дискретной модели Эванса:

Построим график динамики спроса и предложения в дискретной модели Эванса:

Приведем расчеты для непрерывной модели Эванса установления равновесной цены. В этой модели для любого момента времени цена , спрос и предложение вычисляются по следующим формулам:

D(t)=A-B*p(t)=1000-51*p(t); .

Результаты расчетов по непрерывной модели Эванса сведем в таблицу:

Время t	Цена	Спрос	Предложение
0	12,00р.	388,00	4,00
1	16,74р.	146,51	13,47
2	18,38р.	62,84	16,75
3	18,94р.	33,86	17,89
4	19,14р.	23,81	18,28
5	19,21р.	20,34	18,42
6	19,23р.	19,13	18,47
7	19,24р.	18,71	18,48
8	19,24р.	18,57	18,49
9	19,24р.	18,52	18,49
10	19,25р.	18,50	18,49
	19,25р.	18,49	18,49

Построим график динамики изменения цены в непрерывной модели Эванса:

Построим график динамики спроса и предложения в непрерывной модели Эванса:

АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ

экономический динамика цена рынок

Сначала проанализируем ситуацию наличия не более чем двух фирм на монотоварном рынке. Самыми благоприятными случаями для производителей являются случай образования монополии и случай картельного сговора (общая прибыль фирм максимальна и равна 2724,61р.), они же наиболее неблагоприятны для потребителей (цена на товар максимальна и равна 11,30р.). Если в результате применения антимонопольного законодательства удается исключить этот случай и добиться конкуренции между фирмами, то наилучшим компромиссным случаем для производителей является равновесие Курно (общая прибыль фирм максимальна среди случаев конкурентной борьбы и равна 3 115,97р.).

Этот же случай наиболее неблагоприятен для потребителей среди случаев конкурентной борьбы (цена на товар максимальна среди таких случаев и равна 8,54р.). Одна из двух конкурирующих фирм может, перейдя в одностороннем порядке от стратегии Курно к стратегии Стакельберга, увеличить свою прибыль до имеющей место при картельном сговоре (2627,53р.), нарушив, тем самым, равновесие Курно и инициировав равновесие Стакельберга. Это выгодно потребителям (цена упадет с 8,54р. до 7,15), но крайне невыгодно другой фирме (ее прибыль упадет с 1753.36р. до 874,18р.). Поэтому эта фирма вслед за первой тоже перейдет от стратегии Курно к стратегии Стакельберга (при этом ее прибыль возрастет с 874,18 до 1120,35р.), нарушив, тем самым, равновесие Стакельберга и инициировав неравновесие Стакельберга. А в этом случае, так же как и при равновесии Курно, обе фирмы получают одинаковую прибыль (равную 1120,35р.), но эта прибыль меньше, чем при равновесии Курно (тогда она равна 1557,98р.). Являясь наилучшим для потребителей (цена на товар минимальна и равна 6,32р.), случай неравновесия Стакельберга является наихудшим для производителей (их общая прибыль минимальна и равна 2240,69р.). Поэтому, в конечном итоге, обе конкурирующие фирмы заинтересованы в сохранении равновесия Курно на рынке.

Теперь проанализируем ситуацию наличия многих конкурирующих фирм на монотоварном рынке. Вне зависимости от конкретных действий отдельных участников рынка, на рынке устанавливается совершенно определенная равновесная цена (равная 19,25р.), и можно говорить лишь о разных моделях ее установления. Рассмотрев две модели с итерационным вычислительным процессом, можно констатировать, что в паутинообразной модели равновесная цена устанавливается быстрее, чем в дискретной модели Эванса (не хватило даже десяти итераций). При этом в паутинообразной модели цена колеблется (минимальное ее значение равно 12,00, максимальное значение равно 19,53), а в дискретной модели Эванса меняется монотонно от начального значения (равного 12,00) до равновесной цены (равной 19,25р.). В непрерывной модели Эванса цена меняется также монотонно. Если сравнивать дискретную модель Эванса с непрерывной моделью Эванса, дискретизированной введением моментов времени , то можно констатировать, что в дискретной модели цена изменяется с ростом номера итерации примерно так же быстро, как в непрерывной модели с ростом , но все же наблюдается незначительно более быстрое установление равновесной цены в дискретной модели Эванса.

Таким образом, результаты проведенных расчетов не противоречат известным теоретическим положениям и показывают широкие возможности рассмотренных математических моделей экономического взаимодействия потребителей и продавцов-производителей на монотоварном рынке в условиях конкуренции.

Размещено на www.allbest.

...